Divergencia y del Rotacional.

I. Fundamentos
matemáticos
Divergencia y rotacional
® Gabriel Cano Gómez, 2007/08
Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)
Campos Electromagnéticos
Ingeniero de Telecomunicación
Divergencia. Teorema de Gauss
„ Divergencia
=Σi Ai (q1,q2,q3) ui
de campo vectorial
9A=A(r) continuo y derivable (en general)
9 definición intrínseca: “divA(P)” es flujo
de A por unidad de volumen en torno a P
1
dΦ
div A (P )= lim
A
⋅
S
=
∈\
d
∫
Δτ → 0 Δ τ v
τ
d
P
∂ ( Δτ )
9expresión en coordenadas ortogonales:
® Gabriel Cano G
Gó
ómez, 07/08
1 3 ∂ ⎛ h1h2 h3 ⎞
Ai ⎟ = ∇ ⋅ A
divA(r ) =
⎜
∑
h1h2 h3 i =1 ∂qi ⎝ hi
⎠
„ Teorema
P
Z
r(q1,q2,q3)
O
X
de Gauss
9“el flujo de A(r) a través de ∂τ es igual a la
integral de div A(r) en el volumen τ”
v∫
∂τ
A(r ) ⋅ dS =
∫τ ( ∇ ⋅ A ) dτ
Campos Electromagné
Electromagnéticos (I. Telecomunicació
Telecomunicación)
2
I. Fundamentos Matemá
Matemáticos
Y
Interpretación física de flujo: caso particular
Ejemplo de flujo: Un fluido incompresible (densidad ρm constante), se mueve
según una distribución de velocidades v=v(r) (campo vectorial). Determínese
la masa de fluido que atraviesa la superficie Σ por unidad de tiempo.
¾Solución:
es igual al flujo del campo vectorial A(r)=ρ mv(r) a través de
la superficie Σ.
® Gabriel Cano G
Gó
ómez, 07/08
dm
= ∫ A(r ) ⋅ dS = Φ Σ
dt Σ Σ
9flujo neto en el sentido de dS:
(dm/dt)Σ > 0
9flujo neto contrario a dS:
(dm/dt)Σ < 0
Campos Electromagné
Electromagnéticos (I. Telecomunicació
Telecomunicación)
3
I. Fundamentos Matemá
Matemáticos
Significado de la divergencia: fuentes escalares (I)
„Fuentes
escalares del campo vectorial
9“perturbaciones
escalares” que actúan como
causas del campo vectorial
• las líneas de campo divergen o convergen en los
puntos donde existen fuentes escalares
® Gabriel Cano G
Gó
ómez, 07/08
9div
A(r)=∇·A(r) proporciona la distribución
de las fuentes escalares de A(r)
¾Caso a) ausencia de fuentes escalares
9agua fluyendo en torno a un punto P
• densidad de masa constante: ρm=1 gr/cm3
9 en Δτ entra y sale la misma cantidad de agua
dm
ΔΦ ∂ ( Δτ ) = v∫ A ⋅ dS =
=0
dt
∂ ( Δτ )
∂ ( Δτ )
Campos Electromagné
Electromagnéticos (I. Telecomunicació
Telecomunicación)
4
dΦ
div A (P )=
dτ
=0
P
I. Fundamentos Matemá
Matemáticos
Significado de la divergencia: fuentes escalares (II)
„Fuentes
escalares del campo vectorial
® Gabriel Cano G
Gó
ómez, 07/08
¾Caso b) presencia de fuentes escalares
9 agua fluyendo en torno a un punto F donde
hay un reactor que actúa como “manantial”
• H2+O2 → H2O (líquida)
9
las líneas de A(r) divergen desde F
9
en Δτ sale más agua que entra (ρm cte.):
ΔΦ ∂ ( Δτ ) =
v∫τ
A ⋅ dS =
∂(Δ )
dm
>0
dt ∂ ( Δτ )
dS
H2
O2
div A (F )=
dΦ
dτ
>0
F
9 “div
A(F) > 0” indica presencia de manantiales de campo en F: fuentes escalares positivas
Campos Electromagné
Electromagnéticos (I. Telecomunicació
Telecomunicación)
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I. Fundamentos Matemá
Matemáticos
Significado de la divergencia: fuentes escalares (III)
„Fuentes
escalares del campo vectorial
® Gabriel Cano G
Gó
ómez, 07/08
¾Caso c) presencia de fuentes “negativas”
9 agua fluyendo en torno a un punto S donde
hay un “sumidero”:
• H2O (líquida) → H2+O2
9
las líneas de A(r) convergen en S
9
en Δτ entra más agua que sale (ρm cte.) :
dm
ΔΦ ∂ ( Δτ ) = v∫ A ⋅ dS =
<0
dt ∂ ( Δτ )
∂ ( Δτ )
dS
H2
O2
dΦ
div A (S )=
dτ
<0
S
9 “div
A(F) < 0” indica presencia de sumideros
de campo en S: fuentes escalares negativas
Campos Electromagné
Electromagnéticos (I. Telecomunicació
Telecomunicación)
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I. Fundamentos Matemá
Matemáticos
Rotacional. Teorema de Stokes (I)
„ Rotacional
de campo vectorial
9A=A(r) continuo y derivable en P
A(r)|∂(Δτ)
rot A(P)
9definición intrínseca de rotacional:
1
dS × A(r ) ∈ \3
rot A( P) = lim
Δτ → 0 Δτ
∂ ( Δτ )
dS×A|∂(Δτ)
P
v∫
Z
9 “rot A(r)” mide la variación de las
componentes de A(r) tangenciales al
entorno ∂(Δτ)
® Gabriel Cano G
Gó
ómez, 07/08
dS×A=dS×At ;
r(q1,q2,q3)
|dS×A|=dS|At|
rotA(r ) =
1
∂ ∂q1
h1h2 h3
h1 A1
h2u2
h3u3
∂ ∂q2
∂ ∂q3
h2 A2
h3 A3
Campos Electromagné
Electromagnéticos (I. Telecomunicació
Telecomunicación)
Y
X
9… en coordenadas ortogonales:
h1u1
O
A
= ∇×A
At
7
An
θ dS=dSn
∂(Δτ)
dS×A
I. Fundamentos Matemá
Matemáticos
Rotacional. Teorema de Stokes (II)
„ Significado
del rotacional: circulación
9 la circulación por unidad de superficie de
A(r) alrededor de ΔS ⊥ n, es la proyección
de rot A(P) sobre la dirección n
dZ
1
= lim
dS P ΔS →0 ΔS
® Gabriel Cano G
Gó
ómez, 07/08
„ Teorema
>∫
∂ ( ΔS)
A (r ) ⋅ dr = n ⋅ rot A ( P) ∈ \
n·rotA(P)
rot A(P)
P
A(P)
dr
de Stokes:
9“el flujo del rot A(r) a través de una superficie Σ es igual a la circulación de A(r) a lo
largo de su perímetro ∂Σ”
∫Σ ( ∇ × A ) ⋅ dS = >∫
∂Σ
A(r ) ⋅ dr
Campos Electromagné
Electromagnéticos (I. Telecomunicació
Telecomunicación)
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I. Fundamentos Matemá
Matemáticos
Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (I)
„Fuentes
n
vectoriales de campo vectorial
P
9“perturbaciones
vectoriales” que actúan como
causas del campo vectorial
•las líneas de campo “giran” en torno a los puntos
donde existen fuentes vectoriales
B(r)
9rot
A(r)=∇×A(r) proporciona la distribución
de las fuentes vectoriales de A(r)
™Ejemplo 1: un hilo de corriente eléctrica es
I
Q
® Gabriel Cano G
Gó
ómez, 07/08
fuente vectorial de un campo magnético B(r)
• las líneas del campo son circunferencias concéntricas alrededor del hilo de corriente
⎛ ΔI ⎞
rot B( P) = μ0 ⎜
⎟ n
⎝ ΔS ⎠ P
9en
un punto donde hay corriente (P)
9en
un punto donde no hay corriente (Q)
Campos Electromagné
Electromagnéticos (I. Telecomunicació
Telecomunicación)
9
rot B(Q) = 0
I. Fundamentos Matemá
Matemáticos
Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (II)
„Fuentes
vectoriales de campo vectorial
™Ejemplo 2: fluido de densidad constante y
® Gabriel Cano G
Gó
ómez, 07/08
moviento rectilíneo a la largo de una tubería
9 distribución de velocidades:
• no uniforme ⇒ A(r)=ρmv(r)
• simétrica respecto del eje longitudinal
¾ ausencia de fuentes vectoriales
9distribución simétrica de A(r) en torno a O:
•el “molinillo” en O no es movido por el fluido
9las
eje de
simetría
O
n
líneas de A(r) no giran en torno a O
9circulación
ΔSO
nula de A(r) en torno a O:
•(proyección del) rotacional nulo
n ⋅ rot A(O) =
ΔZ O = >∫ A ⋅ dr = 0
∂ ( ΔSO )
Campos Electromagné
Electromagnéticos (I. Telecomunicació
Telecomunicación)
10
dZ
dS
=0
O
I. Fundamentos Matemá
Matemáticos
Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (III)
eje de
simetría
„Fuentes
vectoriales de campo vectorial
™Ejemplo 2: fluido de densidad constante y
moviento rectilíneo a la largo de una tubería
¾ fuentes vectoriales positivas
9 A(r) no es simétrico respecto de P:
• el “molinillo” en P gira en sentido antihorario
ΔSP
9las
líneas del campo A(r) “giran” en torno
a P en sentido positivo (respecto de n)
® Gabriel Cano G
Gó
ómez, 07/08
9circulación
ΔZ
P
de A(r) en torno a P:
P
n
n ⋅ rot A( P) =
= >∫ A ⋅ dr > 0
∂ ( ΔSP )
dZ
dS
>0
P
A(P) > 0” indica presencia de fuente
vectorial positiva (con el sentido de n)
9“n·rot
Campos Electromagné
Electromagnéticos (I. Telecomunicació
Telecomunicación)
11
I. Fundamentos Matemá
Matemáticos
Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (IV)
eje de
simetría
„Fuentes
vectoriales de campo vectorial
™Ejemplo 2: fluido de densidad constante y
moviento rectilíneo a la largo de una tubería
¾ fuentes vectoriales negativas
9 A(r) no es simétrico respecto de Q:
• el “molinillo” en Q gira en sentido horario
ΔSQ
9las
líneas del campo A(r) “giran” en torno
a Q en sentido negativo (respecto de n)
® Gabriel Cano G
Gó
ómez, 07/08
9circulación
n
de A(r) en torno a Q:
ΔZ Q = >∫ A ⋅ dr < 0
n ⋅ rot A(Q) =
∂ ( ΔSQ )
dZ
dS
Q
<0
Q
A(Q) < 0” indica presencia de fuente
vectorial negativa (con sentido opuesto a n)
9“n·rot
Campos Electromagné
Electromagnéticos (I. Telecomunicació
Telecomunicación)
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I. Fundamentos Matemá
Matemáticos