TEORÍA DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA Bienvenido
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TEORÍA DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA Bienvenido
TEORÍA DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA A. L. Cauchy (1789–1857) Editado por Bienvenido Cuartero y Francisco J. Ruiz sobre apuntes del Área de Análisis matemático B. Riemann (1826–1866) K. Weierstrass (1815–1897) “La teorı́a moderna de las funciones analı́ticas ha tenido cuatro fundadores: Gauss, Cauchy, Riemann y Weierstrass. Gauss no publicó nada en vida; por ası́ decir, no habı́a comunicado nada a nadie y sus manuscritos no se han reencontrado hasta mucho después de su muerte. No ha ejercido por ello ninguna influencia. Los otros tres geómetras que han contribuido a crear la noción nueva de función han seguido caminos bien diferentes. Cauchy ha precedido a los otros y les ha mostrado el camino; pero no obstante las tres concepciones se mantienen distintas y esto es una gran suerte, pues tenemos ası́ tres instrumentos entre los que podemos elegir y cuya acción podemos combinar a menudo. ... La teorı́a de Cauchy contenı́a en germen a la vez la concepción geométrica de Riemann y la concepción aritmética de Weierstrass, y es fácil comprender como podı́a, al desarrollarse en dos sentidos diferentes, dar nacimiento a una y a otra. Para Riemann, la imagen geométrica juega el papel dominante; una función no es más que una de las leyes según las cuales pueden transformarse las superficies; uno busca representarse estas transformaciones y no analizarlas; su posibilidad misma no es establecida más que por un razonamiento sumario al que no se ha podido, mucho más tarde, dar rigor más que al precio de modificaciones profundas y rodeos complicados. Weierstrass se sitúa en el extremo opuesto; el punto de partida es la serie de potencias, el elemento de la función que está confinado en un cı́rculo de convergencia; para proseguir la función fuera de este cı́rculo, tenemos el procedimiento de la continuación analı́tica; todo deviene ası́ una consecuencia de la teoria de series y esta teorı́a está establecida sobre bases aritméticas y sólidas. Nos desembarazamos de las dudas que, en el siglo pasado y en la primera mitad de éste, asaltaban a menudo a los pensadores a propósito de los principios del cálculo infinitesimal, y también de las que podı́a provocar por sus lagunas la teorı́a de funciones analı́ticas de Lagrange . . . ” (Henri Poincaré, ‘La obra matemática de Weierstrass’, en Acta mathematica 22 (1899), pp. 1–18.) INDICE 0 1 2 3 4 5 6 7 NÚMEROS COMPLEJOS: CONOCIMIENTOS PREVIOS 1. Introducción 2. Propiedades algebraicas de los números complejos 3. El plano complejo 4. Raices n-ésimas de un número complejo 5. La topología de C 6. Compactificación de C 7. Continuidad de las funciones de variable compleja FUNCIONES HOLOMORFAS 1. Introducción 2. Derivabilidad de las funciones de variable compleja 3. Condiciones de Cauchy-Riemann 4. Funciones holomorfas. Funciones armónicas 5. Apéndice: cálculo de armónicas conjugadas y método de MilneThomson FUNCIONES ANALÍTICAS 1. Introducción 2. Series en C: generalidades 3. Series de potencias 4. Funciones analíticas 5. Principio de prolongación analítica FUNCIONES ELEMENTALES BÁSICAS 1. Introducción 2. Función exponencial 3. Funciones seno y coseno 4. Determinaciones del argumento y del logaritmo 5. Exponenciales y potencias arbitrarias 6. Otras funciones elementales INTEGRACIÓN DE CAMINOS 1. Introducción 2. Integración de funciones complejas en intervalos reales 3. Curvas y caminos en C 4. Integración de funciones complejas sobre caminos 5. Integrales dependientes de un parámetro complejo INDICE DE UN PUNTO RESPECTO DE UN CAMINO CERRADO 1. Introducción 2. Definición y primeras propiedades 3. Interpretación geométrica del índice 4. Ejemplos y ejercicios 5. Apéndice: superficies de Riemann TEORÍA LOCAL DE CAUCHY 1. Introducción 2. Teorema y fórmula de Cauchy 3. Consecuencias de la fórmula de Cauchy 4. Avance: el teorema de Cauchy y el cálculo de integrales reales 5. Apéndice: sumación de series. TEORÍA GLOBAL DE CAUCHY 1. Introducción 8 9 2. Ciclos. Homología 3. Teorema nomológico de Cauchy 4. Conexión simple CEROS Y SINGULARIDADES. SERIES DE LAURENT 1. Introducción 2. Ceros de una función holomorfa 3. Singularidades aisladas 4. Funciones meromorfas 5. Singularidades en el infinito 6. Series de Laurent 7. Ejercicios resueltos TEOREMA DE LOS RESIDUOS. APLICACIONES 1. Introducción 2. Prólogo: residuos 3. El teorema de los residuos 4. Aplicación al cálculo de integrales y a la sumación de series 5. Aplicaciones a la localización de ceros 6. Valores locales de una función holomorfa 7. Teorema de la aplicación abierta 8. Teoremas de la función inversa 9. Ejercicios resueltos CAPÍTULO 0 Números complejos: conocimientos previos. 0.1 INTRODUCCIÓN Recopilamos en este capı́tulo las propiedades básicas de los números complejos, ya vistas a lo largo de cursos anteriores. Como libros de consulta pueden usarse, por ejemplo, Apostol, T.M.: Análisis Matemático (segunda edición). Reverté, Barcelona (1991) (algunas explicaciones están más detalladas en Apostol, T.M.: Calculus, vol. I (segunda edición). Reverté, Barcelona (1989)); para practicar con operaciones y representaciones gráficas, Spiegel, M.R.: Variable compleja. McGraw Hill (colección Schaum) (1971). Comencemos recordando que se definı́a C = {(a, b) : a, b ∈ R} con las operaciones SUMA: PRODUCTO: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b).(c, d) = (ac − bd, bc + ad) Obsérvese que, como conjunto, C es en realidad R2 . La novedad (y lo interesante como veremos) está en introducir el producto, pues se comprueba fácilmente que C con las dos operaciones anteriores se obtiene un cuerpo conmutativo, con (0, 0) y (1, 0) como elementos neutros respectivos. Además, el cuerpo C contiene al cuerpo R. Precisemos esta afirmación: - La aplicación a ∈ R −→ (a, 0) ∈ C es un homomorfismo inyectivo de cuerpos. Esta identificación de R como subcuerpo de C nos permite usar la notación simplificada a = (a, 0), y observando que todo elemento (a, b) ∈ C se puede escribir como (a, b) = (a, 0).(1, 0) + (b, 0)(0, 1), si denotamos i = (0, 1), con esta nueva nomenclatura, tenemos (a, b) = a + ib. 1 2 Números complejos: conocimientos previos. Esta forma de escribir un número complejo (forma binómica) hace más facil la multiplicación. En efecto, teniendo en cuenta que i 2 = (0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1 comprobamos que (a, b).(c, d) = (ac − bd, bc + ad) se traduce en (a + ib).(c + id) = ac − bd + i(bc + ad), donde para hacer esta operación sólo hace falta recordar las reglas habituales de la multiplicación y las identificaciones anteriores. Cuando se utiliza una sola letra para denotar un número complejo, se suele elegir la z, y si z = a + ib con a, b ∈ R, los números a, b se llaman partes real e imaginaria de z, respectivamente. Escribiremos entonces a = e z, b = m z. Desde el punto de vista algebraico, la principal ventaja de C es que soluciona el defecto algebraico de R de no ser algebraicamente cerrado, es decir, de que existan ecuaciones polinómicas con coeficientes reales que no tienen soluciones reales. El ejemplo más aparente es x 2 + 1 = 0. Esto ya no va a ocurrir en C. 0.2 PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Recogiendo de manera abreviada lo que acabamos de exponer, resulta: 1. C es un espacio vectorial sobre R de dimensión 2 ({1, i} es la base canónica). 2. C es un cuerpo conmutativo que contiene un subcuerpo isomorfo a R. 3. Existe un elemento de C solución de z 2 + 1 (precisamente i es solución). Pero, mucho más general, C es algebraicamente cerrado, i.e., todo polinomio con coeficientes complejos tiene una solución en C. Este hecho no es fácil de demostrar con argumentos elementales pero, más adelante, será una consecuencia sencilla del análisis que desarrollaremos sobre C. Además, C es el menor cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a R. Con mayor precisión, si un cuerpo algebraicamente cerrado contiene un subcuerpo isomorfo a R, debe contener un subcuerpo isomorfo a C. 4. Aplicación conjugación. La aplicación de C en C definida por z = a + ib −→ z = a − ib Números complejos: conocimientos previos. 3 tiene las siguientes propiedades: 4.1. Es un isomorfismo de cuerpo (z + w = z + w, zw = zw). 4.2. Es una proyección (z = z). 4.3. Deja fijo el cuerpo R (z = z si y solo si z ∈ R). 5. Aplicación módulo. La aplicación de C en R+ definida por √ z = a + ib −→ |z| = + zz = + a 2 + b2 tiene las siguientes propiedades: 5.1. |z| ≥ 0, |z| = 0 ⇔ z = 0. 5.2. |z + w| ≤ |z| + |w| (desigualdad triangular). 5.3. |zw| = |z||w|. Una consecuencia de estas propiedades es la que suele llamarse desigualdad triangular inversa, 5.4. |z − w| ≥ ||z| − |w||. 6. En C no existe un orden total compatible con la estructura algebraica que extienda el orden de R. En efecto, si éste fuera el caso los elementos i y 0 deberı́an ser comparables. Entonces, ó i > 0, en cuyo caso por la compatibilidad con el producto tendrı́amos i 2 = −1 > 0, ó i < 0, en cuyo caso y por la misma razón, también se tendrı́a i 2 = −1 > 0, con lo cual, obviamente, no se extiende el orden de R. Observaciones. 1. En la construcción de los números se busca siempre solucionar un defecto, pero con una propiedad de minimalidad. Ası́, en los contenidos N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, Z es el menor grupo que contiene a N, Q es el menor cuerpo que contiene a Z, R es el menor cuerpo completo que contiene a Q y C es el menor cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a R. 2. Hay otros contextos matemáticos que llevan a construcciones de C, es decir a la construcción de cuerpos isomorfos a nuestro C. Dos ejemplos son los siguientes: 4 Números complejos: conocimientos previos. i) Sea R[x] el anillo de polinomios en una variable con coeficientes reales (con las operaciones habituales). Sea I el ideal maximal generado por el polinomio x 2 +1. Entonces, el espacio cociente R/I, con las operaciones inducidas, resulta ser un cuerpo conmutativo isomorfo a C. ii) Sea M(2 × 2; R) el anillo de las matrices 2 × 2 con coeficientes reales, con las operaciones habituales. El subanillo a b M={ : a, b ∈ R} −b a es un cuerpo conmutativo isomorfo a C. 0.3 EL PLANO COMPLEJO Debido a la identificación entre C y R2 , todo número complejo z = a + ib lo podemos representar en el plano como el punto de coordenadas (a, b). Pero además, es de gran interés la llamada representación polar de un número complejo. Observemos que todo punto del plano z = 0 queda unı́vocamente determinado por su distancia al origen y por el ángulo que forma el segmento [0, z] con el eje real. Dicha distancia ya sabemos que es el módulo, y el ángulo va a dar lugar al concepto de argumento de un número complejo. Mirando la figura, tenemos las igualdades e z = |z| cos φ, m z = |z| sen φ, de donde z = |z|(cos φ + i sen φ) = |z|eiφ . Aquı́ hemos utilizado la notación z=(a,b ) eiφ = cos φ + i sen φ. |z | De momento, la igualdad anterior se b= Im z debe interpretar como una definición, φ aunque más adelante se corresponderá con el valor en iφ de la función expoO a = Re z nencial compleja. Notemos que en este punto damos por bueno que las funciones seno y coseno del Análisis matemático se corresponden con las funciones definidas gráficamente en Trigonometrı́a, sin que para ello tengamos ninguna justificación rigurosa. Para ser totalmente honestos, ni siquiera tenemos hasta ahora una definición rigurosa de las funciones seno y coseno: nos hemos conformado con admitir su existencia y propiedades. Volveremos sobre este punto cuando estudiemos las funciones elementales básicas. Números complejos: conocimientos previos. 5 Observación importante. La definición de módulo no plantea ninguna ambigüedad, pero no ası́ la del ángulo (o argumento) puesto que φ y φ + 2kπ con k ∈ Z hacen el mismo papel. Esto nos hace abordar las siguientes precisiones sobre la definición de argumento. Definición. Dado z ∈ C \ {0}, arg z = {φ ∈ R : cos φ = e z/|z|, sen φ = m z/|z|}. Por tanto, arg z es un conjunto! Pero ‘es obvio’ que es de la forma {φ0 + 2kπ : φ0 ∈ arg z, k ∈ Z}. Es decir, conocido un argumento de z, cualquier otro se diferencia de éste en un múltiplo entero de 2π . De esta forma, en cualquier intervalo semiabierto de longitud 2π, [α, α + 2π) o (α, α + 2π ], α ∈ R, existe un único elemento perteneciente al conjunto arg z. A este elemento se le denota por Arg[α,α+2π) z (respectivamente, por Arg(α,α+2π ] z). Normalmente, se toma el intervalo (−π, π ] y se escribe simplemente Arg(−π,π ] z = Arg z. A este argumento se le llama argumento principal (precaución: en algunos textos se llama argumento principal al que está en el intervalo [0, 2π )). La expresión eiφ , φ ∈ R (recuérdese que, de momento, es cos φ + i sen φ por definición) tiene las mismas propiedades algebraicas que la exponencial real. eiφ eiψ = ei(φ+ψ) , φ, ψ ∈ R, (eiφ )n = einφ , φ ∈ R, n ∈ N, (eiφ )−1 = ei(−φ) , φ ∈ R. 0.4 RAÍCES n-ÉSIMAS DE UN NÚMERO COMPLEJO La representación polar tiene especial importancia en este estudio, pues usándola, es fácil ver que, dado z = 0 y n ∈ N, la ecuación w n = z tiene exactamente n soluciones, que son: w = |z|1/n ei Arg z+2kπ n , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. √ Si queremos alguna notación, n z deberı́a denotar el conjunto de estos n √ Arg z elementos, aunque en algunos textos, n z indica solamente el valor |z|1/n ei n (que nosotros llamaremos raı́z n-ésima principal). 6 Números complejos: conocimientos previos. 0.5 LA TOPOLOGÍA DE C La topologı́a (estándar) en C viene dada por la aplicación módulo, que al cumplir las propiedades 5.1, 5.2 y 5.3, tiene las propiedades de una norma y como tal da lugar a una distancia d(z, w) = |z − w| Mirado en R2 , ésta es la distancia euclı́dea. Por tanto, la topologı́a de C es, exactamente, la topologı́a euclı́dea de R2 . Nos limitaremos a recordar los aspectos de esta topologı́a que serán de interés en el desarrollo de la asignatura. 1. Dado un punto z 0 ∈ C y un ε > 0, D(z 0 ; ε) = {z ∈ C : |z − z 0 | < ε} se llama disco (abierto) de centro z 0 y radio ε. Es lo que en espacios métricos abstractos se denomina bola. La familia de todas las bolas centradas en un punto z 0 , (D(z 0 ; ε))ε>0 es una base de entornos del punto z 0 . 2. Un subconjunto de C es abierto si es entorno de todos sus puntos. Es decir, si ∀z ∈ , ∃ε > 0 tal que D(z; ε) ⊆ . 3. Una sucesión z n −→ z 0 si (por definición) ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N ∀n ≥ n 0 , |z n − z 0 | < ε. Es muy fácil comprobar que z n −→ z 0 ⇐⇒ e z n −→ e z 0 ∧ m z n −→ m z 0 . Por tanto, la convergencia de una sucesión de números complejos se remite al estudio de la convergencia de dos sucesiones de números reales. A partir de aquı́ es sencillo ver que (C, d) es un espacio métrico completo. Es decir, toda sucesión de Cauchy es una sucesión convergente. 4. Un subconjunto A ⊆ C es cerrado si su complementario es abierto, o equivalentemente, coincide con su clausura A. Recordemos que z ∈ A si ∀ε > 0, D(z; ε) ∩ A = ∅. Como estamos en un espacio métrico, es interesante observar que esta propiedad se puede caracterizar por sucesiones: z ∈ A ⇐⇒ ∃(z n ) ⊆ A z n → z. 5. Un subconjunto A ⊆ C es compacto si y solo si es cerrado y acotado. Como consecuencia se cumple el teorema de Bolzano-Weierstrass: Toda sucesión acotada posee una subsucesión convergente. 6. Conexión. Recordemos la definición, en general. Números complejos: conocimientos previos. 7 Definición. Un espacio topológico X se dice conexo si no es unión de dos conjuntos abiertos no vacı́os disjuntos (o, equivalentemente, si los únicos subconjuntos de X cerrados y abiertos a la vez son ∅ y X ). Un subconjunto X ⊆ C se considera espacio topológico con la topologı́a inducida (o relativa) de C. Los abiertos en X son la intersección de los abiertos de C con X . Para el concepto de conexión por arcos, hace falta recordar algún concepto previo. i) Una curva en C es una aplicación γ : [a, b] −→ C continua. γ (a) y γ (b) son los puntos inicial y final de la curva (se dice también que la curva une los puntos γ (a) y γ (b)). El subconjunto de C, γ ([a, b]) se llama soporte de la curva. Se dice que la curva está contenida en un subconjunto A de C, si lo está el soporte. ii) Un arco es una curva inyectiva. iii) Dados z, w ∈ C, z = w, el arco γ : [0, 1] −→ C tal que t → (1 − t)z + tw, se llama segmento de extremos z y w. Efectivamente, el soporte de este arco es el segmento con dichos extremos. Esta notación que usamos confunde la curva con su soporte, lo cual no es muy conveniente como se verá en capı́tulos posteriores. Pero, para los aspectos que estamos aquı́ tratando no importa esta confusión. iv) Dados z 1 , z 2 , . . . z n ∈ C, llamaremos poligonal de vértices z 1 , z 2 , . . . z n a la unión de los n − 1 segmentos consecutivos que unen z i y z i+1 . Es fácil ver que esta unión corresponde a una curva y si los segmentos no se cruzan es un arco. v) Un conjunto A ⊆ C se dice conexo por arcos si dos cualesquiera de sus puntos pueden unirse por un arco contenido en A. Análogamente se puede dar la definición más especı́fica de conexo por poligonales. γ (b) . w z2 zn • γ (a) O z O En C y para abiertos, tenemos el siguiente: z1 O 8 Números complejos: conocimientos previos. Teorema. Sea abierto de C. Son equivalentes: i) es conexo. ii) es conexo por arcos. iii) es conexo por poligonales. También podrı́amos haber añadido es conexo por poligonales de lados paralelos a los ejes. Es importante la hipótesis de que sea abierto. Si la quitamos, la implicación ii) ⇒ i) sigue siendo cierta, pero el subconjunto de C, A = [−i, i] ∪ {x + i y : y = sen(1/x), x ∈ (0, 1)} es un conjunto conexo que no es conexo por arcos. 7. Componentes conexas. Sea ∅ = X ⊆ C. Una componente conexa (o, simplemente, componente) de X es un subconjunto conexo de X y maximal. Es decir, X 1 es componente conexa de X si X 1 ⊆ X , X 1 es conexo y no existe A conexo tal que X 1 ⊂ A ⊆ X . Sobre componentes conexas recordaremos lo siguiente: 7.1. Si X es conexo, su única componente conexa es X . 7.2 Las componentes son disjuntas. 7.3 Cada subconjunto conexo de X está contenido en una (y solo una) componente. 7.4 Si ⊆ C es abierto, cada componente conexa de es un abierto de C y existen, a lo más, un número contable de componentes conexas. 7.5 Si X ⊆ C es un conjunto acotado, C\X = X c posee una sola componente no acotada. 0.6 COMPACTIFICACIÓN DE C En este apartado, vamos a introducir ‘el punto del infinito complejo’, ∞, con el objetivo de manejar conceptos como lim z n = ∞, lim f (z) = α, lim f (z) = ∞. z→∞ z→z 0 En C sólo aparecerá un punto del ∞. Los conceptos +∞ y −∞ están asociados a R debido a que es un cuerpo totalmente ordenado. La forma rigurosa de proceder es utilizando el teorema de compactificación de Alexandrov de topologı́a general, aunque posteriormente el concepto se maneja con facilidad. El resultado general dice lo siguiente: Números complejos: conocimientos previos. 9 Teorema. Cualquier espacio topológico localmente compacto puede ser sumergido en un espacio compacto X̂ , de forma que X̂ \ X consta de un solo punto. Dicho de otra forma, al espacio X le podemos añadir un punto que no está en X , al que se suele denotar ∞, y al espacio X ∪ {∞} se le dota de una topologı́a que restringida a X es la de X , y además con esta topologı́a X ∪ {∞} es un espacio compacto. Examinemos los detalles de este procedimiento para nuestro caso particular de C. - C es un espacio localmente compacto (es Hausdorff y cada punto tiene un entorno relativamente compacto). - Añadimos un punto ∞ y denotaremos C∞ = C ∪ {∞}. - Si G es la topologı́a de C, es decir, G es el conjunto de los abiertos de C, definimos la topologı́a en C∞ como G∞ = G ∪ {C∞ \ K : K compacto de C}. Nótese que estos conjuntos que añadimos son los entornos abiertos del punto del ∞. Se comprueban, sin mucha dificultad, los siguientes hechos: a. G∞ es una topologı́a en C∞ . b. G∞ |C = G. c. (C∞ ,G∞ ) es compacto. La descripción de esta topologı́a por base de entornos es muy sencilla: - Si el punto es un z 0 ∈ C, una base de entornos son los discos D(z 0 , ε). - Si el punto es ∞, una base de entornos es {C∞ \ D(0, R)} R>0 . Teniendo en cuenta como es esta base de entornos del punto del ∞, veamos que significa z n → ∞, cuando {z n } ⊂ C. z n → ∞ ⇐⇒ ∀R > 0, ∃n 0 ∈ N ∀n ≥ n 0 , z n ∈ C∞ \ D(0, R). Como z n ∈ C∞ \ D(0, R) significa |z n | > R, la definición anterior es equivalente a que la sucesión de números reales |z n | tienda a +∞. 10 Números complejos: conocimientos previos. Observación. Es un hecho teórico importante que esta topologı́a de C∞ es metrizable. Es decir, se puede definir una métrica en C∞ que da lugar a dicha topologı́a. No es fácil describir una tal métrica, de hecho, no tiene mucho que ver con la métrica de C. Se puede demostrar que no existe ninguna métrica en C∞ que de lugar a la topologı́a de C∞ y que extienda la métrica de C. No obstante, y por completar este estudio, en el siguiente apartado obtendremos una de estas métricas. 9. Representación geométrica de C∞ . La esfera de Riemann. El plano no puede ser una representación geométrica de C∞ , pues no queda sitio para dibujar el punto del ∞. No obstante, en la práctica, conviene imaginarse al punto del ∞ como algo que está más allá en todas las direcciones, es decir, como la circunferencia de un cı́rculo imaginario de centro el origen y radio +∞. Una buena representación geométrica la dió Riemann utilizando la esfera unidad de R3 . Denotamos por S = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x12 + x22 + x32 = 1} a dicha esfera y la dotamos de la topologı́a relativa que le da la euclı́dea de R3 . Vamos a identificar C∞ con S algebraicamente (obteniendo una biyección entre ambos) y topológicamente (dicha biyección será homeomorfismo). La biyección es muy intuitiva si nos fijamos en la figura (0,0,1) adjunta. Se proyectan los puntos s = ( x1 , x 2 , x 3) (x1 , x2 , x3 ) de S desde el “polo norte” (0, 0, 1) sobre el “plano del ecuador” x3 = 0 y a (0, 0, 1) x2 x1 π(s) = ( , , 0 ) [único punto que queda sin ima1 – x3 1 – x3 gen] se le asocia el punto del infinito ∞ ∈ C∞ . Denotando por π : S −→ C∞ a esta biyección, es un sencillo problema de geometrı́a elemental obtener expresiones explı́citas de π y π −1 : π(x1 , x2 , x3 ) = x1 + i x2 , si (x1 , x2 , x3 ) ∈ S \ {(0, 0, 1)}, 1 − x3 y π(0, 0, 1) = ∞. π −1 y π −1 (∞) = (0, 0, 1). Se prueba que: 2m z |z|2 − 1 2e z , , ) (z) = ( 2 |z| + 1 |z|2 + 1 |z|2 + 1 Números complejos: conocimientos previos. 11 Teorema. La aplicación π , llamada proyección estereográfica, es un isomorfismo entre los espacios topológicos S (con la topologı́a euclı́dea relativa de R3 ) y C∞ (con la topologı́a G∞ ). Una vez tenemos este resultado, como S es métrico (con la métrica euclı́dea d3 ), podemos tener una métrica sobre C∞ como imagen de la euclı́dea por la aplicación π, d∞ (z 1 , z 2 ) = d3 (π −1 (z 1 ), π −1 (z 2 )). Esta métrica se denomina distancia cordal (es la longitud de la cuerda que une los puntos π −1 (z 1 ), π −1 (z 2 )). Haciendo las operaciones tenemos: Proposición. C∞ es metrizable y una de las métricas que origina su topologı́a es d∞ (z 1 , z 2 ) = 2|z 1 − z 2 | , z 1 , z 2 ∈ C, ((1 + |z 1 |2 )(1 + |z 2 |2 ))1/2 d∞ (z, ∞) = 2 , z ∈ C, (1 + |z|2 )1/2 d∞ (∞, ∞) = 0. 0.7 CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA Por función compleja de variable compleja, entendemos una función cuyo dominio es un subconjunto de C y los valores que toma están en C. Es decir, f : A ⊆ C −→ C. Asociadas a f aparecen las funciones reales de variable compleja, u(z) = e f (z), v(z) = m f (z). Identificando C con R2 , las funciones u y v pueden ser vistas como funciones de dos variables reales que toman valores en R y, ası́, es muy frecuente escribir f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + i y ∈ A. Es decir, tener una función compleja de variable compleja es tener dos funciones reales de dos variables reales. Los conceptos de lı́mite y continuidad de funciones son totalmente análogos a los ya conocidos para R, ası́ como sus propiedades, ya que en la definición de 12 Números complejos: conocimientos previos. éstos sólo interviene el módulo, que tiene las mismas propiedades tanto en R como en C. Sea f : A ⊆ C −→ C y sea z 0 ∈ C un punto de acumulación de A. Es decir, D(z 0 ; ε) ∩ (A \ {z 0 }) = ∅, ∀ε > 0 (nótese que el punto z 0 puede pertenecer al dominio A o no). Diremos que lim Az→z 0 f (z) = α ∈ C si (por definición) ∀ε > 0, ∃δ > 0 (0 < |z − z 0 | < δ ∧ z ∈ A) ⇒ | f (z) − α| < ε. Como C es un espacio métrico, esta definición (ε, δ) es equivalente a la definición por sucesiones. Es decir, a que ocurra ∀(z n ) ⊂ A \ {z 0 } z n → z 0 ⇒ f (z n ) → α. Con las notaciones anteriores, diremos que f es continua en z 0 ∈ A si ∃ lim Az→z 0 f (z) = f (z 0 ). Nótese que en este caso z 0 debe estar en el dominio de la función. Observación. Principalmente, trataremos con funciones f : ⊆ C −→ C, definidas en abierto de C. Entonces, todo punto z 0 ∈ es de acumulación de y considerando δ’s suficientemente pequeños, no nos tenemos que preocupar de que los z’s estén el dominio. En este caso, acudiendo a la definición, tendremos: f es continua en z 0 ∈ si y solo si ∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que D(z 0 ; δ) ⊆ y |z − z 0 | < δ ⇒ | f (z) − f (z 0 )| < ε. Diremos que f es continua en si lo es en z 0 , ∀z 0 ∈ . A partir de ahora, supondremos que el dominio de las funciones es siempre un abierto de C. Números complejos: conocimientos previos. 13 Las propiedades de los lı́mites y funciones continuas (con demostraciones análogas a la de R) se pueden resumir en los siguientes apartados. Sean f, g : ⊆ C −→ C y z 0 ∈ tal que lim f (z) = α, lim g(z) = β. z→z 0 z→z 0 Entonces: 1. Si f (z) = u(z) + iv(z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + i y ∈ , z 0 = x0 + i y0 , lim f (z) = α ⇐⇒ z→z 0 2. lim (x,y)→(x0 ,y0 ) u(x, y) = e α ∧ lim (x,y)→(x0 ,y0 ) v(x, y) = m α. lim f (z) + g(z) = α + β. z→z 0 3. lim f (z) · g(z) = α · β. z→z 0 4. Si β = 0, lim z→z 0 α f (z) = . g(z) β 5. Si f y g son continuas en z 0 , también lo son las funciones f + g y f · g. Asimismo, lo es f /g siempre que g(z 0 ) = 0. Observación. Cualquier otra propiedad conocida en R que solo tenga que ver con el uso del módulo y la estructura de cuerpo, también será cierta en C. Por ejemplo, el lı́mite del producto de una función que tienda a 0 por otra función acotada en un entorno del punto, es 0. No son ciertas, porque ni siquiera tienen sentido en general, propiedades que tienen que ver con el orden, como la regla del sandwich. Lı́mites infinitos y en el infinito. Sea f : A ⊆ C −→ C, tal que ∞ es punto de acumulación del dominio A. Por la definición de los entornos del ∞ vista anteriormente, esto querrá decir que: ∀R > 0, A ∩ (C \ D(0; R)) = ∅ 14 Números complejos: conocimientos previos. En estas condiciones, podemos hablar de lı́mites en el ∞, considerando la topologı́a de C∞ . 6. Diremos que lim Az→∞ f (z) = α ∈ C si (por definición) ∀ε > 0, ∃R > 0 (|z| > R ∧ z ∈ A) ⇒ | f (z) − α| < ε o, equivalentemente, por ser C∞ espacio métrico, la definición por sucesiones, ∀(z n ) ⊂ A z n → ∞ ⇒ f (z n ) → α. 7. Diremos que lim Az→∞ f (z) = ∞ si (por definición) ∀S > 0, ∃R > 0 (|z| > R ∧ z ∈ A) ⇒ | f (z)| > S. o, equivalentemente, ∀(z n ) ⊂ A z n → ∞ ⇒ f (z n ) → ∞. 8. Si f : A ⊆ C −→ C y z 0 es un punto de acumulación de A, diremos que lim Az→z 0 f (z) = ∞ si (por definición) ∀R > 0, ∃δ > 0 (0 < |z − z 0 | < δ ∧ z ∈ A) ⇒ | f (z)| > R. o, equivalentemente, ∀(z n ) ⊂ A \ {z 0 } z n → z 0 ⇒ f (z n ) → ∞. También se cumplen las propiedades habituales, de las que señalamos como muestra las dos siguientes: Números complejos: conocimientos previos. 15 i) Si lim f (z) = α ∈ C \ {0} y lim g(z) = 0 z→z 0 z→z 0 entonces lim z→z 0 f (z) = ∞. g(z) ii) Si lim f (z) = α ∈ C \ {0} y lim g(z) = ∞ z→z 0 entonces z→z 0 lim f (z)g(z) = ∞. z→z 0 Y también se producen los casos de indeterminación habituales. Es un buen ejercicio listar todas estas propiedades y demostrar, siguiendo las definiciones, algunas de ellas. Ejemplos. 1. Las funciones constantes ( f (z) = C, ∀z ∈ C) y la función identidad ( f (z) = z, ∀z ∈ C) son funciones continuas en todo punto de C. 2. Por operaciones con funciones continuas (suma y multiplicación), todo polinomio Pn (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . a1 z + a0 , ai ∈ C es una función contı́nua en todo C. 3. Toda función racional, puesta como cociente de dos polinomios, R(z) = P(z)/Q(z), en forma irreducible, es continua en C salvo en los ceros del polinomio Q. 4. En el mismo ejemplo anterior, si α es un cero de Q, entonces P(α) = 0 y lim z→α 5. P(z) = ∞. Q(z) 3z + 5 6z 3 + 5 lim = 0, lim = 3. z→∞ z 2 + 1 z→∞ 2z 3 + 4z + 1 6. La función argumento principal Arg : z ∈ C \ {0} −→ Arg z ∈ (−π, π ](⊂ C) 16 Números complejos: conocimientos previos. es continua en C \ (−∞, 0]. En cualquier punto z 0 ∈ (−∞, 0) no es continua, pues si z n −→ z 0 m z n > 0, entonces Arg z n −→ π y si z n −→ z 0 m z n < 0, entonces Arg z n −→ −π. De forma análoga, la función Arg[α,α+2π ) es continua en C \ {r eiα : r ≥ 0}. Imágenes continuas de conexos y compactos Finalmente, recordemos un par de resultados topológicos que usaremos con frecuencia. Sea f : A ⊆ C → C continua y X ⊆ A. Si X es conexo, f (X ) es conexo. Si X es compacto, f (X ) es compacto. CAPÍTULO 1 Funciones holomorfas 1.1 INTRODUCCIÓN La definición y primeras propiedades de la derivación de funciones complejas son muy similares a las correspondientes para las funciones reales (exceptuando, como siempre, las ligadas directamente a la relación de orden en R, como por ejemplo el teorema del valor medio). Sin embargo, iremos comprobando poco a poco que la derivabilidad compleja es una condición mucho más fuerte que la derivabilidad real, o incluso que la diferenciabilidad de las funciones de dos variables reales. La explicación final la encontraremos en resultados posteriores. Para las primeras secciones de este capı́tulo puede usarse como libro de consulta el texto de Open University: Complex Numbers / Continuous Functions / Differentiation. The Open University Press, Milton Keynes (1974); para las finales, ver Duncan, J.: The elements of complex analysis. Wiley, London (1968). 1.2 DERIVABILIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 1. Definición y primeras propiedades. Como C es un cuerpo y tiene sentido la división, podemos imitar literalmente la definición de derivabilidad de funciones reales. Definición. Sea abierto de C. Sea f : −→ C y sea z 0 ∈ . Diremos que f es derivable en z 0 si existe lim z→z 0 f (z) − f (z 0 ) = f (z 0 ) ∈ C. z − z0 Al valor de dicho lı́mite f (z 0 ) lo llamaremos derivada de f en z 0 . Observación. Aunque, formalmente, la definición es como en R, la existencia de lı́mite es aquı́ más exigente, al tener que existir de cualquier modo que nos acerquemos a z 0 por el plano. Esto hará que las funciones derivables en C sean mejores que las derivables en R, y que podamos desarrollar una teorı́a mucho más redonda para éstas. Para empezar, listamos las propiedades de derivabilidad que se demuestran imitando punto por punto lo que se hace en R. 17 18 Funciones holomorfas 1. f derivable en z 0 ⇒ f continua en z 0 . 2. Si f y g son derivables en z 0 , i) f + g es derivable en z 0 y ( f + g) (z 0 ) = f (z 0 ) + g (z 0 ). ii) f · g es derivable en z 0 y ( f · g) (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) + g (z 0 ) f (z 0 ). iii) (Si f (z 0 ) = 0), 1/ f es derivable en z 0 y (1/ f ) (z 0 ) = − f (z 0 )/ f (z 0 )2 . 3. Regla de la cadena. Sean f : 1 −→ C, g : 2 −→ C con f (1 ) ⊆ 2 . Si f derivable en z 0 y g es derivable en f (z 0 ), entonces g ◦ f es derivable en z0, y (g ◦ f ) (z 0 ) = g ( f (z 0 )) f (z 0 ). 4. Derivación de la función inversa en un punto. Sea f : −→ C inyectiva, derivable en z 0 con f (z 0 ) = 0. Supongamos además que f () es abierto y que f −1 es continua en f (z 0 ). Entonces, f −1 es derivable en f (z 0 ) y ( f −1 ) f (z 0 ) = 1 . f (z 0 ) Veamos, a modo de ejemplo, cómo este último resultado se prueba igual que para funciones reales: La derivabilidad de f en z 0 es equivalente a la continuidad en z 0 de la función g : → C dada por f (z) − f (z ) 0 g(z) = z − z0 f (z 0 ) si z ∈ \ {z 0 }; si z = z 0 . Esta función permite escribir para todo z ∈ f (z) − f (z 0 ) = g(z)(z − z 0 ), y como ahora g es continua en z 0 con g(z 0 ) = f (z 0 ) = 0, se verificará g(z) = 0 en un entorno de z 0 . Poniendo w0 = f (z 0 ), si tomamos w ∈ f () y z = f −1 (w), w − w0 = g f −1 (w) f −1 (w) − f −1 (w0 ) , y, teniendo en cuenta que f −1 es continua en w0 , para w en un entorno reducido de w0 , f −1 (w) − f −1 (w0 ) 1 = ; w − w0 g f −1 (w) Funciones holomorfas 19 usando nuevamente la continuidad de f −1 en w0 y la de g en z 0 = f −1 (w0 ), vemos que existe 1 f −1 (w) − f −1 (w0 ) lim . = w→w0 w − w0 f (z 0 ) Ejemplos de funciones derivables. 1. Las funciones constantes son derivables en todo punto de C con derivada 0. La función identidad es derivable en todo C y su derivada es constantemente 1. 2. Por operaciones algebraicas con funciones derivables, todo polinomio es derivable en C y su derivada tiene la misma expresión que en R. Del mismo modo, toda función racional, puesta en forma irreducible, es derivable en todo C salvo los ceros del denominador. 1.3 CONDICIONES DE CAUCHY-RIEMANN El problema que ahora vamos a tratar es exclusivo del contexto de C. Ya sabemos que dar una función de variable compleja es dar dos funciones reales de dos variables reales. Nos vamos a preguntar por la relación que existe entre la derivabilidad de la función compleja y la diferenciabilidad de estas dos funciones. En este apartado emplearemos sin más comentarios la notación: f : −→ C, f (z) = u(z) + iv(z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + i y ∈ , z 0 = x0 + i y0 ∈ . Tenemos: Teorema. f es derivable en z 0 si y solo si i) u , v son diferenciables en (x0 , y0 ). ii) Se cumplen las llamadas condiciones de Cauchy-Riemann: ∂u ∂v = , ∂ x (x0 ,y0 ) ∂ y (x0 ,y0 ) ∂u ∂v =− . ∂ y (x0 ,y0 ) ∂ x (x0 ,y0 ) Demostración. Antes de entrar en ella, modifiquemos un poco las notaciones. Primero, es claro que f derivable en z 0 se puede escribir de la forma lim h→0 f (z 0 + h) − f (z 0 ) − h. f (z 0 ) = 0. h (1) 20 Funciones holomorfas Por otra parte, recordemos la noción de diferenciabilidad. u diferenciable en (x0 , y0 ) significa que existe una forma lineal L : R2 −→ R (k, l) −→ L(k, l) = ak + bl tal que u(x0 + k, y0 + l) − u(x0 , y0 ) − L(k, l) = 0. √ (k,l)→(0,0) k2 + l2 lim Recuérdese además que ∂u ∂u a= , b= . ∂ x (x0 ,y0 ) ∂ y (x0 ,y0 ) ⇒) Supongamos que f es derivable en z 0 y sea su derivada f (z 0 ) = α + iβ. Escribimos h = k + il para el parámetro complejo h. (1) implica que f (z 0 + h) − f (z 0 ) − h. f (z 0 ) = 0. lim h→0 |h| (2) porque (2) se obtiene de (1) multiplicando por h/|h| que es una función acotada. Ahora, u(x0 + k, y0 + l) − u(x0 , y0 ) − (αk − βl) f (z 0 + h) − f (z 0 ) − h. f (z 0 ) = √ |h| k2 + l2 v(x0 + k, y0 + l) − v(x0 , y0 ) − (βk + αl) +i √ k2 + l2 (3) luego, las partes real e imaginaria de esta expresión tienen que tender a 0 cuando h → 0 (o, lo que es lo mismo (k, l) → (0, 0)). Pero esto quiere decir exactamente que u y v son diferenciables en (x0 , y0 ) con ∂v ∂u ∂v ∂u =α= y = −β = − . ∂ x (x0 ,y0 ) ∂ y (x0 ,y0 ) ∂ y (x0 ,y0 ) ∂ x (x0 ,y0 ) ⇐) Si u y v son diferenciables en (x0 , y0 ) y se cumplen las condiciones de CauchyRiemann, llamamos ∂v ∂u ∂v ∂u =α= y = −β = − ∂ x (x0 ,y0 ) ∂ y (x0 ,y0 ) ∂ y (x0 ,y0 ) ∂ x (x0 ,y0 ) Funciones holomorfas 21 y se tiene que cumplir que la expresión en (3) tiende a 0. Por tanto, se cumple (2) y de aquı́ (1) (otra vez porque (1) se obtiene de (2) multiplicando por |h|/ h). Ası́, f es derivable en z 0 con derivada f (z 0 ) = α + iβ. Observación. De paso, hemos visto en la demostración que la derivada de f se puede obtener a partir de las derivadas parciales de u y de v, ∂u ∂u ∂v ∂u f (z 0 ) = −i = −i ∂ x (x0 ,y0 ) ∂ y (x0 ,y0 ) ∂ y (x0 ,y0 ) ∂ y (x0 ,y0 ) ∂u ∂v ∂v ∂v = +i = +i . ∂ x (x0 ,y0 ) ∂ x (x0 ,y0 ) ∂ y (x0 ,y0 ) ∂ x (x0 ,y0 ) Observación. En el teorema anterior vemos que el concepto de derivabilidad compleja es más exigente que el de diferenciabilidad real. Si miramos a f como función de R2 en R2 , ser diferenciable significa sin más que lo sean sus dos componentes u y v, mientras que ser derivable exige, además de esto, que se cumplan las condiciones sobre las derivadas parciales de u y v que establecen las ecuaciones de CauchyRiemann. Algunas de las consecuencias de este hecho se verán al final del capı́tulo. NOTA. En Levinson, N.; Redheffer, R.M.: Curso de variable compleja. Reverté, Barcelona (1990), págs. 77 y ss. se da una interpretación fı́sica de las condiciones de Cauchy-Riemann, en términos del estudio del flujo bidimensional de un fluido ideal. Para una interpretación geométrica de las condiciones de Cauchy-Riemann y otras muchas consideraciones interesantes sobre la derivada y demás conceptos, con un enfoque muy original, v. Needham, T.: Visual Complex Analysis. Clarendon Press, Oxford (1997). 1.4 FUNCIONES HOLOMORFAS. FUNCIONES ARMÓNICAS. Definición. Sea abierto de C. Sea f : −→ C. Diremos que f es holomorfa en un punto z 0 ∈ (o también, que z 0 es un punto regular para f ) si f es derivable en todos los puntos de un entorno de z 0 . Diremos que f es holomorfa en si f es holomorfa en z 0 , ∀z 0 ∈ . Claramente, f es holomorfa en ⇐⇒ f es derivable en todos los puntos de (pues al ser abierto, es entorno de todos sus puntos). 22 Funciones holomorfas Denotaremos H() = { f : −→ C : f es holomorfa en }. Por otra parte, recordemos el concepto de función armónica. Definición. Sea abierto de R2 . Sea u : −→ R. Diremos que u es armónica en si u es de clase C 2 (i.e., u tiene derivadas parciales hasta el orden 2 y son continuas) y cumple ∂ 2u ∂ 2u u = 2 + 2 = 0 ∂x ∂y en todo punto del abierto . Gracias a las condiciones de Cauchy-Riemann tenemos: Corolario. Si f ∈ H(), f = u + iv , y u , v son de clase C 2 , entonces u , v son armónicas en . Demostración. Por las condiciones de Cauchy-Riemann, se tiene ∂ 2u ∂ ∂v ∂ 2u ∂ ∂v ∂ ∂u ∂ ∂u = , =− = = ∂x2 ∂x ∂x ∂x ∂y ∂ y2 ∂y ∂y ∂y ∂x y, como u es de clase C 2 , las derivadas cruzadas coinciden y tenemos que u es armónica. Análogamente se razona con v. Observación. Veremos más adelante que si f ∈ H() entonces f es indefinidamente derivable, lo cual implicará que la hipótesis C 2 del corolario es innecesaria. Las condiciones de Cauchy-Riemann nos van a permitir obtener funciones holomorfas a partir de funciones armónicas en abiertos de R2 . Empecemos con la siguiente definición: Definición. Dada u armónica en un abierto de R2 , diremos que v es armónica conjugada de u en si f = u + iv es holomorfa en . O, equivalentemente, por las condiciones de Cauchy-Riemann, v satisface las condiciones vx = −u y , v y = u x en todo punto de . Es inmediato demostrar que una función armónica conjugada de otra es, asimismo, armónica. Funciones holomorfas 23 Ejemplo 1. Tomemos la función u(x, y) = e x cos y. Es una comprobación inmediata que dicha función es armónica en todo R2 . Para tratar de encontrar una armónica conjugada, planteamos las ecuaciones: vx (x, y) = −u y (x, y) = e x sen y v y (x, y) = u x (x, y) = e x cos y Es fácil resolver este sistema, obteniendo que la función v(x, y) = e x sen y es solución en todo R2 . Por tanto, hemos obtenido que la función f (z) = e x cos y + ie x sen y, z = x + i y es una función holomorfa en todo C. Si utilizamos la notación polar, podemos poner f (z) = e x ei y Con lo que esta función compleja parece tener derecho a llamarse la función exponencial compleja. En efecto lo será, aunque la introduciremos de forma oficial con las series de potencias. Que hayamos podido resolver el sistema en el ejemplo anterior no ha sido casual. En efecto, vamos a ver en el siguiente resultado que para ciertos abiertos de C, una función armónica siempre tiene armónica conjugada. Teorema. Sea abierto estrellado de R2 . Sea u armónica en . Entonces, existe v armónica conjugada de u en . Demostración. El resultado es una simple aplicación del lema de Poincaré para abiertos estrellados. Recordemos que este resultado dice que toda forma diferencial cerrada es exacta. Entonces, dada nuestra función u, consideramos la forma ω(x, y) = −u y (x, y)d x + u x (x, y)dy El ser u armónica implica que ω es una forma cerrada. Entonces, es exacta, lo cual quiere decir (por definición) que existe una función v diferenciable tal que vx = −u y y v y = u x . Luego v es armónica conjugada de u. 24 Funciones holomorfas Observación. Más adelante veremos que el teorema anterior es cierto en abiertos más generales (los simplemente conexos). Pero, con el siguiente ejemplo, vamos a demostrar que no es ampliable a abiertos cualesquiera. Ejemplo 2. Sea el abierto = C \ {0} y sea la función u(x, y) = 1 log(x 2 + y 2 ) 2 que se comprueba sin dificultad que es armónica en . Esta función u no tiene armónica conjugada en . En efecto, si existiera v armónica conjugada de u en , consideramos la función de variable real g(t) = v(cos t, sen t), t ∈ [0, 2π ]. g es una función continua en [0, 2π ] (por composición de funciones continuas). La derivamos por la regla de la cadena para funciones de varias variables y utilizamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann, obteniendo g (t) = −vx (cos t, sen t) sen t + v y (cos t, sen t) cos t = u y (cos t, sen t) sen t + u x (cos t, sen t) cos t = 1. Esto implica que g(t) = t + C, lo cual no puede ser porque g(0) = g(2π ). Sin embargo, en un abierto estrellado como C \ (−∞, 0], por el teorema ya probado, la función anterior debe tener armónica conjugada o, lo que es lo mismo, ser la parte real de una función holomorfa. Esta función holomorfa cuya parte real es u veremos más adelante que es la función logaritmo principal. 4. Consecuencias de las condiciones de Cauchy-Riemann. Las condiciones de Cauchy-Riemann nos permiten obtener con facilidad varios resultados para funciones holomorfas, apoyándonos en el conocimiento de funciones reales de dos variables. 1. Sea una región (i.e., abierto y conexo) de C. Si f es holomorfa en y f (z) = 0 para todo z ∈ , entonces f es constante. Funciones holomorfas 25 En efecto, si f = u + iv, f = u x − iu y = v y + ivx = 0 en implica que u x = u y = v y = vx = 0 y esto, ya sabemos que implica u, v constantes y, por tanto f constante. 2. Sea región. Si f es holomorfa en y e f (z) = C (ó m f (z) = C ) para todo z ∈ , entonces f es constante. En efecto, si u = cte, entonces u x = u y = 0. Luego, por Cauchy-Riemann, también será vx = v y = 0, lo que implica v =cte. Por tanto, f es constante. Análogamente se razonarı́a si fuera constante la parte imaginaria. 3. Sea región. Si f es holomorfa en y | f (z)| = C para todo z ∈ , entonces f es constante. En efecto, la hipótesis es u 2 + v 2 = cte. Derivando en esta expresión con respecto a x e y, tenemos 2uu x + 2vvx = 0, 2uu y + 2vv y = 0. Si utilizamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann tendremos 2uu x − 2vu y = 0, 2uu y + 2vu x = 0 Multiplicando la primera × u y la segunda × v, nos da (u 2 + v 2 )u x = 0, de donde u x = 0. De forma parecida se obtiene u y = vx = v y = 0. Por tanto, u y v son constantes y en consecuencia lo es f . Observación. Nótese cómo las condiciones de Cauchy-Riemann impiden que una función holomorfa pueda tomar valores de forma caprichosa. A poco que exista una ligazón entre las partes real e imaginaria, ésta fuerza a que la función holomorfa sea constante. Por ejemplo, resultados de esta naturaleza serı́an: i) Si f = u + iv es holomorfa en región y u 3 = v entonces f ≡ C . ii) Si f = u + iv es holomorfa en región y 5u + 2v = cte entonces f ≡ C . Comprobamos ası́ que la derivabilidad en C es muy exigente, y no sólo a nivel local. 26 1.5 Funciones holomorfas APÉNDICE: CÁLCULO DE ARMÓNICAS CONJUGADAS Y MÉTODO DE MILNE-THOMSON La Teorı́a de funciones analı́ticas constituye un auténtico filón de métodos de gran eficacia para resolver importantes problemas de Electroestática, Conducción del calor, Difusión, Gravitación, Elasticidad y Flujo de corrientes eléctricas. La gran potencia del Análisis de variable compleja en tales campos se debe, principalmente, al hecho de que las partes real e imaginaria de una función analı́tica satisfacen la ecuación de Laplace. Este párrafo, tomado de Levinson–Redheffer, loc. cit., pág. 77, da idea de que la búsqueda de funciones holomorfas con parte real (o parte imaginaria) conocidas es una cuestión importante en muchas aplicaciones de la teorı́a de funciones de variable compleja. Hemos visto una solución de este problema mediante el cálculo de funciones armónicas conjugadas siguiendo lo que, a falta de otro nombre mejor, podemos denominar “el método real”: dada una función u armónica en un abierto conexo de R2 , nos son conocidas las derivadas parciales de su armónica conjugada v (¡si existe!) a través de las condiciones de Cauchy-Riemann, de manera que el cálculo de primitivas de funciones reales de una variable real [o, equivalentemente, el cálculo de las funciones potenciales de la forma diferencial −u y (x, y) d x + u x (x, y) dy] nos lleva, en casos sencillos al menos, a expresiones explı́citas para la(s) funcion(es) v. Este procedimiento es fácilmente “automatizable”, y resulta cómodo llevarlo a cabo mediante programas de cálculo simbólico como Mathematica. Esquemáticamente, podrı́amos proceder ası́: dada u(x, y), 1.- calcular la derivada parcial de u respecto de x, u x (x, y); 2.- calcular la derivada parcial de u respecto de y, u y (x, y); 3.- “integrar −u y (x, y) respecto de x”, es decir, obtener una primitiva W (x, y) de −u y (x, y) como función sólo de x; 4.- calcular su derivada parcial respecto de y, W y (x, y); 5.- calcular ϕ(y) = u x (x, y) − W y (x, y) 6.- “integrar ϕ(y) respecto de y”, es decir, obtener una primitiva (y) de ϕ(y); 7.- calcular W (x, y) − (y): esta será una función v(x, y) armónica conjugada de u (y las demás diferirán de ella en la adición de una constante real). Téngase en cuenta que Mathematica no proporciona “constantes de integración”. Además, el número de funciones cuyas primitivas puede calcular “explı́citamente” es limitado. Funciones holomorfas 27 Hay también un “método complejo” para tratar el problema, el denominado método de MILNE-THOMSON (ver Phillips, E.G.: Funciones de variable compleja. Dossat, Madrid (1963), p. 17–18, y Needham, T.: Visual Complex Analysis. Clarendon Press, Oxford (1997), pp. 512–513), que, aunque precise ciertas condiciones restrictivas, proporciona directamente las funciones holomorfas f con parte real prefijada u. Su justificación se basa en resultados importantes que probaremos posteriormente: toda función holomorfa es analı́tica (y su derivada también), y dos funciones analı́ticas en un abierto conexo son iguales si y sólo si coinciden en un conjunto de puntos de que tenga al menos un punto de acumulación dentro de ; por ejemplo, en un segmento abierto (principio de prolongación analı́tica). Sea, pues, un abierto conexo de R2 que corte al eje real, con lo cual la intersección de con R contendrá al menos un segmento abierto (¿por qué?) Dada entonces una función u armónica en , notemos que la función g dada en por f 1 (x + i y) = u x (x, y) − i u y (x, y) es holomorfa en (¿por qué?). Supongamos que sabemos encontrar una función g holomorfa en tal que g (x) = f 1 (x) = u x (x, 0)−i u y (x, 0) para todo x ≡ (x, 0) ∈ ∩R: entonces g (z) = f 1 (z) por el principio de prolongación analı́tica, y la parte real de g difiere de u en una constante real (¿por qué?). La función f = g + C, para una constante real C adecuada, tiene como parte real u. El método de Milne-Thompson es también fácilmente “traducible” a Mathematica. Pero tanto si se usa este método como el anterior, sigue siendo necesario verificar los resultados obtenidos y valorar el alcance de los procedimientos empleados, muy especialmente debido a que los programas de cálculo simbólico, en general, no tienen en cuenta el dominio de las funciones que intervienen, manipulando tan sólo “nombres” de funciones o “funciones dadas por fórmulas”, por decirlo de alguna manera. Como ejemplo recomendamos vivamente al lector que pruebe a aplicar los métodos descritos a la ‘malvada’ función u(x, y) = ln(x 2 + y 2 ), definida y armónica en R2 \ {(0, 0)}. ¿Cuáles son sus armónicas conjugadas, según Mathematica? NOTA. 1.2.3.4.5.6.7.8.- El método de Milne-Thompson puede esquematizarse ası́: dada u(x, y), calcular la derivada parcial de u respecto de x, u x (x, y); calcular la derivada parcial de u respecto de y, u y (x, y); calcular u x (x, 0), es decir, “sustituir y por 0” en u x (x, y); calcular u y (x, 0), es decir, “sustituir y por 0” en u y (x, y); “sustituir x por z” en u x (x, 0) − i u y (x, 0) para obtener f 1 (z); “integrar f 1 (z) respecto de z”, es decir, obtener una primitiva g(z) de f 1 (z); calcular f (z) = g(z) − e g(x0 ) + u(x0 , 0) para cualquier x0 ∈ ∩ R. Entonces f (z) + ic, c ∈ R, son las funciones holomorfas con parte real u; si se busca una función armónica conjugada de u, hallar la parte imaginaria de f (z). CAPÍTULO 2 Funciones analı́ticas 2.1 INTRODUCCIÓN Para definir las series de potencias y la noción de analiticidad a que conducen, sólo se necesitan las operaciones de suma y multiplicación y el concepto de lı́mite. Esto nos dice que las series de potencias en C son otro concepto que podemos definir exactamente igual que en R y gozará de las mismas propiedades y con idénticas demostraciones que en R (¡si no dependen de la ordenación de R!). Por tanto, este capı́tulo (al menos, los dos primeros apartados) va a ser un simple repaso de lo que conocemos en R, pero puesto en el contexto de C. Los detalles pueden consultarse en Apostol, T.M.: Análisis Matemático (segunda edición). Reverté, Barcelona (1991). 2.2 SERIES EN C: GENERALIDADES. 1. Dada una sucesión (z n )∞ n=0 ⊂ C, la serie infinita ∞ z n se dice convergente n=0 si ∃ lim N →∞ N z n ∈ C. n=0 Al valor de dicho lı́mite se le denota también por ∞ z n y se le llama suma n=0 de la serie. 2. Criterio de convergencia de Cauchy. n z n converge ⇔ ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N si n > m > n 0 , z k < ε. k=m n=0 ∞ 3. Decimos que la serie números reales ∞ ∞ ∞ z n converge absolutamente si converge la serie de n=0 |z n | (recordemos que podemos poner más abreviadamente n=0 |z n | < +∞). n=0 28 Funciones analı́ticas 29 Toda serie absolutamente convergente es convergente, pero el recı́proco no es cierto. ∞ 4. La serie z n converge si y solo si convergen las dos series de números reales ∞ n=0 e z n y n=0 ∞ m z n . Además n=0 ∞ zn = n=0 ∞ e z n + i n=0 ∞ m z n . n=0 5. Producto de Cauchy de series. Consideremos dos series de números complejos, ck = n+m=k La serie ∞ an , n=0 k ∈ N ∪ {0}, definimos ∞ an bm = k ∞ bn . Para cada n=0 an bn−k = a0 bk + a1 bk−1 + . . . + ak b0 . n=0 ck se llama producto de Cauchy de las series k=0 ∞ an y n=0 ∞ bn . n=0 En principio, ésta es una definición formal, que no atiende a la convergencia de las series que intervienen. Si efectuáramos “la multiplicación de las sumas infinitas” de an y bm , colocando todos los “sumandos del producto” an bm en una tabla (infinita) de doble entrada, asociándolos según las diagonales secundarias, el resultado es la serie producto de Cauchy de las iniciales; cada “sumando producto” an bm interviene una y una sola vez, sin ausencias ni repeticiones. Cabe esperar, por tanto, que cuando sea lı́cito reagrupar términos (si disponemos de las propiedades conmutativa y asociativa), partiendo de series convergentes lleguemos a una serie convergente con suma el producto de las sumas. Un resultado bastante satisfactorio, que será todo lo que necesitemos, es el siguiente. ∞ ∞ Teorema (Mertens). Si las series an y bn son absolutamente convergentes, entonces la serie ∞ k=0 n=0 n=0 ck es absolutamente convergente y además, ∞ n=0 an ∞ n=0 bn = ∞ k=0 ck . 30 Funciones analı́ticas 6. Convergencia uniforme. Criterio M de Weierstrass. Recordemos la siguiente: Definición. Sean f n , f : A ⊆ C −→ C. Diremos que f n −→ f uniformemente en A si ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N si n ≥ n 0 , | f n (z) − f (z)| < ε, ∀z ∈ A, Equivalentemente sup | f n (z) − f (z)| −→ 0. z∈A Es claro que la convergencia uniforme implica la convergencia puntual en cada punto de A. Definición. Dado abierto de C, y f n , f : −→ C, diremos que f n −→ f casi uniformemente en si f n −→ f uniformemente sobre cada subconjunto compacto de . Como el lı́mite uniforme de funciones continuas es una función continua y la continuidad es una propiedad local, tenemos: Proposición. Sea abierto de C, y f n , f : −→ C. Si para cada n ∈ N, las funciones f n son continuas en y f n −→ f casi uniformemente en , entonces f es continua en . Para series de funciones, se tienen las definiciones análogas (como limite de las funciones sumas parciales). El siguiente resultado será de uso frecuente. Criterio M de Weierstrass. Dadas f n : A ⊂ C −→ C. Si podemos encontrar una sucesión (Mn ) de números positivos tal que | f n (z)| ≤ Mn , ∀z ∈ A ∧ ∞ Mn < +∞ n=0 entonces, ∞ n=0 f n (z) converge uniformemente y absolutamente en A. Funciones analı́ticas 2.3 31 SERIES DE POTENCIAS Definición. Dado a ∈ C, llamaremos serie de potencias centrada en a a toda serie de la forma ∞ an (z − a)n = a0 + a1 (z − a) + a2 (z − a)2 + . . . , n=0 donde los coeficientes (an ) ⊂ C. El primer problema es saber para qué puntos de C converge. Es claro que, sean cuales sean los coeficientes, una serie de potencias siempre converge en a. El siguiente resultado (con demostración totalmente análoga a la de R) deja claro este problema de convergencia de una serie de potencias. En el enunciado utilizamos la notación D(a; +∞) = C. n Teorema 1 (Abel). Sea ∞ n=0 an (z − a) una serie de potencias centrada en a . Entonces, existe un número R ∈ [0, +∞] tal que ∞ n 1. n=0 an (z−a) converge absolutamente y casi uniformemente en D(a; R). ∞ n 2. n=0 an (z − a) no converge en C \ D(a; R). −1 3. Fórmula de Cauchy-Hadamard: R = lim sup |an |1/n . Observaciones. i) R se llama radio de convergencia de la serie de potencias y D(a; R) disco de convergencia. Si R = 0, la serie sólo converge en z = a, y si R = +∞, la serie converge en todo punto de C. En los casos intermedios 0 < R < +∞, el teorema asegura que la serie converge en el disco abierto, y no converge en el exterior del disco. No se afirma nada en relación a lo que ocurre en la frontera {z : |z − a| = R}. Este problema del comportamiento en la frontera de una serie de potencias, debe ser analizado en cada caso particular. ii) Nótese que R no depende de a. A efectos de convergencia, lo que le ocurre a la serie viene determinado por los coeficientes (an ). Por ello, es suficiente que n estudiemos series centradas en 0, ann z , pues los resultados se trasladarán de forma obvia a la serie an (z − a) . 32 Funciones analı́ticas iii) Toda serie de potencias con radio R > 0, define una función ∞ an (z − a)n , z ∈ D(a; R), f (z) = n=0 que, al ser lı́mite casi uniforme de funciones continuas, es una función continua en D(a; R). iv) En muchos casos, la fórmula de Cauchy-Hadamard se simplifica, si recordamos el siguiente resultado sobre lı́mites. Dada una sucesión (an ), con an = 0, ∀n, si |an+1 | ∈ [0, +∞], ∃ lim n→∞ |an | el valor de dicho lı́mite coincide con lim sup |an |1/n . Por tanto, en los casos en que esto ocurra (en la práctica será frecuente), tendremos la siguiente fórmula para el radio de convergencia, |an | . R = lim n→∞ |an+1 | v) Aún en casos en que no sepamos calcular el radio por la fórmula de CauchyHadamard, las dos primeras partes del teorema de Abel dan muy buena información. Por ejemplo, si sabemos que la serie converge en un punto concreto z 0 ∈ C, forzosamente debe ocurrir que R ≥ |a − z 0 |. Del mismo modo, si la serie no converge en un punto z 1 ∈ C, forzosamente R ≤ |a − z 1 |. Para estudiar el comportamiento de una serie de potencias en los puntos de la frontera de su cı́rculo de convergencia es suficiente en los casos más sencillos el siguiente criterio. Criterio de Dirichlet. Sea (an ) una sucesión de números reales, no creciente y complejos cuyas sumas parciales convergente a 0. Sea bn una serie de números forman una sucesión acotada. Entonces la serie an bn es convergente. En lo que sigue, por abreviar notación y teniendo en cuenta la observación ii), bastará que consideremos series de potencias centradas en 0. El número R colocado sin más al lado de la serie, será su radio de convergencia. El primer resultado que vemos a continuación nos indica que las series de potencias, definen funciones muy buenas desde un punto de vista analı́tico (son indefinidamente derivables) y desde un punto de vista algebraico (se puede derivar término a término). Funciones analı́ticas Teorema 2. Sea Entonces, 33 ∞ n n=0 an z , R ∈ (0, +∞]. Sea f (z) = ∞ n=0 an z n , |z| < R . i) f es derivable en D(0; R), y además f (z) = ∞ nan z n−1 , |z| < R. n=1 ii) f es indefinidamente derivable en D(0; R), y para cada k ∈ N, f (k) (z) = ∞ n(n − 1) . . . (n − k + 1)an z n−k , |z| < R. n=k iii) Para cada k ∈ N ∪ {0}, f (k) (0) . ak = k! iv) La serie “antiderivada” o “primitiva término a término” ∞ an n+1 z n + 1 n=0 converge en D(0; R) a una función cuya derivada es f . Observación. Nótese que las distintas series que aparecen en el enunciado tienen el mismo radio de convergencia que la de partida, pues es muy sencillo probar que: n Si ∞ n=0 an z tiene radio R y P es cualquier polinomio y k ∈ N, las series ∞ n=0 an+k z , n ∞ P(n)an z n n=0 tienen radio R. El apartado iii) del teorema nos dice que los coeficientes vienen determinados por el valor de las derivadas sucesivas de f en 0. Como para conocer éstas, sólo hace falta conocer f en un entorno de 0, es inmediato el siguiente 34 Funciones analı́ticas ∞ n n Corolario. Si dos series de potencias ∞ a z y n=0 n n=0 bn z con radios R1 , R2 > 0 son tales que coinciden en un entorno de 0, entonces an = bn , ∀n ∈ N ∪ {0}. Hemos ignorado en lo anterior el comportamiento en la frontera del cı́rculo de convergencia. Si la serie converge en un punto z tal que |z| = R ¿hay alguna relación entre la suma de la serie en tal punto y la suma en los puntos interiores? He aquı́ una respuesta parcial. n Teorema del lı́mite de Abel. Sea f (z) = ∞ n=0 an z , |z| < R , R ∈ (0, +∞). Supongamos que la serie converge también para z = R . Entonces existe el lı́mite radial (a través del segmento (0, R)) de la función f y vale lim f (x) = x→R 0<x<R ∞ an R n . n=0 Operaciones con series de potencias. Sean f (z) = ∞ n n=0 an z , R1 ; g(z) = ∞ n=0 bn z n , R2 . 1. Suma. ∞ f (z) + g(z) = (an + bn )z n , R ≥ min{R1 , R2 }. n=0 2. Producto. f (z) · g(z) = ∞ n=0 cn z , c n = n n ak bn−k , R ≥ min{R1 , R2 }. k=0 3. División. Si f (0) = 0 entonces ∃δ > 0 tal que ∞ 1 = γn z n , |z| < δ. f (z) n=0 Este resultado afirma que la función 1/ f es una serie de potencias en un entorno del origen. Pero no es fácil dar una expresión explı́cita de los coeficientes γn en términos de los an . Funciones analı́ticas 35 4. Composición. Si para un z ∈ D(0; R2 ), ∞ |bn z n | < R1 , entonces tiene n=0 sentido la función composición f ◦ g, y además f ◦ g(z) = ∞ δk z k n=0 en un entorno del origen. La demostración de estos dos últimos resultados es bastante farragosa. Teóricamente nos dicen que la división y composición de series de potencias son series de potencias, pero en la práctica son de difı́cil aplicación. n 4. Cambio de centro. Sea f (z) = ∞ n=0 an z , R > 0 y sea b ∈ D(0; R). Entonces, ∃δ > 0 tal que f (z) = ∞ bn (z − b)n , |z − b| < δ. n=0 Es decir, dada una serie de potencias, en cualquier punto de su disco de convergencia, se puede poner como otra serie de potencias centrada en ese punto. Principio de identidad de series de potencias. Teorema 3. Sea f (z) = Son equivalentes: ∞ n=0 an z n , R > 0. Sea E = {z ∈ D(0; R) : f (z) = 0}. i) E = D(0; R) (es decir, f es idénticamente nula). ii) an = 0, ∀n iii) E ∩ D(0; R) = ∅ (i.e., E tiene puntos de acumulación en D(0; R)). Demostración. i) ⇔ ii) es consecuencia inmediata del corolario del teorema 2 y la implicación i) ⇒ iii) es obvia. Veamos que iii) ⇒ i). Llamemos A = E ∩ D(0; R) = ∅. A es cerrado en la topologı́a relativa de D(0; R) porque E siempre es un cerrado de C. Si vemos que también A es abierto en D(0; R) (o, lo que es lo mismo, en C, pues D(0; R) es abierto), por conexión tendremos que A = D(0; R) y de aquı́ es muy fácil ver que E = D(0; R), lo que concluirı́a la demostración. Sea pues a ∈ A (notemos que, por continuidad, f (a) = 0) y veamos que a es un punto interior, es decir, existe un disco D(a; δ) ⊂ A. 36 Funciones analı́ticas Por el cambio de centro, f será una serie de potencias en un entorno de a, f (z) = ∞ bn (z − a)n , en D(a; δ) ⊂ D(0; R) n=1 (la serie empieza en 1, pues f (a) = 0). Si bn = 0, ∀n tendremos claramente que D(a; δ) ⊂ A. En otro caso, sea bk el primer coeficiente que no se anula. Entonces, f (z) = (z − a) k bn (z − a)n−k = (z − a)k g(z) n=k donde g es una función continua (pues es una serie de potencias) con g(a) = 0, lo que implica que g(z) = 0 en un entorno U de a. Por tanto, f (z) = 0 en U \ {a}, lo que contradice que a ∈ E . Luego, forzosamente, tiene que ocurrir bn = 0, ∀n, y esto demuestra el resultado. El teorema anterior afirma que si una serie de potencias se anula en un subconjunto del disco abierto de convergencia que tenga algún punto de acumulación en dicho abierto, entonces la serie es idénticamente nula. 2.4 FUNCIONES ANALÍTICAS Definición. Sea = ∅ un abierto de C. Una función f : −→ C se dice analı́tica en a ∈ , si existe una serie de potencias centrada en a con radio R > 0 tal que ∞ f (z) = an (z − a)n , |z − a| < δ. n=0 Es decir, f coincide con una serie de potencias en un entorno de a . f se dice analı́tica en si lo es en cada punto a ∈ . Ejemplos. 1. Todo polinomio es una función analı́tica en C. En efecto, siempre podemos cambiar de base y expresar, para cualquier a ∈ C, P(z) = a0 + a1 z + . . . + an z n = b0 + b1 (z − a) + . . . + bn (z − a)n . Funciones analı́ticas 37 2. Gracias al resultado de cambio de centro, toda serie de potencias f (z) = ∞ an z n con radio R > 0 es analı́tica en D(0; R). Análogamente, f (z) = n=0 ∞ an (z − a)n es analı́tica en D(a; R). n=0 3. La función racional f (z) = que es analı́tica en 0, pues 1 es analı́tica en C \ {1}. En efecto, es claro 1−z ∞ 1 z n , |z| < 1. = 1−z n=0 Pero, utilizando esta misma suma, si a ∈ C \ {1}, 1 1 1 1 = = z−a 1−z 1 − a − (z − a) 1 − a 1 − ( 1−a ) ∞ ∞ (z − a)n z−a n 1 = 1 − a n=0 1 − a (1 − a)n+1 n=0 z − a < 1. Es decir, en el entorno de a, |z − a| < |1 − a|. siempre que 1 − a De forma parecida, descomponiendo en fracciones simples, no es difı́cil probar que toda función racional es analı́tica en su dominio de definición, esto es, en todo C menos los ceros del denominador. Proposición. Si f es analı́tica en entonces f es holomorfa. Es más, f es indefinidamente derivable en . Demostración. Es claro, pues la derivabilidad es una propiedad local y ya sabemos que una serie de potencias es indefinidamente derivable. Operaciones con funciones analı́ticas. 1. La suma y el producto de funciones analı́ticas son analı́ticas. 2. Si f es analı́tica en a y f (a) = 0 entonces 1/ f es analı́tica en a. 3. Sean f : −→ C, g : 1 −→ C con f () ⊆ 1 . Si f es analı́tica en a y g es analı́tica en f (a), entonces g ◦ f es analı́tica en a. Observación. Estos resultados son consecuencia de las correspondientes operaciones para serie de potencias. No merece la pena insistir en la demostración porque, más adelante, veremos que, en C, una función es analı́tica si y solo si es holomorfa, y para funciones holomorfas ya conocemos las propiedades 1, 2 y 3. 38 2.5 Funciones analı́ticas PRINCIPIO DE PROLONGACIÓN ANALÍTICA El siguiente resultado va a ser consecuencia del principio de identidad de series de potencias. Teorema (P.P.A.). Sea una región de C. Sea f : −→ C analı́tica en . Son equivalentes: i) f ≡ 0 en . ii) ∃a ∈ con f (n) (a) = 0, ∀n ∈ N ∪ {0}. iii) f = 0 en un subconjunto de con punto de acumulación en . Demostración. i) ⇒ ii) Inmediato. ii) ⇒ iii) En un entorno de a, D(a; δ), ∞ f (n) (a) f (z) = . an (z − a) y an = n! n=0 n Ası́, f = 0 en todo D(a; δ) al menos, y obviamente D(a; δ) ⊆ tiene punto de acumulación en . iii) ⇒ i) Por hipótesis, un subconjunto de E = f −1 (0) ⊆ tiene puntos de acumulación en , luego también los tiene el propio E, de modo que E ∩ = ∅. Usemos el clásico argumento de conexión. E ∩ es cerrado en . E ∩ es abierto en . En efecto, sea a ∈ E ∩ . En un entorno de a, D(a; δ) ⊆ , ∞ an (z − a)n . f (z) = n=0 Esta serie se anula en un conjunto con punto de acumulación en D(a; δ) (precisamente el punto a ∈ E ∩ D(a; δ)). Por tanto, por el principio de identidad para series de potencias la serie es nula. Ası́, f = 0 en D(a; δ), es decir, D(a; δ) ⊆ E, de donde se deduce fácilmente que D(a; δ) ⊆ E ∩ . Entonces, como es conexo, E ∩ = . Luego todo z ∈ está en E y de aquı́, como f es continua, f (z) = 0. Funciones analı́ticas 39 Corolario. Sea una región de C. Sean f y g funciones analı́ticas en . Son equivalentes: i) f ≡ g en . ii) ∃a ∈ con f (n) (a) = g (n) (a), ∀n ∈ N ∪ {0}. iii) f = g en un subconjunto de con punto de acumulación en . Demostración. Basta tomar la función f − g. Si denotamos, para abierto A() = { f : −→ C : f es analitica en }, tenemos esta otra consecuencia: Corolario. Sea región. Sean f, g ∈ A() tales que la función f g ≡ 0 en . Entonces, ó f ≡ 0 en , ó g ≡ 0 en . Dicho de otra manera, A() es un dominio de integridad. Demostración. Si para un z 0 ∈ , f (z 0 ) = 0, entonces, por continuidad, f = 0 en un entorno de z 0 . Luego debe ser g = 0 en dicho entorno, y como éste tiene puntos de acumulación en , por el teorema, g ≡ 0 en . Observación. Según la definición, si f ∈ A(), en un punto a ∈ , coincide en un entorno de a con una serie de potencias centrada en a con R > 0. A su vez, esta serie también es analı́tica y, por tanto, por el P.P.A., tendremos que la igualdad f (z) = ∞ an (z − a)n n=0 es válida en la componente conexa de ∩ D(a; R) que contiene al punto a. a Ω . (Cuidado: aunque y D(a; R) son conexos, su intersección ∩ D(a; R) no tiene por qué serlo, como se ve en la figura, de manera que hay que evitar la tentación ‘natural’ de escribir la igualdad para todo z de la intersección; puede haber desigualdad en los puntos de las componentes conexas de la intersección que no contengan al punto a.) CAPÍTULO 3 Funciones elementales básicas 3.1 INTRODUCCIÓN La familiaridad que hemos llegado a tener con funciones como la exponencial, el logaritmo, las funciones trigonométricas, pueden habernos hecho olvidar que en realidad nunca hemos establecido una definición ‘analı́tica’ rigurosa de ellas. Mediante consideraciones gráficas, en algunos casos, o confiando en la autoridad de turno en otros, hemos aceptado ciertas propiedades (entre ellas, nada menos que su existencia), de las que hemos ido deduciendo las demás. Con nuestros conocimientos actuales, este es un buen momento y un buen lugar para ofrecer esa definición rigurosa mediante series de potencias en el campo complejo y mostrar cómo de la definición van saliendo las propiedades que nos son tan ‘conocidas’. No es ésta, desde luego, la única via de construcción posible (pueden introducirse también mediante integrales indefinidas, o como soluciones de ciertas ecuaciones —o sistemas de ecuaciones— diferenciales), pero indudablemente es la más adecuada al presente curso. 3.2 FUNCIÓN EXPONENCIAL Función exponencial +∞ n z tiene radio de convergencia +∞, por lo que podemos La serie de potencias n! n=0 definir en todo C una función como suma de tal serie. Definición 3.1. Se llama función exponencial a la definida por +∞ n z ∈ C. exp : z ∈ C → exp(z) = n! n=0 El número exp(1) se denota por e, y suele escribirse e z en lugar de exp(z) [notación justificada por la propiedad que probaremos a continuación en (1.4)]. 40 Funciones elementales básicas 41 Propiedades de la exponencial compleja. (1.1) La función exponencial es derivable (indefinidamente) y su derivada es ella misma: para cada z ∈ C, exp (z) = exp(z). (1.2) exp(0) = 1. (1.3) Para cada z ∈ C, 1 exp(z) con lo que, en particular, exp(z) = 0. Además, para cualesquiera z , w ∈ C, exp(−z) = exp(z + w) = exp(z) exp(w). (1.4) Dados n ∈ N y z ∈ C, exp(nz) es el producto de n factores iguales a exp(z), n exp(nz) = exp(z) · · · exp(z); n en particular, exp(n) = e · · · e. (1.5) Para cada x ∈ R, también exp(x) ∈ R. Demostración. (1.1) Basta aplicar la regla de derivación de una función definida mediante una serie de potencias. (1.2) Obvio. (1.3) Puede verse directamente a partir de la definición y de la multiplicación de series de potencias. Otra demostración que usa sólo las ‘propiedades diferenciales’ de la exponencial es la siguiente: Para un w cualquiera en C previamente fijado, definamos f : z ∈ C → f (z) = exp(−z) exp(z + w) ∈ C. Derivando de acuerdo con (1.1), f (z) = − exp(−z) exp(z + w) + exp(−z) exp(z + w) = 0, luego como C es conexo, f toma constantemente el valor f (0) = exp(w). Si el w elegido es 0, esto significa que exp(−z) exp(z) = 1 cualquiera que sea z ∈ C. Por consiguiente, volviendo al caso general, de exp(−z) exp(z + w) = f (0) = exp(w) podemos despejar exp(z + w) = exp(z) exp(w). (1.4) Se prueba por inducción sobre n utilizando (1.3). (1.5) Si x ∈ R, los términos de la serie que define exp(x) son todos reales. La restricción de exp a R puede verse entonces como una aplicación de R en R. Denotaremos provisionalmente por Exp esta función, de modo que Exp : R → R, y la llamaremos exponencial real. Recogemos sus propiedades más importantes. 42 Funciones elementales básicas Propiedades de la exponencial real. (1.6) Para cada x ∈ R, Exp(x) > 0. (1.7) La función exponencial real es estrictamente creciente y convexa. En particular, es inyectiva. (1.8) Se tiene lim Exp(x) = +∞ , lim Exp(x) = 0. x→+∞ x→−∞ En consecuencia, el conjunto imagen de la función exponencial real es (0, +∞). Demostración. (1.6) Exp(x) = (Exp(x/2))2 ≥ 0 y Exp(x) = 0. (1.7) La derivada primera y la derivada segunda de la función exponencial real (que son iguales a ella misma) son estrictamente positivas. (1.8) Puesto que la función exponencial real es estrictamente creciente, e = Exp(1) > Exp(0) = 1, luego lim Exp(n) = +∞. Nuevamente por la monotonı́a de la función exponencial, n esto basta para probar que lim Exp(x) = +∞. x→+∞ Finalmente, 1 = 0. y→+∞ Exp(y) lim Exp(x) = lim Exp(−y) = lim x→−∞ y→+∞ Aplicando el teorema de los valores intermedios (Darboux) se sigue que la función exponencial aplica R sobre (0, +∞). Obsérvese que, según la exposición anterior, todas las propiedades básicas de la función exponencial se deducen realmente de (1.1) y (1.2), que en este sentido pueden ser consideradas sus propiedades “fundamentales”. Esto no es tan sorprendente sin pensamos en la unicidad de solución de la ecuación diferencial y = y con la condición inicial y(0) = 1. En lo que sigue volveremos ya a la notación tradicional, e z , para la exponencial de z. Función logarı́tmica real Una vez conocidas las propiedades básicas de la función exponencial real, podemos definir la función logarı́tmica real como su función inversa, y deducir de ahı́ sus propiedades. No puede procederse de la misma manera con la exponencial compleja, como se verá más adelante. Funciones elementales básicas 43 Definición 3.2. La función logarı́tmica real ln : x ∈ (0, +∞) → ln x ∈ R es la inversa de la función exponencial, de modo que ln x = y si y sólo si e y = x. Por tanto, está caracterizada por cumplir ln(e x ) = x cualquiera que sea x ∈ R y eln x = x cualquiera que sea x ∈ (0, +∞) . Sus propiedades son consecuencia de las de la función exponencial. Propiedades del logaritmo real. (2.1) La función logarı́tmica real es derivable indefinidamente, y su derivada es la función 1/x . (2.2) ln 1 = 0, ln e = 1. (2.3) Para cada x ∈ (0, +∞), 1 ln = − ln x . x (2.4) Dados x, y ∈ (0, +∞), ln(x y) = ln x + ln y . (2.5) Dados n ∈ N y x ∈ (0, +∞), ln(x n ) = n ln x . (2.6) El conjunto imagen de la función logarı́tmica real es R. (2.7) La función logarı́tmica real es estrictamente creciente y cóncava. En particular, es inyectiva. (2.8) Se tiene lim ln x = +∞, lim ln x = −∞ . x→+∞ x→0+ Demostración. Recordar las propiedades de la función inversa estudiadas para funciones reales de variable real. 44 3.3 Funciones elementales básicas FUNCIONES SENO Y COSENO Funciones complejas seno y coseno Definición 3.3. La función seno está definida por sen : z ∈ C → sen z = ∞ (−1)n z 2n+1 (2n + 1)! n=0 ∈C, y la función coseno por cos : z ∈ C → cos z = ∞ (−1)n z 2n n=0 (2n)! ∈C. Estas funciones están bien definidas, pues las series de potencias que figuran en las fórmulas tienen radio de convergencia +∞. Recordando la definición de la función exponencial, las relaciones siguientes son inmediatas: ei z − e−i z sen z = , 2i ei z + e−i z cos z = 2 para cada z ∈ C, con lo que la función exponencial aparece como “más elemental” que el seno y el coseno, en el sentido de que éstas son combinaciones lineales de exponenciales. Propiedades del seno y coseno complejos. (3.1) El seno y el coseno son funciones derivables indefinidamente y se cumple para todo z ∈ C sen (z) = cos z, cos (z) = − sen z. (3.2) El seno es una función impar, mientras que el coseno es una función par: es decir, cualquiera que sea z ∈ C se tiene sen(−z) = − sen z, cos(−z) = cos z . (3.3) Para todos z , w ∈ C, sen(z + w) = sen z cos w + cos z sen w, cos(z + w) = cos z cos w − sen z sen w. Funciones elementales básicas (3.4) Para cada z ∈ C es 45 sen2 z + cos2 z = 1 . Demostración. (3.1), (3.2), (3.3) Se siguen directamente de la definición mediante series de potencias o a partir de la expresión en términos de exponenciales. (3.4) Se deduce de (3.2) y (3.3), tomando w = −z. Es instructivo ver cómo también puede probarse esta identidad usando derivación: definiendo f : z ∈ C → f (z) = sen2 z + cos2 z ∈ C, a partir de (3.1) obtenemos f (z) = 2 sen z cos z − 2 cos z sen z = 0 para todo z de C, luego f toma constantemente el valor f (0) = 1. De las fórmulas anteriores se deducen mediante los cálculos de costumbre otras muchas frecuentemente utilizadas; por ejemplo, las que se recogen en el siguiente ejercicio. Ejercicio. Dados z, w ∈ C, comprobar que sen(z − w) = sen z cos w − cos z sen w; cos(z − w) = cos z cos w + sen z sen w; 1 sen z cos w = [sen(z + w) + sen(z − w)]; 2 1 sen z sen w = − [cos(z + w) − cos(z − w)]; 2 1 cos z cos w = [cos(z + w) + cos(z − w)]; 2 sen 2z = 2 sen z cos z; cos 2z = cos2 z − sen2 z = 2 cos2 z − 1; sen 3z = 3 sen z − 4 sen3 z; cos 3z = 4 cos3 z − 3 cos z y cualquier otra de las relaciones conocidas sobre las funciones seno y coseno. Funciones seno y coseno reales Las funciones seno y coseno toman valores reales sobre R, luego podemos ver las restricciones de estas funciones a R como funciones reales de variable real. Estudiemos sus propiedades, para comprobar que coinciden con las que se les atribuyen habitualmente. Ya hemos encontrado algunas de ellas. Para continuar, lo primero que necesitamos es definir el número real π . 46 Funciones elementales básicas Propiedades del seno y coseno reales. (4.1) La función seno tiene ceros reales positivos, es decir, {x > 0 : sen x = 0} = ∅ . Este conjunto posee un elemento mı́nimo, que denotaremos por π : def π = min{x > 0 : sen x = 0} . En el intervalo (0, π ), el seno toma valores estrictamente positivos. π π (4.2) cos π = −1; cos = 0; sen = 1. 2 2 (4.3) Para conocer la función seno en R es suficiente conocerla en el intervalo π . En concreto, 0, 2 (4.3.1) para cada x ∈ R es sen (π − x) = sen x = − sen(x + π ); (4.3.2) para cualesquiera x ∈ R y k ∈ Z, sen(x + 2kπ ) = sen x, es decir, el seno real es una función periódica de periodo 2π . (4.4) Para la función coseno en R es suficiente conocerla en el intervalo πconocer 0, . En concreto, 2 (4.4.1) para cada x ∈ R es cos (π − x) = − cos x = cos(x + π ); (4.4.2) para cualesquiera x ∈ R y k ∈ Z, cos(x + 2kπ ) = cos x, es decir, el coseno real es una función periódica 2π . π deπ periodo (4.5) La restricción de la función seno al intervalo − , es una aplicación 2 2 estrictamente creciente (en particular, inyectiva) sobre el intervalo [−1, 1]. (4.6) La restricción de la función coseno al intervalo [0, π ] es una aplicación estrictamente decreciente (en particular, inyectiva) sobre el intervalo [−1, 1]. (4.7) Dado x ∈ R, se verifica sen x = 0 si y sólo si para algún k ∈ Z es x = kπ . Funciones elementales básicas 47 π +kπ . 2 Demostración. (4.1) Agrupando sumandos convenientemente, es claro que (4.8) Dado x ∈ R, se verifica cos x = 0 si y sólo si para algún k ∈ Z es x = sen x > x − x3 >0 3! siempre que 0 < x ≤ 1 y que 43 45 47 49 + − + < 0, 3! 5! 7! 9! de donde se deduce que el seno no se anula en (0, 1] pero que, según el teorema de Bolzano, debe anularse al menos en un punto comprendido entre 1 y 4. Por tanto, está perfectamente determinado el número real sen 4 < 4 − π = inf{x > 0 : sen x = 0} y es mayor o igual que 1 (luego > 0). Para asegurar que π es el mı́nimo del conjunto, o sea, que pertenece a él, basta tener en cuenta que es punto adherente del conjunto y emplear la continuidad del seno. Ası́ sen x = 0 para todo x ∈ (0, π) y por continuidad el seno debe mantener el signo en todo este intervalo. De acuerdo con la primera desigualdad que hemos escrito, debe ser estrictamente positivo en él. (4.2) Como sen2 π + cos2 π = 1, se deduce que cos2 π = 1 y por tanto cos π = 1 o cos π = −1. Pero si cos π = 1, como cos 0 = 1, el teorema de Rolle darı́a la existencia de algún punto t ∈ (0, π) en el que se anuları́a la derivada del coseno, con lo cual serı́a sen t = 0 contra lo que acabamos de probar. π π Puesto que cos π = 2 cos2 − 1, debe ser cos = 0, lo que obliga a que 2 2 π π 2 π sen = 1. Como 0 < < π, sen debe ser positivo y por tanto igual a 1. 2 2 2 (4.3) Las igualdades de (4.3.1) son consecuencia de las fórmulas de adición y de los valores previamente calculados. La de (4.3.2) se comprueba inducción. por π Con esto, conociendo los valores del seno en el intervalo 0, , podemos 2 π obtener los valores en el intervalo , π usando que sen x = sen (π − x); por ser 2 el seno impar, pasamos entonces a todo el intervalo [−π, π ] y ya por periodicidad a todo R. (4.4) Similar al apartado anterior. 2 (4.5) Para cada x ∈ R la igualdad sen2 x +cos x = 1 asegura que | sen x| ≤ 1, π π | cos x| ≤ 1. Como sen = 1 y por tanto sen − = −1, la continuidad del seno 2 2 π π y la propiedad de Darboux dan como conjunto imagen de − , exactamente 2 2 el intervalo [−1, 1]. 48 Funciones elementales básicas demostrar que el seno (que es continua) es estrictamente creciente en π Para π − , , usamos que es estrictamente positiva en (0, π). En consecuencia, el 2 2 coseno (que en cada punto x tiene por derivada − sen x) será estrictamente decreciente π en [0, π], lo que permite afirmar queπlos valores que alcanza en el intervalo 0, son estrictamente mayores que cos = 0; como el coseno es par, lo mismo 2 2 π π vale en − , ; y finalmente, como el coseno es la derivada del seno, vemos 2 2 π π . que éste último es estrictamente creciente en − , 2 2 (4.6) Repasar la demostración anterior. (4.7) Es inmediato que si para algún k ∈ Z es x = kπ , se verifica que sen x = 0. Recı́procamente, sea x∈ R tal que sen x = 0. Para un k∈ Z será 1 1 π π x ∈ k− π, k + π . Entonces t = x − kπ ∈ − , y sen t = 2 2 2 2 sen x cos kπ − cos x sen kπ = 0, luego forzosamente t = 0 y x = kπ . (4.8) Similar a la anterior. Funciones trigonométricas y Trigonometrı́a Tenemos ahora dos versiones de las funciones seno y coseno: la ‘versión analı́tica’ que venimos explorando y la ‘versión geométrica’ de la Trigonometrı́a (=medida de ángulos). La coherencia entre ambas versiones la prueba la siguiente proposición, que a su vez justifica las afirmaciones que hicimos al definir los argumentos de un número complejo no nulo. Proposición. Dados x , y ∈ R tales que x 2 + y 2 = 1, existe un α ∈ R de modo que cos α = x, sen α = y . Además, para que un β ∈ R cumpla igualmente que cos β = x, sen β = y, es necesario y suficiente que exista un k ∈ Z tal que β = α + 2kπ . Demostración. Como x ∈ [−1, 1], existe al menos un t ∈ R tal que cos t = x. Entonces sen2 t = y 2 , de donde o bien sen t = y, y tomarı́amos α = t, o bien sen t = −y, y bastarı́a tomar α = −t. Por periodicidad, igualmente cos(α + 2kπ ) = x, sen(α + 2kπ ) = y para todo k ∈ Z. Supongamos ahora que encontramos β ∈ R para el que cos β = x, sen β = y. Entonces sen(β − α) = y x − x y = 0, Funciones elementales básicas 49 luego por (4.7) existirá un m ∈ Z tal que β − α = mπ . Si m fuese de la forma 2k + 1, k ∈ Z, resultarı́a cos(β − α) = −1, mientras que cos(β − α) = x x + y y = x 2 + y 2 = 1, por lo que debe ser m = 2k para algún k ∈ Z y finalmente β = α + 2kπ . Gráficamente, esta proposición significa que para cada punto sobre la circunferencia T de centro el origen y radio unidad, hay un número real que mide el ángulo que forma el radio correspondiente al punto con el eje de abscisas, y que dicho número está unı́vocamente determinado salvo múltiplos enteros de 2π . Una interpretación algebraica nos dirı́a que la aplicación t ∈ R → eit ∈ T (que es un homomorfismo entre el grupo aditivo R y el grupo multiplicativo T) es suprayectiva y tiene por núcleo el semigrupo 2π Z, de modo que T es isomorfo al grupo cociente R/2πZ (para este enfoque, ver Cartan, H.: Théorie élémentaire des fonctions analytiques d’une ou plusieurs variables complexes. Hermann, Paris (1961).) 3.4 DETERMINACIONES DEL ARGUMENTO Y DEL LOGARITMO. Querrı́amos definir la función logaritmo como la inversa de la función exponencial. Pero nos encontramos con el problema, a diferencia de R, de que la función exponencial no es inyectiva en C. Puesto que el logaritmo es una potente herramienta en la teorı́a de funciones de variable compleja, vamos a estudiarlo en todo detalle. Valores de la exponencial compleja Proposición. (5.1) Dado z ∈ C, sea x = e z , y = m z . Entonces e z = e x+i y = e x (cos y + i sen y) (5.2) Para cada z ∈ C e e z = ee z cos( m z), z e = ee z , m e z = ee z sen( m z), m z ∈ arg e z . (5.3) La exponencial compleja no es inyectiva: es periódica de periodo 2πi . Con mayor precisión, dados z , w ∈ C, se tiene e z = ew si y sólo si z = w + 2kπi para algún k ∈ Z. (5.4) El conjunto imagen de C mediante la exponencial es C \ {0}. Además, para cada w ∈ C \ {0}, e z = w si y sólo si z = ln |w| + i(φ + 2kπ ), k ∈ Z, φ ∈ arg w. 50 Funciones elementales básicas Demostración. (5.1) Según la fórmula de adición e z = e x ei y , y las fórmulas que ligan seno y coseno con exponenciales dan cos y + i sen y = ei y . (5.2) Aplicar lo anterior. (5.3) Si z = w + 2kπi para algún k ∈ Z, e z = ew e2kπi = ew . Recı́procamente, sea e z = ew . Tomando módulos, z e z = e = |ew | = ee w , e luego por la inyectividad de la exponencial real e z = e w. Pero entonces cos( m z) + i sen( m z) = cos( m w) + i sen( m w), o sea cos( m z) = cos( m w), sen( m z) = sen( m w), lo que, según hemos visto en la proposición anterior, sólo es posible si m z = m w + 2kπ para algún k ∈ Z. (5.4) Dado w ∈ C \ {0}, sea φ ∈ arg w y z = ln |w| + iφ. Obviamente e z = w, y cualquier otro complejo cuya exponencial coincida con w será de la forma z + 2kπi para algún k ∈ Z por lo que acabamos de probar en (5.3). Esta información engloba asimismo información sobre el comportamiento de otras funciones. Por ejemplo: Corolario. Los únicos ceros del seno y el coseno son sus ceros reales. Expresado de otro modo, si z ∈ C, π sen z = 0 ⇐⇒ z = kπ, k ∈ Z, cos z = 0 ⇐⇒ z = + kπ, k ∈ Z. 2 Demostración. Nótese que sen z = 0 ⇐⇒ ei z = e−i z ⇐⇒ e2i z = 1 = e0 , cos z = 0 ⇐⇒ ei z = −e−i z ⇐⇒ e2i z = −1 = eiπ . Determinaciones del argumento y del logaritmo. La no inyectividad de la función exponencial C obliga a ser muy cuidadosos a la hora de abordar una definición de logaritmo. Funciones elementales básicas 51 Definición. Dado 0 = z ∈ C, diremos que w es un logaritmo de z si exp w = z . Por tanto, un número complejo tiene infinitos logaritmos, pero sabemos a qué fórmula responden: misma parte real (el logaritmo real de |z|) y como parte imaginaria un argumento de z, exp w = z ⇐⇒ w = ln |z| + i(φ + 2kπ ), k ∈ Z, φ ∈ arg z. Podrı́amos definir el conjunto log z = {w : exp w = z} y se tendrá la igualdad entre conjuntos, log z = ln |z| + i arg z Cuando queramos tener una función logaritmo, bastará fijar una ‘función argumento’. Por ejemplo, si tomamos el argumento principal, tendrı́amos la función logaritmo principal. Sin embargo, necesitamos conceptos más flexibles. / . Definición. Sea ∅ = región, tal que 0 ∈ 1. Diremos que φ : −→ R es una determinación del argumento en si: i) φ es continua en . ii) φ(z) ∈ arg z, ∀z ∈ , (i.e., eiφ(z) = z ). |z| 2. Diremos que f : −→ C es una determinación del logaritmo en si: i) f es continua en . ii) f (z) ∈ log z, ∀z ∈ , (i.e., e f (z) = z ). Estos dos conceptos están muy relacionados. En efecto, / . Entonces, Proposición 1. Sea ∅ = región, tal que 0 ∈ φ es una determinación del argumento ⇐⇒ f (z) = ln |z| + iφ(z) es una determinación del logaritmo. Demostración. ⇒) Si φ es continua, es claro que f (z) = ln |z| + iφ(z) es continua, y e f (z) = |z|eiφ(z) = |z|(z/|z|) = z. 52 Funciones elementales básicas ⇐) Si f es una determinación del logaritmo, en cada z ∈ , su parte real debe f (z) − ln |z| ser ln |z| y su parte imaginaria φ(z) = es una determinación del i argumento, pues es continua y eiφ(z) = e f (z) e− ln |z| = z/|z|. Proposición 2. Sea ∅ = región, tal que 0 ∈ / . i) Si φ1 , φ2 son dos determinaciones del argumento, entonces ∃k ∈ Z, φ1 (z) = φ2 (z) + 2kπ, ∀z ∈ . ii) Si f 1 , f 2 son dos determinaciones del logaritmo, entonces ∃k ∈ Z, f 1 (z) = f 2 (z) + 2kπi, ∀z ∈ . Demostración. i) Si φ1 (z), φ2 (z) ∈ arg z entonces, para cada z ∈ , φ1 (z) − φ2 (z) = 2k(z)π, con k(z) entero. La función k : −→ Z es continua, y como es región, su rango debe ser conexo y subconjunto de Z, luego solo puede ser un punto. Es decir, k(z) ≡ k es constante. ii) Consecuencia de i), o directamente de forma similar. Ejemplos. 1. El ejemplo más aparente es Arg z, que es una determinación del argumento en la región C \ (−∞, 0]. La correspondiente determinación del logaritmo en C \ (−∞, 0] Log z = ln |z| + i Arg z se llama función logaritmo principal. Nótese que el dominio de definición de esta función es C \ {0}, pero sólo es continua en C \ (−∞, 0]. Su restricción a (0, +∞) es el logaritmo real. 2. Análogamente, fijado α ∈ R, la función Arg[α,α+2π ) es una determinación del argumento en C \ {r eiα : r ≥ 0}. Y, la correspondiente determinación del logaritmo es Log[α,α+2π) z = ln |z| + i Arg[α,α+2π ) . 3. Las anteriores no son, obviamente, las únicas determinaciones del argumento y del logaritmo. Veamos algún ejemplo más: Funciones elementales básicas 53 La función φ : −→ R, definida por φ(z) = Arg z, si z ∈ A, Α Β φ(z) = Arg z + 2π, si z ∈ B, Β Ω=Α∪Β 4. γ (el segmento de R− lo debemos incluir en A), es continua en y, en cada punto, φ(z) ∈ arg z. Por tanto, es una determinación del argumento en . Sea = C \ γ , (γ une continuamente 0 e ∞). La función φ : −→ R, definida por Α Β φ(z) = Arg z, si z ∈ A, φ(z) = Arg z + 2π , si z ∈ B, es una determinación del argumento en . 5. Ω Sea = D(0; 2) \ D(0; 1). En no existe determinación continua del argumento. Supongamos que φ : −→ R lo es. En la región ∗ = \ R− , φ y Arg z son dos determinaciones del argumento y, por tanto, para algún k ∈ Z φ(z) = Arg z + 2kπ, z ∈ ∗ . Pero entonces, φ no puede ser continua en porque si z 0 ∈ (−2, −1), los lı́mites de φ(z) para z → z 0 a través de {z ∈ : m z > 0} o a través de {z ∈ : m z < 0} difieren en 2π . Proposición. Si f es una determinación del logaritmo en entonces f es holomorfa en . Además, 1 f (z) = , ∀z ∈ . z Demostración. Fijemos un punto z 0 ∈ . Como la derivada de la función exponencial es 1 en el punto 0, se tiene ew − 1 = 1. lim w→0 w 54 Funciones elementales básicas A partir de aquı́, deducimos, w − 1 < ε|z 0 |. ∀ε > 0, ∃δ > 0 |w| < δ ⇒ w e −1 Por otro lado, como f es continua en z 0 , se tiene, ∃δ1 > 0 |h| < δ1 ⇒ | f (z 0 + h) − f (z 0 )| < δ. Juntando estos dos hechos, y usando que e f (z) = z, si |h| < δ1 , f (z 0 + h) − f (z 0 ) f (z 0 + h) − f (z 0 ) 1 1 = − − h z 0 e f (z0 +h) − e f (z0 ) e f (z0 ) 1 f (z 0 + h) − f (z 0 ) < ε. − 1 = f (z +h)− f (z ) 0 0 |z 0 | e −1 Luego, f es derivable en z 0 con derivada 1/z 0 . Todavı́a tenemos mucho más. Proposición. Si f es una determinación del logaritmo en entonces f es analı́tica en . Demostración. Sea z 0 ∈ . Se verifica ∞ n 1 1 1 n (z − z 0 ) = (−1) , |z − z 0 | < |z 0 |. = n+1 z z0 1 + z − z0 z 0 n=0 z0 Por tanto, la serie de potencias “primitiva término a término” de la anterior ∞ n=0 (−1) n (z − z 0 )n+1 (n + 1)z 0n+1 es derivable en D(z 0 ; |z 0 |) y su derivada es 1/z. Como éste también es el caso de f en un entorno (conexo) de z 0 , tendremos ∞ n+1 n (z − z 0 ) (−1) f (z) = C + (n + 1)z 0n+1 n=0 en un entorno de z 0 . Por tanto, f es analı́tica en z 0 . Funciones elementales básicas 55 Observación. La función Log(1 + z) es holomorfa (y analı́tica) en C \ (−∞, −1], por composición. Por cambios de variable, o bien, repitiendo la demostración anterior, obtenemos que el desarrollo en un entorno de 0 es: Log(1 + z) = C + ∞ (−1)n n=0 z n+1 , |z| < 1 n+1 Evaluando la igualdad en z = 0, vemos que el valor de la constante es C = Log 1 = 0. Finalmente, cambiando el parámetro de sumación, Log(1 + z) = ∞ n=1 (−1)n+1 zn , |z| < 1. n El criterio de Dirichlet garantiza la convergencia de la serie también para |z| = 1, z = −1. La suma en tales puntos sigue siendo Log(1 + z) (¿por qué?). Observación. En la práctica, convendrá tener cuidado con el siguiente aspecto. Es claro que si φ ∈ arg z, ψ ∈ arg w, entonces φ + ψ ∈ arg(zw), pero al particularizar a determinaciones concretas del argumento no siempre se traduce ésto en una igualdad. Ası́, en general, Arg z + Arg w = Arg(zw). De forma análoga, en general, Log z + Log w = Log(zw), por ejemplo Log(−1) + Log(−1) = 2πi = 0 = Log (−1)(−1) , aunque siempre ocurre que Log z + Log w ∈ log(zw). 3.5 EXPONENCIALES Y POTENCIAS ARBITRARIAS Al tener concepto de logaritmo, podemos definir la potenciación. 56 Funciones elementales básicas Definición. Dados u, v ∈ C, con u = 0, se define el conjunto u v = {exp(vα) : α ∈ log u} Podrı́amos poner brevemente (igualdad entre conjuntos), u v = exp(v log u) Los elementos del conjunto u v son, por tanto, exp{v(ln |u| + i Arg u + 2kπi)}, k ∈ Z. Este conjunto consta, en general, de infinitos elementos. Pero, debido a la periodicidad de la función exponencial, estos elementos podrı́an repetirse y dar un conjunto finito. De hecho, es muy fácil probar que: i) Si n ∈ N, u n consta de un solo elemento. Precisamente, u.u. . . .n) u. ii) u 0 = 1. iii) Si n ∈ Z− , u n = 1 u −n . iv) Si n ∈ N, u 1/n consta de n elementos, justamente las n raı́ces n-ésimas de u. Ahora, bastará precisar la elección de logaritmos para tener funciones exponenciales y potenciales 1. Dado a = 0, la función f (z) = a z = exp(z Log a) es la función exponencial de base a. Es decir, a no ser que se indique lo contrario, la expresión a z indicará que estamos tomando el logaritmo principal. Es claro que es una función entera (de hecho, analı́tica en C), pues sólo se diferencia de la exponencial por el factor constante Log a. 2. Dado α ∈ C, también usaremos la notación z α para indicar la elección del logaritmo principal. f (z) = z α = exp(α Log z), z ∈ C \ {0}. Su dominio de definición es C\{0}, pero solamente es holomorfa (y analı́tica), por composición de ellas, en C \ (−∞, 0]. Funciones elementales básicas 57 Cuando el parámetro α es entero, es claro que, de hecho z α es holomorfa en C \ {0}. Y si es natural, es holomorfa en C (definiéndola como 0 en 0). En cualquier otro caso, no puede ser holomorfa más allá de C \ R− , pues es fácil ver que en los puntos de R− no es contı́nua. Desarrollo de (1 + z)α en serie de potencias centrada en 0. Por razones obvias, se considera (1+z)α (y no z α ) para desarrollar en potencias de z. En todo caso, es claro que simples cambios de variable llevan la información de una función a otra. Denotemos f (z) = (1 + z)α = exp(α Log(1 + z)), z = −1. Esta función es analı́tica en C \ (−∞, −1] (por composición de analı́ticas) y, por tanto, es analı́tica en 0. Esto, teóricamente, nos dice que existe una serie de potencias centrada en 0 con radio R > 0, tal que f (z) = ∞ an z n n=0 en un entorno de 0. Si derivamos por la regla de la cadena, f (z) = α f (z) 1+z y, ası́, se debe cumplir la ecuación (1 + z) f (z) − α f (z) = 0. Por otra parte, la derivada de f es f (z) = ∞ an nz n−1 n=1 Entonces, la ecuación (1) queda ∞ n=1 an nz n−1 + ∞ an nz − α n n=1 = (a1 − αa0 ) + ∞ n=0 ∞ an z n ((n + 1)an+1 + (n − α)an )z n = 0 n=1 (1) 58 Funciones elementales básicas en un entorno del origen. Luego todos los coeficientes deben ser 0, o sea, (n + 1)an+1 = (α − n)an , n = 0, 1, 2, . . . Empezando con a0 = f (0) = 1, es fácil comprobar por inducción que an = α(α − 1) . . . (α − n + 1) n! Llamaremos a esta última cantidad número combinatorio generalizado y denotaremos (para α ∈ C) α α(α − 1) . . . (α − n + 1) , n ∈ N; = n! n α = 1. 0 Por tanto, hemos obtenido α (1 + z) = ∞ α n=0 n zn , (2) en un entorno del origen. Por último, observemos que si α es un número natural, αn = 0 si n > α y la ecuación (2) no es otra cosa que la fórmula del binomio de Newton. En otro caso, es fácil ver que la serie en (2) tiene radio R = 1. Tanto f como la serie son analı́ticas en D(0; 1) y coinciden en un entorno del origen. Entonces, por el P.P.A. tendremos α (1 + z) = ∞ α n=0 n z n , |z| < 1. Raı́z cuadrada principal. Cuando se particulariza lo anterior para el exponente α = 1/2, obtenemos el conjunto de las raı́ces cuadradas y la raı́z cuadrada principal. Nos encontramos √ ahora con un buen lı́o de notación: ¿qué significa z 1/2 ? ¿qué significa z? Los convenios utilizados varı́an de unos textos a otros, por lo cual, ante la menor ambigüedad, merece la pena explicitar el significado atribuido a los signos que se estén empleando. Funciones elementales básicas 59 En√todo lo que sigue, salvo que se diga expresamente otra cosa, pondremos: (i) ± z para el conjunto de las raı́ces cuadradas de z, es decir, √ def ± z = {w ∈ C : w2 = z}. (Ojo: no es una notación estándar). Tiene sentido para todo z ∈ C, incluido z = 0. √ 1 (ii) z o z 2 para la raı́z cuadrada principal de z, es decir, √ z = z 2 = e(1/2) Log z . def 1 def Tiene sentido para todo z ∈ C \√ {0}, aunque por comodidad puede ser conve1 niente a veces escribir también 0 = 0 2 = 0. (ii.1) Según este convenio, para todo z ∈ C es √ √ √ 1 1 ± z = { z, − z} = {z 2 , −z 2 }. (ii.2) Cuando z sea un número real no negativo, z ∈ [0, +∞), como z = 0 o Arg z = 0 se obtiene como raı́z cuadrada principal de z justamente su raı́z cuadrada real no negativa, con lo cual las notaciones introducidas son consistentes con las que empleamos para números reales. Por lo que a desarrollos en serie de potencias respecta, bien repitiendo el proceso visto anteriormente o bien calculando 1 · 3 · 5 · · · (2n − 3) 1/2 , = (−1)n−1 2 · 4 · 6 · · · (2n) n n ≥ 2, que suele abreviarse mediante factoriales dobles en 1/2 (2n − 3)!! = (−1)n−1 , n (2n)!! queda, incluso si |z| = 1 (los coeficientes son del tamaño de n −3/2 ), ∞ √ 1 (2n − 3)!! n z 1+z =1+ z+ (−1)n−1 2 (2n)!! n=2 1 1 1 5 4 z + ..., = 1 + z − z2 + z3 − 2 8 16 128 |z| ≤ 1. 60 Funciones elementales básicas 1 Otro desarrollo importante, correspondiente a α = − , es 2 √ 1 1+z =1+ ∞ (−1)n n=1 (2n − 1)!! n z (2n)!! 3 1 5 = 1 − z + z2 − z3 + . . . , 2 8 16 |z| < 1. Del criterio de Dirichlet y el teorema del lı́mite de Abel se sigue que el desarrollo es válido siempre que |z| ≤ 1, z = −1. 3.6 OTRAS FUNCIONES ELEMENTALES Funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas. Funciones trigonométricas como la tangente, cotangente, secante y cosecante, ası́ como las funciones hiperbólicas, se pueden definir en C usando las fórmulas que las definen en R. Las funciones obtenidas son las únicas extensiones analı́ticas al dominio correspondiente de las funciones reales del mismo nombre. De entre las muchas relaciones y propiedades que podemos deducir fácilmente, nos limitamos a señalar un par de ellas que ligan funciones de distinto ‘grupo’. Proposición. Dado z ∈ C, Sh z = −i sen(i z), Ch z = cos(i z). Otras funciones inversas La función arco tangente compleja. Para su definición, de nuevo tendremos que tomar precauciones, porque la función tangente en C no es inyectiva. Tendremos que empezar por resolver la ecuación tan w = z para z ∈ C fijado. Aplicando la definición eiw + e−iw = 0 e2iw = −1 eiw − e−iw e2iw − 1 tan w = z ⇐⇒ ⇐⇒ iw = i z = iz e + e−iw e2iw + 1 z = i, −i 2iw ∗ 1 + iz ⇐⇒ (1 − i z) e = 1 + i z ⇐⇒ e2iw = [⇒= −1] 1 − iz Funciones elementales básicas 61 Observamos en ∗ que si z = i ó z = −i no puede haber solución. Si z no es uno de estos valores, las soluciones w son tales que 1 1 + iz 1 + iz ⇔w∈ log 2iw ∈ log 1 − iz 2i 1 − iz Hemos demostrado con ésto que la función tangente tan : C \ { π + kπ : k ∈ Z} −→ C \ {i, −i} 2 es suprayectiva, y dado z ∈ C \ {i, −i}, 1 + iz 1 log tan w = z ⇔ w ∈ 2i 1 − iz Ası́, podrı́amos escribir, para z ∈ C \ {i, −i}, el conjunto 1 1 + iz log arctan z = 2i 1 − iz y, para tener una función, elegimos algún logaritmo. Por supuesto, lo más lógico es trabajar (casi siempre) con el principal. Ası́, la función arco tangente principal, que escribiremos Arctan z, será 1 + iz 1 Log , z = i, −i. Arctan z = 2i 1 − iz El dominio de definición es C\{i, −i}. Veamos dónde es analı́tica. Por composición de analı́ticas lo será en todos los puntos, salvo a lo más en aquéllos en que 1 + iz ∈ R− . 1 − iz Hallemos estos z’s: 1−λ 1 + iz = λ ⇐⇒ z = i . 1 − iz 1+λ Cuando λ recorre los números reales negativos, z recorre el conjunto I = {i x : x ∈ (−∞, −1) ∪ [1, +∞)}. Por tanto, la función Arctan z es analı́tica en el abierto = C \ I . (Que no lo es en los puntos de I se prueba como siempre.) 62 Funciones elementales básicas . Notemos que, en particular, es analı́tica en el disco unidad. Vamos a hallar su i desarrollo en serie de potencias de z. Por la regla de la cadena, es fácil llegar a que O 1 , z ∈ . Arctan (z) = 1 + z2 Si tenemos en cuenta que -i ∞ 1 = (−1)n z 2n , |z| < 1, 2 1+z n=0 por igualdad de derivadas en D(0; 1) (conexo), ∞ 2n+1 n z Arctan z = , |z| < 1, (−1) 2n + 1 n=0 I . salvo la adición de una constante C, de valor C = Arctan 0 = 0. La función Arctan es una extensión analı́tica (la única posible en ) de la función arco tangente real arc tg, inversa de la restricción de la tangente al intervalo (−π/2, π/2). (¿Por qué?) Argumento principal y arco tangente real. Para ciertos cálculos que efectuaremos posteriormente conviene disponer de expresiones del argumento principal más manejables que su definición. Para cada z = 0 se tiene x = e z = |z| cos(Arg z), y = m z = |z| sen(Arg z), luego tg (Arg z) = y/x si x = 0. Examinando los rangos de Arg y Arctan, se sigue y si x > 0; Arctan x y + π si x < 0, y ≥ 0; Arctan Arg(x + i y) = x y Arctan − π si x < 0, y < 0; x en esquema, repartido por cuadrantes, Arg(x + i y) = y Arctan + π x Arg(x + i y) = y Arctan − π x Arg(x + i y) = y Arctan x Arg(x + i y) = y Arctan x Funciones elementales básicas 63 La función arco seno compleja. Fijado z ∈ C, tenemos que resolver la ecuación sen w = z. Con nuestra notación sen w = z ⇔ eiw − e−iw = 2i z ⇔ (eiw )2 − 2i zeiw − 1 = 0 ⇔ eiw ∈ i z ± 1 − z 2 . (1) √ Nótese que ± 1 − z 2 representa dos valores (los dos que elevados al cuadrado nos dan 1 − z 2 ). √ Sea cual sea z ∈ C, ninguno de los dos valores de i z ± 1 − z 2 es 0, ya que i z ∈ ± 1 − z 2 ⇐⇒ −z 2 = 1 − z 2 . Por tanto, la ecuación (1) siempre tiene solución, a saber, aquellos w tales que 1 w ∈ log(i z ± 1 − z 2 ). i Hemos demostrado entonces que sen : C −→ C es suprayectiva, y además, para cada z ∈ C, podemos definir el conjunto arcsen z = 1 log(i z ± 1 − z 2 ) i donde, insistimos, por cada uno de los valores de z hay dos de √ 1 − z2. Si queremos una función Arcsen z, elegiremos las ramas principales, tanto en el logaritmo, como en la raiz interior. 1 Arcsen z = Log(i z + 1 − z 2 ), z ∈ C. i El dominio de esta función es todo C (si z = ±1, entendemos √ 0 = 0). Veamos dónde es analı́tica. Empezamos por la raı́z interior. Será analı́tica, excepto a lo más en los z’s tales que 1 − z 2 ∈ (−∞, 0] ⇔ z 2 ∈ [1, +∞) ⇔ z ∈ [1, +∞) ∪ (−∞, −1]. 64 Funciones elementales básicas Por tanto, la determinación principal de (−∞, −1]). √ 1 − z 2 es analı́tica en C \ ([1, +∞) ∪ Ahora, respecta al logaritmo exterior, debemos quitar los z’s tales √ en lo que − que i z + 1 − z 2 ∈ R . Pero, − 2 i z + 1 − z = λ ∈ R ⇔ 1 − z2 = λ − i z (2) De aquı́, tiene que ser 1 − z 2 = (λ − i z)2 ⇒ z = i 1 − λ2 2λ . (3) Al elevar al cuadrado, se pueden añadir soluciones. Entonces, tenemos que llevar la expresión (3) a (2) y tenemos (1 − λ2 )2 1 − λ2 1 + λ2 (1 + λ2 )2 ⇒ . 1+ =λ+ = 4λ2 2λ 4λ2 2λ Pero, comprobamos que la raiz principal de este número es el número positivo (1 + λ2 )/2|λ|, de donde (1 + λ2 ) 1 + λ2 = ⇒ λ = |λ| = −λ. 2|λ| 2λ √ Este argumento ha demostrado que nunca sucede i z + 1 − z 2 ∈ R− . Por tanto, la única limitación es la del principio, y concluimos que: La función Arcsen es analı́tica en C \ ([1, +∞) ∪ (−∞, −1]). En particular, lo es en D(0; 1). Para hallar el correspondiente desarrollo en serie, primero, comprobamos por la regla de la cadena que 1 , z ∈ C \ ([1, +∞) ∪ (−∞, −1]). Arcsen (z) = √ 1 − z2 Por otro lado, √ 1 1− z2 = (1 − z 2 )−1/2 ∞ −1/2 (−1)n z 2n , |z| < 1. = n n=0 Integrando, (de nuevo la constante es C = Arcsen 0 = 0), ∞ 2n+1 −1/2 n z Arcsen z = , |z| < 1. (−1) 2n + 1 n n=0 La función Arcsen es una extensión analı́tica (la única posible en C \ ([1, +∞) ∪ (−∞, −1])) de la función arco seno real. (¿Por qué?) CAPÍTULO 4 Integración sobre caminos 4.1 INTRODUCCIÓN La integración sobre caminos fue el instrumento principal del que se sirvió Cauchy para crear la teorı́a de funciones analı́ticas de variable compleja, estableciendo lo que actualmente suele denominarse ‘teorı́a de Cauchy’, para distinguirlo de los enfoques posteriores de Riemann (con una visión más geométrica) y de Weierstrass (basado en los desarrollos locales en serie de potencias). Gracias a la representación (bajo ciertas condiciones) de una función holomorfa mediante una integral dependiente de un parámetro, Cauchy logró probar que, en C, las nociones de holomorfı́a y analiticidad son las mismas, culminando su obra con lo que él donominó ‘cálculo de residuos’. De todo esto nos ocuparemos más adelante. El concepto de integral sobre un camino está muy relacionado con el de integración sobre caminos de formas diferenciales reales de dos variables. Esto hace que los resultados iniciales (y sus demostraciones) sean bastante parecidos a lo ya estudiado en la teorı́a de funciones de varias variables reales. 4.2 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES COMPLEJAS EN INTERVALOS REALES Empecemos recordando algún concepto previo de derivabilidad e integrabilidad para funciones de variable real, pero con valores complejos. Lo más destacable en este punto es que la variable toma solamente valores reales. Sea g : [a, b] ⊆ R −→ C. 1. g es derivable en t0 ∈ [a, b] si ∃ lim t→t0 g(t) − g(t0 ) = g (t0 ) ∈ C t − t0 (cuando t0 = a ó t0 = b, los lı́mites son laterales). No estamos introduciendo ninguna definición nueva de derivabilidad: la novedad estriba en la naturaleza del dominio de la función, que excepcionalmente no es un abierto del plano complejo sino un intervalo compacto real, lo que nos sitúa más cercanos a la derivación en R. De hecho, la definición anterior 65 66 Integración sobre caminos es equivalente a que las dos funciones reales e g, m g : [a, b] ⊆ R → R sean derivables en t0 , siendo en tal caso g (t0 ) = (e g) (t0 ) + i(m g) (t0 ). 2. Sea g : [a, b] ⊆ R −→ C y f : −→ C con abierto de C y g([a, b]) ⊂ . Si g es derivable en t0 (definición actual) y f es derivable en g(t0 ) (definición anterior), entonces f ◦ g es derivable en t0 y ( f ◦ g) (t0 ) = f (g(t0 ))g (t0 ). Esto es un sencillo ejercicio, que puede abordarse directamente o usando la regla de la cadena para funciones de varias variables y las ecuaciones de Cauchy-Riemann. 3. g es integrable (Lebesgue) en [a, b] si, por definición, lo son e g e m g, y el valor de la integral es b g(t) dt = a b b e g(t) dt + i a m g(t) dt. a Para estas funciones con valores complejos, siguen siendo ciertos los resultados importantes de integración. Resaltamos los que más utilizaremos: Acotación. a b g(t) dt ≤ b |g(t)| dt. a (No es tan obvio como puede parecer: inténtelo el lector por su cuenta antes de ver la demostración que sigue.) b Para probarlo, sea z = a g(t) dt. Entonces existe c ∈ C con |c| = 1 tal que |z| = c z. Pongamos u = e (c g), con lo cual u ≤ |c g| = |g|. Ası́ a b g(t) dt = |z| = c a b g(t) dt = a b ∗ c g(t) dt = a b u(t) dt ≤ b |g(t)| dt, a b ∗ verificándose = porqueteniendo en cuenta que a c g(t) dt = |z| ∈ R, se deduce b b b que a c g(t) dt = e a c g(t) dt = a e c g(t) dt. Integración sobre caminos 67 Regla de Barrow ‘ampliada’. Si g : [a, b] −→ C es continua y existe una partición t0 = a < t1 < t2 < · · · < tn = b de [a, b] de manera que g es derivable en cada (tk−1 , tk ), 1 ≤ k ≤ n y g (extendida arbitrariamente a los puntos tk ) es integrable-Riemann en [a, b], entonces b g (t) dt = g(b) − g(a). a La regla de Barrow que conocemos sólo es aplicable en cada uno de los intervalos [tk−1 , tk ] de la partición. Pero entonces, b g (t) dt = a n k=1 tk g (t) dt = tk−1 n (g(tk ) − g(tk−1 )) = g(b) − g(a). k=1 Teorema de la convergencia dominada. Sean gn , g : [a, b] −→ C tales que gn (t) −→ g(t) para casi todo t ∈ [a, b] y, supongamos que ∃h : [a, b] −→ b R+ tal que ∀n ∈ N, |gn (t)| ≤ h(t), t ∈ [a, b] y a h(t) dt < +∞. Entonces, lim n→∞ a b b gn (t) dt = g(t) dt. a O la versión continua de este teorema T.C.D. Versión continua. Si tenemos una función g de dos variables, z ∈ D(z 0 ; δ), t ∈ [a, b], con valores complejos, tal que lim g(z, t) = g0 (t), para casi todo t ∈ [a, b], z→z 0 |g(z, t)| ≤ h(t), ∀z ∈ D(z 0 ; δ), ∧ b h(t) dt < +∞ a Entonces, lim z→z 0 b g(z, t) dt = a b g0 (t) dt. a Cambio del orden de integración. Sea g : [a, b] × [c, d] → C continua. Entonces d b b d g(s, t) ds dt = g(s, t) dt ds. a c c (Es un caso particular del teorema de Fubini.) a 68 4.3 Integración sobre caminos CURVAS Y CAMINOS EN C Definición. Una curva en C es una función γ : [a, b] → C continua (a, b ∈ R, a < b). Observación. Una curva no debe identificarse con la imagen de la función γ ([a, b]) (denominada el soporte de la curva). Por ejemplo, γ1 : [0, 2π ] −→ C, γ1 (t) = eit γ2 : [0, 2π ] −→ C, γ2 (t) = e2it son dos curvas distintas que tienen el mismo soporte. Nótese que el soporte de una curva siempre es un subconjunto conexo y compacto de C. Definición. Un camino (o curva C (1 a trozos) es una función continua γ : [a, b] → C tal que existe una partición a = t0 < t1 < . . . < tk = b de forma que γ [t ,t ] es (1 una curva de clase C ( j = 1, . . . , k ). j−1 j Observación. Lo anterior significa que γ : [t j−1 , t j ] −→ C es derivable en sentido real (las partes real e imaginaria son derivables). Es decir, ∀t ∈ [t j−1 , t j ], ∃ lim s→t γ (s) − γ (t) = γ (t) = (e γ ) (t) + i(m γ ) (t) ∈ C s−t (en t j y t j−1 los lı́mites son laterales) y además, γ : [t j−1 , t j ] −→ C es continua. En los puntos de la partición t j , existe derivada γ (t j ) por la derecha y por la izquierda, pero estas derivadas pueden coincidir o ser distintas. Sea γ : [a, b] −→ C un camino. Se llama origen de γ al punto γ (a); se llama extremo de γ al punto γ (b). Se dice que γ es un camino cerrado si γ (a) = γ (b). Se llama longitud de γ a long γ = b |γ (t)| dt ( < +∞) a Si A ⊆ C, se dice que γ está contenido en A si γ ([a, b]) ⊆ A. Integración sobre caminos 69 Opuesto de un camino. Se llama camino opuesto a γ al camino −γ : [−b, −a] −→ C dado por (−γ )(t) = γ (−t). El camino opuesto tiene el mismo soporte, pero cambia el origen por el extremo y viceversa. Se dice que −γ recorre el soporte del camino en sentido contrario al de γ . Unión de caminos. Sean γ1 : [a, b] −→ C y γ2 : [c, d] −→ C dos caminos tales que γ1 (b) = γ2 (c). Se llama γ1 ∪ γ2 (unión o suma de γ1 y γ2 ) al camino dado por γ1 ∪ γ2 : [a, b + d − c] −→ C, (γ1 ∪ γ2 )(t) = γ1 (t) si t ∈ [a, b]; (γ1 ∪ γ2 )(t) = γ2 (t − b + c) si t ∈ [b, b + d − c]. Es claro que la unión de dos caminos es un camino que cumple i) sop(γ1 ∪ γ2 )=sop(γ1 )∪sop(γ2 ) ii) origen (γ1 ∪ γ2 )=origen(γ1 ) ii) extremo (γ1 ∪ γ2 )=extremo(γ2 ). Definición. Sean γ1 : [a, b] −→ C y γ2 : [c, d] −→ C. Diremos que son equivalentes y escribiremos γ1 ∼ γ2 , si tienen el mismo número de puntos no regulares (dónde no son C 1) ) y si a = t0 < t1 < . . . < tn = b y c = s0 < s1 < . . . < sn = d son las particiones asociadas, existe una aplicación τ : [a, b] −→ [c, d] que es biyección con τ [tj ,tj+1 ] : [t j , t j+1 ] −→ [s j , s j+1 ], j = 0, 1, . . . , n − 1 derivable con τ (t) > 0 y de forma que γ1 = γ2 ◦ τ. 1. Se prueba fácilmente que ∼ es una relación de equivalencia compatible con la operación de camino opuesto y la unión de caminos. Serı́a más ajustado a la práctica habitual definir camino como una clase de equivalencia por esta relación y si γ1 ∼ γ2 , decir que γ1 y γ2 son parametrizaciones del mismo camino. La aplicación τ que liga γ1 y γ2 se llama cambio de parámetro. 2. Los caminos equivalentes sólo se diferencian en que se recorre el mismo soporte y en el mismo sentido, pero a diferente velocidad. A efectos de la 70 Integración sobre caminos utilización de los caminos en nuestra teorı́a, dos caminos equivalentes es como si fueran iguales. 3. Por ejemplo, son equivalentes los caminos γ1 : [0, 2π ] −→ C, γ1 (t) = eit γ2 : [0, π] −→ C, γ2 (t) = e2it (donde la aplicación cambio de parámetro es clara). 4. Podremos suponer, cuando ası́ nos convenga, que un camino está parametrizado en el intervalo [0, 1]. Ejemplos. 1. Dados z 0 = z 1 ∈ C, el segmento orientado [z 0 , z 1 ] es el camino γ : t ∈ [0, 1] → γ (t) = z 0 + t (z 1 − z 0 ) = (1 − t) z 0 + t z 1 ∈ C. La notación que se emplea es la misma que para su soporte, pero el contexto dejará claro en cada ocasión a cuál de las dos nociones nos estamos refiriendo. Por comodidad, diremos ‘segmento’ [z 0 , z 1 ], sobreentendiéndose ‘segmento orientado’. Su longitud es igual a |z 1 − z 0 | (¡comprobar!). 2. Dados z 0 , z 1 , . . . , z n ∈ C, la poligonal de vértices z 0 , z 1 , . . . , z n , es el camino [z 0 , z 1 ] ∪ [z 1 , z 2 ] ∪ · · · ∪ [z n−1 , z n ]. Su longitud es igual a |z 1 − z 0 | + |z 2 − z 1 | + · · · + |z n − z n−1 | (¡comprobar!). 3. Dados z 0 ∈ C, r > 0, la circunferencia de centro z 0 y radio r orientada positivamente es el camino γ : t ∈ [0, 2π ] → γ (t) = z 0 + r eit ∈ C. Lo representaremos por ∂ D(z 0 ; r ). La circunferencia de centro z 0 y radio r orientada negativamente es el camino opuesto −∂ D(z 0 ; r ). Cuando no se especifique orientación, se sobreentiende la positiva. La longitud de ambos es 2πr (¡comprobar!). 3. Dados z 0 ∈ C, r > 0, k ∈ Z, el camino γ : t ∈ [0, 2π] → γ (t) = z 0 + r eikt ∈ C. es la circunferencia de centro z 0 y radio r recorrida k veces en sentido positivo si k ≥ 0 o recorrida −k veces en sentido negativo si k < 0. La representaremos por k · ∂ D(z 0 ; r ). En particular, 1 · ∂ D(z 0 ; r ) = ∂ D(z 0 ; r ), 0 · ∂ D(z 0 ; r ) es el camino constante con soporte {z 0 } y (−1) · ∂ D(z 0 ; r ) = −∂ D(z 0 ; r ) (salvo ajustes en la parametrización). Su longitud es igual a 2|k|πr (¡comprobar!). Integración sobre caminos 4.4 71 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES COMPLEJAS SOBRE CAMINOS Definición. Sea γ : [a, b] −→ C un camino y sea f : sop γ −→ C una función continua. Se llama integral de f sobre γ a γ f = f (z)dz = γ b f (γ (t))γ (t) dt. a Nótese que la función que integramos, ( f ◦γ )·γ : [a, b] −→ C, es continua, salvo en un número finito de puntos (donde las discontinuidades son de salto). Por tanto, es integrable-Lebesgue (incluso integrable-Riemann) en [a, b]. La definición podrı́a haberse dado para funciones más generales que las continuas, con tal de que ( f ◦ γ ) · γ fuera integrable en [a, b]. Pero, para nuestros propósitos, basta con esto. Propiedades. 1. Si γ1 ∼ γ2 , entonces γ1 f = f. γ2 Basta acudir a la definición y hacer en la integral el cambio de variable τ (t) = s, donde τ es el cambio de parámetro. f =− f. 2. −γ 3. γ1 ∪γ2 4. γ f = γ γ1 ( f + g) = f + f. γ2 γ f + g, γ γ λf = λ f. γ 5. Regla de Barrow. Sea f : ⊃ sop γ −→ C. Supongamos que ∃F ∈ H() tal que F (z) = f (z), ∀z ∈ . Entonces, f (z)dz = F(γ (b)) − F(γ (a)). γ En efecto, podemos subdividir el intervalo [a, b] en intervalos parciales [t j−1 , t j ] en los que la restricción de F ◦ γ es derivable, con derivada (lateral en los extremos) dada por la regla de la cadena (F ◦ γ ) (t) = F (γ (t))γ (t) = f (γ (t))γ (t), 72 Integración sobre caminos continua a trozos (luego finalmente integrable en [a, b]). Entonces, aplicando la regla de Barrow ‘ampliada’, f (z)dz = γ b f (γ (t))γ (t) dt = a b (F◦γ ) (t) dt = F(γ (b))−F(γ (a)). a Observación.En las hipótesis anteriores, si γ es cerrado (es decir, si γ (a) = γ (b)) resulta f (z) dz = 0. 6. γ γ f (z)dz ≤ long γ · sup | f (z)|. z∈sop γ En efecto, f (z)dz = γ b f (γ (t))γ (t) dt ≤ a ≤ b b | f (γ (t))γ (t)| dt a |γ (t)| dt · sup | f (γ (t))|. a t∈[a,b] Observación. Nótese que sop γ es un compacto, y como | f | es continua, el supremo es un máximo (Weierstrass). 7. Sean f n , f : sop γ −→ C continuas, y tales que f n −→ f uniformemente en sop γ . Entonces, lim f n (z)dz = f (z)dz n→∞ γ γ Es decir, bajo la hipótesis de convergencia uniforme en el soporte, el lı́mite conmuta con la integral. Para demostrar el resultado, basta observar que f n (z)dz − f (z)dz ≤ long γ · sup | f n (z)− f (z)| −→ 0, (n → ∞). γ z∈sop γ γ 8. Cambio del orden de integración. Sea γ1 un camino en un abierto 1 , γ2 un camino en un abierto 2 , φ : 1 × 2 → C continua. Entonces φ(z, w) dw dz = φ(z, w) dz dw. γ1 γ2 γ2 γ1 Integración sobre caminos 73 Pues sea t0 < t1 < . . . < tn una partición del dominio de γ1 tal que cada restricción γ1 |[tk−1 ,tk ] tiene derivada continua, y análogamente sea s0 < s1 < . . . < sm una partición del dominio de γ2 para la que cada restricción γ2 |[sj−1 ,sj ] tiene derivada continua. Aplicando el resultado de intercambio ya visto, φ(z, w) dw dz γ1 γ2 tk sj = φ(γ1 (t), γ2 (s)) γ2 (s) ds γ1 (t) dt k, j = tk−1 sj j,k s j−1 γ2 γ1 = 4.5 s j−1 tk tk−1 φ(γ1 (t), γ2 (s)) γ1 (s) dt γ2 (s) ds φ(z, w) dz dw. INTEGRALES DEPENDIENTES DE UN PARÁMETRO COMPLEJO Derivación bajo el signo integral. Vamos a obtener un resultado similar a los de la integral de Lebesgue en R, pero con derivada compleja, en vez de derivada real. Proposición. Sea γ un camino, un abierto no vacı́o de C. Sea φ : (w, z) ∈ sop γ × −→ φ(w, z) ∈ C una función de dos variables complejas continua. Entonces, la función de una variable g(z) = φ(w, z)dw, z ∈ γ es continua en . Demostración. Fijemos z 0 ∈ . Acudiendo a la definición de integral, se trata de demostrar que lim z→z 0 a b φ(γ (t), z)γ (t) dt = b φ(γ (t), z 0 )γ (t) dt. a Pero esto es cierto por la versión continua del T.C.D., pues tenemos el limite puntual lim φ(γ (t), z)γ (t) = φ(γ (t), z 0 )γ (t), ∀t ∈ [a, b] z→z 0 74 Integración sobre caminos y la dominación trivial, (en un entorno de z 0 tal que D(z 0 ; ε) ⊂ ) b C dt < +∞ |φ(γ (t), z)γ (t)| ≤ C, ∀t ∈ [a, b], ∀z ∈ D(z 0 ; ε) con a (ya que sop γ × D(z 0 ; ε) es un compacto, y φ es continua). Teorema. Con las hipótesis y notación de la proposición precedente, supongamos además que: (i) Para cada w ∈ sop γ fijado, la función de z , φ(w, z) es derivable en y ∂φ a esta derivada. denotamos ∂z ∂φ (ii) La función derivada : sop γ × −→ C es continua. ∂z Entonces, la función g es holomorfa en , y además ∂φ (w, z)dw g (z) = γ ∂z Es decir, con estas hipótesis, se puede derivar bajo el signo integral. Demostración. Fijemos z 0 ∈ . Tenemos que demostrar que ∂φ g(z) − g(z 0 ) lim (w, z 0 )dw = 0. − z→z 0 z − z0 γ ∂z Escribimos g(z) − g(z 0 ) − z − z0 ∂φ φ(w, z) − φ(w, z 0 ) ∂φ (w, z 0 )dw = (w, z 0 ) dw − z − z0 ∂z γ ∂z γ b ψ(γ (t), z)γ (t) dt = ψ(w, z)dw = γ a y se trata de ver que esta integral tiende a 0 cuando z → z 0 . De nuevo, podemos aplicar la versión continua del T.C.D., ya que, por un lado, tenemos la convergencia puntual lim ψ(γ (t), z) = 0, ∀t ∈ [a, b] z→z 0 pues la derivada ∂φ existe por hipótesis, y por otro lado tenemos la dominación ∂z |ψ(γ (t), z)γ (t)| ≤ C, ∀t ∈ [a, b], ∀z ∈ D(z 0 ; ε). Integración sobre caminos 75 Para demostrar esto último, acotamos cada uno de los dos sumandos que forman ψ. Por continuidad en un compacto, ∂φ (w, z 0 ) ≤ C, ∀w ∈ sop γ ∂z Y, para el segundo, usamos el truco φ(w, z) − φ(w, z 0 ) 1 ∂φ = (w, η)dη z − z z − z0 ∂z 0 [z 0 ,z] ∂φ ≤ sup (w, η) ≤ C, ∀w ∈ sop γ , ∀z ∈ D(z 0 ; ε) η∈[z 0 ,z] ∂z donde [z 0 , z] es el segmento que une z 0 y z, y hemos usado la regla de Barrow y es continua en el compacto sop γ × D(z 0 ; ε). que ∂φ ∂z Construcción de funciones analı́ticas mediante integrales. Aquı́ se desvela el principal papel de la integral sobre caminos en C. Permite construir funciones analı́ticas en abiertos muy amplios a partir de una pequeña premisa: tener una función continua en el soporte de un camino. Aunque podrı́amos dar un resultado más general, nos limitaremos al caso particular que se usa, tal cual, en el desarrollo posterior de la teorı́a. Teorema. Sea γ un camino y f : sop γ −→ C continua. Entonces, la función f (w) 1 dw, z ∈ C \ sop γ g(z) = 2πi γ w − z es analı́tica en C \ sop γ . Demostración. Observemos primero, que si z ∈ C \ sop γ , g(z) está bien definida puesto que la función de variable w que integramos, f (w)/(w − z), es continua en sop γ (si z ∈ sop γ , el denominador se anuları́a en un punto del soporte). Si sólo pretendieramos ver que g es holomorfa en C \ sop γ , el resultado es una simple aplicación del teorema anterior, pues φ(w, z) = y ∃ f (w) es continua en sop γ × C \ sop γ , w−z f (w) ∂φ (w, z) = y es continua en sop γ × C \ sop γ . ∂z (w − z)2 76 Integración sobre caminos Para demostrar la analiticidad, recurrimos a la definición. Sea a ∈ C \ sop γ . w R r a Tenemos que demostrar que g se puede escribir como una serie de potencias centrada en a. Lo que va a ser fácil es desarrollar la función interior. A partir de aquı́, nuestro problema será sacar un sumatorio fuera de la integral. Denotemos R = d(a, sop γ ) > 0. Si w ∈ sop γ , γ ∞ 1 1 1 (z − a)n = · z−a = w−z w − a 1 − w−a (w − a)n+1 n=0 siendo el desarrollo válido para aquellos z’s tales que |z − a| < |w − a|. Tomemos un 0 < r < R. Si z cumple |z − a| < r entonces, |z − a| < |w − a|, ∀w ∈ sop γ . Por tanto, si |z − a| < r podemos escribir ∞ n (z − a) 1 dw f (w) g(z) = 2πi γ n=0 (w − a)n+1 Para sacar fuera el sumatorio, bastará demostrar que la serie converge uniformemente en sop γ . Y, esto es cierto por el criterio M de Weierstrass. En efecto: ∞ n n (z − a) r rn ∀w ∈ sop γ , f (w) ≤ C n , con C n < +∞. (w − a)n+1 R R n=0 Hemos usado que f al ser continua en sop γ está acotada. Por tanto, ∞ f (w) 1 g(z) = dw (z − a)n , |z − a| < r n+1 2πi γ (w − a) n=0 Luego, hemos probado que g es analı́tica en a. Observación El razonamiento anterior se puede hacer para cualquier r < R = d(a, sop γ ), luego, en definitiva, podemos asegurar ∞ f (w) 1 g(z) = dw (z − a)n , |z − a| < d(a, sop γ ). n+1 2πi γ (w − a) n=0 CAPÍTULO 5 Indice de un punto respecto de un camino cerrado 5.1 INTRODUCCIÓN El número de vueltas que da un camino cerrado alrededor de ciertos puntos (el ı́ndice, the winding number de los textos en inglés) juega un papel insospechado en la teorı́a de funciones de variable compleja, como se irá desvelando a lo largo del desarrollo de la misma; ello es debido a que tal número puede expresarse como una integral, ligada con la variación del logaritmo y, por ende, del argumento. Tenemos aquı́ un punto más en el que el análisis complejo presenta una fuerte componente geométrica, que va a hacer de los esquemas gráficos un elemento auxiliar muy útil. En la primera parte del capı́tulo definimos analı́ticamente el concepto de ı́ndice y probamos sus propiedades básicas. En la segunda parte, vemos que el ı́ndice se corresponde efectivamente con el ‘número de vueltas’, estudiando variaciones del argumento tras introducir los importantes conceptos de argumentos continuos y logaritmos continuos a lo largo de un camino, emparentados (pero no equiparables) con las determinaciones del argumento y del logaritmo. Un excelente libro de referencia, con abundantes comentarios y figuras, es Palka, B. P.: An Introduction to Complex Function Theory. Springer, New York (1991); un enfoque muy geométrico se encuentra en Needham, T.: Visual Complex Analysis. Clarendon Press, Oxford (1997). A un nivel más elevado, Burckel, R. B.: An Introduction to Classical Complex Analysis,Vol. 1. Birkhäuser, Basel (1979). 5.2 DEFINICIÓN Y PRIMERAS PROPIEDADES Definición. Sea γ un camino cerrado. Para z ∈ / sop γ , 1 Indγ (z) = 2πi se llama ı́ndice de z respecto de γ . 77 γ dw w−z 78 Indice de un punto respecto de un camino cerrado Propiedades. 1. La función Ind : C \ sop γ −→ C es analı́tica. Es un caso particular del teorema de analiticidad de funciones definidas mediante integrales. 2. Indγ (z) ∈ Z, ∀z ∈ C \ sop γ . En efecto, sea γ : [a, b] −→ C, a = t0 < t1 < . . . < tn = b tal que la restricción de γ a cada [t j−1 , t j ] tenga derivada continua. Entonces, 1 Indγ (z) = 2πi a b n tj 1 γ (t) γ (t) dt = dt. γ (t) − z 2πi j=1 tj−1 γ (t) − z (1) Para cada j = 1, 2, . . . , n, definimos las funciones g j : s ∈ [t j−1 , t j ] −→ g j (s) = s t j−1 γ (t) dt ∈ C. γ (t) − z Por el teorema fundamental del cálculo, las g j son derivables, siendo g j (s) γ (s) . = γ (s) − z De aquı́, d ds por tanto, e gj (s) γ (s) − z = e gj (s) g j (s) γ (s) − γ (s) − z (γ (s) − z)2 = 0, e gj (tj−1 ) e0 e gj (s) = Cte = = γ (s) − z γ (t j−1 ) − z γ (t j−1 ) − z (la constante es, por ejemplo, el valor en s = t j−1 ). Ası́, e gj (tj ) = γ (t j ) − z . γ (t j−1 ) − z De la ecuación (1), con las notaciones que hemos introducido, tenemos: n 1 g j (t j ). Indγ (z) = 2πi j=1 (2) Indice de un punto respecto de un camino cerrado 79 Entonces, por (2), n e j=1 g j (t j ) n γ (t j ) − z γ (b) − z = = = 1, γ (t ) − z γ (a) − z j−1 j=1 pues el camino es cerrado. Por último, esto implica que existe k ∈ Z tal que n g j (t j ) = 2kπi ⇒ Indγ (z) = k ∈ Z. j=1 3. La función Indγ es constante en cada componente conexa de C \ sop γ . Esto es claro, por ser continua y tomar valores enteros. 4. Indγ = 0 en la componente no acotada de C \ sop γ . En efecto, basta observar que | Indγ (z)| ≤ 1 1 long γ · sup . 2π w∈sop γ |w − z| Como sop γ es acotado, podemos tomar z en la componente no acotada con módulo suficientemente grande para que | Indγ (z)| < 1. Como debe ser un entero, no queda otra posibilidad que Indγ (z) = 0. Ejemplos. 1. Sea γ = ∂ D(a; r ) la circunferencia de centro a y radio r (orientada positivamente). Entonces Indγ (z) = 1 si |z − a| < r , Indγ (z) = 0 si |z − a| > r . En efecto: puesto que D(a; r ) es conexo, para todo z ∈ D(a; r ) será 1 Indγ (z) = Indγ (a) = 2πi 0 2π r i eit dt = 1. r eit Por otra parte, {z ∈ C : |z − a| > r } es la componente no acotada de C \ sop γ , luego para estos z el ı́ndice es 0. 2. De manera análoga, si γ es la circunferencia de centro a y radio r recorrida k veces en sentido positivo (k ∈ N), es decir, γ : t ∈ [0, 2π ] → γ (t) = a + r eikt ∈ C, se obtendrı́a Indγ (z) = k si |z − a| < r , Indγ (z) = 0 si |z − a| > r . Y si γ es la circunferencia de centro a y radio r recorrida k veces en sentido negativo (k ∈ N), es decir, γ : t ∈ [0, 2π ] → γ (t) = a + r e−ikt ∈ C, 80 Indice de un punto respecto de un camino cerrado se obtendrı́a Indγ (z) = −k cuando |z − a| < r , Indγ (z) = 0 cuando |z − a| > r . 3. El cálculo directo del ı́ndice se complica incluso en situaciones aparentemente muy sencillas. Por ejemplo, sea γ “el cuadrado de vértices ±1 ± i”, es decir, la poligonal [1 + i, −1 + i] ∪ [−1 + i, −1 − i] ∪ [−1 − i, 1 − i] ∪ [1 − i, 1 + i]. Entonces 1 dz Indγ (0) = 2πi γ z 1 dz dz dz dz = + + + 2πi [1+i,−1+i] z [−1+i,−1−i] z [−1−i,1−i] z [1−i,1+i] z 1 1 dz dz = + 2πi [−1−i,1−i]∪[1−i,1+i]∪[1+i,−1+i] z 2πi [−1+i,−1−i] z 1 Log(−1 + i) − Log(−1 − i) = 2πi 1 Log[0,2π) (−1 − i) − Log[0,2π ) (−1 + i) + 2πi 1 3πi 1 3πi 3πi 5πi = − − + − =1 2πi 4 4 2πi 4 4 puesto que Log z es una primitiva de 1/z en C\(−∞, 0] (que contiene al soporte de [−1 − i, 1 − i] ∪ [1 − i, 1 + i] ∪ [1 + i, −1 + i]) y Log[0,2π ) (z) lo es en C \ [0, +∞), que contiene al soporte de [−1 + i, −1 − i]. En este ejemplo concreto, es posible sustituir en el cálculo el camino por otro más cómodo, concretamente por la circunferencia unidad ∂ D(0; 1). En efecto: γ1 Sean γ1 = [1, 1 + i], γ2 = [1 + i, i] y γ3 el primer cuadrante de la circunferencia orientado negativaγ3 γ2 mente, como se indica en la figura. Puesto que 0 queda (“a ojo”) en la componente conexa no acotada del complementario del soporte del camino cerrado γ1 ∪ γ2 ∪ γ3 , tendrá ı́ndice 0 respecto del 0 mismo. Por tanto dz 1 = 0, 2πi γ1 ∪γ2 ∪γ3 z con lo cual dz dz dz =− = . γ1 ∪γ2 z γ3 z −γ3 z Repitiendo el proceso en los demás cuadrantes y sumando convenientemente, sin perder de vista las orientaciones, llegamos a 1 dz dz 1 = = 1. 2πi γ z 2πi ∂ D(0;1) z Indice de un punto respecto de un camino cerrado 81 Con “ayudas visuales” como ésta podremos ir ampliando la complejidad de las situaciones con las que nos enfrentemos. No obstante, nos serviremos mejor todavı́a de la intuición geométrica viendo que el ı́ndice corresponde, como señalábamos en la introducción, al número de vueltas (suma de vueltas positivas y negativas) que da el camino alrededor del punto. La manera más obvia de medir estas vueltas es seguir la variación del ángulo que va formando el segmento [z 0 , γ (t)] con el segmento [z 0 , γ (a)] cuando t va recorriendo el intervalo [a, b] en el que está definida γ . En C, hablar de ángulos es hablar de argumentos, y los argumentos son la parte imaginaria de los logaritmos. Si repasamos los cálculos efectuados anteriormente, se comienza a vislumbrar un enfoque del problema: la conveniencia de “empalmar adecuadamente logaritmos sobre trozos del camino” para poder calcular el ı́ndice, que relacionaremos con los argumentos correspondientes. La formalización de estos procedimientos es el objeto de la sección siguiente. 5.3 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL ÍNDICE Comenzamos con las definiciones de los conceptos que recogen las ideas que acabamos de apuntar. Definición. Sea γ : [a, b] −→ C un camino tal que γ (t) = 0, ∀t ∈ [a, b]. Diremos que: 1. f : [a, b] −→ C es un logaritmo continuo a lo largo de γ , si f es continua en [a, b], y f (t) ∈ log γ (t), ∀t ∈ [a, b]. 2. h : [a, b] −→ R es un argumento continuo a lo largo de γ , si h es continua en [a, b], y h(t) ∈ arg γ (t), ∀t ∈ [a, b]. Estos conceptos son, a primera vista, muy parecidos a los ya tratados (determinaciones en regiones), pero existe una gran diferencia: aquı́, la variable es real, no atendemos prioritariamente al punto γ (t) del soporte camino sino que ponemos énfasis en el “instante” t en el que el punto se alcanza. Ası́, puede suceder que sea γ (t1 ) = γ (t2 ) sin que f (t1 ) = f (t2 ) o h(t1 ) = h(t2 ), con las notaciones de la definición. Sin dificultad se prueba: i) Si f 1 , f 2 son dos logaritmos continuos a lo largo de γ , entonces ∃k ∈ Z f 1 (t) = f 2 (t) + 2kπi, ∀t ∈ [a, b]. ii) Si h 1 , h 2 son dos argumentos continuos a lo largo de γ , entonces ∃k ∈ Z h 1 (t) = h 2 (t) + 2kπ, ∀t ∈ [a, b]. 82 Indice de un punto respecto de un camino cerrado iii) Si f es un logaritmo continuo a lo largo de γ , entonces h(t) = m f (t) es un argumento continuo a lo largo de γ . iv) Si h es un argumento continuo a lo largo de γ , entonces f (t) = ln |γ (t)| + i h(t) es un logaritmo continuo a lo largo de γ . Ejemplos. 1. Para cualquier camino γ tal que sop γ ∩ (−∞, 0] = ∅, Arg γ (t) es un argumento continuo a lo largo de γ . (¿Por qué?) 2. Para cualquier camino γ tal que sop γ ∩ [0, +∞) = ∅, Arg[0,2π ) γ (t) es un argumento continuo a lo largo de γ . (¿Por qué?) 3. Sean k ∈ Z, r > 0 y γ : t ∈ [0, 2π] → γ (t) = r eikt ∈ C. Entonces h : t ∈ [0, 2π ] → h(t) = k t ∈ C es un argumento continuo a lo largo de γ . (¿Por qué?) 4. Si se conocen argumentos continuos h 1 y h 2 de dos caminos γ1 : [a, b] → C, γ2 : [a, b] → C, y se define mediante su producto un nuevo camino γ : t ∈ [a, b] → γ (t) = γ1 (t)γ2 (t) ∈ C, entonces h 1 + h 2 es un argumento continuo a lo largo de γ . (¿Por qué?) Esta observación es más útil de lo que pudiera pensarse. Por ejemplo, sea γ : t ∈ [0, 2π] → γ (t) = e3it + 3 e2it ∈ C. 4 (en la figura se tiene su representación gráfica). 2 0 -2 x 0 2 -2 y -4 4 Como e3it + 3 e2it = e2it (3 + eit ), h(t) = 2t + Arg(3 + eit ) será un argumento continuo a lo largo de γ (nótese que e (3 + eit ) > 0 para todo t ∈ [0, 2π]). A diferencia de las determinaciones del logaritmo en regiones (que pueden no existir), sobre caminos siempre hay logaritmos continuos. Indice de un punto respecto de un camino cerrado 83 Teorema. Sea γ : [a, b] −→ C un camino tal que 0 ∈ / sop γ . Entonces, existe f : [a, b] −→ C logaritmo continuo a lo largo de γ . Además, f es derivable donde lo sea γ . Demostración. Con las mismas notaciones que en la demostración de la propiedad 2 del ı́ndice, consideremos como entonces la partición a = t0 < t1 < . . . < tn = b y, para cada j = 1, 2, . . . , n, s γ (t) dt ∈ C. g j : s ∈ [t j−1 , t j ] −→ g j (s) = t j−1 γ (t) Nuevamente, cada g j es derivable en [t j−1 , t j ] y e gj (s) = cada trozo, γ (s) . Por tanto, en γ (t j−1 ) e gj (s)+Log γ (tj−1 ) = γ (s), s ∈ [t j−1 , t j ] Llamemos f j (s) = g j (s) + Log γ (t j−1 ) y tendremos que e f j (s) = γ (s). Esto quiere decir que hemos demostrado el teorema por trozos. Ahora, tendremos que ajustar bien los empalmes, pero esto no es ninguna dificultad, pues, por ejemplo, en t1 , f 1 (t1 ) y f 2 (t1 ) son logaritmos de γ (t1 ), luego se diferencian en un 2kπi, con k ∈ Z. Digamos que los saltos en los extremos de los intervalos son del tamaño 2kπi, con determinados k ∈ Z. Entonces, al modificar las funciones sumando el correspondiente 2kπi, arreglamos la continuidad sin perder el hecho de ser logaritmos. En otras palabras, la solución a nuestro problema será la función f 1 (t) f 2 (t) + 2k1 πi f (t) = f 3 (t) + 2k2 πi ... f n (t) + 2kn−1 πi (t0 ≤ t ≤ t1 ) (t1 ≤ t ≤ t2 ) (t2 ≤ t ≤ t3 ) ......... (tn−1 ≤ t ≤ tn ) donde los k1 , k2 , . . . , kn−1 son los enteros adecuados para que f sea continua sin excepción en [a, b]. Es claro que e f (t) = γ (t), ∀t ∈ [a, b] y f es derivable salvo en los puntos ti , es decir, donde lo es γ . / sop γ . Sea h un Corolario. Sea γ : [a, b] −→ C un camino cerrado tal que 0 ∈ argumento continuo cualquiera a lo largo de γ . Entonces Indγ (0) = h(b) − h(a) . 2π 84 Indice de un punto respecto de un camino cerrado La cantidad h(b) − h(a) se suele representar por ARG γ (t), arg γ o alguna no- γ a≤t≤b γ(t) tación similar, y se lee variación de un argumento continuo a lo largo del camino. Indγ (0) es ası́ la suma algebraica del número de veces que el argumento varı́a en 2π. Gráficamente, pues, Indγ (0) corresponde al número de vueltas que da la curva alrededor del 0. arg γ(t) “1 vuelta” Demostración. Usamos las mismas notaciones que en la demostración del teorema, y sea h(t) = m f (t) (que es un argumento continuo). Tenemos 2πi Indγ (0) = = γ n dw = w j=1 n tj t j−1 n γ (s) (g j (t j ) − g j (t j−1 )) ds = γ (s) j=1 ( f j (t j ) − f j (t j−1 )) = f (b) − f (a) = i(h(b) − h(a)). j=1 Notemos para la última igualdad que f (b), f (a) son logaritmos del mismo número γ (a) = γ (b), y por tanto, tienen la misma parte real. Por último, esta variación no depende del argumento continuo que tomemos, porque todos ellos se diferencian en una constante 2kπ. Observaciones. 1. Quede claro una vez más que no se debe confundir ‘argumento continuo a lo largo de una curva’ (que siempre existe) con ‘argumento continuo sobre el soporte de la curva’ (que puede no existir). Por ejemplo, para la curva γ : [0, 2π ] −→ C γ (t) = eit no existe H : sop γ −→ C continua tal que H (z) ∈ arg z, ∀z ∈ sop γ . Sin embargo, insistimos en que si para una curva γ existe H : sop γ −→ C continua, tal que H (z) ∈ arg z, ∀z ∈ sop γ , entonces H ◦ γ es un argumento continuo a lo largo de la curva. 2. Para otro punto, distinto de 0, que no esté en sop γ tenemos lo siguiente: / sop γ , trasladamos el camino mediante Si γ : [a, b] −→ C, y z 0 ∈ γ − z 0 : t ∈ [a, b] −→ γ (t) − z 0 ∈ C. Indice de un punto respecto de un camino cerrado 85 Entonces es claro que Indγ (z 0 ) = Indγ −z0 (0) 1 = arg(γ − z 0 ), 2π γ(t) γ es decir, el ı́ndice respecto de γ del punto z 0 es la variación de un argumento continuo a lo largo de la curva γ − z 0 y esto, geométricamente, significa el número de vueltas que da la curva γ alrededor del punto z 0 . arg( γ(t)-z0) z0 Por ejemplo, sobre esta idea, es fácil para la curva dibujada a continuación ver cuál es el ı́ndice de cualquier Indice 0 punto del plano que no esté sobre su soporte. FiIndice 1 jado un punto z ∈ 0 / sop γ , Indice 2 seguimos gráficamente la variación del ángulo que Indice 3 forma el radio vector que une z 0 con un punto que E 0 vaya recorriendo la curva, medida esta variación respecto de la semirrecta de origen z 0 que pasa por el punto inicial (y final) E. Por supuesto, el ı́ndice se mantiene constante en cada componente conexa. 3. El ı́ndice de caminos va a aparecer constantemente en el manejo de integrales. La razón de fondo es la siguiente: dado un camino cerrado γ y a ∈ / sop γ , γ (z − a)n dz = 0, ∀n = −1, n ∈ Z, ya que las funciones (z − a)n tienen primitiva (z − a)n+1 /(n + 1) en C \ {a}, abierto que contiene a sop γ . Sólo queda saber que ocurre con n = −1, y de aquı́ la noción de ı́ndice. Ası́ por ejemplo, para integrar una función racional sobre un camino cerrado, γ P(z) dz Q(z) 86 Indice de un punto respecto de un camino cerrado (P/Q irreducible), descomponiendo en fracciones simples sólo hará falta conocer los ı́ndices respecto de γ de los ceros del denominador. En efecto: supongamos, para fijar ideas, que Q tiene una raı́z doble z 1 , una raı́z simple z 2 y una raı́z triple z 3 , y que el grado de P es dos unidades mayor que el de Q. Entonces A A B P(z) 2 = az + bz + c + + + Q(z) (z − z 1 ) (z − z 1 )2 (z − z 2 ) C C C + + + , (z − z 3 ) (z − z 3 )2 (z − z 3 )3 de donde γ P(z) dz = A Q(z) γ dz +B z − z1 γ dz +C z − z2 γ dz z − z3 (los términos que no hemos escrito son todos nulos por el comentario previo), y ası́ P(z) dz = 2πi A Indγ (z 1 ) + B Indγ (z 2 ) + C Indγ (z 3 ) . γ Q(z) Más adelante veremos una importantı́sima generalización de este resultado, el teorema de los residuos. 4. La existencia de logaritmo y argumento continuo es cierta, más en general, para curvas, como se prueba sustituyendo en la demostración anterior la construcción del logaritmo mediante integrales por una construcción directa (más delicada). Esto hace que se pueda extender la noción de ı́ndice para curvas cerradas mediante la variación de un argumento continuo. Las propiedades básicas que acabamos de obtener siguen siendo válidas en esta situación más general. (Ver Burckel, loc. cit., Chap. IV.) 5. Curvas de Jordan e ı́ndice. Recordemos que un espacio topológico se denomina curva de Jordan si es homeomorfo a la circunferencia unidad T. El célebre teorema de la curva de Jordan establece: Una curva de Jordan J en el plano C (≡ R2 ) separa a C en dos regiones con frontera común J , una acotada (el interior de J ) y otra no acotada (el exterior de J ); en otras palabras, C \ J tiene una sóla componente acotada G, el interior de J (se dice entonces que G es una región de Jordan); la componente no acotada es el exterior de J , y ambas tienen J como frontera. Si J es una curva de Jordan y cualquier homeomorfismo de T sobre J , poniendo γ : [0, 2π] → γ (t) = (eit ) ∈ C puede definirse una curva en el Indice de un punto respecto de un camino cerrado 87 sentido usual. Se demuestra (cf. Burckel, loc. cit., Th. 4.42, pág. 103) que para todos los puntos del interior de J el valor constante del ı́ndice respecto de γ es 1 o −1. En el primer caso, se dice positivamente orientado, y negativamente orientado en el segundo. Dada una curva cerrada simple, i.e., una aplicación continua γ : [a, b] → C tal que γ (a) = γ (b) y γ |[a,b) inyectiva, su soporte sop γ es una curva de Jordan. Para todos los puntos del interior de sop γ , el ı́ndice respecto de γ es, pues, constantemente 1 o −1. En el primer caso, γ se dice positivamente orientada, y negativamente orientada en el segundo. Si G es el interior de sop γ , se pone a veces γ = ∂G cuando γ está positivamente orientada para indicar esta relación. 5.4 EJEMPLOS Y EJERCICIOS Ejemplos. 1. En los caso más sencillos examinados antes (circunferencias, cuadrado) queda a la vista que Análisis y Geometrı́a encajan perfectamente. 2. Es interesante observar que si el soporte de un camino cerrado γ : [a, b] → C no corta al semieje real negativo (−∞, 0], entonces Indγ (0) = 0, pues 0 está en la componente no acotada de C \ sop γ . Por la misma razón, Indγ (0) = 0 para todo camino que no corte a una curva cualquiera que una 0 con ∞ en la esfera de Riemann. 3. Para el camino γ : t ∈ [0, 2π] → γ (t) = e3it + 3 e2it ∈ C, el argumento continuo anteriormente obtenido muestra que Indγ (0) = 2, y el mismo valor tendrá Indγ (a) para todos los a en la componente conexa de C \ sop γ que contiene al origen. En la componente conexa no acotada sabemos que el ı́ndice vale 0. En la otra componente conexa acotada de C\sop γ , observamos gráficamente que el ı́ndice vale 1. Puede justificarse analı́ticamente, por ejemplo, hallando su valor en z = 3; para ello escribimos γ (t) − 3 = eit (e2it + 6i sen t) y comprobamos que m (e2it + 6i sen t) = 2 sen t (cos t + 3) sólo se anula si sen t = 0, en cuyo caso e (e2it + 6i sen t) = cos(2t) = 1. En consecuencia / (−∞, 0] para ningún t ∈ [0, 2π], y por tanto, e2it + 6i sen t ∈ t + Arg(e2it + 6i sen t), t ∈ [0, 2π], es un argumento continuo de γ − 3, de donde Indγ (3) = 1. 88 Indice de un punto respecto de un camino cerrado Ejercicio. Para valores “muy grandes” de R > 0 (luego precisaremos más), sea γ : t ∈ [−R, R] → t 3 − (1 + 2i) t 2 − (3 − 7i) t + 8 − 4i ∈ C. Hallar la variación de un argumento continuo a lo largo de γ . Respuesta. Para situar γ (t) según los valores de t, estudiemos la variación de signos de x(t) := e γ (t) = t 3 − t 2 − 3t + 8, y(t) := m γ (t) = −2t 2 + 7t − 4, extendidas a todo t ∈ R. √ √ 1 + 10 10 Como x (t) = 3t 2 − 2t − 3 se anula para t = < 0 y t = > 0, 3 3 mantendrá su signo en los intervalos (−∞, t ), (t , t ), (t , +∞). Y puesto que limt→−∞ x (t) = limt→+∞ x (t) = +∞; x(t ) > 1 − (6/3)2 − (1 + 4) + 8 = 0 y x (0) = −3 < 0, siendo 0 ∈ (t , t ), podemos resumir esta información en el cuadro siguiente: t 1− → −∞ ∈ (−∞, t ) = t ∈ (t , 0) = 0 ∈ (0, t ) = t ∈ (t , +∞) → +∞ x (t) → +∞ >0 x(t) → −∞ =0 <0 = −3 <0 =0 >0 → +∞ =8 >0 → +∞ del que se deduce que x(t ) > 0, y por tanto existe un t0 ∈ (−∞, t ) y uno sólo con x(t0 ) = 0, mientras que x(t) ≥ x(t ) > 0 para todo t ∈ [0, +∞). √ 7 − 17 , Por otra parte y(t) = −2t 2 + 7t − 4 = −2(t − t1 )(t − t2 ) con t1 = 4 √ 7 + 17 t2 = , de modo que t0 < t < 0 < t1 < t2 y, en consecuencia, obtenemos 4 la siguiente evolución de signos para x(t), y(t), con la ubicación de γ (t) = x(t) + i y(t): → −∞ ∈ (−∞, t0 ) = t0 ∈ (t0 , t1 ) = t1 ∈ (t1 , t2 ) = t2 ∈ (t2 , +∞) → +∞ t x(t) → −∞ <0 =0 >0 >0 >0 >0 >0 → +∞ y(t) → −∞ <0 <0 <0 =0 >0 =0 <0 → −∞ γ (t) ∈ C3 ∈ −iP ∈ C4 ∈P ∈ C1 ∈P ∈ C4 donde hemos puesto P = (0, +∞), C1 = {z ∈ C : e z > 0, m z > 0}, C3 = {z ∈ C : e z < 0, m z < 0}, C4 = {z ∈ C : e z > 0, m z < 0}. Elegimos R de modo que −R < t0 < t2 < R. Indice de un punto respecto de un camino cerrado 89 Vemos ası́ que el soporte de γ no corta al semieje real negativo (−∞, 0] (en particular, que 0 ∈ / sop γ ), por lo que Arg γ (t) es un argumento continuo a lo largo de γ , y, puesto que −R < t0 < t2 < R, podemos concluir que ARG γ (t) −R≤t≤R = Arg γ (R) − Arg γ (−R) y(R) y(−R) = arc tg − arc tg − π = π + α(R), x(R) x(−R) donde α(R) = arc tg y(−R) y(R) − arc tg , x(R) x(−R) que tiene lı́mite 0 cuando R → +∞ (este tipo de información nos será útil posteriormente). 10 20 5 0 -20 -10 0 10 20 30 0 -4 -2 0 2 4 6 -20 -5 -40 -10 Gráfica de γ (t) Gráficas de x(t) e y(t) Ejercicio. Sea P(z) = z k + a1 z k−1 + · · · + ak un polinomio de grado k ≥ 1, y para cada R > 0, sea γ R : t ∈ [0, π ] → γ R (t) = P(R eit ) ∈ C. Probar que lim ARG γ R (t) = kπ . R→+∞ 0≤t≤π (Nos encontraremos más adelante en la necesidad de estudiar lı́mites de este tipo.) Respuesta. Notemos que P(z) = z k g(z), donde a1 ak + · · · + k = 1. lim g(z) = lim 1 + z→∞ z→∞ z z 90 Indice de un punto respecto de un camino cerrado Existirá por tanto un R0 > 0 tal que si |z| > R0 |g(z) − 1| < 1, 1 y, en particular, g(z) ∈ / (−∞, 0]. Tomando, pues, R > R0 , γ R (t) = R k eikt g(R eit ), 0 / (−∞, 0] para todo t ∈ con g(R eit ) ∈ [0, π ], por lo cual t ∈ [0, π ] → kt + Arg g(R eit ) ∈ R es un argumento continuo a lo largo de γ R . En consecuencia ARG γ R (t) = kπ + Arg g(−R) − Arg g(R) 0≤t≤π si R > R0 . Pero entonces lim ARG γ R (t) = kπ + lim R→+∞ 0≤t≤π R→+∞ Arg g(−R) − Arg g(R) = kπ + Arg 1 − Arg 1 = kπ. 5.5 APÉNDICE: SUPERFICIES DE RIEMANN NOTA. Lo que a continuación se expone es sólo una descripción intuitiva, sin ninguna pretensión de rigor. Nos permitimos, por ello, algunas expresiones más desenfadadas que las habituales en un texto de Matemáticas, que esperamos sirvan para un mejor entendimiento de las (profundas) ideas que se quieren reflejar. Una y otra vez venimos chocando con los problemas que nos crea el hecho de que el logaritmo complejo es una función multivaluada, que para cada complejo z no nulo nos obsequia con infinitos valores. Evidentemente, demasiados para poder actuar sobre ellos con las técnicas habituales del Análisis matemático. Para salir del paso hemos recurrido primeramente, de la manera más drástica, a podar las ramas, seleccionando en ciertas regiones del plano un valor entre los infinitos posibles, con habilidad suficiente para enlazar los valores seleccionados de forma que se consiga una función holomorfa (una determinación del logaritmo, también denominada una rama del logaritmo). Pero en otras regiones del plano esto no soluciona las dificultades: cuando hemos necesitado movernos a lo largo de curvas que rodeen al origen, hemos tenido que fabricar un nuevo apaño, los logaritmos continuos a lo largo de curvas. Esto da una pista para intentar uniformizar el Indice de un punto respecto de un camino cerrado 91 logaritmo, de modo que podamos enfrentarnos a él tratándolo como a una “función verdadera”: cuando volvemos a un mismo punto con un valor distinto del logaritmo tras una variación continua del mismo, podemos interpretar que este punto está situado en una copia del plano de partida, superpuesta al plano original pero distinta (“por eso” aparece un valor distinto del logaritmo). La cuestión entonces es cómo pegar las infinitas copias necesarias, de manera que mantengan una estructura razonable. Para lograrlo, Riemann imaginó infinitas copias de C, llamémosles [C, n] por ejemplo (n ∈ Z), cortadas a lo largo del semieje real [0, +∞); partiendo de [C, 0], le unimos [C, 1] enganchando el borde inferior del corte de [C, 0] con el borde superior del corte de [C, 1]; luego seguimos el proceso uniendo [C, 1] con [C, 2] enganchando el borde inferior del corte de [C, 1] con el borde superior del corte de [C, 2], y ası́ sucesivamente. De forma similar se va uniendo [C, 0] con [C, −1] (recordemos que [C, 0] aún tiene libre el borde superior), [C, −1] con [C, −2], etc. Se obtiene ası́ un ‘objeto imposible’, una especie de hélice infinita completamente aplastada, que se denomina la superficie de Riemann del logaritmo. Cada una de las copias de C es una hoja de la superficie, y es posible considerar el logaritmo como una función genuina con dominio en su superficie de Riemann, que va adjudicando valores según la hoja en la que esté situado el punto (tal como el logaritmo continuo a lo largo de una curva va dando valores según el parámetro). La misma idea puede emplearse para adecentar otras funciones. El ejemplo más sencillo es la raı́z cuadrada: una raı́z cuadrada continua a lo largo de la circunferencia unidad (definición obvia) que parta, por ejemplo, del valor 1 en 1, nos devolverı́a a este punto tras completar la vuelta con el valor −1 (si continuásemos girando, tras la siguiente vuelta recuperarı́amos el valor 1). Ahora serı́a suficiente contar con dos copias [C, −1], [C, −2] de C, cortadas otra vez a lo largo del semieje real no negativo, pegadas uniendo el borde inferior del corte de [C, 1] con el borde superior del corte de [C, 2], y después el borde inferior del corte de [C, 2] con el borde superior del corte de [C, 1], dejándolo todo de una sola pieza. La descripción del propio Riemann en su obra sobre funciones abelianas dice ası́: “Para muchas investigaciones, tales como la investigación de funciones algebraicas y abelianas, es conveniente representar el modo en que se ramifica una función multivaluada en la siguiente manera geométrica. Pensemos que el plano (x, y) está cubierto por otra superficie coincidente con él (o apoyado sobre él a una distancia infinitesimal) en tanto en cuanto la función esté definida. Al continuar la función la superficie se extiende correspondientemente. En una parte del plano en la que la función tenga dos o más continuaciones la superficie es doble o múltiple; consta allı́ de dos o más hojas, cada una de las cuales representa una rama de la 92 Indice de un punto respecto de un camino cerrado función. Alrededor de un punto de ramificación de la función una hoja de la superficie continúa en otra, de manera que en el entorno de tal punto la superficie puede mirarse como una superficie helicoidal con eje a través del punto y perpendicular al plano (x, y), y pendiente infinitesimal. Cuando la función retorna a su valor previo tras un número de vueltas de z alrededor del punto de ramificación (como, por ejemplo, con (z − a)m/n , cuando m, n son primos relativos, después de n vueltas de z alrededor de a), entonces naturalmente hay que suponer que la hoja de más arriba baja a través de las otras a unirse con la inferior. La función multivaluada tiene sólo un valor para cada punto de esta superficie que representa su ramificación, y por tanto puede ser vista como una función completamente determinada sobre la superficie.” Puede darse una definición satisfactoria de las superficies de Riemann de las “inversas multiformes” que nos han ido apareciendo, incluidas en la definición general de superficie de Riemann abstracta que introdujeron básicamente Weyl y Radó. Técnicamente, una superficie de Riemann es una variedad compleja conexa de dimensión 1 (por tanto, de dimensión real 2) dotada de una estructura analı́tica. Esto último significa que si dos cartas (U, ϕ), (V, ψ) se cortan, los cambios de coordenadas ϕ ◦ ψ −1 y ψ ◦ ϕ −1 son funciones (complejas de variable compleja) analı́ticas. Continuar por este terreno nos acercarı́a más a la Topologı́a diferencial o a la Geometrı́a diferencial que a los intereses centrales de este curso, por lo que dejamos aquı́ este asunto, remitiéndonos para una introducción al tema a Narasimhan, R.: Complex Analysis in one variable. Birkhäuser, Boston (1985). Dedicada exclusivamente a las superficies de Riemann es la monografı́a clásica Springer, G.: Introduction to Riemann Surfaces. Addison-Wesley, Reading, Mass. (1957); más actuales, Farkas, H. M.; Kra, I.: Riemann Surfaces. (2nd. ed.) Springer, New York (1992), Forster, O.: Lectures on Riemann Surfaces. Springer, New York (1981). CAPÍTULO 6 Teorı́a local de Cauchy 6.1 INTRODUCCIÓN Atravesaremos ahora la puerta de entrada a un mundo sin parangón en la teorı́a de funciones de una o varias variables reales. La llave: la fórmula de Cauchy, que al expresar el valor en un punto de una función holomorfa —en abiertos estrellados, de momento— como una especie de promedio integral de sus valores sobre un camino cerrado que rodee al punto, permite representar (localmente, al menos) la función como una integral dependiente de un parámetro, con consecuencias adivinables en algunos casos (analiticidad de las funciones holomorfas) o un tanto imprevisibles en otros (teorema de Liouville, teorema fundamental del álgebra, . . . ) La fórmula de Cauchy descansa, a su vez, en el teorema de Cauchy. Reflexionando a posteriori, parece absolutamente imposible que tal cantidad de resultados se sustenten, finalmente, en algo que podrı́a parecer una simple curiosidad: la integral de una función holomorfa en un disco (o, con la misma demostración, en un abierto estrellado) sobre un camino cerrado es nula (también si la función deja de ser derivable en un punto, mientras mantenga la continuidad). Esta será nuestra primera versión del teorema de Cauchy: más adelante nos ocuparemos de extender su alcance (comenzando por ampliar el ámbito de validez de la fórmula de Cauchy en la denominada “teorı́a global de Cauchy”). Sin embargo, el examen de la demostración del teorema de Cauchy revela la causa de esta pequeña maravilla, situándonos en terreno más conocido. Basta encontrar una primitiva de la función dada para saber que la integral es nula, y esto reduce el problema a probar la anulación de la integral sobre el contorno de un triángulo (teorema de Cauchy-Goursat). Una exposición inmejorable de este planteamiento puede verse en Open University: Integration/Cauchy’s Theorem I/Taylor Series. The Open University Press, Milton Keynes (1974), p. 63; a partir de esa página se encuentra perfectamente desglosada y explicada la demostración, si bien bajo la hipótesis de derivabilidad en todos los puntos. Los enunciados y demostraciones que nosotros utilizaremos se encuentran básicamente en Rudin, W.: Análisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana, Madrid (1987). Como complemento en algunos detalles, Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New York (1978). 93 94 6.2 Teorı́a local de Cauchy TEOREMA Y FÓRMULA DE CAUCHY 1 Teorema. Sea un abierto no vacı́o de C, f : → C continua. Son equivalentes: (1.1) existe una primitiva de f en , es decir, una función F ∈ H() tal que F = f ; (1.2) para todo camino cerrado γ contenido en , f (z) dz = 0; γ (1.3) para dos caminos cualesquiera γ1 , γ2 contenidos en que tengan los mismos orı́genes e iguales extremos, f (z) dz = f (z) dz. γ1 γ2 Demostración. (Recuérdese el teorema de los campos conservativos para formas diferenciales reales). (1.1) ⇒ (1.2) Visto. (1.2) ⇒ (1.3) γ1 ∪ (−γ2 ) es un camino cerrado contenido en . (1.3) ⇒ (1.1) Si no es conexo, las componentes conexas de son abiertos disjuntos dos a dos cuya unión es . Por tanto, para construir una primitiva de f en es suficiente construir una primitiva de f en cada una de las componentes de . Sea, pues, G una componente conexa de . Fijado a ∈ G, definimos F : G → C haciendo F(z) = f (w) dw, γz donde γz es cualquier camino contenido en G con origen a y extremo z (la función F está entonces bien definida por ser la integral independiente del camino). Esta función F es derivable, y para cada z 0 ∈ G es F (z 0 ) = f (z 0 ). En efecto: dado z 0 ∈ G, tomemos ε de modo que D(z 0 ; ε) ⊆ G; si γ0 es un determinado camino contenido en G con origen a y extremo z 0 , para cada z ∈ D(z 0 ; ε) sea γz la unión de γ0 con el segmento [z 0 , z], que por ser un camino contenido en G con origen a y extremo z nos permite escribir F(z) − F(z 0 ) 1 = f (w) dw − f (w) dw z − z0 z − z0 γz γ0 1 f (w) dw = z − z 0 [z0 ,z] Teorı́a local de Cauchy 95 y por tanto 1 F(z) − F(z 0 ) − f (z 0 ) = z−z z−z 0 0 ≤ sup w∈sop[z 0 ,z] [z 0 ,z] 1 f (w) dw − z − z0 [z 0 ,z] f (z 0 ) dw | f (w) − f (z 0 )| , que tiende a 0 cuando z tiende a z 0 por la continuidad de f en z 0 . 2 Teorema de Cauchy para un triángulo (Cauchy-Goursat). Sea un abierto no vacı́o de C, p un punto de , f : → C continua tal que f ∈ H( \ { p}). Para cualquier triángulo cerrado contenido en , f (z) dz = 0. ∂ Demostración. Rudin, loc. cit., Teor. 10.13, pp. 232–234. 3 Teorema de Cauchy para abiertos estrellados. Sea un abierto estrellado de C, p un punto de , f : → C continua tal que f ∈ H( \ { p}). Para cualquier camino cerrado γ contenido en , f (z) dz = 0. γ Demostración. Adaptar la de Rudin, loc. cit., Teor. 10.14, p. 234. 4 Fórmula de Cauchy en abiertos estrellados. Sea un abierto estrellado de C y f ∈ H(). Si γ es un camino cerrado contenido en , para cualquier z de que no esté en el soporte de γ es f (w) 1 dw. f (z) · Indγ (z) = 2πi γ w − z Demostración. Adaptar la de Rudin, loc. cit., Teor. 10.15, pp. 234–235. 5 Corolario (Fórmula de Cauchy en un disco). Sea un abierto no vacı́o de C, D(a; r ) un disco cerrado contenido en , f una función holomorfa en . Entonces, para cada z ∈ D(a; r ), 1 f (w) dw. f (z) = 2πi ∂ D(a;r ) w − z Demostración. Puesto que D(a; r ) ⊆ , la distancia d(a, c ) de a al complementario de es estrictamente mayor que r . Si r < R < d(a, c ), el disco D(a; R) es un abierto estrellado contenido en , en el que f será holomorfa. Llamando γ a la circunferencia ∂ D(a; r ), γ es un camino cerrado contenido en D(a; R) y para cada z ∈ D(a; r ) es Indγ (z) = 1, luego basta aplicar el resultado anterior para obtener la fórmula del enunciado. 96 6.3 Teorı́a local de Cauchy CONSECUENCIAS DE LA FÓRMULA DE CAUCHY 1 Teorema (analiticidad de las funciones holomorfas). Toda función holomorfa abierto no vacı́o de C y f ∈ H(), para es analı́tica. Precisando más: Si es un n c cada a ∈ existe una serie de potencias ∞ n=0 an (z − a) con radio R ≥ d(a, ) (donde d(a, c ) es la distancia de a al complementario de , considerada +∞ si c = ∅, o sea, si = C) tal que f (z) = ∞ an (z − a)n n=0 siempre que |z − a| < d(a, c ). Informalmente, “la misma serie representa a f hasta la frontera”. Demostración. Elegido a, sea z tal que |z − a| < d(a, c ). Tomando r de modo que |z − a| < r < d(a, c ), el disco cerrado D(a; r ) está contenido en , y puesto que |z − a| < r , la fórmula de Cauchy nos da 1 f (z) = 2πi ∂ D(a;r ) f (w) dw. w−z Pero el teorema de construcción de funciones analı́ticas nos dice que 1 2πi ∂ D(a;r ) ∞ f (w) f (w) 1 dw = dw (z − a)n n+1 w−z 2πi n=0 ∂ D(a;r ) (w − a) con tal que z no esté en la circunferencia |w − a| = r , y ası́ f (z) = ∞ an (z − a)n n=0 donde 1 an = 2πi ∂ D(a;r ) f (w) dw. (w − a)n+1 En principio los an parecen depender de r ; sin embargo no es éste el caso, ya que f (n) (a) . an = n! Teorı́a local de Cauchy 97 Ejemplos. 1. La función f definida en = (C \ 2πiZ) ∪ {0} por z f (z) = e z − 1 si z ∈ y z = 0 1 si z = 0 es holomorfa en , luego será analı́tica en y en particular existirán coeficientes Bn (los llamados números de Bernoulli) de modo que f (z) = ∞ Bn n=0 n! zn al menos siempre que |z| < 2π. De hecho, el radio de convergencia de la serie es exactamente 2π, ya que si fuese mayor f admitirı́a una extensión continua en 2πi, lo que es falso. 2. En el ejemplo anterior, la serie de potencias que representa a f en el entorno del punto a = 0 resulta tener por radio exactamente la distancia d(a, c ). ¿Siempre vamos a encontrar esta situación? La respuesta, en general, es NO: basta tomar = C \ (−∞, 0] y f : z ∈ → f (z) = Log z ∈ C; para cualquier a ∈ el desarrollo de f en serie de potencias de z − a tiene radio |a|, mientras que si e a < 0 es d(a, c ) = |m a| < |a|. La fórmula de Cauchy permite obtener una representación de las derivadas de una función holomorfa en términos de la propia función, de la que podremos extraer consecuencias importantes, que no tienen su correspondiente en la teorı́a de funciones en R. 2 Fórmula de Cauchy para las derivadas. Sea un abierto no vacı́o de C y f ∈ H(). Dado a ∈ , sea r > 0 tal que D(a; r ) ⊆ . Entonces, si |z − a| < r , para cada n ∈ N, n! f (w) f (n) (z) = dw. 2πi ∂ D(a;r ) (w − z)n+1 Demostración. Para cada z ∈ D(a; r ) es f (w) 1 dw. f (z) = 2πi ∂ D(a;r ) w − z Aplicando reiteradamente el teorema de derivación bajo el signo integral se obtiene la fórmula deseada. Un corolario es que el tamaño de las derivadas sucesivas en un punto no puede crecer “descontroladamente”. 98 Teorı́a local de Cauchy 3 Desigualdades de Cauchy. Sea un abierto no vacı́o de C y f ∈ H(). Dado a ∈ , sea r > 0 tal que D(a; r ) ⊆ . Entonces, poniendo M(r ) = sup|w−a|=r | f (w)|, para cada n ∈ N se tiene la acotación | f (n) (a)| ≤ n! M(r ) . rn Demostración. Obviamente n! n! M(r ) f (w) (n) ≤ dw | f (a)| = 2π r n+1 2πr. 2πi ∂ D(a;r ) (w − a)n+1 4 Teorema de Liouville. Sea f una función entera, es decir, f ∈ H(C). Si f está acotada, necesariamente es constante. Demostración. Supongamos que para algún K > 0 es | f (z)| ≤ K cualquiera que sea z ∈ C. Entonces, dado a ∈ C, para todo R > 0 se tendrá 1 f (w) ≤ 1 K 2π R = K , dw | f (a)| = 2π R 2 2πi ∂ D(a;R) (w − a)2 R expresión que tiende a 0 cuando R → +∞. Por tanto f (a) = 0 en todo a ∈ C, para lo que f debe ser constante. 5 Teorema fundamental del álgebra. Todo polinomio no constante tiene al menos una raı́z en C. Demostración. En caso contrario, si P(z) = a0 z n + . . . + an fuese un polinomio no constante (a0 = 0, n ≥ 1) que no se anulase nunca, la función definida por f (z) = 1 P(z) serı́a una función entera no nula. Pero como lim f (z) = lim z→∞ z→∞ 1 = 0, z n (a0 + . . .) se deduce que f debe estar acotada. (En efecto: tomando ε = 1 en la definición de lı́mite, existirá un R > 0 tal que si |z| > R se tiene | f (z)| < 1; y para |z| ≤ R, f se mantiene acotada por el teorema de Weierstrass.) Según el teorema de Liouville, f tiene que ser constante (no nula), e igualmente serı́a constante 1/ f = P, contradiciendo la hipótesis de partida. Teorı́a local de Cauchy 99 6 Principio del módulo máximo. Sea f una función holomorfa en una región de C. Si su módulo | f | tiene algún máximo local, entonces f es constante. Demostración. Supongamos que para algún a ∈ sea posible encontrar un R > 0 tal que D(a; R) ⊆ y | f (a)| ≥ | f (z)| para todo z ∈ D(a; R). Esto obliga a que | f (a)| = | f (z)| para todo z ∈ D(a; R), puesto que si 0 < |z − a| = r < R, como 1 f (a) = 2πi ∂ D(a;r ) 1 f (w) dw = w−a 2π 2π f (a + r eit ) dt 0 se deduce que 1 | f (a)| ≤ 2π 2π 1 | f (a + r eit )| dt ≤ 2π 0 con lo cual 1 2π 2π 2π | f (a)| dt = | f (a)|, 0 (| f (a)| − | f (a + r eit )|) dt = 0. 0 El integrando es una función continua no negativa, luego | f (a)| = | f (a + r eit )| para todo t ∈ [0, 2π] y en particular | f (a)| = | f (z)|. Pero si | f | es constante en D(a; R), f tiene que ser constante en D(a; R) (consecuencia de las ecuaciones de Cauchy-Riemann) y finalmente f es constante en (por el principio de prolongación analı́tica). Hay otras lecturas equivalentes de este enunciado: — o bien f es constante o, en caso contrario, su módulo | f | no tiene máximos locales; — si f no es constante, su módulo | f | no tiene máximos locales. 7 Teorema de Morera. Sea f una función continua en un abierto no vacı́o de C tal que para todo triángulo cerrado ⊆ se tenga ∂ Entonces f ∈ H(). f = 0. 100 Teorı́a local de Cauchy Demostración. Hemos de probar que cada a ∈ posee un entorno en el que f es derivable. Para verlo, consideremos cualquier disco D(a; r ) ⊆ ; en él, f admite una primitiva F que podemos construir poniendo F(z) = f (w) dw, z ∈ D(a; r ). [a,z] (La comprobacion de que F es una primitiva de f es estándar: usando la hipótesis del enunciado, para cada z 0 ∈ D(a; r ) tenemos 1 F(z) − F(z 0 ) = f (w) dw, 0 < |z − z 0 | < r − |z 0 − a|, z − z0 z − z 0 [z0 ,z] lo que implica que por ser f continua 1 F(z) − F(z 0 ) f (w) − f (z − f (z ) = ) dw 0 0 z − z0 z − z 0 [z0 ,z] ≤ max | f (w) − f (z 0 )| w∈[z 0 ,z] tiende a 0 cuando z → z 0 .) Pero si F ∈ H(D(a; r )), es analı́tica y en particular su derivada f es a su vez derivable en D(a; r ). El teorema de Morera da una especie de recı́proco del teorema de CauchyGoursat. 8 Corolario. Sea un abierto no vacı́o de C, p ∈ , f : → C continua en y holomorfa en \ { p}. Entonces f es holomorfa en . Demostración. Del teorema de Cauchy-Goursat se deduce que f =0 ∂ para todo triángulo ⊆ , y el teorema de Morera asegura entonces que f es holomorfa. Podemos incluso rebajar exigencias: 9 Corolario. Sea un abierto no vacı́o de C, p ∈ , f una función holomorfa en \ { p} y acotada para algún r > 0 en el disco reducido D∗ ( p; r ) = {z ∈ C : 0 < |z − p| < r }. Entonces f admite una extensión holomorfa en . Demostración. La función h definida en por (z − p)2 f (z) si z ∈ \ { p} h(z) = 0 si z = p Teorı́a local de Cauchy 101 es holomorfa en y h ( p) = 0 por la hipótesis de acotación de f , con lo cual podremos escribir ∞ cn (z − p)n , h(z) = z ∈ D( p; r ), n=2 y ası́ f (z) = ∞ cn+2 (z − p)n , z ∈ D∗ ( p; r ), n=0 de manera que basta extender f a p definiendo f ( p) = c2 . 6.4 AVANCE: El teorema de Cauchy y el cálculo de integrales reales. Como aperitivo de procedimientos que posteriormente desarrollaremos de manera más completa y sistemática, veamos cómo el uso de la integración compleja permite el cálculo de ciertas integrales reales que, de otro modo, resulta difı́cil de calcular. Nos proponemos demostrar la tan repetida igualdad +∞ sen x π dx = , x 2 0 teniendo en cuenta que la integral debe ser entendida como integral impropia, es decir, R +∞ sen x sen x dx = lim d x. r →0+ , R→+∞ r x x 0 iR -R -r r R Comencemos por considerar la función f ∈ H(), donde = C \ {i y : y ∈ (−∞, 0]} y ei z f (z) = , z z ∈ . 102 Teorı́a local de Cauchy Sea γ (r, R) el camino cerrado de la figura, obtenido uniendo el segmento [r, R], la semicircunferencia γ R : t ∈ [0, π ] → γ R (t) = R eit ∈ C, el segmento [−R, −r ] y la semicircunferencia opuesta de γr : t ∈ [0, π ] → γr (t) = r eit ∈ C. Puesto que es un abierto estrellado y sop γ (r, R) ⊆ , teniendo en cuenta el teorema de Cauchy podemos escribir f (z) dz 0= γ (r,R) f (z) dz + f (z) dz + f (z) dz − f (z) dz = = [r,R] R ix e dx + x r = r R γR γR γR γr e dx − f (z) dz −R x γr f (z) dz − f (z) dz; f (z) dz + ei x − e−i x dx + x [−R,−r ] −r i x γr equivalentemente, r R ei x − e−i x dx = x γr f (z) dz − γR f (z) dz. (∗ ) Ahora bien: γr f (z) dz = 0 π it ei r e r i eit dt = i it re π ei r (cos t+i sen t) dt, 0 y para cada t ∈ [0, π ] la función del integrando tiene lı́mite (cuando r → 0+ ) igual a e0 = 1. Además, la acotación i r (cos t+i sen t e = e−r sen t ≤ e0 = 1, t ∈ [0, π ], muestra que el integrando está dominado por una función (constante) integrable en [0, π] que no depende de r , luego aplicando el teorema de la convergencia dominada se obtiene π lim+ f (z) dz = i dt = i π. r →0 Análogamente γr γR 0 f (z) dz = i 0 π ei R (cos t+i sen t) dt, Teorı́a local de Cauchy 103 pero ahora, para t ∈ (0, π ), es lim ei R (cos t+i sen t = lim e−R sen t = 0, R→+∞ R→+∞ −R sen t = e−R sen t < e0 = 1, e y por la misma razón de antes lim R→+∞ 0 π e−R sen t dt = 0. (En la mayor parte de los textos, este resultado, conocido como lema de Jordan, se πprueba sin hacer referencia a la integral de Lebesgue mediante la acotación π 2t (1 − e R ), deducida de la desigualdad sen t ≥ para e−R sen t dt ≤ R π 0 π 0 ≤ t ≤ .) 2 Como consecuencia, lim f (z) dz = 0, R→+∞ γ R y llevando los resultados obtenidos a la igualdad (∗ ) y pasando al lı́mite para r → 0+ , R → +∞, queda +∞ 2i 0 luego 0 sen x d x = i π + 0, x +∞ π sen x dx = . x 2 CAPÍTULO 7 Teorı́a global de Cauchy 7.1 INTRODUCCIÓN Los éxitos logrados con la teorı́a local de Cauchy invitan a ‘refinar’ las herramientas básicas —teorema de Cauchy, fórmula de Cauchy— para ampliar su alcance. Como, por ahora, estas herramientas funcionan en discos o, a lo sumo, en abiertos estrellados, sólo hemos averiguado propiedades de las funciones holomorfas que dependen en última instancia del comportamiento de la función en un entorno de cada punto de su dominio (propiedades de carácter local). Si queremos estudiar propiedades de carácter global, hemos de profundizar en la validez del teorema y de la fórmula de Cauchy en abiertos cualesquiera. Con este propósito extenderemos la integración a ‘colecciones de caminos cerrados’ (ciclos), e introduciremos el concepto de ciclos homólogos respecto de un abierto. Ası́ podremos obtener una versión muy general de la fórmula y del teorema de Cauchy en el teorema homológico de Cauchy, viendo además que son justamente los ciclos homólogos a 0 respecto de un abierto los que hacen nula la integral de toda función holomorfa en el abierto: en otras palabras, los ciclos más generales para los que va a ser válido el teorema de Cauchy si no imponemos restricciones al abierto. En el plano práctico, esto nos libera de la búsqueda (engorrosa a veces) de abiertos estrellados en los que plantear las integrales que debemos manejar, mirando tan sólo de conseguir abiertos respecto de los cuales el ciclo sobre el que se integra sea homólogo a 0. Cerrando este capı́tulo aparece el concepto de conexión simple y diferentes caracterizaciones del mismo, que aclaran algunos de los comportamientos ‘anómalos’ con los que nos hemos ido tropezando y ponen de manifiesto el interés de saber en qué abiertos se anulan las integrales de todas las funciones holomorfas sobre todos los caminos cerrados. Son, pues, estos abiertos (los simplemente conexos) los más generales en los que el teorema de Cauchy es cierto —si no queremos tener que restringir los ciclos sobre los que se integra. Referencias básicas: — Rudin, W.: Análisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana, Madrid (1987). — Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New York (1978). 104 Teorı́a global de Cauchy 7.2 105 CICLOS. HOMOLOGÍA. Damos una definición “ingenua” de ciclo. Para una definición más rigurosa, aunque menos intuitiva, ver Rudin, loc. cit., Def. 10.34, pp. 246–247. Definición 7.1. Un ciclo es una sucesión finita de caminos cerrados, distintos o repetidos, que denotaremos por = [γ1 , γ2 , . . . , γn ], en la que no tenemos en cuenta el orden, de modo que dos ciclos y son iguales cuando consten de los mismos caminos, aunque aparezcan reordenados (es decir, = [γσ (1) , γσ (2) , . . . , γσ (n) ] para alguna permutación σ ). Denominaremos a γ1 , γ2 , . . . , γn los caminos que componen , y usaremos la notación γ ∈ para indicar que γ es uno de los caminos que componen . El soporte de un ciclo = [γ1 , γ2 , . . . , γn ] es la unión de los soportes de γ1 , γ2 , . . . , γn : sop = sop γ1 ∪ sop γ2 ∪ · · · ∪ sop γn . El soporte de un ciclo es evidentemente un conjunto compacto; por contra, no es en general conexo (ejemplo: = [γ1 , γ2 ] donde γ1 , γ2 son dos circunferencias concéntricas distintas). Por comodidad de lenguaje, diremos que un ciclo está contenido en un conjunto para indicar que el soporte del ciclo está contenido en el conjunto. Definición 7.2. Dado un ciclo = [γ1 , γ2 , . . . , γn ], el ciclo opuesto − es el ciclo obtenido tomando los opuestos de los caminos que componen : − = [−γ1 , −γ2 , . . . , −γn ]. La unión o suma de dos ciclos = [γ1 , γ2 , . . . , γm ], = [γ1 , γ2 , . . . , γn ], es el ciclo ∪ = [γ1 , γ2 , . . . , γm , γ1 , γ2 , . . . , γn ]. Definición 7.3. Integración sobre ciclos. Dada una función f continua sobre el soporte de un ciclo = [γ1 , γ2 , . . . , γn ], se define f = n γk k=1 f = γ ∈ f. γ Consecuentemente, el ı́ndice de un punto a ∈ / sop respecto de es 1 Ind (a) = 2πi dz = Indγ (a). z−a γ ∈ 106 Teorı́a global de Cauchy Definición 7.4. Sea un abierto no vacı́o de C y un ciclo contenido en . Diremos que es homólogo a 0 respecto de , y pondremos ∼0 si para todo a ∈ C \ es () Ind (a) = 0. Cuando consta de un solo camino γ , suele ponerse directamente γ ∼ 0 (). Dos ciclos 1 y 2 contenidos en se dicen homólogos respecto de , 1 ∼ 2 (), si para todo a ∈ C \ es Ind1 (a) = Ind2 (a) o, equivalentemente, si 1 ∪ (−2 ) ∼ 0 (). Ejemplos. Consideremos 0 ≤ r < r1 < r2 < R y sea = {z ∈ C : r < |z| < R} el anillo de centro el origen con radio interior r y radio exterior R. Sea ahora γ1 : t ∈ [0, 2π ] → γ1 (t) = r1 e−it ∈ C la circunferencia de centro el origen y radio r1 orientada negativamente, γ2 : t ∈ [0, 2π] → γ2 (t) = r2 eit ∈ C la circunferencia de centro el origen y radio r2 orientada positivamente. Entonces = [γ1 , γ2 ] es un ciclo homólogo a 0 respecto de , mientras que no lo son los ciclos 1 = [γ1 ] ni 2 = [γ2 ]. Obviamente, el ciclo 1 es homólogo del ciclo −2 respecto de (y −1 de 2 ). 7.3 TEOREMA HOMOLÓGICO DE CAUCHY Lema 7.5. Si f ∈ H() y g está definida en × por f (z) − f (w) si w = z, g(z, w) = z−w si w = z f (z) entonces g es continua en × . Demostración. Rudin, loc. cit., Lema 10.29, p. 243. Teorema 7.6. Sea un abierto no vacı́o del plano complejo y f ∈ H(). Sea un ciclo homólogo a 0 respecto de . Entonces: para cada z ∈ \ sop f (w) 1 dw Ind (z) · f (z) = 2πi w − z (fórmula de Cauchy) y (teorema homológico de Cauchy). f (w) dw = 0. Teorı́a global de Cauchy 107 Demostración. Rudin, loc. cit., Teor. 10.35, pp. 248–249. NOTA. Las demostraciones clásicas de este resultado eran bastante menos directas. En su momento fue una sorpresa que J. D. Dixon publicara en 1971 la demostración más simple y elemental que ahora se ha hecho estándar (Dixon, J. D.: A brief proof of Cauchy’s integral theorem, Proc. Amer. Math. Soc. 29 (1971), 625–626). Corolario 7.7. (Derivadas sucesivas). Sea un abierto no vacı́o del plano complejo y f ∈ H(). Sea un ciclo homólogo a 0 respecto de . Entonces: para cada z ∈ \ sop y n ∈ N es f (w) n! dw. Ind (z) · f (n) (z) = 2πi (w − z)n+1 Corolario 7.8. (Homologı́a e integración). Sea un abierto no vacı́o del plano complejo y , 1 , 2 sendos ciclos contenidos en . Entonces: (i) es homólogo a 0 respecto de si y sólo si f (w) dw = 0 para toda función f ∈ H(). (ii) 1 y 2 son homólogos respecto de si y sólo si f (w) dw = f (w) dw 1 2 para toda función f ∈ H(). Demostración. Las implicaciones directas son obvias a la vista del teorema homológico de Cauchy. Para obtener los recı́pocos, basta considerar para cada a ∈ / la función f ∈ H() definida por f (z) = 1 . z−a Vemos ası́ que lo que realmente importa a la hora de integrar una función holomorfa sobre un ciclo no es tanto el ciclo en cuestión como la clase de homologı́a asociada a él (esta idea es la que se toma como guı́a en la definición de ciclo que se da, por ejemplo, en Rudin, loc. cit.). En la práctica, este hecho permite muchas veces simplificar cálculos, sustituyendo un ciclo complicado o ‘poco adaptado a la función’ por otro homólogo más conveniente (o un camino cualquiera γ1 por otro γ2 con los mismos extremos siempre que γ1 ∪ (−γ2 ) sea homólogo a 0). 108 7.4 Teorı́a global de Cauchy CONEXIÓN SIMPLE Definición 7.9. Diremos que un subconjunto no vacı́o de C es simplemente conexo si es una región tal que para todo ciclo ⊆ y para toda f ∈ H() se verifica f (z) dz = 0. Evidentemente, esta última condición equivale a que la integral de toda f ∈ H() se anule sobre cualquier camino cerrado contenido en . Teorema 7.10. (Caracterizaciones de la conexión simple). Sea una región de C. Las siguientes propiedades son equivalentes entre sı́: (1) es simplemente conexo. (2) Todo camino cerrado γ contenido en es homólogo a 0 respecto de . (3) todo ciclo contenido en es homólogo a 0 respecto de . (4) (Existencia de primitivas) Toda función f ∈ H() admite una primitiva en , es decir, f = F para alguna F ∈ H(). (5) (Existencia de armónica conjugada) Para toda función u armónica en existe f ∈ H() tal que u = e f en . (6) (Existencia de logaritmos holomorfos) Para toda función f ∈ H() tal que f (z) = 0 en todo z ∈ existe g ∈ H() tal que exp(g(z)) = f (z) para todo z ∈ . (7) (Existencia de raı́ces cuadradas holomorfas) Para toda función f ∈ H() tal que f (z) = 0 en todo z ∈ existe g ∈ H() tal que g 2 (z) = f (z) para todo z ∈ . Demostración. Las implicaciones (2) ⇒ (3) ⇒ (1) ⇒ (4) son obvias o consecuencia inmediata de resultados anteriores. (4) ⇒ (5). Dada una función u armónica en construimos la función h = u x − i u y , que, por ser u armónica, cumple las condiciones de Cauchy-Riemann y de diferenciabilidad y por tanto es holomorfa en . Si H es una primitiva de h y U = e H , puesto que h = H = Ux − i U y y es conexo debe existir una constante C ∈ R tal que u = U + C. La función f = H + C es entonces una función holomorfa en tal que e f = u. (5) ⇒ (6). Dada f ∈ H() tal que f (z) = 0 en todo z ∈ , pongamos u = e f , 1 v = m f . Es fácil comprobar que α = ln | f | = ln u 2 + v 2 es una función 2 armónica en , luego existirá h ∈ H() tal que e h = α = ln | f |. Pero entonces h e h e = e = | f |, con lo cual h e =1 f Teorı́a global de Cauchy 109 y por tanto la función eh / f , holomorfa y no nula en la región , debe mantenerse constante. Si c es el valor de esa constante, g = h −Log c es una función holomorfa en para la que eh = f. e g = eh−Log c = c (6) ⇒ (7). Dada f ∈ H() tal que f (z) = 0 en todo z ∈ , si para alguna g ∈ H() es e g = f , para la función holomorfa 1 h = e2g es h 2 = e g = f . (7) ⇒ (2). Sea a ∈ / y γ un camino cerrado contenido en . La función f ∈ H() definida por f (z) = z−a no se anula en , luego existe f 1 ∈ H() tal que f 12 = f . Reiterando, se encuentra para cada n ∈ N una f n ∈ H() tal que f n2 = f n−1 y ası́ n ( f n )2 = f, Derivando 2n ( f n )2 n −1 n ∈ N. f n = 1, n ∈ N, con lo cual 1 1 f n (z) = = , n ∈ N, z ∈ . f n (z) f (z) z−a Se sigue que para todo n ∈ N ha de ser 1 1 1 1 1 dz f n (z) dw = dz = Ind (a) = γ 2n 2n 2πi γ z − a 2πi γ f n (z) 2πi fn ◦γ w 2n = Ind fn ◦γ (0) ∈ Z, lo que sólo es posible si Indγ (a) = 0. Observaciones. (1) Nótese que para que no sea simplemente conexo es, pues, necesario y suficiente que haya al menos una función holomorfa en que no tenga primitiva. (2) Se pueden añadir equivalencias a la lista anterior (cf. Rudin, loc. cit., Teor. 13.11, pp. 311 y ss.). De momento, daremos una descripción geométricotopológica de los conjuntos simplemente conexos de C. Esta nueva caracterización necesita un lema previo, fácil de visualizar pero de demostración un tanto enrevesada. Se trata de construir un ciclo que rodee a un compacto K contenido en un abierto . La idea básica consiste en tomar una colección finita de segmentos que constituye la frontera de una ‘imagen digitalizada de K ligeramente ampliada’. El punto delicado de la demostración está en comprobar que estos segmentos se pueden organizar para formar un ciclo respecto del cual los puntos de K resulten tener ı́ndice 1 y los puntos fuera de tengan ı́ndice 0. 110 Teorı́a global de Cauchy Lema 7.11. Sea un abierto no vacı́o de C y sea K un conjunto compacto contenido en . Existe entonces un ciclo en \ K tal que (1) para a ∈ / se tiene Ind (a) = 0, es decir, ∼0 (), (2) para cada z ∈ K Ind (z) = 1. Demostración. Ver Rudin, loc. cit., Sección 13.4 y Teor. 13.5., pp. 304–306. Dado que Ind (z) = 1 para z ∈ K , está justificada la expresión “ rodea a K en ”; en cierto modo, podrı́amos decir que K queda ‘en el interior’ de y el complementario de en ‘el exterior’ de . El ciclo sirve como ‘contorno’ de K en diferentes contextos, no sólo en la teorı́a de funciones holomorfas. Teorema 7.12. Sea una región de C. Entonces es simplemente conexo si y sólo si C∞ \ es conexo en la esfera de Riemann C∞ . Demostración. Si C∞ \ es conexo, es simplemente conexo. En efecto: tomemos un ciclo cualquiera contenido en . El conjunto C \ sop tendrá una colección finita o numerable de componentes conexas, todas ellas acotadas excepto una que denotaremos por B. Entonces, las componentes conexas de C∞ \ sop serán las componentes acotadas de C \ sop más B ∪ {∞}. Dado que C∞ \ es conexo y está contenido en C∞ \ sop , necesariamente C∞ \ ⊆ B ∪ {∞}, o lo que es lo mismo C \ ⊆ B. Puesto que el ı́ndice respecto de es 0 en B, componente no acotada de C \ sop , en particular para cualquier a ∈ C \ ⊆ B se tiene Ind (a) = 0. Para demostrar el recı́proco, probaremos que si C∞ \ no es conexo, no puede ser simplemente conexo. Supongamos, pues, que C∞ \ no sea conexo, con lo que existirán conjuntos A y B no vacı́os disjuntos cerrados en C∞ tales que C∞ \ = A ∪ B. Sea ∞ ∈ B: entonces A ⊆ C es acotado (en caso contrario, ∞ ∈ A = A), luego compacto, contenido en C∞ \ B que es un abierto de C. Según el lema anterior en estas condiciones existe un ciclo contenido en (C∞ \ B) \ A = tal que Ind (a) = 1 para todo a ∈ A. Pero A ⊆ C \ , con lo que no es homólogo a 0 respecto de y no es simplemente conexo. Este resultado se traduce en lenguaje coloquial en que “los conjuntos simplemente conexos de C son los que no tienen agujeros”, mirando como “agujeros” de las componentes acotadas de C∞ \ . Teorı́a global de Cauchy 111 Ejemplos. (1) Son conjuntos simplemente conexos todos los abiertos estrellados (en particular, C, C \ (−∞, 0], los discos, todos los abiertos convexos, . . . ) (2) ¿Puede dar el lector un ejemplo de abierto simplemente conexo no estrellado? (Hay muchos ejemplos sencillos) (3) Aunque son abiertos conexos, no son simplemente conexos los anillos D(a; r, R) = {z ∈ C : r < |z − a| < R}, a ∈ C, 0 ≤ r < R ≤ +∞. En particular, C \ {0} no es simplemente conexo. (4) En relación con lo anterior, ¿qué puede decirse del abierto D(0; r, R) \ [r, R] si 0 < r < R < +∞? Comentario final: homotopı́a. No podemos tratar la conexión simple sin nombrar al menos su caracterización más importante quizá desde el punto de vista estrictamente topológico, que se expresa en términos de homotopı́a. El concepto de homotopı́a se define mediante conceptos puramente topológicos, lo que permite hablar de conjuntos simplemente conexos en espacios topológicos arbitrarios. Dado un espacio topológico X , una curva en X es, como sabemos, una aplicación continua de un intervalo compacto de R en X . Supongamos que tenemos dos curvas γ0 y γ1 , parameterizadas en el intervalo I = [0, 1], cerradas (γ0 (0) = γ0 (1), γ1 (0) = γ1 (1)). Se dice que γ0 y γ1 son homótopas si existe una aplicación continua H : I × I → X tal que para s, t ∈ I cualesquiera se verifica H (s, 0) = γ0 (s), H (s, 1) = γ1 (s), H (0, t) = H (1, t). Intuitivamente, que γ0 y γ1 sean homótopas corresponde a que podamos deformar γ0 con continuidad dentro de X para transformarla en γ1 , siendo γt = H (·, t) las curvas intermedias en la deformación. Si toda curva cerrada γ es homótopa en X a una curva constante, se dice que X es simplemente conexo. En esta definición, entonces, los conjuntos simplemente conexos son aquellos en los que toda curva cerrada se puede deformar con continuidad dentro del conjunto hasta reducirla a un punto. No es evidente que para subconjuntos del plano esto sea exactamente lo mismo que todo camino cerrado no dé ninguna vuelta alrededor de los puntos que no pertenecen al conjunto (caracterización homológica), o que el conjunto ‘no tenga agujeros’. Un estudio de la relación entre homotopı́a y homologı́a en C, entre homotopı́a e integración, y la prueba de la equivalencia entre la definición homotópica de la conexión simple y las anteriores puede verse en Rudin, loc. cit., Sección 10.38, pp. 251–253, y en Conway, loc. cit., Cap. IV, Sec. 6, pp. 87–95. CAPÍTULO 8 Ceros y singularidades. Series de Laurent. 8.1 INTRODUCCIÓN Los polinomios son el ejemplo extremo de la importancia que puede llegar a tener el conocimiento de los ceros de una función en la determinación y el manejo de la misma. Sin llegar a tanto, para las funciones holomorfas el estudio de sus ceros es también un aspecto importante de su tratamiento, y en la primera sección de este capı́tulo recogeremos información ya conocida (para funciones analı́ticas, que como sabemos coinciden con las holomorfas), añadiendo algunas propiedades sencillas que no agotan el tema: especialmente para funciones enteras, quedan pendientes resultados importantes, algunos de los cuales se tratarán el curso próximo. Estamos constatando a lo largo de todo el curso que las funciones holomorfas se comportan maravillosamente si las comparamos con las funciones a las que nos hemos enfrentado en cursos anteriores. ¿Podemos seguir sacando partido de nuestros métodos actuales si permitimos que las funciones presenten alguna ‘anomalı́a’ en algunos puntos? ¿Qué se mantiene y cuánto se pierde? Contestar a esta pregunta es el propósito del estudio de los puntos singulares aislados de las funciones holomorfas. Nos limitaremos primero a establecer una clasificación de los mismos en tres tipos, viendo de qué manera tan distinta afecta al comportamiento local de la función la presencia de una singularidad aislada de cada uno de estos tipos. Un ejemplo de funciones que tienen solamente singularidades aisladas en un abierto son los cocientes de funciones holomorfas (supuesto que el denominador no se anule en ninguna componente conexa). Este es un caso particular importante de función meromorfa, concepto que introducimos en la siguiente sección, examinando de momento únicamente sus propiedades algebraicas. Estudio aparte merece el punto del infinito. Para las funciones holomorfas que tienen una singularidad aislada en ∞, averiguaremos cómo su comportamiento en este punto puede en algunos casos suministrar una información adicional interesante sobre la función. Por último, en la parte final de este capı́tulo, veremos un importante teorema de Laurent que generaliza el desarrollo en serie de Taylor de una función holomorfa en un disco, probando que si una función es holomorfa en una corona circular (en 112 Ceros y singularidades. Series de Laurent. 113 particular, en un disco privado de su centro), la función se puede representar como suma de una serie de Laurent, que es una serie de potencias con exponentes enteros cualesquiera y no sólo con exponentes enteros no negativos, como son las series de Taylor. Comprobaremos que las series de Laurent permiten ası́ mismo caracterizar los diferentes tipos de singularidades aisladas, y concluiremos con unos ejercicios que muestran cómo hallar desarrollos de Laurent de algunas funciones concretas, un buen banco de pruebas para los recursos adquiridos hasta el momento. Referencias básicas: — Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New York (1978). — Duncan, J.: The elements of complex analysis. Wiley, London (1968). — Rudin, W.: Análisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana, Madrid (1987). 8.2 CEROS DE UNA FUNCIÓN HOLOMORFA Un polinomio no puede tener infinitos ceros sin ser idénticamente nulo. La situación es algo menos drástica cuando pasamos a funciones holomorfas: conocemos funciones no nulas, como el seno y el coseno, que tienen infinitos ceros. Esto no significa que no haya restricciones severas sobre los posibles ceros de una función holomorfa no nula. Una vez que hemos probado la identidad entre las funciones holomorfas y las funciones analı́ticas, el principio de prolongación analı́tica nos informa de que el conjunto de ceros de una función holomorfa no nula, si su dominio es conexo, no puede poseer puntos de acumulación dentro del dominio. Esto no significa que no pueda haber puntos de acumulación de ceros: por ejemplo, la función sen(π/z) es holomorfa en C \ {0} y se anula en los puntos 1/k, k ∈ Z (en este caso 0 es un punto de acumulación de ceros); lo que sucede es que, si el conjunto de ceros tiene puntos de acumulación, éstos deberán estar en la frontera del dominio. Podemos sacar algunas consecuencias inmediatas de este hecho. Proposición 8.1. Sea una región de C y f ∈ H() no idénticamente nula. Denotemos por Z f el conjunto de ceros de f , es decir, Z f = f −1 (0). Entonces (1) Z f es un conjunto discreto. (2) Para cualquier conjunto compacto K ⊆ , Z f ∩ K es finito o vacı́o. (3) Z f es un conjunto contable (finito o numerable). Demostración. (1) Que Z f es un conjunto discreto significa que para cada punto a de Z f se puede encontrar un r > 0 tal que z ∈ / Z f si 0 < |z − a| < r , o lo que es igual, que ningún punto de Z f es punto de acumulación de Z f . 114 Ceros y singularidades. Series de Laurent. (2) Si Z f ∩ K tuviese infinitos puntos, por la compacidad de K tendrı́a al menos un punto de acumulación en K ⊆ y por tanto Z f tendrı́a al menos un punto de acumulación en . (3) puede ponerse como unión numerable de compactos, = ∪n K n para alguna sucesión (K n ) de compactos. Entonces Z f = ∪n (Z f ∩ K n ) y cada Z f ∩ K n es finito o vacı́o. Definición 8.2. Sea un abierto de C y f ∈ H(). Dado a ∈ , diremos que a es un cero de orden k de f si k ∈ N es tal que f (a) = f (a) = . . . = f (k−1) (a) = 0, f (k) (a) = 0. Nótese que para que exista tal k, es necesario y suficiente que a sea un cero de f y que f no se anule en la componente conexa de que contiene a a; dicho de otra forma, que a sea un cero aislado de f . Proposición 8.3. Sea un abierto de C, a ∈ , k ∈ N y f ∈ H(). Las siguientes propiedades son equivalentes entre sı́: (1) a es un cero de f de orden k. (2) En un disco D(a; r ) ⊆ es ∞ an (z − a)n , z ∈ D(a; r ), f (z) = n=k con ak = 0. (3) Existe una función g ∈ H() tal que g(a) = 0 y f (z) = (z − a)k g(z) para todo z ∈ . Demostración. (1) ⇒ (2) Expresar los coeficientes del desarrollo de Taylor de f en a mediante las derivadas de f en a. (2) ⇒ (3) La función g definida en por f (z) g(z) = (z − a)k si z = a ak si z = a es claramente holomorfa en \ {a} y en a es analı́tica (luego holomorfa), puesto que para todo z ∈ D(a; r ) es ∞ an (z − a)n , g(z) = n=k y por tanto cumple las condiciones de (3). (3) ⇒ (1) Basta calcular las derivadas sucesivas de f y aplicar la definición de orden de un cero. Ceros y singularidades. Series de Laurent. 8.3 115 SINGULARIDADES AISLADAS En algunos textos (p. ej. Duncan, ob. cit., p. 63), dado un abierto y una función f : → C se dice que un punto a ∈ es un punto regular para f o que f tiene en a un punto regular si existe un r > 0 tal que D(a; r ) ⊆ y f es derivable en cada punto de D(a; r ). Los puntos que no son regulares se denominan puntos singulares. En esta sección estudiaremos un tipo especial de puntos singulares, que denominaremos singularidades aisladas. Definición 8.4. Sea a ∈ C. Decimos que una función f tiene una singularidad aislada en a si f no es derivable en a pero existe un r > 0 tal que f es holomorfa en D∗ (a; r ) = {z ∈ C : 0 < |z − a| < r }. Clasificación de las singularidades aisladas. Podemos distinguir entre las siguientes situaciones: (1) existe limz→a f (z) ∈ C. Se dice entonces que f tiene en a una singularidad evitable o que a es una singularidad evitable de f . (2) existe limz→a f (z) = ∞. Se dice entonces que f tiene en a un polo o que a es un polo de f . (3) no existe limz→a f (z) en C∞ . Se dice entonces que f tiene en a una singularidad esencial o que a es una singularidad esencial de f . Ejemplos. (1) Hay muchas funciones holomorfas (no enteras) sin singularidades aisladas. Ejemplo sencillo: el logaritmo principal Log z, para el que son puntos regulares todos los de C \ (−∞, 0] y singulares todos los de (−∞, 0]. (2) Todos los puntos en los que no está definida la función f dada por f (z) = z ez − 1 son singularidades aisladas. En z = 0 tiene una singularidad evitable. Los puntos de la forma z = 2kπi, k ∈ Z \ {0}, son polos de f . (3) La función f dada por f (z) = e1/z tiene una singularidad esencial en z = 0. Observación. El conjunto S f de singularidades aisladas de una función f es discreto y contable (incluı́da la posibilidad de que sea vacı́o). 116 Ceros y singularidades. Series de Laurent. Proposición 8.5. Sea un abierto no vacı́o de C, a ∈ y f ∈ H( \ {a}). Entonces (1) Si a es una singularidad evitable de f , la función f˜ definida por f (z) si z ∈ \ {a} f˜(z) = limz→a f (z) si z = a es holomorfa en . Recı́procamente, si f admite una extensión holomorfa en , tiene en a una singularidad evitable. (2) Si para algún r > 0 la función f se mantiene acotada en D∗ (a; r ) = {z ∈ C : 0 < |z − a| < r }, entonces f tiene una singularidad evitable en f . Demostración. (1) f˜ es holomorfa en \ {a} y continua en , luego holomorfa en . El recı́proco es obvio. (2) Ya se probó que, en estas condiciones, f admite una extensión holomorfa en D(a; r ). La primera parte de la proposición anterior justifica el nombre de singularidad evitable. Nótese que si f tiene en a una singularidad evitable, o bien f no está definida en a o bien f no es continua en a. Definición 8.6. (Orden de un polo). Sea a un polo de una función f . Entonces la 1 función tiene en a una singularidad evitable y lı́mite nulo, de manera que para f algún δ > 0 la función h(z) = 1/ f (z) si 0 < |z − a| < δ 0 si z = a es holomorfa en D(a; δ). Si h tiene en a un cero de orden k, diremos que f tiene en a un polo de orden k o que a es un un polo de orden k de f . Los polos de orden 1 se llaman polos simples; los de orden mayor que 1, polos múltiples (dobles, triples, . . . ) Proposición 8.7. Sea un abierto no vacı́o de C, a ∈ y f ∈ H( \ {a}). Las siguientes propiedades son equivalentes: (1) f tiene en a un polo de orden k; (2) existe limz→a (z − a)k f (z) ∈ C \ {0}, y en consecuencia limz→a (z − a)n f (z) = ∞ si 0 ≤ n < k, limz→a (z − a)n f (z) = 0 si n > k; Ceros y singularidades. Series de Laurent. 117 (3) existe una función g ∈ H() tal que g(a) = 0 y f (z) = g(z) (z − a)k para cada z ∈ \ {a}; (4) existen coeficientes A j (1 ≤ j ≤ k), an (n ∈ N ∪ {0}), unı́vocamente determinados, con Ak = 0, y un r > 0, tales que ∞ A2 A1 Ak + ··· + + an (z − a)n + f (z) = k 2 (z − a) (z − a) z − a n=0 siempre que 0 < |z − a| < r . Ak A2 A1 se denomina +· · ·+ + (z − a)k (z − a)2 z − a parte singular o parte principal de f en a.) Demostración. (1) ⇒ (2) Yendo a la definición, h(z) = (z − a)k g(z) para alguna función g holomorfa en D(a; δ) con g(a) = 0, y limz→a (z − a)k f (z) = 1/g(a). (2) ⇒ (1) Si h es como en la definición, resulta h(z) = (z − a)k g(z) para g dada por 1 h(z) = si 0 < |z − a| < δ g(z) = (z − a)k (z − a)k f (z) 1/ limz→a (z − a)k f (z) si z = a, (La función racional S( f ; a)(z) = que es holomorfa en D(a; δ) y no nula en a. (2) ⇒ (3) La función dada por (z − a)k f (z) tiene una singularidad evitable en a. (3) ⇒ (4) Para algún r > 0 puede ponerse g(z) = ∞ cn (z − a)n , |z − a| < r, n=0 luego ∞ c0 ck−2 ck−1 f (z) = + + ··· + + ck+n (z − a)n k 2 (z − a) (z − a) z − a n=0 siempre que 0 < |z − a| < r . Puesto que g está unı́vocamente determinada por f , hay unicidad para los coeficientes. (4) ⇒ (2) Evidente. Observación. Según el resultado anterior, la función f − S( f ; a) tiene en a una singularidad evitable. Además, el orden de a como polo de f es el menor valor de n tal que (z − a)n f (z) tiene una singularidad evitable en a. 118 Ceros y singularidades. Series de Laurent. NOTA. Cuando f es una función racional, sólo tiene en C un número finito de singularidades que son polos. Separando repetidamente la parte singular en cada uno de ellos, encontramos la descomposición de f en fracciones simples (v. detalles en Conway, ob. cit., pp. 105–106.) Finalmente, para singularidades esenciales, tenemos la siguiente caracterización en términos de los valores de la función: Teorema 8.8. (Teorema de Casorati-Weierstrass). Sea un abierto no vacı́o de C, a ∈ y f ∈ H( \ {a}). Las siguientes propiedades son equivalentes: (1) a es una singularidad esencial de f . (2) f (U ) = C para todo entorno reducido U ⊆ \ {a} de a. (3) Para todo w ∈ C se puede encontrar (z n ) en \ {a} tal que z n → a y f (z n ) → w. Demostración. (1) ⇒ (2) En caso contrario existirı́an r > 0, δ > 0 y w ∈ C tales que | f (z)−w| > δ para todo z ∈ D∗ (a; r ). Entonces, la función g dada por 1 , z ∈ D∗ (a; r ), g(z) = f (z) − w es holomofa y acotada en D∗ (a; r ), con lo cual puede extenderse a una función g̃ holomorfa en D(a; r ). Si fuese g̃(a) = 0, se deduce que f estarı́a acotada en un entorno de a, y en consecuencia a serı́a una singularidad evitable de f . Pero si g̃ tiene en a un cero de orden k ≥ 1, podrı́amos escribir g̃(z) = (z − a)k g1 (z), z ∈ D(a; r ), para una función g1 holomorfa en D(a; r ) con g1 (a) = 0; por tanto 1 1 = ∈ C \ {0}, lim (z − a)k f (z) = lim (z − a)k w + z→a z→a g1 (z) g1 (a) con lo cual a serı́a un polo de orden k de f . (2) ⇒ (3) Evidente. (3) ⇒ (1) Es claro que en esta hipótesis no existe limz→a f (z), ni finito ni infinito. Se sabe mucho más: si a es una singularidad esencial de f , en cualquier entorno reducido de a la función f alcanza todos los valores complejos, excepto uno a lo más. Este es el llamado ‘teorema grande de Picard’, ver Rudin, ob. cit., pp. 376–377. (Más fácil de probar es el ‘teorema pequeño de Picard’, que establece que cada función entera no constante alcanza cualquier valor complejo, excepto uno a lo más. La función exponencial ilustra que este es el mejor resultado esperable.) Las demostraciones de estos teoremas requieren herramientas más poderosas que las que disponemos por ahora. Ceros y singularidades. Series de Laurent. 8.4 119 FUNCIONES MEROMORFAS Las funciones cuyas únicas singularidades son polos aparecen con frecuencia suficiente como para merecer un nombre especial. Definición 8.9. Diremos que una función f es meromorfa en un abierto si en cada punto de o bien f es holomorfa o bien tiene un polo; dicho de otra forma, si existe un conjunto Pf ⊆ tal que (1) Pf no tiene puntos de acumulación en ; (2) f ∈ H( \ Pf ); (3) f tiene un polo en cada punto de Pf . Como Pf es un subconjunto discreto de , para cada compacto K ⊆ el conjunto K ∩ Pf es finito, lo que implica que Pf es finito o numerable. Está incluida la posibilidad Pf = ∅, con lo cual las funciones holomorfas son ejemplos de funciones meromorfas. También lo son las funciones racionales. El conjunto de las funciones meromorfas en lo denotaremos por M(). Nótese que una función es meromorfa en un abierto si lo es en cada componente conexa del abierto. Supuesto conexo, son ejemplos de funciones meromorfas en los cocientes de funciones analı́ticas (con denominador no nulo, por descontado): de hecho, esta es la única forma de obtener funciones meromorfas en abiertos conexos, si bien la demostración de esta afirmación requiere conocer primero la posibilidad de construir funciones holomorfas con ceros prefijados y orden de los ceros igualmente prefijado (teorema de factorización de Weierstrass, que se probará el próximo curso). Por el momento, nos limitaremos a comprobar el siguiente resultado. Proposición 8.10. Dado un abierto no vacı́o en C, el conjunto M() de las funciones meromorfas en es un álgebra sobre C respecto de las operaciones usuales con funciones. Si además es conexo, M() es un cuerpo conmutativo. Demostración. Es una verificación rutinaria, basada en las factorizaciones asociadas a polos y ceros que caracterizan el orden de los mismos. Observaciones. (1) El comentario hecho anteriormente indica que si es una región, M() es el cuerpo de cocientes del dominio H(). (2) Cuando no es conexo, M() no es un cuerpo: por ejemplo, si = A ∪ B con A, B abiertos no vacı́os disjuntos, la función f que vale 1 en A y 0 en B está en M() [de hecho, en H()] y no tiene inverso en M() [es un divisor de cero en H()]. 120 8.5 Ceros y singularidades. Series de Laurent. SINGULARIDADES EN EL INFINITO Definición 8.11. Diremos que ∞ es una singularidad aislada de una función f si existe R > 0 tal que f ∈ H(A R ), donde A R = {z ∈ C : |z| > R}. Podemos establecer una clasificación similar a la considerada para singularidades finitas. Definición 8.12. Supongamos que ∞ es una singularidad aislada de una función f . Entonces: (1) Se dice que f tiene en ∞ una singularidad evitable o que ∞ es una singularidad evitable de f si existe lim f (z) ∈ C. z→∞ (2) Se dice que f tiene en ∞ un polo o que ∞ es un polo de f si lim f (z) = ∞. z→∞ (3) Se dice que f tiene en ∞ una singularidad esencial o que ∞ es una singularidad esencial de f si no existe limz→∞ f (z) en C∞ . Ejemplos. (1) f (z) = 1/z tiene una singularidad evitable en ∞. (2) todo polinomio no constante tiene un polo en ∞. (3) f (z) = e z tiene una singularidad esencial en ∞. (4) f (z) = 1/ sen z no tiene una singularidad aislada en ∞. 8.13. Estudio de singularidades en el infinito. Si para algún R > 0 es f ∈ H(A R ), donde como antes A R = {z ∈ C : |z| > R}, la función f ∗ definida por ∗ f (z) = f 1 z es holomorfa en D∗ (0; 1/R), con lo que 0 es una singularidad aislada para f ∗ . Esto permite reducir el estudio de las singularidades en ∞ al estudio de singularidades aisladas en 0. Por ejemplo, es inmediato que f tiene una singularidad evitable en ∞ (o un polo, o una singularidad esencial) si y sólo si f ∗ tiene en 0 una singularidad evitable (o un polo, o una singularidad esencial). Sobre esta base podemos estudiar con mayor detalle las singularidades en ∞. Definición 8.14. Diremos que f tiene en ∞ un polo de orden k o que ∞ es un polo de orden k de f si 0 es un polo de orden k de la función f ∗ definida por f ∗ (z) = f (1/z). Ceros y singularidades. Series de Laurent. 121 Como consecuencia de las definiciones y de los resultados previos sobre polos, podemos enunciar: Proposición 8.15. Supongamos que ∞ es una singularidad aislada para una función f . Las siguientes propiedades son equivalentes: (1) f tiene en ∞ un polo de orden k; f (z) (2) existe limz→∞ k ∈ C \ {0}; z (3) existen un R > 0 y una función g holomorfa en A R = {z ∈ C : |z| > R} con limz→∞ g(z) ∈ C \ {0} y que verifica f (z) = z k g(z) para cada z ∈ A R . (4) existen coeficientes A j (1 ≤ j ≤ k), an (n ∈ N ∪ {0}), con Ak = 0, unı́vocamente determinados, y un R > 0, tales que f (z) = Ak z + · · · + A1 z + k ∞ an n=0 zn siempre que |z| > R. (El polinomio Ak z k + · · · + A1 z se denomina parte singular o parte principal de f en ∞.) Teorema 8.16. (de Casorati-Weierstrass para singularidad infinita). Supongamos que ∞ es una singularidad aislada para una función f . Las siguientes propiedades son equivalentes: (1) ∞ es una singularidad esencial de f . (2) f (U ) = C para todo entorno reducido U de ∞. (3) Para todo w ∈ C se puede encontrar (z n ) en el dominio de f tal que z n → ∞ y f (z n ) → w. Es conveniente extender el concepto de función meromorfa a funciones definidas en abiertos del plano complejo ampliado C∞ que contengan al punto del infinito. Definición 8.17. Sea un abierto de C tal que C\ D(0; R) ⊆ para algún R > 0, es decir, tal que ∞ = ∪ {∞} sea un abierto en C∞ . Diremos que f : → C es meromorfa en ∞ , en sı́mbolos f ∈ M(∞ ), si f es meromorfa en y tiene en ∞ una singularidad evitable o un polo. Proposición 8.18. (1) Si f es una función entera y meromorfa en C∞ , entonces f es un polinomio. (2) f ∈ M(C∞ ) si y sólo si f es una función racional. 122 Ceros y singularidades. Series de Laurent. Demostración. (1) Si ∞ es una singularidad evitable, f serı́a constante por el teorema de Liouville. Supongamos, pues, que es un polo de orden k. Entonces lim z→∞ f (z) ∈ C \ {0} zk y por tanto existen R, M > 0 tales que | f (z)| ≤ M |z|k , |z| > R; en consecuencia (generalización del teorema de Liouville) f es un polinomio de grado ≤ k. (2) Observemos primero que si f ∈ M(C∞ ), sólo puede tener un número finito de polos en C para que ∞ sea una singularidad aislada. Sean, pues, a1 , . . . , an los polos finitos de f y k1 , . . . , kn sus respectivos órdenes y sea ∞ un polo de orden k0 para f . Se sigue que la función (z − a1 )k1 · · · (z − an )kn f (z) se puede extender a una función g holomorfa en C (es decir, entera) que tendrá en ∞ un polo de orden k = k0 + k1 + · · · + kn , con lo cual g es un polinomio de grado ≤ k según acabamos de probar, luego f (z) = g(z) (z − a1 )k1 · · · (z − an )kn es una función racional. Corolario 8.19. Si f es una función entera, o es constante o f (C) = C. Demostración. Si f es entera, ∞ es evidentemente una singularidad aislada para f. — Si ∞ es evitable, de modo que existe limz→∞ f (z) ∈ C, f es constante por el teorema de Liouville. — Si ∞ es un polo, f es un polinomio (resultado anterior) y f (C) = C. — Si ∞ es una singularidad esencial, f (C) = C por el teorema de CasoratiWeierstrass. NOTA. De hecho, como ya hemos comentado, si f es una función entera no constante es cierto que su imagen f (C) es todo C salvo un punto a lo más. Ceros y singularidades. Series de Laurent. 8.6 123 SERIES DE LAURENT Fijemos la notación D(a; r, R) para la corona {z : r < |z − a| < R}, donde 0 ≤ r < R ≤ +∞. √ Lema 8.20. Sea (an ) una sucesión de números complejos y r = lim sup n |an |. Entonces ∞ an (z − a)−n es absolutamente convergente en cada punto de la (1) la serie n=1 corona D(a; r, +∞) y converge uniformemente en los subconjuntos compactos de D(a; r, +∞); (2) en el disco D(a; r ) la serie no converge (en a ni siquiera está definida); (3) la función f definida en D(a; r, +∞) por ∞ f (z) = an (z − a)−n n=1 es holomorfa. ∞ an wn converge absolutamente en cada Demostración. Sabemos que la serie n=1 w ∈ D(0; 1/r ), no converge si |w| > 1/r , y que define en D(0; 1/r ) una función holomorfa g(w). Tomando w = 1/(z −a), se deducen las tesis del enunciado salvo la convergencia uniforme sobre compactos de D(a; r, +∞). Pero si K es un subconjunto compacto de D(a; r, +∞), existirá un R > r tal que K ⊆ D(a; R, +∞) (¿por qué?), de manera que para todo z ∈ K será ∞ ∞ an (z − a)−n ≤ |an | R −n < +∞, n=1 n=1 luego la serie converge uniformemente en K por el criterio M de Weierstrass. Si r = +∞, la serie no converge en ningún punto. Si r = 0, converge en C \ {a}. NOTA. Definición 8.21. (Series doblemente infinitas). Dada una sucesión (z n )n∈Z de ∞ ∞ números complejos, si las series zn y z −n convergen, diremos que la serie ∞ n=0 n=1 z n converge, en cuyo caso su suma es el número complejo n=−∞ ∞ n=−∞ zn = ∞ n=0 zn + ∞ n=1 z −n . 124 Ceros y singularidades. Series de Laurent. ∞ N Obsérvese que si z n converge, la sucesión de sumas simétricas zn n=−∞ n=−N es convergente con lı́mite igual a la suma de la serie, pero que este lı́mite puede existir sin que la serie sea convergente; por ejemplo, si z 0 = 0 y z n = 1/n para n = 0. ∞ ∞ Diremos que la serie z n converge absolutamente si las dos series zn y ∞ n=−∞ n=0 z −n convergen absolutamente. n=1 De manera análoga, dada ( f n )n∈Z , donde las f n son funciones complejas ∞ definidas en un conjunto S ⊆ C, diremos que la serie f n converge (puntualn=−∞ mente, uniformemente, uniformemente sobre compactos de S) si y sólo si las dos ∞ ∞ fn y f −n convergen (puntualmente, uniformemente, uniformemente series n=0 n=1 sobre compactos de S) Aunque hemos dividido la serie en dos trozos separando los n ≥ 0 y los n < 0, es evidente que la separación puede llevarse a cabo en cualquier otro ı́ndice, pues se trata de añadir o quitar un número finito de sumandos al trozo correspondiente. NOTA. Definición 8.22. (Series de Laurent). Llamaremos serie de Laurent centrada en a a toda serie de la forma ∞ an (z − a)n . n=−∞ Proposición 8.23. Dada una serie de Laurent centrada en a ∞ an (z − a)n , n=−∞ sean R1 = lim sup n |a−n |, −1 n R2 = lim sup |an | . Entonces: (1) la serie converge absolutamente en cada punto de la corona D(a; R1 , R2 ), a la que denominaremos corona de convergencia, y converge uniformemente en los subconjuntos compactos de D(a; R1 , R2 ); (2) la serie no converge en ningún punto z ∈ / D(a; R1 , R2 ) exterior a la corona; Ceros y singularidades. Series de Laurent. 125 (3) R1 y R2 son los únicos valores en [0, +∞] para los que se cumplen las propiedades (1) y (2); (4) la función f definida en D(a; R1 , R2 ) como suma de la serie f (z) = ∞ an (z − a)n n=−∞ es holomorfa en D(a; R1 , R2 ), y su derivada está dada en cada punto por f (z) = ∞ n an (z − a)n−1 . n=−∞ El enunciado anterior tiene pleno sentido si R1 < R2 . En caso contrario, D(a; R1 , R2 ) es vacı́o. Si R1 > R2 , no hay convergencia para la serie en ningún punto. Si R1 = R2 , ¿cuál es la situación? NOTA. Teorema 8.24. (Teorema de Laurent). Sea f una función holomorfa en una corona D(a; R1 , R2 ) [a ∈ C, 0 ≤ R1 < R2 ≤ +∞]. Entonces: (1) f puede representarse en D(a; R1 , R2 ) como suma de una serie de Laurent f (z) = ∞ an (z − a)n n=−∞ que converge absolutamente en cada z ∈ D(a; R1 , R2 ) y converge uniformemente en cada compacto contenido en D(a; R1 , R2 ) o, equivalentemente, en cada corona D(a; r1 , r2 ) para la que R1 < r1 < r2 < R2 . (2) Los coeficientes de la serie están dados por la fórmula 1 an = 2πi γ f (z) dz, (z − a)n+1 donde γ es cualquier circunferencia (orientada positivamente) de centro a y radio r , con R1 < r < R2 . (3) La serie está unı́vocamente determinada por f . Nos referiremos a la serie como al desarollo en serie de Laurent de f . La tesis (1) afirma la existencia de desarrollo en la corona, y la (3) su unicidad, mientras que (2) proporciona (teóricamente, al menos) una manera de calcular los coeficientes del desarrollo. 126 Ceros y singularidades. Series de Laurent. Demostración. (Cf. Conway, ob. cit., pp. 107–108.) Unicidad. Si existe la representación de (1), D(a; R1 , R2 ) estará contenida en la corona de convergencia de la serie, y ésta convergerá uniformemente en cada compacto contenido en D(a; R1 , R2 ). Si γ = ∂ D(a; r ) con R1 < r < R2 , sop γ es uno de tales compactos, luego podremos integrar la serie término a término para obtener ∞ f (z) dz = an (z − a)n dz = 2πi a−1 , γ γ n=−∞ y, en general, para cada n ∈ Z, de modo similar, γ ∞ f (z) dz = ak (z − a)k−n−1 dz = 2πi an , n+1 (z − a) γ k=−∞ luego los coeficientes del desarrollo están unı́vocamente determinados por la suma de la serie. Existencia. Comencemos por señalar que si R1 < r1 < r2 < R2 y γ1 , γ2 son, respectivamente, las circunferencias de centro a y radios r1 , r2 (orientadas positivamente), entonces γ1 y γ2 son homólogas respecto de D(a; R1 , R2 ) (comprobarlo). Por el teorema homológico de Cauchy se tiene, pues, que para toda función g holomorfa en D(a; R1 , R2 ) es g(w) dw = g(w) dw. γ1 γ2 En particular, tomando g(w) = 1 f (w) , 2πi (w − a)n+1 n ∈ Z, se deduce que 1 2πi γ1 1 f (w) dw = (w − a)n+1 2πi γ2 f (w) dw (w − a)n+1 da el mismo valor para cualquier circunferencia de centro a interior a la corona, es un complejo independiente de cuál sea el radio que se considere. Definamos, pues, para cada n ∈ Z, 1 an = 2πi γ f (w) dw, (w − a)n+1 Ceros y singularidades. Series de Laurent. 127 donde γ es cualquier circunferencia (orientada positivamente) de centro a y radio estrictamente mayor que R1 y estrictamente menor que R2 . Comprobaremos a continuación que para todo z ∈ D(a; R1 , R2 ) la serie ∞ an (z − a)n n=−∞ (i) es convergente y (ii) tiene por suma f (z). Esto basta para demostrar el teorema (¿POR QUÉ?) Sea, pues, z ∈ D(a; R1 , R2 ). Elegimos r , s de manera que R1 < r < |z − a| < s < R2 y denotamos con γr , γs las circunferencias de centro a y radios r , s orientadas positivamente. Poniendo Ms = max{| f (w)| : |w − a| = s}, como para todo w tal que |w − a| = s (> |z − a|) y para todo entero n ≥ 0 es n f (w) (z − a)n Ms |z − a|n |z − a| M s = , (w − a)n+1 ≤ s n+1 s s aplicando el criterio M de Weierstrass y la posibilidad de integrar término a término las series uniformemente convergentes resulta ∞ n 1 1 f (w) f (w) (z − a) dw dw = 2πi γs w − z 2πi γs n=0 (w − a)n+1 ∞ ∞ f (w) 1 n = dw (z − a) = an (z − a)n . n+1 2πi γs (w − a) n=0 n=0 De manera similar, si Mr = max{| f (w)| : |w − a| = r } y w es tal que |w − a| = r (< |z − a|), de n−1 f (w) (w − a)n−1 Mr r n−1 r M r ≤ , |z − a|n = |z − a| |z − a| (z − a)n n ∈ N, se sigue análogamente ∞ n−1 1 f (w) f (w) (w − a) 1 dw dw = 2πi γr z − w 2πi γr n=1 (z − a)n ∞ ∞ 1 n−1 −n = f (w) (w − a) dw (z − a) = a−n (z − a)−n . 2πi γr n=1 n=1 128 Ceros y singularidades. Series de Laurent. Hemos probado, por tanto, que la serie converge con suma ∞ f (w) f (w) 1 1 n dw + dw, an (z − a) = 2πi γs w − z 2πi γr z − w n=−∞ y ası́ tenemos (i). Pero además = [γs , −γr ] es un ciclo homólogo a 0 respecto de D(a; R1 , R2 ) para el que Ind (z) = 1 (comprobarlo), y aplicando la fórmula de Cauchy, 1 1 1 f (w) f (w) f (w) f (z) = dw = dw − dw 2πi w − z 2πi γs w − z 2πi γr w − z ∞ = an (z − a)n , n=−∞ lo que demuestra (ii). Disponemos ahora de otro útil para analizar las singularidades aisladas. Si a es una singularidad aislada de una función f , ésta será holomorfa en alguna corona D∗ (a; R) = D(a; 0, R), y será por tanto desarrollable en serie de Laurent en dicho conjunto. El examen de los coeficientes nulos permite decidir el tipo de singularidad que presenta f en a. Corolario 8.25. Sea a ∈ C una singularidad aislada de una función f , holomorfa en D∗ (a; R) = D(a; 0, R) para algún R > 0, y sea f (z) = ∞ an (z − a)n n=−∞ su desarrollo en serie de Laurent en D(a; 0, R). Entonces: (1) a es una singularidad evitable si y sólo si an = 0 para todo n < 0; (2) a es un polo de orden k si y sólo si a−k = 0 y an = 0 para todo n < −k; (3) a es una singularidad esencial si y sólo si an = 0 para infinitos valores negativos de n. Demostración. Conway, ob. cit., Cor. 1.18, p. 109. En el punto del infinito ‘se invierten los términos’, como cabı́a esperar. Si una función f tiene una singularidad aislada en ∞, será holomorfa en D(0; R, +∞) para algún R > 0, y según el teorema de Laurent f (z) = ∞ an z n , z ∈ D(0; R, +∞). n=−∞ Denominaremos a esta serie el desarrollo en serie de Laurent de f en el infinito. Ceros y singularidades. Series de Laurent. 129 Corolario 8.26. Sea f una función con una singularidad aislada en ∞, holomorfa en D(0; R, +∞) para algún R > 0, y sea f (z) = ∞ an z n n=−∞ su desarrollo en serie de Laurent en D(0; R, +∞). Entonces: (1) ∞ es una singularidad evitable si y sólo si an = 0 para todo n ≥ 1; (2) ∞ es un polo de orden k si y sólo si ak = 0 y an = 0 para todo n > k; (3) ∞ es una singularidad esencial si y sólo si an = 0 para infinitos valores positivos de n. Demostración. Aplicar el corolario anterior al punto singular 0 de la función f ∗ definida en D(0; 0, 1/R) por 1 ∗ f (z) = f , z que tendrá como desarrollo de Laurent ∗ f (z) = ∞ an z −n . n=−∞ 8.7 EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio. Dados a , b ∈ C con a = b, sea f (z) = Log z−a . z−b ¿Cuál es el máximo abierto en el que f es holomorfa? Hallar, si existe, el desarrollo en serie de Laurent de f en el infinito, determinando en qué dominio es válido el desarrollo. Respuesta. La función f está definida en C \ {a, b}. Puesto que la composición de funciones holomorfas es una función holomorfa, f será holomorfa al menos en z−a C \ {z : z = b o ∈ (−∞, 0]} = C \ [a, b] nótese que z−b z−a 1 λ = −λ, (λ ≥ 0) ⇐⇒ z = a+ b z−b 1+λ 1+λ ⇐⇒ z = t a + (1 − t) b, (0 < t ≤ 1) ⇐⇒ z ∈ [a, b) 130 Ceros y singularidades. Series de Laurent. En los puntos de (a, b) no hay continuidad (menos aún holomorfı́a) para f , pues si z 0 = t a + (1 − t) b, 0 < t < 1, tomando para n ∈ N zn = z0 + i (b − a) → z 0 , n wn = z 0 − i (b − a) → z 0 , n (n → +∞), resulta (1 − t)(b − a) + (i/n)(b − a) −t (1 − t) + (1/n 2 ) − (i/n) zn − a , = = zn − b t (a − b) + (i/n)(b − a) t 2 + (1/n)2 −t (1 − t) + (1/n 2 ) + (i/n) wn − a = , wn − b t 2 + (1/n)2 π π 1 1 − 1 − i , limn f (wn ) = ln −1 +i . con lo cual limn f (z n ) = ln t 2 t 2 En consecuencia, = C\[a, b] es el máximo abierto en el que f es holomorfa. Vemos ası́ que f tiene en ∞ una singularidad aislada, y que la máxima corona D(0; R, +∞) en la que f es holomorfa corresponde a R = max{|a|, |b|}. Por el teorema de Laurent, dicha corona es el dominio de validez del desarrollo. Para calcular éste, es preferible aprovechar que la derivada f es igualmente holomorfa en dicha corona, verificándose ∞ ∞ a n − bn a n − bn 1 1 f (z) = − = = , n+1 n+1 z−a z−b z z n=0 n=1 |z| > max{|a|, |b|}. Como D(0; R, +∞) es conexo, existe c ∈ C tal que ∞ bn − a n 1 f (z) = c + , n zn n=1 |z| > max{|a|, |b|}. Pero lim f (z) = Log 1 = 0, luego c = 0 y finalmente z→∞ ∞ z−a bn − a n 1 Log = , n z−b n z n=1 |z| > max{|a|, |b|}. Ejercicio. Calcular los desarrollos en serie de Laurent de la función f (z) = en D(0; 1, 2) y en D(0; 2, +∞). z−i 1 Log z−2 z+i Ceros y singularidades. Series de Laurent. 131 Respuesta. A la vista del ejercicio anterior, es fácil probar que f será holomorfa justamente en = C \ ([−i, i] ∪ {2}). Además, sabemos que ∞ z−i (−i)n − i n 1 (a) Log = si |z| > 1; n z+i n z n=0 ∞ 1 zn (b) =− si |z| < 2; n+1 z−2 2 n=0 ∞ 2n 1 (c) = si |z| > 2. n+1 z−2 z n=0 Multiplicando (a) por (b) se obtiene, siempre que 1 < |z| < 2: ∞ 1 z−i Log =− z−2 z+i k=−∞ −n+m=k (−i)n − i n 1 zk . m+1 n 2 n≥1,m≥0 Cuando k ≥ −1, el coeficiente de z k resulta ser ∞ ∞ 1 1 (−i)n − i n (−i)n − i n 1 ak = = k+1 k+n+1 n 2 2 n 2n n=1 n=1 i 2−i 1 = − , Arc tg 2k+1 2+i 2k 2 1 mientras que el coeficiente de k si k ≥ 2 es z ∞ (−i)n − i n 1 1 a−k = k+1 , n 2 n 2 n=k 1 = Log con lo cual, siempre que n ≥ 1, a−2n = 22k i Arc tg k−1 (−1) 1 − 2 m=0 (2m + 1)22m+1 k−1 m , 1 (−1) − . 2 m=0 (2m + 1)22m+1 −n Para |z| > 2, multiplicando (a) por (c) llegamos a f (z) = ∞ n=2 bn z , donde a−(2n+1) = 22k+1 i Arc tg m n−1 n−1 (−i)k − i k n−k−1 (−i)k − i k −k n−1 bn = 2 2 =2 k k k=1 k=1 =2 n−1 n−1 (−i/2)k − (i/2)k . k k=1 132 Ceros y singularidades. Series de Laurent. Otra respuesta (mediante integración). Sea, como antes, = C \ ([−i, i] ∪ {2}), y sean ∞ an z n , 1 < |z| < 2; f (z) = f (z) = n=−∞ ∞ cn z n , |z| > 2, n=−∞ los correspondientes desarrollos de Laurent de f en las coronas indicadas. Poniendo γr = ∂ D(0; r ) para 1 < r < 2; γε = ∂ D(2; ε) para 0 < ε < 2; γ R = ∂ D(0; R) para R > 2, es [γr ] ∼ [γ R , −γε ] (), luego aplicando sucesivamente el teorema de Laurent y el teorema homológico de Cauchy podemos deducir 1 f (w) dw = n+1 2πi γr w 1 f (w) dw. = cn − 2πi γε wn+1 1 an = 2πi 1 f (w) dw − w n+1 2πi γR γε f (w) dw w n+1 Pero la función g(w) = 1 Log wn+1 w−i w+i es holomorfa en D(2; 2), luego aplicando la fórmula de Cauchy en discos resulta 1 2πi w−i n+1 1 1 f (w) g(w) w w + i dw = dw dw = − wn+1 2πi γε w−2 2πi γε w − 2 i 2−i 1 1 = − n Arc tg . = g(2) = n+1 Log 2 2+i 2 2 γε 1 Log Por otra parte, como lim z f (z) = 0, siempre que n ≥ −1 se sigue z→∞ 1 cn = lim R→+∞ 2πi γR f (w) dw = 0 wn+1 (sin más que usar la acotación habitual de la integral). Para n ≤ −2, sea k = −n Ceros y singularidades. Series de Laurent. 133 (con lo cual k ≥ 2) y bk = c−k = cn . Entonces 1 bk = 2πi γR w k−1 1 f (w) dw = 2πi γR w−i wk−1 Log dw w−2 w+i 1 2k−1 w−i w k−1 − 2k−1 = + Log dw 2πi γ R w−2 w−2 w+i k−2 1 w−i = w dw + 2w k−3 + · · · + 2k−3 w + 2k−2 Log 2πi γ R w+i w−i 1 1 k−1 Log dw · +2 2πi γ R w − 2 w+i k−2 1 w−i dw + 2w k−3 + · · · + 2k−3 w + 2k−2 Log = w 2πi γ R w+i + 2k−1 · c−1 k−2 1 w−i dw. = + 2w k−3 + · · · + 2k−3 w + 2k−2 Log w 2πi γ R w+i El polinomio del integrando es la derivada del polinomio 1 2 2k−3 2 k−1 k−2 P(w) = w w w + 2k−2 w, + + ··· + k−1 k−2 2 que es obviamente holomorfo en todo C, luego integrando por partes y aplicando la fórmula de Cauchy llegamos a 1 bk = 2πi P(w) γR 1 1 − w−i w+i dw = P(i) − P(−i) k−1 2m−1 k−m i − (−i)k−m , = k−m m=1 que puede reescribirse en la forma vista anteriormente. CAPÍTULO 9 Teorema de los residuos. Aplicaciones. 9.1 INTRODUCCIÓN Del teorema de los residuos puede decirse que es la culminación de lo que hemos encuadrado bajo el nombre genérico de ‘teorı́a global de Cauchy’. Incorpora y extiende al teorema de Cauchy y a la fórmula de Cauchy, y tiene innumerables consecuencias teóricas y prácticas. De éstas apuntamos su uso para calcular integrales reales y sumas de series, limitándonos a señalar referencias donde encontrar el tema desarrollado en detalle. La primera aplicación teórica que presentamos se refiere a la localización de ceros, en la que tratamos de averiguar el número de ceros de una función en un subconjunto de su dominio. Los resultados básicos en esta dirección son el denominado principio del argumento y el teorema de Rouché. De aquı́ pasamos al estudio del comportamiento local de una función analı́tica, viendo su analogı́a con el de la función z m en torno al 0, en el sentido que se precisa en el texto. Deducimos el teorema de la aplicación abierta y alguna de sus aplicaciones, y finalizamos el capı́tulo con una versión global y otra local del teorema de la función inversa, llegando a una representación integral de esta inversa que nos permite obtener expresiones interesantes de su desarrollo en serie de Taylor. Referencias básicas: — Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New York (1978). — Mitrinović, D. S.: Calculus of Residues. Noordhoff, Groningen (1966). — Palka, B. P.: An Introduction to Complex Function Theory. Springer, New York (1991). — Rudin, W.: Análisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana, Madrid (1987). 134 Teorema de los residuos. Aplicaciones. 9.2 135 PRÓLOGO: RESIDUOS Agazapada en el teorema de Laurent hay una información importante. Por lo que vimos en su demostración, se deduce que si f tiene una singularidad aislada en a, f (z) dz = 2πi a−1 , γ donde a−1 es el coeficiente de (z − a)−1 en el desarrollo en serie de Laurent de f y γ = ∂ D(a; r ), r adecuado. Este coeficiente (salvo el factor habitual 2πi) es, pues, “el único vestigio”, el residuo que deja la función al ser integrada sobre una “pequeña” circunferencia centrada en a. Vamos a asignarle oficialmente este nombre. Definición 9.1. Sea a ∈ C una singularidad aislada de una función f . Recibe el nombre de residuo de f en a el coeficiente de 1/(z − a) en el desarrollo en serie de Laurent de f en el punto a, de manera que si f (z) = ∞ an (z − a)n , z ∈ D(a; 0, R), n=−∞ y denotamos con Res( f ; a) el residuo de f en a, es Res( f ; a) = a−1 . En el punto del infinito la definición es ligeramente distinta: Sea f una función con una singularidad aislada en ∞, y sea f (z) = ∞ an z n n=−∞ su desarrollo en serie de Laurent en una corona D(0; R, +∞). Llamaremos residuo de f en el infinito al número Res( f ; ∞) = −a−1 (coeficiente de 1/z en el desarrollo, cambiado de signo). ¿Qué hace merecedor de un nombre especial a este coeficiente? De momento, sabemos que su valor es lo único que necesitamos conocer a la hora de calcular la integral de f sobre la circunferencia γ . Pero con este punto de partida y un poco de 136 Teorema de los residuos. Aplicaciones. ingenio podemos servirnos de los residuos para calcular integrales en situaciones más complicadas. Supongamos, por ejemplo, que nos proponemos calcular una integral como Log(z + 2) z 3 ctg π z dz, (1 − cos 2π z) (z 2 + 1) donde es el ciclo contenido en = D(0; 2) formado por los caminos que se indican en la figura. i –2 –1 1 –i 2 Horrible, ¿no es cierto? “¿Qué es lo mejor que podemos hacer para resolver este problema? Dejarlo e inventar otro”, como recomienda el “profesor tradicional de matemáticas” en el retrato que de él hace Pólya. Vamos a ello. Según hemos señalado antes, tras calcular los residuos en los puntos z 1 = 1, z 2 = i, z 3 = −1, z 4 = −i de la función f (z) a integrar, tarea no extremadamente difı́cil, serı́amos capaces de hallar la integral en el caso más sencillo de que constase de una circunferencia γ jo = ∂ D(z j ; r j ) alrededor de uno de los puntos z j , suficientemente pequeña para que el disco cerrado D(z j ; r j ) quede dentro de y no incluya a ninguno de los restantes puntos z k , k = j, obteniendo entonces γ jo f (z) dz = 2πi Res( f ; z j ). Pero ésto ¿de qué sirve? De mucho . . . cuando caemos en la cuenta de que el teorema homológico de Cauchy permite sustituir oportunamente el ciclo original por otro ciclo formado por circunferencias, con tal de que ambos sean homólogos respecto de un abierto en el que f sea holomorfa. Notando que Ind (z 1 ) = 1, Ind (z 2 ) = 2, Ind (z 3 ) = −1, Ind (z 4 ) = 0, Teorema de los residuos. Aplicaciones. 137 podemos “fabricar” un ciclo homólogo a respecto de \ {z 1 , z 2 , z 3 , z 4 } tomando γ 2o i γ3 o –2 γ3 o γ 1o 1 –1 γ 2o i 2 –2 γ 1o 1 –1 –i 2 –i 0 = 1 ∪ 2 ∪ 3 , donde 1 = [γ1o ], 2 = [γ2o , γ2o ], 3 = [−γ3o ], y γ jo (1 ≤ j ≤ 3) son circunferencias elegidas como antes. Con ésto f = 0 f = γ1o f +2 γ2o f − f γ3o = 2πi (Res( f ; z 1 ) + 2 Res( f ; z 2 ) − Res( f ; z 3 ) + 0 · Res( f ; z 4 )) = 2πi 4 Ind (z j ) Res( f ; z j ). j=1 Estos son los ingredientes esenciales de la demostración general del teorema de los residuos, que se expone en el siguiente apartado. 9.3 EL TEOREMA DE LOS RESIDUOS Teorema 9.2. (Teorema de los residuos). Sea un abierto no vacı́o de C y sea f una función holomorfa en \ A, donde A ⊆ consta de singularidades aisladas de f . Para todo ciclo homólogo a 0 respecto de tal que A ∩ sop = ∅ se verifica 1 f (z) dz = Res( f ; a) Ind (a). 2πi a∈A 138 Teorema de los residuos. Aplicaciones. Demostración. Observemos, ante todo, que los sumandos que cuentan realmente en el segundo miembro de la igualdad anterior son los no nulos. Por tanto, examinemos el conjunto A0 = {a ∈ A : Ind (a) = 0}. Si fuese A0 = ∅, se tendrı́a Ind (a) = 0 para todo a ∈ A, con lo cual la suma resultarı́a nula; pero se sigue también que es homólogo a 0 respecto de \ A, abierto en el que f es holomorfa, luego la integral es asimismo nula, en virtud del teorema homológico de Cauchy. En caso contrario, A0 es un conjunto finito. En efecto: • A0 no tiene puntos de acumulación en , porque entonces también A tendrı́a puntos de acumulación en , lo que es falso; • A0 no tiene puntos de acumulación fuera de , ya que si z 0 ∈ C \ , Ind (z 0 ) = 0 por ser ∼ 0 (); tomando r > 0 tal que D(z 0 ; r ) ⊆ C\sop , para todo z del conexo D(z 0 ; r ) se tendrı́a Ind (z) = Ind (z 0 ) = 0, con lo cual D(z 0 ; r ) ∩ A0 = ∅; • A0 es un conjunto acotado, pues tomando R > 0 de manera que sop ⊆ D(0; R), sabemos que es Ind (z 0 ) = 0 para todo z 0 ∈ / D(0; R) (C \ D(0; R) está contenido en la componente no acotada de C\sop ), y ası́ A0 ⊆ D(0; R). En resumen, A0 es un conjunto acotado que no tiene puntos de acumulación en C, luego forzosamente ha de tener un número finito de puntos. Sean éstos a1 , a2 ,. . . , an , distintos entre sı́. Ahora, asociamos a los a j ∈ A0 (1 ≤ j ≤ n) sendos discos D(a j ; R j ) contenidos en , elegidos de tal manera que D(a j ; R j )∩ A = {a j }. Para 1 ≤ j ≤ n, tomemos 0 < r j < R j , y sean γ j = ∂ D(a j ; r j ) la circunferencia de centro a j y radio r j orientada positivamente, N j = Ind (a j ) y j = ) [γ j , (N . .j., γj ] [−γ j , (−N . . .j ), −γ j ] si N j > 0, si N j < 0, el ciclo formado por |N j | caminos iguales a γ j o a −γ j , para el que en cualquier caso Indj (z) = N j Indγj (z). Veamos que el ciclo 0 = 1 ∪ 2 ∪ · · · ∪ n es homólogo a respecto de \ A. En efecto: para cada z ∈ C \ sop 0 , Ind0 (z) = n j=1 y por tanto Indj (z) = n j=1 N j Indγj (z) Teorema de los residuos. Aplicaciones. 139 ∗ si z ∈ C \ , Ind (z) = 0 por hipótesis, Ind0 (z) = 0 porque cuando z∈ / D(a j ; R j ) es Indγj (z) = 0 (1 ≤ j ≤ n), y tenemos D(a j ; R j ) ⊆ ; ∗ si z ∈ A \ A0 , Ind (z) = 0 por la definición de A0 ; y como para 1 ≤ j ≤ n es D(a j ; R j ) ∩ A = {a j }, igual que antes z ∈ / D(a j ; R j ), Indγj (z) = 0 , Ind0 (z) = 0; ∗ si z = am ∈ A0 , Indγm (am ) = 1, Indγj (am ) = 0 si j = m (am ∈ / D(a j ; R j )), luego Ind0 (am ) = Nm = Ind (am ). Como f ∈ H( \ A), se sigue del teorema homológico de Cauchy que 1 2πi 1 f (z) dz = 2πi 0 n 1 f (z) dz = Nj f (z) dz. 2πi j=1 γj Usando ahora que f ∈ H D(a j ; 0, R j ) , 1 ≤ j ≤ n, del teorema de Laurent 1 f (z) dz = Res( f ; a j ) 2πi γj con lo cual, finalmente, n n 1 f (z) dz = N j Res( f ; a j ) = Indj (a j ) Res( f ; a j ) 2πi j=1 j=1 = Ind (a) Res( f ; a) = Ind (a) Res( f ; a). a∈A0 a∈A Corolario 9.3. Sea un abierto no vacı́o de C y f una función meromorfa en , y sea A el conjunto de los puntos de en los que f tiene polos. Para todo ciclo homólogo a 0 respecto de tal que A ∩ sop = ∅ se verifica 1 f (z) dz = Res( f ; a) Ind (a). 2πi a∈A Esta es la versión que da Rudin, ob. cit., Teor. 10.24, pp. 254–255, con una lı́nea de demostración ligeramente distinta que se apoya en las partes singulares de f en los puntos de A0 . Inciso. Como se dice en Conway, ob. cit., p. 113, ‘el teorema de los residuos es una espada de dos filos; si se pueden calcular los residuos de una función, se pueden calcular ciertas integrales y viceversa. La mayor parte de las veces, sin embargo, se usa como un medio de calcular integrales. Para utilizarlo en esta dirección se necesita un método para calcular el residuo de una función’. 140 Teorema de los residuos. Aplicaciones. A veces, partiendo de desarrollos en serie conocidos, es posible determinar el desarrollo de Laurent o, al menos, suficientes términos del mismo, para averiguar el valor del residuo. No siempre esto es factible o, aunque lo sea, puede haber algún procedimiento más cómodo para hallar el residuo. Comencemos por examinar el caso a ∈ C. — Por supuesto, si a es una singularidad evitable de f , no hay necesidad de ningún cálculo: obviamente, Res( f ; a) = 0 en este caso. — Si a es un polo simple de f , habitualmente lo más fácil es usar que Res( f ; a) = lim [(z − a) f (z)] . z→a Sobre esta base, en cada caso particular se pueden aprovechar las caracterı́sticas propias de las funciones que se manejen; por ejemplo, si 1/ f es una función fácil de derivar en a (se sobreentiende, completada por continuidad en a con el valor 0), el lı́mite anterior es justamente el inverso de la derivada de 1/ f en a. — Si a es un polo de orden k de f , podemos tener en cuenta que, escribiendo el desarrollo de Laurent de f en a, se tiene evidentemente 1 d k−1 Res( f ; a) = lim (z − a)k f (z) , z→a (k − 1)! dz k−1 que para k = 1 se reduce a la fórmula anterior. A veces se encuentra esta expresión en forma simplificada 1 d k−1 k (z − a) Res( f ; a) = f (z) , z=a (k − 1)! dz k−1 sobreentendiendo que (z − a)k f (z) se completa en a por continuidad. En el punto del infinito: — Si para un R > 0 es f ∈ H(D(0; R, +∞)) y definimos g ∈ H(D(0; 0, 1/R)) por 1 , g(z) = f z resulta g(z) Res( f ; ∞) = − Res ;0 , z2 ∞ porque si f (z) = an z n en D(0; R, +∞), hemos definido n=−∞ ∞ Res( f ; ∞) = −a−1 ; pero g(z) = n=−∞ 2 de 1/z en el desarrollo de g(z)/z . a−n z n , con lo que a−1 es el coeficiente Teorema de los residuos. Aplicaciones. 141 — En situaciones especiales es más fácil recurrir a otro tipo de argumentos. Por ejemplo, si f ∈ H(C \ {a1 , . . . , an }) Res( f ; a1 ) + . . . + Res( f ; an ) + Res( f ; ∞) = 0. (Probarlo como ejercicio a partir del teorema de los residuos.) 9.4 APLICACIÓN AL CÁLCULO DE INTEGRALES Y A LA SUMACIÓN DE SERIES Ver Conway, ob. cit., pp. 113 y ss.; Palka, ob. cit., pp. 326 y ss. Para un tratamiento más amplio y sistemático, la referencia obligada en este tema es el librito de Mitrinović, ob. cit. De carácter enciclopédico es Mitrinović, D. S.; Kečkić, J. D.: The Cauchy Method of Residues. (Theory and Applications). Reidel, Dordrecht (1984), que incluye además una breve nota histórica sobre Cauchy y el desarrollo del cálculo de residuos. 9.5 APLICACIONES A LA LOCALIZACIÓN DE CEROS Teorema 9.4. (Principio del argumento: forma analı́tica). Sea f una función meromorfa en un abierto con ceros aislados solamente. Denotemos con Z f el conjunto de ceros y con Pf el conjunto de polos de f . Para a ∈ Z f sea z f (a) el orden de a como cero de f , y para a ∈ Pf sea p f (a) el orden de a como polo de f . Si es un ciclo homólogo a 0 respecto de cuyo soporte no corta a Z f ∪ Pf , se verifica f (z) 1 dz = Ind (a) z f (a) − Ind (a) p f (a). 2πi f (z) a∈Z f a∈Pf Nótese que la integral está bien definida, ya que f y f son continuas en sop y f no se anula en sop ; además, sólo hay un número finito de ceros y polos que dan ı́ndice no nulo, de modo que en realidad las sumas que aparecen se reducen a un número finito de sumandos. Demostración. Si f tiene en a un cero de orden k, f (z) = (z − a)k g(z) para alguna función g, holomorfa donde lo sea f , tal que g(a) = 0; por tanto, en un entorno de a será g(z) = 0 y ası́ f (z) = k (z − a)k−1 g(z) + (z − a)k g (z), k g (z) f (z) = + f (z) z−a g(z) 142 Teorema de los residuos. Aplicaciones. en un entorno reducido de a en el que g /g es holomorfa. Por consiguiente, f / f tiene en a un polo simple con residuo igual a k. Análogamente, si f tiene en a un polo de orden p, en un entorno reducido de a es f (z) = (z − a)− p g(z) para alguna función g holomorfa sin ceros, de manera que −p g (z) f (z) = + f (z) z−a g(z) y f / f tiene en a un polo simple con residuo igual a − p. Puesto que f / f sólo puede tener singularidades en Z f ∪ Pf , aplicando el teorema de los residuos se obtiene la conclusión del enunciado. Corolario 9.5. (Principio del argumento: interpretación geométrica). Sea f una función meromorfa en un abierto con ceros aislados solamente. Sea = [γ ] un ciclo homólogo a 0 respecto de , formado por un solo camino γ cuyo soporte no contiene ceros ni polos de f , y sea h un argumento continuo a lo largo del camino “transformado” f ◦ γ , con valor inicial h 0 y valor final h 1 . Con la notación del teorema anterior, se verifica Ind (a) z f (a) − a∈Z f Ind (a) p f (a) = Ind f ◦γ (0) = a∈Pf h1 − h0 . 2π Demostración. Basta tener en cuenta que 1 2πi γ 1 f (z) dz = f (z) 2πi f ◦γ h1 − h0 dw = Ind f ◦γ (0) = . w 2π NOTA. El nombre de “principio del argumento” proviene de este resultado; informalmente, cuando z = γ (t) “recorre” γ , “se produce una variación continua del argumento” de f (z) igual a 2π N , donde N es el entero del enunciado. El principio del argumento puede utilizarse para averiguar el número de ceros de una función analı́tica en un subconjunto del plano complejo. Veamos un ejemplo sencillo. Ejercicio. Sea f ∈ H(D(0; R)), con R > 1, tal que e f (z) > 0 si |z| = 1. Entonces f no tiene ceros en D(0; 1). [En efecto: si γ es la circunferencia unidad, sop( f ◦ γ ) no corta al semieje real negativo, por lo cual Ind f ◦γ (0) = 0 en estas condiciones.] Teorema de los residuos. Aplicaciones. 143 En la práctica, al aplicar el principio del argumento nos encontraremos frecuentemente con la siguiente situación: el ciclo considerado tiene la propiedad de que para ciertos conjuntos disjuntos G y E se verifica C \ sop = G ∪ E y 1 si z ∈ G Ind (z) = 0 si z ∈ E. (Necesariamente G y E son abiertos, G acotado y E no acotado.) Como señalamos al comentar el teorema de la curva de Jordan, esto es lo que sucede cuando es un ciclo formado por un solo camino cerrado simple orientado positivamente, pero inmediatamente mostraremos ejemplos de otro tipo. Para describir esta situación no hay en la literatura una denominación estándar. Nosotros nos referiremos a ella diciendo que limita o encierra a G y que G es el recinto limitado o encerrado por . Conforme a la nomenclatura empleada en el teorema de la curva de Jordan, se llama a G el interior de y a sus puntos puntos interiores a , mientras que E es el exterior de y los puntos de E, los puntos exteriores a . Se emplea a veces la notación = ∂G para indicar que limita o encierra a G. Ejemplos. En las siguientes figuras, los ciclos de la primera fila encierran el recinto sombreado, mientras que los de la segunda no encierran ningún recinto. (Gráficamente, se observa que el interior queda siempre “a la izquierda del recorrido”. Cf. Palka, ob. cit., p. 160.) 144 Teorema de los residuos. Aplicaciones. Con esta nomenclatura, podemos enunciar: Corolario 9.6. Sea f ∈ H(), un ciclo en que limita un recinto G ⊆ de manera que sop no contenga ceros de f . Entonces la integral 1 f (z) dz 2πi f (z) es igual al número de ceros de f interiores a , contados según su multiplicidad. Demostración. Aplicamos el principio del argumento, teniendo en cuenta que es homólogo a 0 respecto de puesto que los z ∈ C \ son puntos exteriores a , que f no tiene polos en , que los ceros interiores a tienen ı́ndice 1 respecto de , y los exteriores tienen ı́ndice 0 respecto de . El principio del argumento admite una versión más general: Teorema 9.7. Sea f meromorfa en una región con ceros z 1 , z 2 , . . . , z n y polos p1 , p2 , . . . , pm contados según su multiplicidad. Si g es analı́tica en y es un ciclo homólogo a 0 respecto de que no pasa por los ceros ni los polos de f , entonces n m f 1 g g(z j ) Ind (z j ) − g( pk ) Ind ( pk ). = 2πi f j=1 k=1 Demostración. Conway, ob. cit., Teor. 3.6, p. 124. Una consecuencia importante del principio del argumento es el teorema de Rouché, que permite la localización de ceros de funciones desconocidas a partir del número de ceros de funciones conocidas. Teorema 9.8. (Teorema de Rouché). Sean f , g ∈ M(), un ciclo en que limita un recinto G ⊆ de manera que sop no contenga ceros ni polos de f o de g. Si para todo z ∈ sop es | f (z) + g(z)| < | f (z)| + |g(z)|, entonces: el número de ceros de f interiores a contados según su multiplicidad menos el número de polos de f interiores a contados según su multiplicidad es igual al número de ceros de g interiores a contados según su multiplicidad menos el número de polos de g interiores a contados según su multiplicidad. Teorema de los residuos. Aplicaciones. 145 Obsérvese que la desigualdad del enunciado implica que f y g no pueden anularse sobre sop . Demostración. El conjunto 1 de los puntos de que no son ceros ni polos de f ni de g es un abierto que contiene a sop . Definiendo 2 = {z ∈ 1 : | f (z) + g(z)| < | f (z)| + |g(z)|}, también 2 es un abierto que contiene a sop . Además, para cada z ∈ 2 , f (z) f (z) g(z) + 1 < g(z) + 1, f (z) con lo cual no podrá ser un número real no negativo. Si L es un logaritmo g(z) holomorfo en C \ [0, +∞), F = L ◦ ( f /g) es una función holomorfa en 2 , por lo que 1 1 ( f /g) (z) 0= dz F (z) dz = 2πi 2πi ( f /g)(z) 1 1 f (z) g (z) dz − dz = 2πi f (z) 2πi g(z) y basta aplicar el principio del argumento. NOTA. La demostración anterior aparece en Glicksberg, I.: A remark on Rouché’s theorem, Amer. Math. Monthly 83 (1976), 186–187. En los textos ‘tradicionales’ suele imponerse la hipótesis más fuerte | f (z) + g(z)| < |g(z)| para z ∈ sop , o, cambiando g por −g, | f (z) − g(z)| < |g(z)|, quizá la más frecuentemente manejada en la práctica. Como muestra de cuál es la forma en que puede sacarse partido al teorema de Rouché en el estudio de los ceros de una función, veamos una nueva demostración del teorema fundamental del álgebra. Otros ejemplos, con interesantes comentarios, pueden verse en Palka, ob. cit., pp. 342 y ss. Corolario 9.9. Si p(z) = z n +a1 z n−1 +· · ·+an , entonces p tiene n raı́ces (contadas según su multiplicidad). Demostración. Puesto que p(z)/z n tiende a 1 cuando z tiende a ∞, para algún R será p(z) z n − 1 < 1 siempre que |z| = R, es decir, | p(z) − z n | < |z n |. Por el teorema de Rouché, p(z) ha de tener n ceros interiores a ∂ D(0; R). 146 9.6 Teorema de los residuos. Aplicaciones. VALORES LOCALES DE UNA FUNCIÓN HOLOMORFA Definición 9.10. Sea f una función holomorfa en un abierto , z 0 ∈ , w0 = f (z 0 ), m ∈ N. Diremos que f aplica z 0 en w0 m veces [abreviado f (z 0 ) = w0 m veces] o con multiplicidad m si z 0 es un cero de orden m de la función f (z) − w0 . Equivalentemente, si f (z 0 ) = w0 , f (z 0 ) = · · · = f (m−1) (z 0 ) = 0, f (m) (z 0 ) = 0. Evidentemente, si w0 = f (z 0 ), f (z) − w0 siempre tiene un cero en z 0 . ¿Podrá afirmarse siempre, pues, que f (z 0 ) = w0 m veces para algún m ∈ N? Un momento de reflexión permite concluir que no: nada impide, por ejemplo, que f sea constante en algún disco D(z 0 ; r ) ⊆ (equivalentemente, que f sea constante en la componente conexa de que contiene a z 0 ), de manera que z 0 no sea un cero aislado de la función f (z) − w0 . Pero es claro que ésta es la única situación excepcional en la que la respuesta es negativa: Para que f (z 0 ) = w0 m veces para algún m ∈ N, es necesario y suficiente que z 0 sea un cero aislado de f (z) − w0 (equivalentemente, que f no sea constante en la componente conexa de que contiene a z 0 .) El siguiente resultado muestra que en el entorno de un punto en el que una función analı́tica f tome un valor w0 m veces, la función f alcanza los valores próximos a w0 justamente en m puntos distintos, “grosso modo” como lo hace la función g(z) = w0 + (z − z 0 )m (ver Palka, ob. cit., pp. 344 y ss., donde se da a este teorema el nombre de branched covering principle, “el principio del espacio recubridor ramificado o cubierta ramificada”). Teorema 9.11. Sea f una función holomorfa en un abierto no vacı́o arbitrario . Sean z 0 ∈ , m ∈ N, f (z 0 ) = w0 m veces. Entonces existen entornos abiertos V , W de z 0 y w0 respectivamente, tales que f (V ) = W y cada punto w ∈ W \ {w0 } es imagen por f exactamente de m puntos distintos z 1 , . . . , z m de V \ {z 0 }. Precisando más: Tomemos cualquier disco D = D(z 0 ; r ) tal que (∗) D ⊆ , (∗∗) f (z) − w0 no se anula en D \ {z 0 }. (∗ ∗ ∗) f (z) = 0 para todo z ∈ D \ {z 0 } Poniendo entonces = min{| f (z) − w0 | : |z − z 0 | = r } = d(w0 , f (∂ D)), W = D(w0 ; ), V = D ∩ f −1 (W ) = {z ∈ D : | f (z) − w0 | < }, Teorema de los residuos. Aplicaciones. 147 se verifica: (1) W = f (V ); (2) para todo w ∈ W \ {w0 } existen exactamente m puntos distintos z 1 , . . . , z m en V \ {z 0 } tales que f (z j ) = w con multiplicidad 1, 1 ≤ j ≤ m. Demostración. Puesto que f (z 0 ) = w0 m veces para algún m ∈ N, z 0 será un cero aislado de f (z) − w0 . Si f (z 0 ) = 0, para algún disco D(z 0 ; δ) ⊆ tiene que ser f (z) = 0 para todo z ∈ D \ {z 0 }, ya que en caso contrario z 0 serı́a un punto de acumulación de ceros de f y f se anuları́a en toda la componente conexa de que contiene a z 0 ; en consecuencia f (n) (z 0 ) = 0 para todo n ∈ N, contra la hipótesis de que f (z 0 ) = w0 m veces para algún m ∈ N. Tanto en este supuesto como si f (z 0 ) = 0 (por continuidad de f en tal caso), es posible entonces elegir un r > 0 de manera que si D = D(z 0 ; r ), ∗ D = D(z 0 ; r ) ⊆ ; ∗ f (z) − w0 no se anula en D \ {z 0 }; ∗ f (z) = 0 para todo z ∈ D \ {z 0 }. Tomemos cualquier r en las condiciones anteriores. Poniendo como en el enunciado = min{| f (z) − w0 | : |z − z 0 | = r }, obviamente > 0 y para W = D(w0 ; ), V = D ∩ f −1 (W ) = {z ∈ D : | f (z) − w0 | < }, es claro que W y V son abiertos, w0 ∈ W , z 0 ∈ V , V ⊆ y f (V ) ⊆ W . Para completar la demostración basta, pues, probar que para todo w ∈ W \{w0 } existen m ceros simples distintos de f (z) − w en V \ {z 0 }. Pero f (z) − w0 tiene exactamente m ceros en D (z 0 contado m veces), y para todo z ∈ ∂ D |( f (z) − w) − ( f (z) − w0 )| = |w − w0 | < ≤ | f (z) − w0 |, luego por el teorema de Rouché f (z)−w tiene m ceros (no necesariamente distintos en principio) z 1 , . . . , z m en D. Estos puntos están en V , pues | f (z j ) − w0 | = |w − w0 | < , 1 ≤ j ≤ m, y son ceros simples, ya que ( f (z) − w) (z j ) = f (z j ) = 0 por ser z j ∈ D \ {z 0 }. NOTA. También puede afirmarse que el abierto V del enunciado es conexo. Como no necesitaremos esta propiedad de V , no la probamos; hay una demostración en Palka, ob. cit., pp. 345–346, seguida de unos comentarios muy ilustrativos que desentrañan la “estructura geométrica local” de f en el entorno de z 0 . Las aplicaciones tales que cada elemento de la imagen tiene exactamente m antiimágenes suelen denominarse “aplicaciones m → 1”. Por esta razón en algunos textos el teorema anterior recibe el nombre de “teorema m → 1”. Con esta nomenclatura, podemos reescribirlo en la siguiente forma: 148 Teorema de los residuos. Aplicaciones. Corolario 9.12. Sea un abierto de C, f una función holomorfa en , z 0 ∈ , m ∈ N, f (z 0 ) = w0 m veces. Entonces existen abiertos V , W , tales que • z 0 ∈ V ⊆ ; • f (V ) = W (y, en particular, w0 ∈ W ); • f : V \ {z 0 } → W \ {w0 } es suprayectiva y m → 1. Si convenimos en que w0 tiene z 0 como antiimagen m veces, también podemos poner • f : V → W es suprayectiva y m → 1. Hay variantes de este teorema que reflejan de forma “analı́tico-algebraica” la semejanza local de f (z) con w0 + (z − z 0 )m . Por ejemplo: Proposición 9.13. Sea un abierto de C, f una función holomorfa en , z 0 ∈ , m ∈ N, f (z 0 ) = w0 m veces. Entonces existen un abierto V y una función ϕ ∈ H(V ) tales que • z 0 ∈ V ⊆ ; • f (z) = w0 + [ϕ(z)]m (para todo z ∈ V ); • la derivada ϕ no tiene ceros en V y ϕ es una aplicación invertible de V sobre un disco D(0; r ). Demostración. Ver Rudin, ob. cit. (Teor. 10.32, p. 245). El ejemplo siguiente ilustra en una situación concreta los conjuntos que intervienen en la demostración del teorema m → 1. Ejemplo. Sea = C \ {0}, f ∈ H() definida por 1 f (z) = z + , z z 0 = 1, w0 = f (z 0 ) = 2. Comprobar que f toma el valor 2 en 1 dos veces, y ver para qué valores de r > 0 se consigue, si D = D(z 0 ; r ), que ∗ D ⊆ ; ∗ f (z) − w0 no se anule en D \ {z 0 }; ∗ f (z) = 0 para todo z ∈ D \ {z 0 }. Para tales r , hallar = min{| f (z) − w0 | : |z − z 0 | = r }. Dibujar, para algún valor de r , los conjuntos Jr = { f (z) : |z − z 0 | = r }, K = {z : | f (z) − w0 | = }. Teorema de los residuos. Aplicaciones. 149 Respuesta. f (z) = 1 − 1 = 0 ⇐⇒ z = 1 o z = −1, z2 y f (1) = 2 = 0. Además (z − 1)2 , f (z) − w0 = z luego las condiciones ∗ se verifican exactamente para los r tales que 0 < r < 1. Para estos r , r2 |z − 1|2 = min{| f (z) − w0 | : |z − z 0 | = r } = min : |z − 1| = r = , |z| 1+r 1 que es una función de r creciente en (0, 1), de modo que 0 < < . 2 Para dibujar Jr , tengamos en cuenta que |z − z 0 | = r ⇐⇒ z = z 0 + r eit = 1 + r eit , t ∈ [0, 2π ], y ası́ f (z) = z + e2it + r eit (z − 1)2 1 , =2+ = 2 + r2 z z 1 + 2r cos t + r 2 t ∈ [0, 2π], expresión que permite describir paramétricamente con comodidad e f (z), m f (z). Para dibujar K , comencemos por observar que 1 1 1 2 2 w + w − 4 ó z = w− w −4 , f (z) = z + = w ⇐⇒ z = z 2 2 que para w = 2 + eit , t ∈ [0, 2π], supone, abreviando la notación, it 1 z =1+ e ± 4 eit + e2it . 2 2 Recordando que √ a + a 2 + b2 x =± , 2 √ √ a + bi = x + i y ⇐⇒ −a + a 2 + b2 y = ± , 2 sig x y = sig b, 150 Teorema de los residuos. Aplicaciones. vamos a parar a 1 2 e z = 1 + cos t ± 4 cos t + cos 2t + 16 + 8 cos t + 2 2 2 1 2 −4 cos t − cos 2t + 16 + 8 cos t + m z = sen t ± 2 2 2 con los signos ± combinados para que el signo del producto coincida con el de 4 sen t + sen 2t = (4 + 2 cos t) sen t, t ∈ [0, 2π], que es igual al signo de sen t. Ası́ quedan las gráficas de K y Jr para r = 2/3: f −→ 1 1 0.5 0.5 0 0 0.5 x 1 -0.5 1.5 2 1.5 x 2 2.5 3 3.5 -0.5 y y -1 -1 K Jr NOTA. Algunos programas de ordenador permiten obtener gráficos animados que muestran, de manera espectacular, la evolución de los conjuntos K y Jr según varı́a r . 9.7 TEOREMA DE LA APLICACIÓN ABIERTA Corolario 9.14. (Teorema de la aplicación abierta). Sea un abierto de C, f una función holomorfa en no constante en ninguna componente conexa de . Entonces f es abierta. En particular, f () es un abierto de C; y si es una región, f () también es una región. Teorema de los residuos. Aplicaciones. 151 Demostración. Recordemos que f es abierta cuando la imagen f (U ) de cada abierto U ⊆ es un abierto en C. Sea, pues, w0 ∈ f (U ) y tomemos z 0 ∈ U de modo que f (z 0 ) = w0 . Aplicando el teorema m → 1 en z 0 a la restricción de f a U , encontramos abiertos V , W tales que z 0 ∈ V ⊆ U , w0 ∈ W = f (V ) ⊆ f (U ), y ası́ w0 es interior a f (U ). El teorema de la aplicación abierta permite dar nuevas demostraciones de resultados conocidos. Corolario 9.15. (Principio del módulo máximo). Sea f una función holomorfa no constante en ninguna componente conexa de un abierto de C. Entonces | f | no puede tener un máximo local en ningún punto de . Demostración. Por ser f abierta, dado z 0 ∈ y D(z 0 ; R) ⊆ , si w0 = f (z 0 ) existe un disco D(w0 ; r ) ⊆ f (D(z 0 ; R)) con infinitos puntos w para los que resulta | f (z 0 )| = |w0 | < |w| = | f (z)|, z ∈ D(z 0 ; R). Ejercicio. Sea f una función holomorfa en una región y supongamos, por ejemplo, que (e f )3 = m f . Entonces f es constante. [Indicación: f () no puede ser abierto en C al estar contenido en el conjunto {x + i y : x, y ∈ R; x 3 = y}.] (Tenemos ası́ otra “explicación” de resultados obtenidos como consecuencia de las condiciones de Cauchy-Riemann.) 9.8 TEOREMAS DE LA FUNCIÓN INVERSA Teorema 9.16. (Teorema global de la función inversa). Sea f una función holomorfa e inyectiva en un abierto no vacı́o . Entonces • f () es abierto; • f −1 : f () → es continua; • f (z) = 0 para todo z ∈ ; • f −1 es holomorfa en f (), y para cada w0 ∈ f () es f −1 (w0 ) = 1 , f (z 0 ) donde z 0 = f −1 (w0 ). Demostración. Como f es inyectiva, no es constante en ninguna componente conexa de , con lo que f será abierta y por ello f () es abierto y f −1 es continua. 152 Teorema de los residuos. Aplicaciones. Si en algún punto z ∈ fuese f (z) = 0, tendrı́amos f (z) = w m veces, con m ≥ 2; en consecuencia, la restricción de f a algún entorno V de z serı́a m → 1, contra la inyectividad de f . Por último, el teorema de derivabilidad de la función inversa en un punto es ası́ aplicable en cada punto de f (), de manera que f −1 ∈ H() ya que f −1 es derivable en cada punto de f (), y su derivada viene dada, como ya sabı́amos, por la fórmula del enunciado. Observación. Para que una función holomorfa sea inyectiva es condición necesaria pero no suficiente que la derivada no se anule en ningún punto. Por ejemplo, la función exponencial tiene derivada no nula en todos los puntos sin ser inyectiva. Tal como sucede en el caso de funciones de varias variables reales, en el recı́proco sólo se llega a un resultado local, que es una ligera mejora del “teorema 1 → 1”. Teorema 9.17. (Teorema local de la función inversa). Sea f una función holomorfa en un abierto no vacı́o arbitrario . Sean z 0 ∈ , w0 = f (z 0 ), f (z 0 ) = 0. Entonces existen entornos abiertos V , W de z 0 y w0 respectivamente, tales que f aplica biyectivamente V sobre W y ( f |V )−1 : W → V es holomorfa en W . Precisando más: Tomemos cualquier disco D = D(z 0 ; r ) tal que (∗) D ⊆ , (∗∗) f (z) − w0 no se anula en D \ {z 0 }. Poniendo entonces = min{| f (z) − w0 | : |z − z 0 | = r } = d(w0 , f (∂ D)), W = D(w0 ; ), V = D ∩ f −1 (W ) = {z ∈ D : | f (z) − w0 | < }, se verifica: (1) f : V → W biyectivamente; (2) f (z) = 0 para cada z ∈ V ; (3) ( f |V )−1 : W → V es holomorfa. Demostración. Nótese que siempre existen discos D = D(z 0 ; r ) para los que se cumplen las hipótesis (∗) y (∗∗), pues en caso contrario encontrarı́amos una sucesión de puntos z n ∈ \ {z 0 } con lı́mite z 0 de manera que f (z n ) = w0 = f (z 0 ) para todo n, y resultarı́a f (z 0 ) = 0. (1) Evidentemente f (V ) ⊆ W , luego para probar que f aplica biyectivamente V sobre W basta ver que para cada w ∈ W existe un z ∈ V y sólo uno tal que f (z) = w, o equivalentemente, que para cada w ∈ W el número de ceros de la función f (z) − w en V sea 1. Teorema de los residuos. Aplicaciones. 153 Tomemos, pues, w ∈ W = D(w0 ; ). Por hipótesis, el número de ceros de f (z) − w0 en D es exactamente 1, y si γ es la circunferencia de centro z 0 y radio r orientada positivamente, para cada z ∈ sop γ = ∂ D, |( f (z) − w) − ( f (z) − w0 )| = |w − w0 | < ≤ | f (z) − w0 |, luego por el teorema de Rouché f (z) − w tiene un cero simple en D, que estará en V porque si f (z) = w, | f (z) − w0 | = |w − w0 | < . (2) Como la restricción de f a V es inyectiva, f no es constante en ninguna componente conexa de V , con lo cual f es abierta. Denotando por comodidad con f −1 la inversa de la restricción de f a V , esto significa que f −1 : W → V es continua y, de paso, implica que V es conexo por serlo W . Si aplicamos el teorema global de la función inversa, necesariamente f (z) = 0 para todo z ∈ V . (3) Basta tener en cuenta que, según acabamos de ver, f −1 : W → V es continua y f (z) = 0 para los z ∈ V . Teorema 9.18. (Representaciones de la función inversa). Sea f una función holomorfa en un abierto no vacı́o arbitrario . Sean z 0 ∈ , w0 = f (z 0 ), f (z 0 ) = 0. Consideremos un disco D = D(z 0 ; r ) tal que (∗) D ⊆ , (∗∗) f (z) − w0 no se anula en D \ {z 0 }. Sea, como antes, = min{| f (z) − w0 | : |z − z 0 | = r } = d(w0 , f (∂ D)), W = D(w0 ; ), V = D ∩ f −1 (W ) = {z ∈ D : | f (z) − w0 | < }. Llamando γ a la circunferencia de centro z 0 y radio r orientada positivamente, siempre que |w − w0 | < se verifica 1 z f (z) −1 (1) dz; f (w) = 2πi γ f (z) − w ∞ z f (z) 1 (2) dz (w − w0 )n ; f −1 (w) = n+1 2πi γ ( f (z) − w0 ) n=0 n−1 ∞ 1 d ψ(z)n f −1 (w) = z 0 + (3) (w − w0 )n , n−1 n! dz z=z 0 n=1 donde ψ(z) = serie) . z − z0 (fórmula de Lagrange para la inversión de una f (z) − w0 154 Teorema de los residuos. Aplicaciones. Demostración. El ciclo formado por γ es homólogo a 0 respecto de : los puntos de D son los únicos con ı́ndice no nulo respecto de γ . (1) Dado w ∈ W = D(w0 ; r ), hemos probado anteriormente que hay un único punto a ∈ D = D(z 0 ; r ) tal que f (a) = w. Además, para cada z ∈ ∂ D es | f (z) − w0 | ≥ > |w − w0 |, luego a es el único punto en D para el que f (a) = w. Por consiguiente, la función z f (z) g(z) = f (z) − w es meromorfa en , no tiene singularidades sobre sop γ y a es la única singularidad con ı́ndice no nulo (= 1) respecto de γ . Aplicando el teorema de los residuos, 1 z f (z) dz = Res(g; a). 2πi γ f (z) − w Puesto que lim [(z − a) g(z)] = lim z→a z→a 1 z−a z f (z) = a f (a) = a, f (z) − f (a) f (a) g tiene en a un polo simple (o una singularidad evitable si a = 0); en cualquier caso, Res(g; a) = a y ası́ z f (z) 1 dz = a = f −1 (w). 2πi γ f (z) − w (2) Teniendo en cuenta que si z ∈ sop γ , entonces | f (z)−w0 | ≥ > |w−w0 |, desarrollando en potencias de w − w0 el integrando de (1) e integrando término a término como de costumbre obtenemos la igualdad deseada. (3) Integrando por partes, para n ≥ 1 resulta 1 z f (z) dz 1 dz = 2πi γ ( f (z) − w0 )n+1 2πin γ ( f (z) − w0 )n y esta última integral podemos calcularla a través del teorema de los residuos, pues el integrando presenta una única singularidad en z 0 , que es exactamente un polo de orden n, y ası́ 1 dz 1 1 = Res ; z0 2πin γ ( f (z) − w0 )n n ( f (z) − w0 )n n−1 (z − z 0 )n 1 d 1 . = n (n − 1)! dz n−1 ( f (z) − w0 )n z=z0 Teorema de los residuos. Aplicaciones. 155 Ejemplo. Sea = C, f (z) = z e z , z 0 = 0, w0 = f (z 0 ) = 0. En este caso f (z) = w0 = 0 sólo para z = 0, luego para cualquier r > 0 el disco D(z 0 ; r ) cumple (∗) y (∗∗). Como = min{| f (z) − w0 | : |z − z 0 | = r } = min{|z e z | : |z| = r } = min{r ee z : |z| = r } = r e−r , el valor máximo para se obtiene si r = 1, en cuyo caso = e−1 . El desarrollo en serie de f −1 : D(0; 1/e) → D(0; 1) se halla muy fácilmente por el método de Lagrange, pues ahora ψ(z) = e−z y con lo cual f −1 d n−1 n ψ(z) dz n−1 (w) = = (−1)n−1 n n−1 , z=z 0 ∞ (−1)n−1 n n−1 n! n=1 wn , |w| < 1 . e (La serie tiene radio de convergencia 1/e). NOTA. En Markushevich, A. I.: Theory of Functions of a Complex Variable (Vol. II). Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. (1965), p. 94 y ss., pueden verse ejemplos muy interesantes de aplicaciones de la fórmula de Lagrange al estudio de los polinomios de Legendre y de la ecuación de Kepler para la anomalı́a excéntrica. 9.9 EJERCICIOS RESUELTOS Comenzaremos por aplicar el teorema de los residuos al cálculo de una integral real. Ejercicio. Estudiar la existencia y, en su caso, calcular el valor de +∞ −∞ x sen x d x. x 2 + 4x + 20 Respuesta. El integrando es una función (llamémosle g) definida y continua en todo R. Sin embargo no es una función integrable-Lebesgue en R, pues si lo fuese sen x , que ya sabemos que lo serı́a también (comparando por cociente) la función x no es integrable-Lebesgue en R. La integral tiene sentido como integral impropia, convergente por el criterio de Abel: “si ϕ es una función impropiamente integrable en un intervalo (a, b) y 156 Teorema de los residuos. Aplicaciones. b ψ es una función monótona y acotada en dicho intervalo, a ϕ ψ es convergente”. x2 sen x , ψ(x) = 2 ; puesto En nuestro caso: g = ϕ ψ para ϕ(x) = x x + 4x + 20 4x (x + 10) y limx→±∞ ψ(x) = 1, ψ está acotada en R y es que ψ (x) = 2 (x + 4x + 20)2 monótona en (0, +∞), (−∞, −10); por la convergencia de la integral de ϕ en ambos intervalos, g es impropiamente integrable en los mismos, y es integrable (es continua) en [−10, 0]. Ensamblando estos resultados, obtenemos que g es impropiamente integrable en R. De todas formas, los cálculos que haremos a continuación probarán que la in R g. tegral tiene sentido al menos como valor principal, es decir, que existe lim R→+∞ −R La función f definida por z ei z f (z) = 2 z + 4z + 20 es meromorfa en C, y sus únicas singularidades son los polos simples p1 = −2+4i, p2 = −2 − 4i. iR Si R es el ciclo formado por el γR camino γ R ∪ ψ R , donde (ver figura) γ R : t ∈ [0, π ] → γ R (t) = R eit ∈ C, ψ R : t ∈ [−R, R] → ψ R (t) p1 √ = t ∈ C, siempre que R > | p1 | = 20 será R un ciclo homólogo a 0 en C para el que Ind R ( p1 ) = 1, Ind R ( p2 ) = 0. Pode-R ψR O R mos ası́ aplicar el teorema de los resip2 duos para obtener • • R Pero z ei z f = 2πi Res( f ; p1 ) = 2πi lim (z − p1 ) z→ p1 (z − p1 )(z − p2 ) i 1 1 + e−4−2i = − + i π e−4−2i . = 2πi 2 4 2 R f = γR f + ψR f = γR f + R −R f (x) d x, Teorema de los residuos. Aplicaciones. 157 √ y puesto que lim R→+∞ (R 2 − 4R − 20) = +∞, existirá un R0 > 20 tal que, para todo R > R0 , R 2 − 4R − 20 > 0; siempre que R > R0 podremos poner, pues, π π it it = ≤ f (R eit ) R dt f f (R e ) Ri e dt γR 0 R·R ≤ 2 R − 4R − 20 0 π R2 e−R sen t dt. 2 R − 4R − 20 0 = 0 y e−R sen t = e−R sen t < e0 = i R eit e dt = π 0 Dado que para t ∈ (0, π ) es lim e−R sen t R→+∞ 1 ∈ L ([0, π]), por el teorema de la convergencia dominada π lim e−R sen t dt = 0. 1 R→+∞ 0 (En la mayor parte de los textos, este resultado, conocido como lema de Jordan, se πprueba sin hacer referencia a la integral de Lebesgue mediante la acotación π 2t (1 − e R ), deducida de la desigualdad sen t ≥ para e−R sen t dt ≤ R π 0 π 0 ≤ t ≤ .) 2 Como consecuencia, lim R→+∞ γ R f = 0, lo que permite deducir la existencia y valor del lı́mite +∞ R 1 V.P. f (x) d x = lim f (x) d x = − + i π e−4−2i R→+∞ 2 −∞ −R y de aquı́ +∞ −∞ x sen x d x = m x 2 + 4x + 20 +∞ V.P. −∞ f (x) d x = (cos 2+ 1 sen 2) π e−4 . 2 En el próximo ejercicio aplicaremos el teorema de Rouché y el principio del argumento para localizar ceros de un polinomio en conjuntos de distinto tipo. Ejercicio. Hallar el número de ceros que tiene el polinomio P(z) = z 3 − (1 + 2i) z 2 − (3 − 7i) z + 8 − 4i 1 < |z| < 5}. 2 ¿Cuántos de ellos están en el semiplano superior H = {z ∈ C : m z > 0}? ¿Cuántos de ellos están en el semiplano inferior H = {z ∈ C : m z < 0}? ¿Por qué? en la corona D(0; 1/2, 5) = {z ∈ C : 158 Teorema de los residuos. Aplicaciones. Respuesta. Sea g(z) = z 3 , z ∈ C. Si |z| = 5, |P(z) − g(z)| = | − (1 + 2i) z 2 − (3 − 7i) z + 8 − 4i| √ √ √ ≤ |1 + 2i| · 52 + |3 − 7i| · 5 + |8 − 4i| = 3 · 25 + 58 · 5 + 80 < 3 · 25 + 8 · 5 + 9 = 113 < 125 = |z|3 = |g(z)|, con lo cual: • P(z) y g(z) son funciones holomorfas en todo C que no se anulan sobre la circunferencia {z ∈ C : |z| = 5}; • podemos aplicar el teorema de Rouché para concluir que P y g tienen el mismo número de ceros (contados según su multiplicidad) en el interior de dicha circunferencia, es decir, 3. 1 Sea ahora h(z) = 8 − 4i, z ∈ C. Si |z| = , análogamente 2 3 √ 1 2 √ 1 1 1 1 1 |P(z)−h(z)| ≤ + 5 + 58 < + ·3+ ·8 < 5 < |8−4i| = |h(z)|, 2 2 2 8 4 2 con lo cual: • P(z) y h(z) son funciones holomorfas en todo C que no se anulan sobre la 1 circunferencia {z ∈ C : |z| = }; 2 • podemos aplicar el teorema de Rouché para concluir que P y h tienen el mismo número de ceros (contados según su multiplicidad) en el interior de dicha circunferencia, es decir, 0. En consecuencia, P(z) tiene 3 ceros en la corona D(0; 1/2, 5). (Puesto que a lo más puede tener 3 ceros en C, se sigue que todos los ceros de P quedan dentro de la corona). Para ver cuántos de ellos están en H bastará, pues, averiguar simplemente cuál es el número N de ceros que tiene P en H . Como el polinomio P tiene un número finito de ceros, si M es el máximo de los módulos de todos ellos, los N que estén en H quedarán en el interior del ciclo R formado por el camino γ R ∪ ψ R , donde (ver figura) γR -R• ψR iR • •O R• γ R : t ∈ [0, π ] → R eit ∈ C; ψ R : t ∈ [−R, R] → t ∈ C, y R es cualquier valor mayor que M. Por consiguiente, dado que P es holomorfa en = C y trivialmente R ∼ 0 (C), si P no se anula en el soporte de R , podemos hallar N aplicando la versión geométrica del principio del argumento. Teorema de los residuos. Aplicaciones. 159 Comprobemos que P no se anula en sop R . Por la elección de R, es obvio que P no se anula en el soporte de γ R ; tampoco se anula en el soporte de ψ R , como se vió en el Capı́tulo 5, Sección 5.4. Ası́ pues, siempre que R > M se tendrá N = Ind P◦(γ R ∪ψ R ) (0), y en consecuencia también N = lim Ind P◦(γ R ∪ψ R ) (0), R→+∞ que nos llevará más fácilmente al cálculo de N . Es inmediato comprobar (¡comprobar!) que P◦(γ R ∪ψ R ) = (P◦γ R )∪(P◦ψ R ) y que arg(P ◦ (γ R ∪ ψ R )) = arg(P ◦ γ R ) + arg(P ◦ ψ R ). Aplicando el razonamiento del final de la Sección 5.4 a nuestro polinomio P, lim ARG P(R eit ) = 3π. R→+∞ 0≤t≤π También se probó entonces que si x(t) := e (P ◦ ψ R )(t) = e P(t) = t 3 − t 2 − 3t + 8, y(t) := m (P ◦ ψ R )(t) = m P(t) = −2t 2 + 7t − 4, se obtenı́a, para valores “suficientemente grandes” de R, ARG (P ◦ ψ R )(t) = π + arc tg −R≤t≤R y(−R) y(R) − arc tg , x(R) x(−R) de donde se sigue que lim ARG (P R→+∞ −R≤t≤R ◦ ψ R )(t) = π, lo que unido a lo anterior permite concluir que 2π N = 2π · lim Ind P◦(γ R ∪ψ R ) (0) = 3π + π = 4π, R→+∞ es decir, que N = 2. Como P tiene 3 ceros, ninguno de ellos real, esto implica que el número de ceros de P en H es necesariamente 1. -—oOo—-