TEORÍA ESPECTRAL

TEORÍA ESPECTRAL
CÁLCULO DE VALORES Y VECTORES PROPIOS
Sea A una matriz cuadrada. Decimos que λ ∈ C es un valor
propio si existe v ∈ Cn no nulo tal que Av = λv. v ∈ Cn es un
vector propio de A asociado al valor propio λ si Av = λv.
Como el sistema homogéneo (A − λI)v ha de tener un solución
no trivial, det(A − λI) = 0.
Se llama polinomio característico de una matriz A al polinomio p(x) = det(A − λI) = 0. Se llama ecuación característica
de A a la ecuación p(x) = 0, donde p es el polinomio característico.
Vectores propios correspondientes a valores propios distintos son
linealmente independientes.
DIAGONALIZACIÓN
Se llama multiplicidad algebraica de un valor λ a la multiplicidad de λ como raíz del polinomio característico. La multiplicidad geométrica de λ es la dimensión del núcleo de A − λI .
La multiplicidad geométrica de un valor propio es siempre menor
o igual que su multiplicidad algebraica.
Una matriz cuadrada A de tamaño n × n es diagonalizable si
tiene n vectores propios linealmente independientes.
Una matriz es diagonalizable si y sólo si la multiplicidad algebraica de un valor propio coincide su multiplicidad geométrica.
Si un matriz cuadrada de tamaño n × n tiene n valores propios
distintos, entonces es diagonalizable.
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Si una matriz A es diagonalizable, entonces A = SDS −1 (AS =
DS ) , siendo S la matriz cuyas columnas son los vectores propios
de A y D una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son
los valores propios de A.
DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS
Propiedades:
Si λ es una valor propio de una matriz simétrica, entonces λ
es real.
Si v y w son vectores propios asociados a dos valores propios diferentes de una matriz simétrica, entonces v y w son
ortogonales.
Toda matriz simétrica tiene n vectores propios independientes
ortonormales. Por lo tanto toda matriz simétrica es diagonalizable.
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