ESTE - Efren ricardo baquero
Transcripción
ESTE - Efren ricardo baquero
Universidad Distrital Francisco José de Caldas algebra Lineal II − Prof: Efrén Baquero Teorema 1. Si los vectores v1 , v2 , · · · , vk son vectores propios asociados a valores propios diferentes λ1 , λ2 , · · · , λk de una matriz A entonces el conjunto formado por ellos es linealmente independiente. Demostración. Supongamos que el conjunto formado por los vectores vi es linealmente dependiente. Además el vector cero no es vector propio, supongamos que el primero vi que es combinación de los anteriores y que el conunto B = {v1 , v2 , · · · , vi−1 } es L.I. es decir vi = a1 v1 + a2 v2 + · · · + ai−1 vi−1 (1) multiplicando por A Avi = A (a1 v1 + a2 v2 + · · · + ai−1 vi−1 ) = a1 Av1 + a2 Av2 + · · · + ai−1 Avi−1 = a1 λ1 v1 + a2 λ2 v2 + · · · + ai−1 λi−1 vi−1 (2) multiplicando (1) por λi y restando (2) se sigue que 0 = a1 (λ1 − λi ) v1 + a2 (λ2 − λi ) v2 + · · · + ai−1 (λi−1 − λi ) vi−1 como los λi son distintos y los vectores de B son L.I. se concluye que ak = 0 para k = 1, 2, ..., i − 1. por tanto vi = 0, lo cual es contradictorio; es decir, El conjunto debe ser linealmente independiente. 1. Diagonalización 2 1. La matriz −1 1 0 −3 A= 0 −2 0 0 −3 7 4 4 , 3 2 0 1 tiene polinomio caracteristico pA (λ) = λ4 − 2λ2 + 1 = (λ − 1)2 (λ + 1)2 . Los valores propios son λ = 1, −1 cada uno con multiplicidad algebráica 2. Los vectores propios son: para λ = 1 4 −1 1 1 v1 = 0 , v2 = 1 1 0 es decir la multiplicidad geometrica es 2. para λ = −1 1 0 v3 = 0 0 es decir la multiplicidad geometrica es 1. Como solo tenemos 3 vectores propios y A es de orden 4, A no es diagonalizable. 2. La matriz A= 0 −6 0 −5 −6 0 −1 −6 0 −1 0 0 −5 0 0 1 0 6 2 1 0 0 0 0 1 tiene Polinomio caracteristico 2 3 pA (λ) = λ5 + 7λ4 − 2λ3 − 46λ2 + 65λ − 25 = (λ + 5) (λ − 1) λ = −5, multiplicidad algebraica 2 λ = 1, multiplicidad algebraica 3 Ahora hacer (A − λI) v = 0 para hallar v, para λ = −5 0 −6 0 1 0 0 −5 0 0 0 −6 0 −5 6 0 (A − λI) = − (−5) −1 −6 0 2 0 0 −1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 = 5 −6 0 0 0 0 −6 0 0 −1 −6 0 0 −1 0 1 0 6 7 1 0 0 0 0 6 El sistema, 5 −6 0 1 0 x 0 5x − 6y + w = 0 0 0 0 0 0 0=0 y 0 −6 0 0 6 0 z = 0 → −6x + 6w = 0 −1 −6 0 7 0 w 0 −x − 6y + 7w = 0 0 −1 0 1 6 s 0 −y + w + 6s = 0 tiene solucion y 1 0 1 0 1 0 y 1 0 z = y 0 + z 1 , con lo cual, 0 , 1 y 1 0 1 0 0 0 0 0 0 son vectores propios asociados a λ = −5, es decir este tiene multiplicaidad geometrica 2 De la misma forma para λ=1 A − λI = El 0 −6 0 −5 −6 0 −1 −6 0 −1 sistema −1 0 −6 −1 0 −6 −6 0 −6 −1 0 0 −6 0 0 1 0 6 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 6 0 − 1 0 0 2 0 1 1 0 0 0 −5 0 0 x y z w s = 0 0 0 0 0 , 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 = −x − 6y + w −6y −6x − 6z + 6w −x − 6y + w −y + w =0 =0 =0 =0 =0 −1 −6 0 −6 −6 0 −1 −6 0 −1 0 0 −6 0 0 1 0 6 1 1 0 0 0 0 0 tiene solucion 0 0 0 0 s es decir λ = 1, tiene multiplicidad geométrica 1. Podemos concluir que A no es diagonalizable, pues no hay 5 vectores propios L.I. (de hecho solo hay 3) para formar la matriz P de modo que P sea invertible. 3. La matriz 10 8 A= 22 6 3 8 11 3 0 0 0 4 −3 −4 −7 −3 tiene polinomio caracteristico 3 pA (λ) = λ4 − 15λ3 + 84λ2 − 208λ + 192 = (λ − 3) (λ − 4) los valores propios son λ = 3, de multiplicidad algebraica 1 λ = 4, de multiplicidad algebraica 3 ahora, losvectores propios son 1 v1 = 4 3 11 3 1 1 −2 v2 = 0 0 con lo asociado a λ = 3, 0 0 , v3 = 1 , v4 = 0 , asociados a λ = 4. 1 0 0 1 cual λ = 3, de multiplicidad geometrica 1 de multiplicidad geometrica 3 Conesto se puede conluir que A es diagonalizable, de hecho λ = 4, 1 P = 4 3 11 3 1 1 0 0 −6 −2 1 0 , P −1 = 7 22 0 1 0 6 0 0 1 −3 3 11 3 3 −3 −10 −3 0 0 , 0 1 luego, −6 −3 7 3 P −1 AP = 22 11 6 3 3 −3 −10 −3 0 10 8 0 0 22 1 6 3 8 11 3 −3 −4 −7 −3 0 0 0 4 1 4 3 11 3 1 1 0 0 −2 1 0 = 0 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 Ejercicio 1. 1. Mostrar que A es diagonalizable si y solo para todo valor propios λ de A su multiplicidad geometrica es igual a su multiplicidad algebráica. 2. Mostrar que para todo valor propios λ de A su multiplicidad geometrica mg(λ) es menor o igual a su multiplicidad algebráica ma(λ). 3. Las matrices 21 −11 22 −12 22 −11 7 0 0 1 7 0 4 8 −12 6 −15 12 , 0 20 0 24 −24 21 4 0 0 0 0 0 6 0 0 0 , 0 0 6 0 , 7 0 0 0 6 0 15 0 , 12 −1 12 0 7 1 , 0 7 0 1 7 0 son diagonalizables ? es caso afirmativo, Diagonalizarlas. −8 50 −16 , 21 −126 −20 4 1 0 0 0 6 0 0 , 0 0 6 1 0 0 0 6 −14 1 42 4 0 0 0 1 6 0 0 14 7 −34 0 0 1 0 6 1 0 6