Series de funciones

Tema 8
Series de funciones
Definición 8.1 – Sea {fn }∞
n=1 una sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión
de funciones {Sn }∞
de
A
de la forma siguiente:
n=1
Sn (x) = f1 (x) + f2 (x) + · · · + fn (x) =
n
X
fk (x).
k=1
∞
Al par de sucesiones de funciones {{fn }∞
n=1 , {Sn }n=1 } se le llama serie funcional de término
general fn y la denotaremos por
8.1
∞
P
n=1
fn ó
∞
P
n=1
fn (x).
Convergencia puntual y absoluta.
Definición 8.2 – Sea {fn }∞
n=1 una sucesión de funciones de A. Diremos que la serie funcional
∞
P
n=1
fn (x) es convergente en el punto a ∈ A cuando la sucesión de sumas parciales {Sn (a)}∞
n=1
es convergente en dicho punto. Es decir, si la serie numérica
n
∞
P
Al conjunto C = a ∈ A :
n=1
∞
P
n=1
o
fn (a) converge
fn (a) es convergente.
lo denominaremos conjunto de conver-
gencia de la serie. La función f : C −→ IR, definida por f (x) = lim Sn (x) =
n→∞
denomina función suma de la serie de funciones y diremos entonces que
converge puntualmente hacia la función f en C .
Escribiremos, para denotarlo,
∞
P
n=1
fn = f en C ó
Definición 8.3 – Diremos que la serie funcional
punto x0 cuando la serie funcional
8.2
∞
P
n=1
∞
P
n=1
∞
P
n=1
∞
P
n=1
∞
P
n=1
fn (x), se
fn converge o
fn −→ f en C .
fn es absolutamente convergente en el
|fn | converge en dicho punto.
Convergencia uniforme.
Definición 8.4 – Diremos que la serie funcional
∞
P
n=1
fn converge uniformemente en el con-
junto A si, y sólo si, la sucesión de sumas parciales {Sn }∞
n=1 converge uniformemente en dicho
conjunto.
En ese caso, escribiremos
mediante la expresión
∞
P
n=1
Sucesiones y Series de Funciones.
∞
P
c.u.
fn −→ f en A o diremos que
n=1
c.u.
∞
P
n=1
fn = f uniformemente en A
fn (x) = f (x).
90
8.2 Convergencia uniforme.
∞
P
Criterio M de Weierstrass (Condición suficiente) 8.5 – Sea
∞
P
A y sea
n=1
n=1
Mn una serie de números reales tales que, para cada n ∈ IN, se verifica que
0 ≤ |fn (x)| ≤ Mn ,
Entonces, si
fn una serie de funciones en
∞
P
n=1
Mn converge =⇒
∞
P
n=1
para todo x ∈ A.
fn converge uniformemente en A.
Demostración:
∞
P
Si
n=1
q
P
que
k=p+1
Mn converge, entonces para cada ε > 0 existe n0 ∈ IN tal que ∀ q > p ≥ n0 se verifica
Mk < ε; y como, para cada n ∈ IN, se verifica que 0 ≤ |fn (x)| ≤ Mn en A, se tiene
¯
¯
¯
¯ X
q
q
X
X
¯ q
¯
¯
¯
f
(x)
≤
|f
(x)|
≤
Mk < ε, para todo x ∈ A.
k
k
¯
¯
¯k=p+1
¯ k=p+1
k=p+1
En consecuencia,
∞
P
n=1
fn converge uniformemente en A.
Ejemplo 8.6 – Estudiar la convergencia uniforme de las series de funciones
∞
P
1
a)
sobre el conjunto IR.
2
2
n=1 n + x
b)
n
∞ 2n x2 −1
P
n=1
1 + x2n
sobre el conjunto [−r, r] con r < 1.
Solución:
¯
¯
¯
¯
1
a) Para todo x ∈ IR, se verifica que n2 + x2 ≥ n2 , luego ¯ n2 +x
2¯ =
1
n2 +x2
≤
1
n2
, para todo
∞
∞
P
P
1
1
x ∈ IR, y como
converge, la serie
converge uniformemente en IR.
n2
n2 +x2
n=1
n=1
n
b) Para todo x ∈ [−r, r], se verifica que 1 + x2 ≥ 1 y que |x| ≤ r , luego
¯
¯
n
¯ 2n x2n −1 ¯
2n |x|2 −1
n
n
¯
¯
≤ 2n |x|2 −1 ≤ 2n r2 −1 .
¯
n ¯ =
n
2
2
¯1+x ¯
1+x
Entonces, si
∞
P
n
2n r2 −1
converge, la serie
n=1
n
∞ 2n x2 −1
P
n=1
1 + x2n
converge uniformemente en [−r, r].
Por el criterio del cociente,
n+1
an+1
2n+1 r2 −1
n+1
n
n
= lim
= lim 2r2 −2 = lim 2r2 = 0
n −1
n
2
n→∞ an
n→∞
n→∞
n→∞
2 r
pues r < 1, luego converge.
lim
Condición necesaria 8.7 – Si
∞
P
n=1
4
c.u.
fn converge uniformemente en A, entonces fn −→ 0 en A.
Demostración:
∞
P
n=1
fn converge uniformemente en A sı́, y sólo si, para cada ε > 0, existe n0 ∈ IN tal que
∀p > q ≥ n0 , se verifica que |fq+1 (x) + · · · + fp (x)| < ε, luego, en particular, ∀p ≥ n0 , se
c.u.
verifica que |fp (x)| < ε para todo x ∈ A, es decir, la sucesión fn −→ 0 en A.
Nota: El recı́proco no es cierto. Ver el ejercicio 8.6 propuesto.
Sucesiones y Series de Funciones.
91
8.2 Convergencia uniforme.
8.2.1
Propiedades de la convergencia uniforme.
∞
P
Convergencia uniforme y continuidad en series 8.8 – Sea
es continua en el punto x0 ∈ A y
x0 .
n=1
∞
P
fn (x) = f (x) en A. Si cada fn
c.u.
n=1
fn (x) = f (x) en A, entonces la función f es continua en
Demostración:
Como cada fn es continua en x0 , las funciones Sn =
n
P
i=1
fi de la sucesión de sumas parciales
son continuas en x0 por ser suma finita de funciones continuas, y como la serie funcional converge
c.u.
uniformemente, Sn −→ f en A, entonces, por el resultado análogo a éste para sucesiones de
funciones, se tiene que f es continua en x0 .
∞
P
Convergencia uniforme e integrabilidad en series 8.9 – Sea
cada fn es integrable en [a, b] y
∞
P
n=1
n=1
fn (x) = f (x) en [a, b].
Si
c.u.
fn (x) = f (x) en [a, b], entonces
a) f es integrable en [a, b] y
b)
Z b
a
f (x)dx =
Demostración:
Cada Sn =
c.u.
∞
P
Z b
n=1 a
n
P
i=1
fn (x)dx.
fi es integrable en [a, b], por ser suma finita de funciones integrables, y
Sn −→ f en [a, b], luego, por el resultado análogo para sucesiones de funciones, f es integrable
en [a, b].
Además,
Z b
a
Z b
f = lim
n→∞ a
Sn = lim
Z bX
n
n→∞ a
i=1
fi = lim
n→∞
n Z b
X
i=1 a
fi =
∞ Z b
X
i=1 a
fi
Convergencia uniforme y derivación en series 8.10 – Sea {fn }∞
n=1 una sucesión de funciones
definidas en (a, b) y derivables en (a, b). Si existe un punto x0 ∈ (a, b) tal que
converge y una función g: (a, b) −→ IR tal que g(x) =
∞
P
n=1
entonces:
a) Existe una función f tal que f (x) =
∞
P
n=1
b) f es derivable en (a, b) y f 0 (x) = g(x) =
∞
P
n=1
fn (x0 )
fn0 (x) uniformemente en (a, b),
fn (x) uniformemente en (a, b).
∞
P
n=1
fn0 (x) en (a, b).
Demostración:
Sea Sn =
n
P
k=1
fk . Las funciones Sn son derivables en (a, b) por ser suma finita de funciones
derivables en (a, b) y Sn0 =
n
P
k=1
∞
P
converge y, como g(x) =
n=1
fk0 , entonces, como
fn0 (x)
∞
P
n=1
fn (x0 ) converge, la sucesión {Sn (x0 )}∞
n=1
c.u.
uniformemente en (a, b), también Sn0 −→ g en (a, b). Luego
por el resultado análogo a éste para sucesiones de funciones,
Sucesiones y Series de Funciones.
92
8.3 Series de potencias.
∞
P
c.u.
a) Existe f tal que Sn −→ f en (a, b), es decir f (x) =
n=1
fn (x) uniformemente en (a, b).
b) f es derivable en (a, b) y, para cada x ∈ (a, b),
f 0 (x) = g(x) = lim Sn0 (x) = lim
n→∞
8.3
n→∞
n
X
fk0 (x) =
∞
X
fn0 (x).
n=1
k=1
Series de potencias.
Definición 8.11 – Llamaremos serie de potencias centrada en x0 ∈ IR a las series funcionales
de la forma
∞
X
an (x − x0 )n ,
donde an ∈ IR, ∀ n.
n=0
∞
P
Observación 8.12 – Si en una serie de potencias
cambio x = y + x0 , resulta la serie de potencias
converge en un punto t si, y sólo si,
∞
P
n=0
n=0
∞
P
n=0
an (x − x0 )n centrada en x0 , hacemos el
an y n centrada en 0 y, por tanto,
∞
P
n=0
an y n
an (x − x0 )n converge en el punto t + x0 . Luego basta
estudiar las series de potencias centradas en 0.
Lema de Abel 8.13 – Sea
∞
P
n=0
a) Si
∞
P
n=0
an xn . Se tiene:
an xn converge para x = x1 6= 0, entonces la serie converge absolutamente para todo
x ∈ IR tal que |x| < |x1 |.
b) Si
∞
P
n=0
an xn diverge para x = x2 , entonces la serie no converge (diverge en valor absoluto)
para todo x ∈ IR tal que |x| > |x2 |.
Demostración:
a) Si
∞
P
n=0
an xn converge para x = x1 , entonces lim an xn1 = 0 y, por la Proposición 5.21,
la sucesión
n ∈ IN.
n→∞
{an xn1 }∞
n=0
está acotada. Luego existe K > 0 tal que |an xn1 | < K para todo
Sea x ∈ IR con |x| < |x1 |, entonces, para cada n ∈ IN, se tiene
¯
¯
|an xn | = ¯¯an xn
∞
P
luego la serie
n=0
¯
¯
¯
¯ ¯n
|x|n
xn1 ¯¯
n ¯ x ¯
,
=
|a
x
|
≤
K
n 1 ¯
xn1 ¯
x1 ¯
|x1 |n
|an xn | está mayorada por la serie
∞
P
n=0
K| xx1 |n que converge, ya que es una
serie geométrica de razón menor que uno. En consecuencia, la serie
por tanto,
∞
P
n=0
∞
P
n=0
|an xn | converge y,
an xn converge absolutamente.
Sucesiones y Series de Funciones.
93
8.3 Series de potencias.
b) Por reducción al absurdo: supongamos que la serie
∞
P
n=0
an xn converge para algún x0 ∈ IR
tal que |x0 | > |x2 |, entonces por el apartado anterior, la serie
∞
P
n=0
an xn converge para todo
x ∈ IR con |x| < |x0 | y por consiguiente convergerı́a para x = x2 , lo cual es absurdo.
Observación:
Una serie de potencias siempre converge en x = 0.
8.3.1
Radio de convergencia de una serie de potencias.
Proposición 8.14 – Sean
∞
P
n=0
an xn una serie de potencias y S = {x ∈ IR :
∞
P
n=0
an xn converge}
su conjunto de convergencia. Entonces, pueden darse los tres casos siguientes:
a) La serie converge únicamente en x = 0, es decir, S = {0}.
b) La serie converge ∀x ∈ IR, es decir, S = IR.
c) Existe ρ ∈ IR, con ρ > 0, tal que (−ρ, ρ) ⊆ S ⊆ [−ρ, ρ].
Demostración:
Veamos que si no se verifican a) y b), se verifica c).
En efecto, si no se verifican a) y b), entonces existe x1 6= 0 tal que la serie converge para
x = x1 y existe x2 6= 0 tal que la serie no converge para x = x2 . Por el Lema de Abel, ha
de ser 0 < |x1 | < |x2 | y se verifica que (−|x1 |, |x1 |) ⊆ S ⊆ [−|x2 |, |x2 |], luego S está acotado
superiormente.
Sea, entonces, ρ el extremo superior de S . Es claro que 0 < |x1 | ≤ ρ ≤ |x2 | < +∞.
∞
P
¦ Si para algún x, con |x| < ρ, la serie
n=0
an xn no converge, no converge para todo x0
con |x| < |x0 | < ρ y, por tanto, ρ no serı́a el extremo superior. Luego,
para los x con |x| < ρ, es decir, (−ρ, ρ) ⊆ S .
¦ Si para algún x, con |x| > ρ, la serie
∞
P
n=0
∞
P
n=0
an xn converge
an xn converge, converge para todo x0 con
ρ < |x0 | < |x| y, por tanto, ρ no serı́a el extremo superior. Luego,
converger para los x con |x| > ρ, es decir, S ⊆ [−ρ, ρ].
∞
P
n=0
an xn no puede
En consecuencia, (−ρ, ρ) ⊆ S ⊆ [−ρ, ρ].
Definición 8.15 – Al valor ρ = sup{x ∈ IR :
vergencia de la serie.
Si
∞
P
n=0
∞
P
n=0
an xn converge} lo llamaremos radio de con-
an xn converge únicamente en {0}, diremos que el radio de convergencia es cero,
ρ = 0, y si
∞
P
n=0
an xn converge en todo IR, diremos que tiene radio de convergencia infinito y
escribiremos ρ = +∞.
Si ρ > 0, al intervalo (−ρ, ρ) lo llamaremos intervalo de convergencia de la serie.
Sucesiones y Series de Funciones.
94
8.3 Series de potencias.
Nota: El intervalo de convergencia no es, en general, el conjunto de convergencia, pues la serie
puede ser también convergente en los extremos ρ y −ρ. Por ejemplo, para la serie
∞
P
xn
n+1 se
n=0
tiene ρ = 1 y (−1, 1) es su intervalo de convergencia, mientras que su conjunto de convergencia
∞
P
(−1)n
es [−1, 1): la serie
n=0
n+1
∞
P
1n
n+1 no converge.
converge mientras que la serie
n=0
A la vista de lo anterior y del Lema de Abel, es evidente el siguiente resultado:
∞
P
Proposición 8.16 – Sea ρ > 0 el radio de convergencia de la serie
n=0
an xn . Entonces:
a) La serie converge absolutamente en (−ρ, ρ).
b) La serie diverge en valor absoluto (no converge) en (−∞, −ρ) ∪ (ρ, ∞).
Nota: En consecuencia, para encontar el radio de convergencia, basta estudiar la convergencia
absoluta.
8.3.1.1
Cálculo del radio de convergencia.
∞
P
Criterio del Cociente 8.17 – Sea la serie
n=0
|an+1 |
,
n→∞ |an |
an xn y L = lim
entonces:
a) Si L = 0, entonces ρ = +∞.
b) Si 0 < L < ∞, entonces ρ =
1
L.
c) Si L = ∞, entonces ρ = 0.
Demostración:
Basta estudiar la convergencia de la serie
∞
P
n=0
|an xn |:





0,
|an+1 xn+1 |
|an+1 ||x|n+1
|an+1 |
|x|L,
lim
= lim
=
= |x| lim
n→∞
n→∞
n→∞ |an |

+∞,
|an xn |
|an ||x|n



0,
si
si
si
si
L = 0 y x ∈ IR
0 < L < ∞ y x ∈ IR
L = ∞ y x 6= 0
L=∞yx=0
Luego
a) Si L = 0,
∞
P
n=0
an xn converge para todo x ∈ IR, luego ρ = ∞.
b) Si 0 < L < ∞, converge para todo x con |x|L < 1 y diverge para los x con |x|L > 1,
luego converge para los x con |x| < L1 y diverge en valor absoluto para los x con |x| > L1 .
Luego ρ = L1 .
c) Si L = ∞, diverge en valor absoluto para todo x 6= 0, luego ρ = 0.
Criterio de la Raiz 8.18 – Sea la serie
∞
P
n=0
an xn y L = lim
n→∞
p
n
|an |, entonces:
a) Si L = 0, entonces ρ = +∞.
b) Si 0 < L < ∞, entonces ρ =
Sucesiones y Series de Funciones.
1
L.
95
8.3 Series de potencias.
c) Si L = ∞, entonces ρ = 0.
Demostración:
Como antes, se obtiene que
q
n
lim
n→∞
q
|an xn | = lim
n
n→∞





q
|an ||x|n = |x| lim
n→∞
n
|an | =




0,
|x|L,
+∞,
0,
si
si
si
si
L = 0 y x ∈ IR
0 < L < ∞ y x ∈ IR
L = ∞ y x 6= 0
L=∞yx=0
y, en consecuencia, el resultado buscado.
Nota: Para las series de la forma
∞
P
n=0
n=0
∞
P
serie
∞
P
n=0
an (x − x0 )n , si ρ > 0 es el radio de convergencia de la
an y n , con y = x − x0 , entonces, y ∈ (−ρ, ρ)
⇐⇒
x ∈ (x0 − ρ, x0 + ρ). Luego
an (x − x0 )n converge para los x ∈ (x0 − ρ, x0 + ρ) y no converge y diverge en valor absoluto
para los x ∈
/ [x0 − ρ, x0 + ρ].
8.3.2
Series de potencias y convergencia uniforme.
Teorema 8.19 – Sea ρ > 0 el radio de convergencia de la serie
converge uniformemente en [−|x0 |, |x0 |], para todo x0 ∈ (−ρ, ρ).
Demostración:
Como x0 ∈ (−ρ, ρ) la serie
∞
P
n=0
∞
P
n=0
an xn . Entonces la serie
|an xn0 | converge y, para todo x ∈ [−|x0 |, |x0 |], se cumple que
|an xn | = |an ||x|n ≤ |an ||x0 |n = |an xn0 |. Luego, por el criterio M de Weierstras, la serie
converge uniformemente en [−|x0 |, |x0 |].
Corolario 8.20 – Sea
∞
P
n=0
an xn y ρ > 0 su radio de convergencia. Entonces la serie
converge uniformemente en todo intervalo cerrado contenido en (−ρ, ρ).
Corolario 8.21 – Si
∞
P
n=0
∞
P
n=0
∞
P
n=0
an xn
an xn
an xn tiene de radio de convergencia ρ y converge absolutamente en ρ
ó en −ρ, entonces converge uniformemente en [−ρ, ρ].
8.3.3
Propiedades con convergencia uniforme.
Series de potencias y continuidad 8.22 – Sea
f (x) =
∞
P
n=0
∞
P
n=0
an
xn
an xn de radio de convergencia ρ > 0, y
en (−ρ, ρ), entonces f es continua en (−ρ, ρ).
Demostración:
Sea x0 ∈ (−ρ, ρ), como |x0 | < ρ, existe λ ∈ IR tal que |x0 | < λ < ρ, luego x0 ∈ [−λ, λ] ⊆
(−ρ, ρ). Como
∞
P
n=0
an xn converge uniformemente hacia f en [−λ, λ] y cada función an xn es
continua en x0 ∈ [−λ, λ], entonces f es continua en x0 .
En consecuencia, f es continua en cada x ∈ (−ρ, ρ).
Sucesiones y Series de Funciones.
96
8.3 Series de potencias.
∞
P
Teorema del lı́mite de Abel 8.23 – Sea
Si
∞
P
n=0
an xn , con ρ > 0, y f (x) =
n=0
an ρn converge, entonces lim f (x) =
∞
P
Análogamente, si
n=0
x→ρ−
an
(−ρ)n
∞
P
n=0
∞
P
n=0
an xn en (−ρ, ρ).
an ρn .
converge, entonces
∞
P
lim f (x) =
x→−ρ+
n=0
an (−ρ)n .
#Demostración#
∞
P
Hagámoslo primero para ρ = 1 y escribamos f (1) =
1
1−x
los x ∈ (−1, 1), podemos escribir
∞
X
f (x)
= f (x)
xn =
1−x
n=0
̰
X
n=0
∞
P
=
n→∞ k=0
ak = lim sn . Para
n→∞
xn , de donde
n=0
an xn
n
P
an = lim
!Ã ∞
X
n=0
!
xn
∞
X
à n
X
n=0
k=0
=
n=0
!
∞
X
ak xn =
sn xn .
n=0
y, entonces,
¯
¯∞
¯
¯
∞
¯X
¯
X
¯ f (x) − f (1) ¯
¯
n
n¯
¯ = |1 − x| ¯
s
x
−
f
(1)
x
|f (x) − f (1)| = |1 − x| ¯¯
¯
n
¯
¯
1−x ¯
n=0
n=0
¯∞
¯
∞
¯X
¯
X
¯
n¯
= |1 − x| ¯
(sn − f (1)) x ¯ ≤ |1 − x|
|sn − f (1)||x|n
¯
¯
n=0
n=0
Ahora, para ε > 0, como
sn −→ of (1) existe n0 tal que si n ≥ n0 se tiene |sn − f (1)| <
n
tomando M = max |sn − f (1)| , obtenemos
0≤n<n0
= |1 − x|
< |1 − x|
Ãn −1
0
X
n=0
Ãn −1
0
X
n
|sn − f (1)||x| +
∞
X
ε
2
y
!
n
|sn − f (1)||x|
n=n0
n
M |x| +
∞
X
ε
n=n0
n=0
2
!
n
|x|
µ
< |1 − x| n0 M +
como x → 1− se verifica que |1−x| = 1−x = 1−|x|, y tomando δ =
tales que 0 < |1 − x| < δ, que
ε
ε
ε
= |1 − x|n0 M + |x|n0 <
n0 M + = ε.
2
2n0 M
2
ε
2n0 M
ε |x|n0
2 1 − |x|
¶
se tiene, para los x
En consecuencia, lim f (x) = f (1).
x→1−
Si ρ 6= 1, tomando f (x) =
∞
P
n=0
reduce al caso anterior.
an x n =
∞
P
n=0
an ρn
³ ´n
x
ρ
=
∞
P
n=0
an ρn y n =
∞
P
n=0
bn y n = g(y), se
Observación 8.24 – Este teorema nos indica que si la serie converge (aunque no lo haga absolutamente) en un extremo del campo de convergencia la continuidad de la función suma puede
extenderse hasta ese punto, como en el ejemplo siguiente:
Ejemplo.- Como veremos después, ln(1 + x) =
∞
P
(−1)n+1 n
x en (−1, 1). En este caso, se da
n
n=1
que en x = 1, la serie
por lo anterior,
∞
P
n=1
∞
P
(−1)n+1 n
1
n
n=1
(−1)n+1
n
=
∞
P
n=1
(−1)n+1
n
= lim ln(1 + x) = ln 2.
x→1−
Series de potencias e integrabilidad 8.25 – Sea
f (x) =
∞
P
n=0
es la armónica alternada que converge. Luego
∞
P
n=0
an xn de radio de convergencia ρ > 0, y
an xn en (−ρ, ρ), entonces:
Sucesiones y Series de Funciones.
97
8.3 Series de potencias.
a) f es integrable en cualquier cerrado [a, b] ⊆ (−ρ, ρ).
b)
Z b
a
f (x)dx =
Z b
∞
P
n=0 a
an xn dx.
Demostración:
Es claro, pues las funciones fn (x) = an xn son integrables en cualquier [a, b] y f (x) =
∞
P
n=0
an xn uniformemente en cualquier intervalo cerrado contenido en (−ρ, ρ).
∞
P
Corolario 8.26 – Sea
n=0
an xn de radio de convergencia ρ > 0, y f (x) =
∞
P
an n+1
entonces F (x) =
es una primitiva de f en (−ρ, ρ).
n+1 x
∞
P
n=0
an xn en (−ρ, ρ),
n=0
Demostración:
Por el
Z resultado 8.22 sobre continuidad, la función f es continua en (−ρ, ρ), luego la función
x
F (x) =
0
f (t) dt es una primitiva de f en (−ρ, ρ) y, por el resultado 8.25 anterior, para cada
x ∈ (−ρ, ρ), se tiene que F (x) =
Z x
0
f (t) dt =
∞
P
Z x
n=0 0
Ejemplo 8.27 – Sea f (x) = ln(1 + x). Hallar
∞
P
n=0
Solución:
Como f 0 (x) =
f (x) =
1
1+x
Z x
0
=
1
1−(−x)
∞
P
=
(−x)n =
n=0
∞
P
an tn dt =
∞
P
n=1
n=1
(−1)n xn en (−1, 1), se tiene que
n+1
n
n=1
g(x) =
n=1
nan
n=1
∞
P
n=0
n
4
an xn en (−ρ, ρ). Entonces, f es
nan xn−1 .
nan xn−1 es una serie de potencias basta probar que su radio de convergen∞
P
n=0
xn−1
an xn en (−1, 1).
n=0
cia ρ0 coincide con ρ, pues entonces la función f (x) =
∞
P
n=0
∞
∞
∞
X
(−1)n−1 n X
(−1)n+1 n
(−1)n n+1 X
x
=
x =
x .
f (t) dt =
n=0
∞
P
∞
P
0
derivable en (−ρ, ρ) y f 0 (x) =
Como la serie
n=0
an xn tal que f (x) =
Series de potencias y derivabilidad 8.28 – Sea f (x) =
Demostración:
∞
P
an n+1
.
n+1 x
an xn es una primitiva de la función
en (−ρ, ρ).
¦ ρ ≤ ρ0
Sea x ∈ (−ρ, ρ), con 0 < |x| < ρ (en 0 cualquier serie de potencias converge), entonces
existe x0 ∈ (−ρ, ρ) tal que |x| < |x0 | < ρ, luego la serie
∞
P
n=0
an xn0 converge y la sucesión
n
{an xn0 }∞
n=0 está acotada, es decir, existe K > 0 tal que |an x0 | < K , para todo n ∈ IN.
Por tanto,
¯
¯ ¯n
¯ ¯
¯
¯ ¯
¯
n
n ¯¯ x ¯¯n
xn xn0 ¯¯
n ¯ x ¯
|a
x
|
K
|nan xn−1 | = ¯¯nan
=
≤
n 0 ¯
x xn0 ¯ |x|
x0 ¯
|x| ¯ x0 ¯
∞
P
n=1
K
|x|
∞
P
∞
P
|nan xn−1 | converge. Llamando M = | xx0 | <
n| xx0 |n converge, la serie
n=1
n=1
√
1, se tiene que lim n nM n = M < 1 y por el criterio de la Raiz la serie converge. Luego
y si la serie
n→∞
nan xn−1 converge en (−ρ, ρ) y, en consecuencia, ρ0 ≥ ρ.
Sucesiones y Series de Funciones.
98
8.4 Desarrollo de una función en serie de potencias.
¦ ρ0 ≤ ρ
Si suponemos ρ < ρ0 , existe x ∈ IR con ρ < |x| < ρ0 , en el cual
∞
P
n=1
absolutamente. Entonces, para todo n ≥ |x|, se verifica que
nan xn−1 converge
|an xn | = |x||an xn−1 | ≤ n|an xn−1 |
∞
P
de donde
n=0
an xn converge en x con ρ < |x|, lo que es absurdo. Luego ρ ≥ ρ0 .
Corolario 8.29 – Si f (x) =
∞
P
n=0
an xn en (−ρ, ρ), entonces f es de clase ∞ en (−ρ, ρ).
Demostración:
∞
P
Puesto que f es derivable en (−ρ, ρ) y f 0 (x) =
n=1
nan xn−1 es una serie de potencias en
(−ρ, ρ), es también derivable en (−ρ, ρ) y su derivada es una serie de potencias que vuelve a
ser derivable, etc.
Ejemplo 8.30 – Hallar la expresión de f (x) tal que f (x) =
n=1
Solución:
Por la proposición anterior, f 0 (x) =
f (x) es una primitiva de
C = 0.
8.4
∞ n
P
x
n , en (−1, 1).
∞
∞
∞
P
P
n n−1
n−1 = P xn = 1 en (−1, 1), luego
x
=
x
n
1−x
n=1
1
1−x ,
n=1
n=0
es decir, f (x) = − ln(1 − x) + C ; y como f (0) = 0 se tiene que
4
Desarrollo de una función en serie de potencias.
Si en la sección anterior nos planteabamos el problema de encontrar o, al menos, asegurar
la existencia de una función que coincida con una serie de potencias dada en su intevalo de
convergencia, en éste nos planteamos el problema contrario: ¿cuándo, para una función dada,
existe una serie de potencias que coincide con dicha función en todo un entorno?
Definición 8.31 – Sea ρ > 0, el radio de convergencia de la serie
Se dice que
∞
P
n=0
∞
P
n=0
an (x − x0 )n y 0 < r ≤ ρ.
an (x − x0 )n es un desarrollo en serie de potencias de la función f en
(x0 − r, x0 + r) cuando f (x) =
Proposición 8.32 – Si f (x) =
∞
P
n=0
∞
P
n=0
an (x − x0 )n en (x0 − r, x0 + r).
an (x − x0 )n en (x0 − r, x0 + r) ⊆ (x0 − ρ, x0 + ρ), entonces
a) f es infinitamente derivable en (x0 − r, x0 + r).
b) an =
f (n) (x0 )
(x
n!
− x0 )n , para todo n ∈ IN.
Demostración:
a) Es claro, pues una serie de potencias es infinitamente derivable en cualquier subconjunto
de su intervalo de convergencia.
Sucesiones y Series de Funciones.
99
8.4 Desarrollo de una función en serie de potencias.
b) Derivando sucesivamente en la expresión de f ,
f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + a3 (x − x0 )3 + · · · + an (x − x0 )n + · · ·
f 0 (x) = 1a1 + 2a2 (x − x0 ) + 3a3 (x − x0 )2 + · · · + nan (x − x0 )n−1 + · · ·
f 00 (x) = [2 · 1]a2 + [3 · 2]a3 (x − x0 ) + · · · + [n(n − 1)]an (x − x0 )n−2 + · · ·
f 000 (x) = [3 · 2 · 1]a3 + · · · + [n(n − 1)(n − 2)]an (x − x0 )n−3 + · · ·
..
..
..
.
.
.
f (n−1) (x) = [(n − 1)!]an−1 + [n · · · 2]an (x − x0 ) + · · ·
f (n) (x) = [n!]an + [(n + 1) · · · 2]an+1 (x − x0 ) + · · ·
luego, para cada n se tiene que f (n) (x0 ) = n!an , de donde an =
f (n) (x0 )
.
n!
Definición 8.33 – Sea f infinitamente derivable en el punto x0 . Llamaremos serie de Taylor
de f en x0 , a la serie de potencias
∞
X
f (n) (x0 )
n=0
n!
(x − x0 )n .
Observación 8.34 – La proposición anterior nos da una condición necesaria para que una función
f sea desarrollable en serie de potencias y nos indica, además, como es dicha serie. Es decir,
que si f es desarrollable en serie de potencias en un entorno de x0 , entonces f es infinitamente
derivable en ese entorno y la serie de potencias correspondiente es la serie de Taylor de f en el
punto centro del entorno.
Por otro lado, basta con que una función sea infinitamente derivable en un entorno de un
punto x0 para poder obtener la serie de Taylor de la función en ese punto, ¿es suficiente, entonces, con que una función sea infinitamente derivable en un entorno de un punto para que sea
desarrollable en serie de potencias en ese entorno? Desgraciadamente,
no.
(
− 12
e x , si x 6= 0 , es infinitaContraejemplo.- La función f : IR −→ IR dada por f (x) =
0, si x = 0
mente derivable en IR y f (n) (0) = 0, para todo n.
Luego si f fuera infinitamente derivable en algún entorno de 0, se debe de cumplir que
f (x) =
∞ (n)
∞
P
P
f (0) n
x
=
0 = 0 en dicho entorno; lo que es absurdo pues, para la función,
n!
n=0
n=0
f (x) 6= 0 si x 6= 0. En consecuencia, esa función no es desarrollable en serie de potencias en
ningún entorno de 0.
A la vista del contraejemplo observamos que, para una función f , sólo por ser de clase ∞
en un entorno de x0 no se garantiza que la función y la serie de Taylor en el punto coincidan
en el entorno. Es decir, no garantiza que f (x) =
∞ (n)
P
f (x0 )
n=0
n!
(x − x0 )n en ese entorno (que es la
condición para ser desarrollable en serie de potencias).
La condición suficiente, queda establecida en el siguiente teorema:
Proposición 8.35 – Sea f de clase ∞ en (x0 − ρ, x0 + ρ). Entonces, f (x) =
∞ (n)
P
f (x0 )
n=0
n!
(x − x0 )n
en (x0 − ρ, x0 + ρ) si, y sólo si, cuando n → ∞, el resto de la fórmula de Taylor tiende hacia 0,
para cada x ∈ (x0 − ρ, x0 + ρ).
Demostración:
Sucesiones y Series de Funciones.
100
8.4 Desarrollo de una función en serie de potencias.
Para cada x ∈ (x0 − ρ, x0 + ρ), la fórmula de Taylor establece que
f (x) =
n
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
(x − x0 )k +
f (n+1) (ξn )
(x − x0 )n+1 ,
(n + 1)!
usando el resto de Lagrange ó, usando el resto de Cauchy, que
n
X
f (k) (x0 )
f (n+1) (ξn )
f (x) =
(x − x0 )k +
(x − ξn )n (x − x0 ),
k!
n!
k=0
donde ξn = x0 + θn (x − x0 ) para algún θn ∈ (0, 1). Entonces, es claro que
f (x) =
∞ (n)
P
f (x0 )
n=0
n!
(x − x0 )n
³
si, y sólo si,
lim
n→∞
n
P
f (k) (x0 )
f (x) −
k=0
k!
´
(x − x0 )k = 0.
Corolario 8.36 – En las condiciones de la proposición anterior, si, para todo n, |f (n) (x)| < M
en el entorno, entonces f es desarrollable en serie de potencias en el entorno.
Demostración:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ f (n+1) (ξ)
¯
¯
¯¯
¯ (x − x )n+1 ¯
n+1 ¯
0
¯
¯ (n+1) ¯ ¯ (x − x0 )
¯
¯
¯
n+1 ¯
lim ¯
(x − x0 )
(ξ)¯ ¯
¯ = lim ¯f
¯ ≤ M lim ¯
¯ = 0,
n→∞ ¯ (n + 1)!
n→∞ ¯ (n + 1)! ¯
¯ n→∞
¯ (n + 1)! ¯
xn
n→∞ n!
pues, para todo x ∈ IR, el lim
= 0.
Ejemplo 8.37 – Estudiar si f (x) = sen x es desarrollable en serie de potencias en el 0.
Solución:
La función es de clase ∞ en IR. Se tiene que f (x) = sen x, f 0 (x) = cos x f 00 (x) = − sen x,
f 000 (x) = − cos x y f 0000 (x) = sen x, luego se repite el proceso cada 4 derivadas. Entonces,
f (4n) (0) = f (0) = 0, f (4n+1) (0) = f 0 (0) = 1, f (4n+2) (0) = f 00 (0) = 0 y f (4n+3) (0) = f 000 (0) =
−1; luego
∞
∞
X
X
1
−1 3
1
−1 7
(−1)n x2n+1
f (n) (0) n
x =0+ x+0+
x + 0 + x5 + 0 +
x + ··· =
n=0
n!
1!
3!
5!
7!
n=0
(2n + 1)!
n+1
x
que converge en todo IR. Para cada x ∈ IR, el resto de Lagrange queda f (n+1) (ξn ) (n+1)!
y, como
para todo n, |f (n) (x)| = | sen x| ó |f (n) (x)| = | cos x| y está acotada en IR, por la condición
suficiente es desarrollable en todo IR. En consecuencia,
sen x =
∞
P
(−1)n x2n+1
n=0
Ejercicio 8.38 – ex =
(2n+1)!
en IR.
4
∞ n
P
x
n! en IR.
n=0
Solución:
f (x) = ex y f (0) = 1. f 0 (x) = ex , luego f (n) (x) = ex y f (n) (0) = 1, para todo n.
Entonces, la serie de Taylor de ex en 0 es
que
ex
∞ n
P
x
=
n! para todo x ∈ (−∞, ∞).
∞ n
P
x
n! , que tiene radio de convergencia ∞. Veamos
n=0
n=0
El resto de Lagrange es
eξn
xn+1
f (n+1) (ξn )
(x − 0)n+1 =
xn+1 = eξn
,
(n + 1)!
(n + 1)!
(n + 1)!
Sucesiones y Series de Funciones.
para algún ξn entre 0 y x.
101
8.4 Desarrollo de una función en serie de potencias.
Como x puede ser negativo, −|x| < ξn < |x| y, por tanto, e−|x| < eξn < e|x| . Luego, para cada
x ∈ IR,
¯
¯
¯
¯
¯
¯ xn+1 ¯
¯ ¯ xn+1
n+1 ¯
¯ ξn x
¯
¯
¯
¯ ξn ¯
lim ¯e
| = lim eξn ¯
¯ = lim ¯e ¯ |
¯
n→∞ ¯
n→∞
¯ (n + 1)! ¯
(n + 1)! ¯ n→∞
(n + 1)!
¯
¯
¯
¯
¯ n+1 ¯
¯ xn+1 ¯
¯
¯
¯
|x| ¯ x
|x|
≤ lim e ¯
lim ¯
¯=e
¯=0
n→∞
n→∞ ¯ (n + 1)! ¯
¯ (n + 1)! ¯
y, en consecuencia, ex es desarrollable en serie de potencias en todo IR.
4
Ejercicio 8.39 – Desarrollar en serie de potencias en 0 la función f (x) = (1 + x)α , con α ∈ IR.
Solución:
La función f (x) es de clase ∞ en 0, para todo α ∈ IR y la serie de Taylor en 0 se obtiene
de:
f (x) = (1 + x)α ,
f (0) = 1
f 0 (x) = α(1 + x)α−1 ,
f 0 (0) = α
f 00 (x) = α(α − 1)(1 + x)α−2 ,
f 00 (0) = α(α − 1)
000
α−3
f (x) = α(α − 1)(α − 2)(1 + x)
,
f 000 (0) = α(α − 1)(α − 2)
..
..
.
.
f (n) (x) = α(α − 1) · · · (α − [n − 1])(1 + x)α−n ,
..
.
f (n) (0) = α · · · (α − [n − 1])
..
.
Entonces,
¦ si α = m ∈ IN, f (n) (x) = 0 para todo n > m, luego
m
∞
X
m(m − 1) · · · (m − [n − 1]) n
f (n) (0) n X
x =
x +
n=0
n!
n!
n=0
∞
X
0 xn =
n=m+1
m
X
à !
n=0
m n
x ,
n
que coincide con f (x) para todo x ∈ IR.
¦ Si α ∈
/ IN, para todo n, se tiene que
∞
∞
∞
X
f (n) (0) n X
α(α − 1) · · · (α − [n − 1]) n X
x =
x =
n=0
n!
donde se usa la notación
n=0
¡α¢
n
=
n!
α(α−1)···(α−[n−1])
n!
n=0
à !
α n
x
n
por similitud con el caso α = m ∈ IN.
Como
¯
¯
¯¡ α ¢¯
¯
¯ α(α−1)···(α−[n−1])(α−n) ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ α(α − 1) · · · (α − [n − 1])(α − n)n! ¯
(n+1)!
¯ n+1
¯
¯
¯
¯
¯
¡
¢
lim ¯
¯ = lim ¯ α(α−1)···(α−[n−1]) ¯ = lim ¯
n→∞ ¯ α ¯
n→∞ ¯
n→∞ α(α − 1) · · · (α − [n − 1])(n + 1)! ¯
¯
n
n!
¯
¯
¯α − n¯
¯ = 1,
= lim ¯¯
n→∞ n + 1 ¯
la serie converge en (−1, 1) y no converge si |x| > 1.
El resto de Lagrange es
Ã
!
α
f (n+1) (ξn ) n+1
x
=
(1 + ξn )α−[n+1] xn+1 =
(n + 1)!
n+1
Sucesiones y Series de Funciones.
Ã
!
α
(1 + ξn )α n+1
x
n + 1 (1 + ξn )n+1
102
8.4 Desarrollo de una función en serie de potencias.
cuya derivada (n + 1)-ésima no está acotada, pues |α(α − 1) · · · (α − n)| −→ ∞ y, además,
si x < 0 entonces (1+ξn1 )n+1 6→ 0). Luego no podemos aplicar la condición suficiente.
Usando el resto de Cauchy, con ξn = θn x para algún θn ∈ (0, 1),
f (n+1) (ξn )
α(α − 1) · · · (α − [n − 1])(α − n)(1 + θn x)α−[n+1] (x − θn x)n x
(x − ξn )n x =
n!
n!
(n + 1)α(α − 1) · · · (α − [n − 1])(α − n)
=
(1 + θxn )α−[n+1] (x − θn x)n x
(n + 1)!
Ã
!
Ã
!
Ã
!
α
= (n + 1)
(1 + θn x)α−[n+1] (1 − θn )n xn x
n+1
α
= (n + 1)
xn+1 (1 + θn x)α−1 (1 + θn x)−n (1 − θn )n
n+1
µ
α
1 − θn
= (n + 1)
xn+1 (1 + θn x)α−1
1 + θn x
n+1
¶n
.
Tenemos que:
¡ α ¢ n+1
= 0, para todo x ∈ (−1, 1), pues es el término general de
n+1 x
¯
¯ α ¯
¯
∞
¯ (n+1) ¯
¯ (n+1)( α ) ¯
¡
¢
P
¯ α ¯ = 1, converge en
la serie
n αn xn que, como lim ¯¯ n αn+1 ¯¯ = lim n+1
¯ ( ) ¯
n
n→∞
n→∞
( )
– lim (n + 1)
n→∞
(−1, 1).
n=0
n
n
– Para cada x ∈ (−1, 1), el valor s = (1 + θn x)α−1 está acotado, pues −|x| < θn x < |x|
=⇒ 1 − |x| < 1 + θn x < 1 + |x| y 0 < 1 − |x| < 1 + θn x < 1 + |x|, luego si α − 1 > 0,
s < (1 + |x|)α−1 y si α − 1 < 0, s < (1 − |x|)1−α que son valores constantes para
cada x.
³
–
1−θn
1+θn x
´n
≤ 1, pues
1−θn
1+θn x
< 1 ya que por ser −1 < x < 1 =⇒ −θn < θn x < θn =⇒
1 − θn < 1 + θn x < 1 + θn y como 0 < 1 − θn < 1 + θn x se tiene que 0 <
f (n+1) (ξn )
(x
n!
n→∞
En consecuencia, lim
− ξn )n x = 0
Proposición 8.40 – Sean los desarrollos f (x) =
g(x) =
∞
P
n=0
∞
P
n=0
bn (x − x0
)n
(1 + x)α =
y
1−θn
1+θn x
< 1.
∞ ¡ ¢
P
α n
n x en (−1, 1). 4
n=0
an (x − x0 )n con radio de convergencia ρ1 y
con radio de convergencia ρ2 y sea ρ = min{ρ1 , ρ2 }. Entonces,
a) La suma f + g es desarrollable en serie de potencias en (x0 − ρ, x0 + ρ), y
(f + g)(x) = f (x) + g(x) =
∞
X
(an + bn )(x − x0 )n .
n=0
b) El producto f g también es desarrollable en serie de potencias en (x0 − ρ, x0 + ρ) y
(f g)(x) = f (x)g(x) =
∞
X
cn (x − x0 )n ,
n=0
donde cn =
n
P
k=0
ak bn−k (producto de series de Cauchy).
Sucesiones y Series de Funciones.
103
8.5 Ejercicios.
Proposición 8.41 – Sean f (x) =
∞
P
n=0
an (x − x0 )n y g(y) =
∞
P
m=0
bm (y − y0 )m con radio de conver-
gencia respectivos ρ > 0 y ρ0 > 0, tales que f (x0 ) = y0 y, para cada x ∈ (x0 − ρ, x0 + ρ), se
verifica que f (x) ∈ (y0 − ρ0 , y0 + ρ0 ). Entonces g ◦ f es desarrollable en serie de potencias de
x − x0 en el entorno (x0 − ρ, x0 + ρ) y se tiene que
∞
X
g(f (x)) =
m
bm (f (x) − f (x0 ))
=
m=0
8.5
∞
X
bm
m=0
̰
X
!m
n
an (x − x0 )
.
n=1
Ejercicios.
8.1 Hallar los conjuntos de convergencia de las series
∞ −nx
P
e
a)
n=1
∞
P
sen nx
b)
n2 +1
2n
n=1
¿Convergen uniformemente en sus conjuntos de convergencia?
8.2 Estudiar la convergencia uniforme de las series
∞
P
(−1)n
√
a)
n3 +x
n=1
en [0, ∞).
∞
P
cos nx
enx en [1, ∞)
b)
n=1
8.3 Estudiar la convergencia uniforme de la serie
∞
P
8.4 Probar que la serie
n=1
(0, ∞).
8.5 Probar que la serie
1
n2 x2
∞
P
xn
1+n2 x2
n=1
en [0, 12 ] y en [ 12 , 1]. ¿Converge
converge uniformemente en [a, ∞), con a > 0, pero no en
∞
P
(−1)n+1
n+x
n=1
∞
P
n=1
uniformemente en [0, 1]?
8.6 Probar que
∞ n
P
x
2n en [−1, 1].
c)
converge uniformemente pero no absolutamente en [0, 1].
xn (1 − x) converge puntualmente pero no uniformemente en [0, 1].
n=0
8.7 Hallar el conjunto de convergencia de la serie
∞
P
n=0
formemente en [0, 1].
x
(1+x2 )n
. Probar que no converge uni-
8.8 Determinar el intervalo y el conjunto de convergencia de cada una de las series de potencias
siguientes:
a)
e)
∞
P
n
(−1)n−1 xn
n=1
∞
P
n=1
∞
P
xn
b)
x2n
2n
f)
n=1
∞
P
n=1
c)
n2n
(x−1)2n
n9n
g)
∞
P
n!xn
n=0
∞ h
P
n=2
∞
P
d)
1·2·3···(n−1)
3·5···7···(2n−3)
i2
n=0
n
n+1
¡ x ¢n
2
xn .
8.9 Calcular la suma de de las series
a)
∞
P
n
(−1)n−1 xn
n=1
Sucesiones y Series de Funciones.
b)
∞
P
xn
n=1
n2n
c)
∞ 2n
P
x
n=1
2n
d)
∞ n+1
P
x
.
n=1
n
104
8.5 Ejercicios.
8.10 Hallar el radio de convergencia y la suma de las series
a)
d)
∞
P
(n + 1)xn
n=0
∞
P
∞
P
b)
n2 xn
(n + 1)(n + 2)xn
n=0
∞
P
e)
n=1
n=0
c) 1 −
n
xn
n+1 3n+1
f)
1
2
+
x
2
+
x2
3
−
x3
4
+
x4
5
+ ···
x
3
+
x2
4
+
x3
5
+
x4
6
+ ···
8.11 Desarrollar la función f (x) = ex como serie de potencias en un entorno de 1 y en un
entorno de −1.
8.12 Usar el desarrollo de ex para encontrar el desarrollo en serie de potencias de x de las
funciones que se dan a continuación, indicando los intervalos en que tienen validez.
a) f (x) = (1 + ex )3
b) f (x) = sh(x)
c) f (x) = ch(x)
8.13 Desarrollar en serie de potencias de x − 1 la función f (x) =
d) f (x) = ch2 (x).
1
x.
8.14 Desarrollar en serie de potencias de x las funciónes siguientes, indicando su campo de
validez.
√
1
1
a) f (x) = 1 + x
b) f (x) = (2 + x)−1
c) f (x) = 1−x
d) f (x) = 2+x
2
2.
8.15 Desarrollar f (x) =
1
x2 +3x+2
en serie de potencias de x + 4.
8.16 Hallar el conjunto de convergencia y la suma de la serie
∞
P
2n+1
x
(−1)n+1 4n
2 −1 .
n=1
8.17 Estudiar la convergencia uniforme de
∞
P
1
n=1
8.18 Estudiar la convergencia uniforme de
x+2
1−x
∞
P
(x2 −1)n
n=0
8.19 Estudiar la convergencia uniforme de
n
³
2n+1
´n
en (−∞, −1].
en [−1, 1].
³ 2 ´n+1
∞
P
(−1)n
2x
en [1, 3].
n
2
2+3x
n=0
8.20 Estudiar la convergencia puntual y uniforme de
∞
P
(−1)n e−n sen x .
n=1
Sucesiones y Series de Funciones.
105