Tema 4: Series de Fourier - amp-cal-isa-andtech

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Tema 4: Series de Fourier
Las series de Fourier surgen al intentar representar una función periódica f (x) en términos
de funciones seno y coseno, que son las funciones periódicas más simples y conocidas. La razón
se debe a la facilidad con que se resuelven ciertos problemas cuando se transforman estas
funciones periódicas en series de Fourier.
Recordemos que una función f : R −→ R es periódica de perı́odo L (o L-periódica) cuando
existe L > 0 tal que f (x + L) = f (x), ∀x ∈ R. En ese caso se tiene automáticamente que
f (x + nL) = f (x) para cualesquiera x ∈ R y n ∈ Z. Es obvio que si L es un perı́odo de f (x),
entonces también lo son −L, ±2L, ±3L, .... Se denomina perı́odo fundamental de una función
periódica al perı́odo L > 0 tal que f (x) no es T -periódica para ningún valor 0 < T < L. Cuando
no haya posibilidad de confusión, nos referiremos al perı́odo fundamental simplemente como
perı́odo de la función.
La pregunta que nos planteamos es si, dada una función f (x) periódica de perı́odo 2L,
podemos obtener f (x) como una combinación de senos y cosenos de la forma:
a0 +
+∞
X
(an cos
n=1
nπx L
+ bn sen
nπx L
)
A la serie anterior se le denomina serie de Fourier de f (x) y a los coeficientes ak y bk ,
coeficientes de Fourier.
La cuestión anterior deriva en otras dos: en primer lugar, determinar los coeficientes ak y
bk y posteriormente, establecer si la serie converge a la propia función f (x).
Suponiendo que se da la convergencia e integrando término a término, puede deducirse la
expresión deZlos coeficientes de Fourier:
L
1
a0 =
f (x)dx
2L −L
Z
nπx 1 L
dx y
an =
f (x) cos
L −L
L
Z
nπx 1 L
bn =
f (x) sen
dx, ∀n ≥ 1.
L −L
L
Puesto que la función f (x) tiene perı́odo 2L, las integrales anteriores pueden hacerse sobre
cualquier intervalo de longitud 2L, por ejemplo [0, 2L].
En el caso particular en el que f (x) sea una función de perı́odo 2π e integrable en el intervalo
[−π, π], la serie de Fourier de f (x) adquiere la forma:
a0 +
+∞
X
(an cos(nx) + bn sen(nx))
n=1
1
con a0 =
2π
Z
π
1
f (x)dx, an =
π
−π
Z
π
1
f (x) cos(nx)dx y bn =
π
−π
1
Z
π
f (x) sen(nx)dx, ∀n ≥ 1.
−π
Ejemplo 1 Hallar la serie de Fourier de la función f (x) =

 0

2
si − π < x < 0
si 0 < x < π
Consideramos
extendida periódicamente a todo R con perı́odo 2L = 2π.
Z L la funcion anterior
Z π
1
1
a0 =
f (x)dx =
2dx = 1.
2L −L
2π 0
Para n ≥
Z 1:
Z
nπx 1 L
1 π
2
an =
f (x) cos
dx =
2 cos(nx)dx =
sen(nx)]π0 = 0.
L −L
L
π 0
πn
Z
Z
nπx 1 L
1 π
−2
bn =
f (x) sen
dx =
2 sen(nx)dx =
cos(nx)]π0 =
L
L
π
πn
−L
0

4


si n = 1, 3, 5, ...
πn
=


0
si n = 2, 4, 6, ...
Por lo tanto, la serie de Fourier de f (x) es:
4
1
1
1+
sen(x) + sen(3x) + sen(5x) + ...
π
3
5
Teorema 1 Teorema de convergencia de Dirichlet.
Sea f (x) periódica de perı́odo 2L tal que ella y su derivada están definidas y son continuas
salvo a lo sumo en número finito de discontinuidades de salto.
a) Si f (x) es continua en un punto x0 , entonces la serie de Fourier de f (x) converge en ese
punto a f (x0 ).
+∞
nπx nπx X
0
0
+ bn sen
) = f (x0 )
a0 +
(an cos
L
L
n=1
b) Si f (x) tiene una discontinuidad de salto en x0 , entonces la serie de Fourier de f (x)
converge en ese punto al punto medio del salto, es decir:
a0 +
+∞
X
n=1
(an cos
nπx 0
L
+ bn sen
nπx 0
L
)=
+
f (x−
0 ) + f (x0 )
2
+
donde f (x−
0 ) = lı́m− f (x) y f (x0 ) = lı́m+ f (x).
x→x0
x→x0
El teorema anterior nos dice, en particular, que si f (x) verifica esas condiciones podemos
redefinir el valor de f (x) en cada punto de discontinuidad como el punto medio del salto, o
f (x− ) + f (x+ )
sea, f (x) =
y entonces la suma de su serie de Fourier coincide con f (x) en cada
2
x ∈ R.
Funciones pares e impares.
Recordemos que una función f (x) es par si f (x) = f (−x) e impar si f (x) = −f (−x). El
producto de dos funciones pares es una función par, al igual que el producto de dos funciones
impares. Por otra parte, el producto de una función par y otra impar es una función impar.
Además:
Z
a
Z
a
f (x)dx = 2
Si f (x) es par, entonces
−a
f (x)dx.
0
Z
a
Si f (x) es impar, entonces
f (x)dx = 0.
−a
Debido a las propiedades anteriores, los desarrollos en series de Fourier de la funciones pares
e impares tienen una expresión muy caracterı́stica, como veremos a continuación.
Caso par:
Dada una función par f (x) de perı́odo 2L e integrable en el intervalo [−L, L], entonces su
serie de Fourier es una serie de cosenos, es decir:
a0 +
+∞
X
(an cos
nπx L
n=1
con coeficientes:
Z
Z
nπx 1 L
2 L
a0 =
f (x)dx, an =
f (x) cos
dx, ∀n ≥ 1.
L 0
L 0
L
Caso impar:
Dada una función impar f (x) de perı́odo 2L e integrable en el intervalo [−L, L], entonces
su serie de Fourier es una serie de senos, es decir:
+∞
X
n=1
bn sen
nπx L
con coeficientes:
Z
nπx 2 L
bn =
f (x) sen
dx, ∀n ≥ 1.
L 0
L
En ocasiones es necesario expresar una función como una serie de Fourier de senos o como
una serie de Fourier de cosenos. Esto se hace definiendo la función de manera adecuada fuera
de dicho intervalo para que sea par o impar.
Ejemplo 2 Hallar la serie de Fourier de f (x) = x en [−π, π].
Observemos en primer lugar que f (x) es una función impar (f (−x) = −x = −f (x)) de
perı́odo 2L = 2π, por lo que su serie de Fourier es una serie de senos.
Calculamos los coeficientes:
∀n ≥ 1:Z
Z
nπx 2 π
2 L
f (x) sen
x sen(nx)dx = [por partes : u = x; dv = sen(nx)dx] =
dx =
bn =
L 0 π 0 π
π
Z πL
π
2 −x cos(nx)
1
2 −x
1
2 −x
+
cos(nx)dx =
cos(nx) + 2 sen(nx) =
cos(nx) + 0 =
π
n 0
π n
n
π n
0
0
0
 n
2
π
2


para n = 1, 3, 5, ...

 π·n=n
2
=
= (−1)n+1 .

n

2 −π
−2

 ·
=
para n = 2, 4, 6, ...
π n
n
Por lo tanto, la serie de Fourier de f (x) es:
+∞
X
2
(−1)n+1 sen(nx).
n
n=1