practico9

Ecuaciones Diferenciales.
Curso 2012.
Práctico 9
1. En los siguientes
casos escribir la serie de Fourier de la función f de perı́odo 2π:
1 si −π < x < 0
a) f (x) =
2 si 0 ≤ x ≤ π
b) f (x) = eαx , si − π < x ≤ π
2. Hallar la serie
de Fourier de lasπ funciones definidas por:
π si −π 6 x 6 2
a) f (x) =
0 si π2 < x 6 π
0
si −π 6 x < 0
b) f (x) =
sin x si 0 6 x 6 π
3.
a) Hallar la serie de Fourier de la función periódica definida por
0 si −π 6 x < 0
f (x) =
x si 0 6 x 6 π
b) Sustituyendo x por π concluir que
∞
X
1
1
π2
=
.
(2n − 1)2
8
c) Utilizando la parte b), concluir que
∞
X
1
π2
=
.
n2
6
1
4.
a) Hallar la serie de Fourier de la función definida por
f (x) = ex ,
−π 6 x 6 π.
b) Dibujar el gráfico de la suma de esa serie sobre el intervalo −5π 6 x 6 5π.
c) Concluir que
∞
X
1
1
1 π
=
−
1
.
n2 + 1
2 tanh π
5. Probar que la serie de Fourier de tipo seno de la función constante f (x) = π/4 es
sin x +
sin 3x sin 5x
+
+ ...,
3
5
0 < x < π.
Que suma se obtiene poniendo x = π/2 ? Cuál es la serie de Fourier de tipo coseno
de esa función ?
1
6. En los siguientes casos escribir la serie de Fourier de senos y la serie de Fourier de
cosenos de la función f definida en (0, π):
a) f (x) = 1
b) f (x) = π − x
c) f (x) =
1 si 0 < x < π2
0 si π2 ≤ x < π
7. Existe alguna f ∈ ([−π, π]) cuya serie de Fourier asociada sea
n=+∞
X
n=1
sen nx
√
n
8. En los siguientes casos demostrar la validez de la igualdad:
P
2
cos nx
a) x2 = 2 πx − π3 + 2 +∞
, ∀x ∈ [0, 2π]
n=1 n2
P
n sen 2nx
b) cos x = π8 ∞
n=1 4n2 −1 , ∀x ∈ (0, 2π)
P
cos 2nx
c) | sen x| = π2 − π4 ∞
n=1 4n2 −1 , x ∈ R
Calcular
+∞
X
1
2
4n − 1
n=1
y
+∞
X
(−1)n
4n2 − 1
n=1
Ejercicios complementarios.
9. Hallar las series de Fourier de las funciones definidas por:
a) f (x) = |x|, si −2 6 x 6 2.
b) f (x) = 1 + x, si −1 6 x < 0.
c) f (x) = 1 − x, si 0 6 x 6 1.

 0 si −π 6 x < 0
d) f (x) =
1 si 0 6 x 6 π2

0 si π2 < x 6 π
10. En los siguientes
casos escribir la serie de Fourier de la función f de perı́odo 2π:
eix
si −π < x ≤ 0
a) f (x) =
b) f (x) = sen2 x+i cos2 x, si −π < x ≤ π.
i sen x si 0 < x ≤ π
11. Sea f : R → R una función periódica de perı́odo 2L dada por
2 − x si 0 ≤ x ≤ L
f (x) =
2 + x si −L ≤ x ≤ 0
Calcular las reducidas n-ésimas de la serie de Fourier de f y graficar la función a la
cual convergen puntualmente.
12. Consideremos dos sucesiones de números reales αk , k = 0, 1, 2, . . . y βk , k = 1, 2, . . .
tales que
+∞
X
|αk | + |βk | < ∞.
k=1
2
a) Mostrar que la serie
+∞
α0 X
+
αk cos
2
k=1
kπ
kπ
x + βk sin
x
L
L
converge uniformemente en R a una función g(x), continua y periódica con
perı́odo 2L.
b) Mostrar que los coeficientes de Fourier de g coinciden con αk y βk y que la serie
de la parte anterior es justamente la serie de g. Concluir que la serie de Fourier
de g converge uniformemente y respecto a k.k2 a g.
c) Supongamos que los coeficientes αk , k = 0, 1, 2, . . . y βk , k = 1, 2, . . . satisfacen
la condición más fuerte
+∞
X
k=1
kl |αk | + kl |βk | < ∞,
donde l ≥ 1 es un número natural. Mostrar que el lı́mite g de la serie de la
primera parte es una función de clase C l en R.
13.
a) Consideremos dos sucesiones fn y gn que convergen en || ||2 a f y a g respectivamente. Mostrar que
lı́m hfn , gn i = hf, gi.
n→∞
b) Mostrar que si fn converge a f respecto a || ||2 entonces todos los coeficientes
de Fourier ak (fn ) y bk (fn ) convergen a los respectivos coeficientes de Fourier
de f .
3