Teoría - Canek

CAPÍTULO
6
La transformada de Laplace
6.4.2
Primera propiedad de traslación
Para cualquier a 2 R:
L e at f .t/ D
˚
1
Z
e
st
Œe at f .t/ dt D
0
Z
1
.s a/t
e
f .t/ dt D F .s
a/I
0
es decir,
L e at f .t/ D F .s
˚
(6.1)
a/:
Entonces, la TL de e at f .t/ es la misma que la de f .t/, con un corrimiento hacia a. Por ejemplo:
L e 3t t 2 D
˚
2 s 3 s!s
D
3
2
.s
3/3
:
El símbolo s!s a se usa sólo para indicar que hay que reemplazar la variable s en todas sus ocurrencias
por s a. Con este resultado obtenemos las siguientes fórmulas:
L e at t n D
˚
nŠ s nC1 D
s!s a
s
L e cos bt D 2
s C b2
˚
b
L e at sen bt D 2
s C b2
˚
at
s!s
1. canek.azc.uam.mx: 24/ 9/ 2010
1
a
s!s a
nŠ
:
a/nC1
s a
D
:
.s a/2 C b 2
b
D
:
.s a/2 C b 2
.s
2
Ecuaciones diferenciales ordinarias
3t
˚
Ejemplo 6.4.1 Obtener L e
cos t
&
3t
L e
˚
sen t .
H
sC3
s D
:
2
s C 1 s!sC3
.s C 3/2 C 1
˚
1
1 D
:
L e 3t sen t D 2
s C 1 s!sC3
.s C 3/2 C 1
Ejemplo 6.4.2 Calcular L
H
1
s2
cos t D
3t
˚
L e
1
Cs
2
.
Primero completamos cuadrados en el denominador:
s2
Luego consideramos solamente
1
9
4
s2
2
3
1
Cs
D
2
sC
senh
senh
3
t
2
e
?
2
e
3
t
2
9
4
2
:
. De acuerdo con la tabla, la fórmula .10/ nos da:
3
2t
!
2
3
"
3
2
3
2
s2
Por lo tanto:
2
3
1
1 2
2
#
D
-
2
3
1
"
t
2
senh
3
t
2
-
2
3
"
sC
Así concluimos que
L
1
1
2
s Cs
2
D 23 e
t
2
9
4
s2
3
2
1 2
2
:
3
2
9
4
s2
#
s!sC
?
#
9
4
D
1
2
1
s2 C s
2
senh 3t2 :
Ejemplo 6.4.3 Hallar L
H
1
n
s2
s
C 6s C 10
o
.
Completamos cuadrados en el denominador:
cos t
s
s
D
. Sabemos que:
s 2 C 6s C 10
.s C 3/2 C 1
!
s
:
s2 C 1
Por lo tanto:
cos t e
e
3t
3t
?
cos t -
s
s2 C 1
s !sC3
?
sC3
.s C 3/2 C 1
Ecuaciones diferenciales ordinarias 6
Nos ha resultado
3
sC3
s
y no
. Arreglamos esta diferencia de la siguiente manera:
2
.s C 3/ C 1
.s C 3/2 C 1
s
.s C 3/ 3
sC3
D
D
.s C 3/2 C 1
.s C 3/2 C 1
.s C 3/2 C 1
3
:
.s C 3/2 C 1
Incorporamos esta idea para hallar:
cos t
3 sen t e
3t
?
3 sen t/e
.cos t
-
3t
-
sC3
.s C 3/2 C 1
s
s2 C 1
3
s2 C 1
s !sC3
?
3
s
D
2
.s C 3/ C 1
.s C 3/2 C 1
En consecuencia:
L
1
s
DL
.s C 3/2 C 1
1
n
s2
o
s
De
C 6s C 10
3t
.cos t
3 sen t/:
Ejercicios 6.4.2 Primera propiedad de traslación. Soluciones en la página 4
1
En cada uno de los ejercicios, calcular Lf f .t/g o bien L f F .s/g, según se requiera:
1. f .t/ D 3 sen 4t
2. f .t/ D t 3
3. f .t/ D e
2 cos 5t.
4t 2 C 5.
4t
.t 2 C 1/2 .
4. f .t/ D sen ˛t cos ˇt.
5. f .t/ D sen 2 at.
6. F .s/ D
s2
20s
5
C 2
.
C4
s C9
7. F .s/ D
3
5.s C 1/
2
C 2
C 2
.
.s C 2/4
s C 16
s C 2s C 5
8. F .s/ D
7
.
s 2 C 10s C 41
9. F .s/ D
10. F .s/ D
11. F .s/ D
s2
sC1
.
C 2s C 5
s2
sC3
.
C 2s C 10
s2
3s C 1
.
4s C 20
4
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Ejercicios 6.4.2 Primera propiedad de traslación. Página 3
2s 3 C 12s 2 32s C 300
.
.s 2 C 16/.s 2 C 25/
1. F .s/ D
8s C 5s 3
.
s4
24 C 4.s C 4/2 C .s C 4/4
3. F .s/ D
.
.s C 4/5
2. F .s/ D
6
˛s 2 C ˛.˛2 ˇ 2 /
.
4. F .s/ D 2
Œs C .˛ C ˇ/2 Œs 2 C .˛ ˇ/2 
5. F .s/ D
2a2
.
C 4a2 
sŒs 2
5
sen 2t C 20 cos 3t .
2
1
3
f .t / D e 2t t 3 C sen 2t C 5e t cos 2t .
3
4
7
f .t / D e 5t sen 4t .
4
f .t / D e t cos 2t .
2
f .t / D e t cos 3t C e t sen 3t .
3
„
«
7
2t
f .t / D e
3 cos 4t C sen 4t .
4
6. f .t / D
7.
8.
9.
10.
11.