Utilizando el proceso de ortogonalización de Gram!Schmidt

Utilizando el proceso de ortogonalización de Gram!Schmidt

Utilizando el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt, encuentra una
base ortonormal de R2 a partir de los vectores ~x1 = (1; 1) y ~x2 = (2; 3)
Solución:
Debemos veri…cr primero que los vectores dados sean linealmente independientes.
Tomamos una combinación lineal de ellos igualada a cero
a~x1 + b~x2 = ~0
que se pone como el par de ecuaciones
a (1; 1) + b (2; 3) = (0; 0)
ó sea
a + 2b = 0
a + 3b = 0
Restando las dos ecuaciones encontramos
b=0
y por tanto, a = 0 y los dos vectores son linealmente independientes.
Una manera más directa para veri…car que los dos vectores son linealmente
independientes es simplemente formar el determinante con las componentes de
los vectores
1 2
1 3
y veri…car que sea diferente de cero. En efecto, tenemos
1 2
=1
1 3
así que son linealmente independientes.
En el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt se toma como primer
vector del nuevo conjunto el primer vector del conjunto original; es decir,
~y1 = ~x1 = (1; 1)
Como segundo vector la receta es
(~x2 ; ~y1 )
~y1 o bien
~y2 = ~x2 j~x2 j cos y^1
~y2 = ~x2
(~y1 ; ~y1 )
Que en este caso nos da
(2; 3) (1; 1)
1 1
~y2 = (2; 3)
(1; 1) =
;
(1; 1) (1; 1)
2 2
Veri…quemos que los vectores obtenidos son linealmente independientes y que
son ortogonales. Para veri…car que son linealmente independientes tomamos el
determinante formado con los vectores y vemos su valor
1
1
2 =1
1
1
2
que como es diferente de cero nos dice que efectivamente los dos vectores
calculados con el proceso de Gram-Schmidt son linealmente independientes.
Veamos si son ortogonales, veri…cando que el producto escalar entre ellos sea
cero. Tenemos
1
(1; 1)
( 1; 1) = 0
2
y por lo tanto sí son ortogonales.
1
Falta ahora volverlos
de norma 1. Tenemos
p
j~y1 j = j(1; 1)j = 2 p
1
2
j~y2 j =
( 1; 1) =
2
2
Así
que
la
base
orotonormal
para R2 será la constituida por los dos vectores
p
p
2
2
(1; 1) y
( 1; 1)
2
2
2