Problemas

Comparación con la integral de Riemann
55
Problemas
1. Sean f; g : ( ; A; ) ! [ 1; 1] dos funciones medibles. Demuestre que los conjuntos:
A = fx : f (x) = g(x)g ;
B = fx : f (x) < g(x)g ;
C = fx : f (x)
g(x)g ;
son todos medibles.
2. Sea ( ; A) un espacio medible y E 2 A. Demuestre que f (x) =
E (x)
es medible.
3. Sea f : ( ; A; ) ! [ 1; 1]. Demuestre que cada una de las siguientes cuatro
condiciones implica las otras tres:
fx : f (x) >
fx : f (x)
fx : f (x) <
fx : f (x)
g
g
g
g
es
es
es
es
medible
medible
medible
medible
para
para
para
para
todo
todo
todo
todo
2 R.
2 R.
2 R.
2 R.
4. Sea f : ( ; A; ) ! [ 1; 1] una función medible. Demuestre que jf j es medible
usando la de…nición.
5. Suponga que f : ( ; A; ) ! [ 1; 1] es medible y
Demuestre que si f = g c.t.p., entonces g es medible.
es una medida completa.
6. Sean ( ; A; ) y ( ; B; ) dos espacios medibles con medida completa y f; g : !
funciones tales que f es medible. Demuestre que si f = g c.t.p., entonces g es
medible.
7. Sea fn : ( ; A; ) ! [ 1; 1] una sucesión de funciones medibles. Demuestre que
el conjunto:
1
A = fx : (fn (x))n=1 convergeg
es un conjunto medible.
8. Sea f : ( ; A; ) ! [0; 1] medible, E 2 A. Suponga que
f = 0 c.t.p. sobre E.
R
E
fd
= 0. Entonces
9. Demuestre la Proposición 109 (f).
10. Sea f : ( ; A; ) ! [0; 1] medible y sea (E) =
medida en .
R
E
f d . Demuestre que
11. Sea f : ( ; A; ) ! [ 1; 1] una función integrable. Suponga que
todo E 2 A. Entonces f = 0 c.t.p. sobre .
R
E
es una
f d = 0 para
12. Suponga que f; g : ( ; A; ) ! [ 1; 1] Rson medibles
con f = g c.t.p. Entonces f
R
integrable implica que g es integrables y f d = g d :
13. Suponga que f : ( ; A; ) ! [ 1; 1] es integrable. Demuestre que fx : f (x) 6= 0g
es -…nito.
14. Sea
R
-álgebra discreta y la medida del conteo. Demuestre que f :
1
P
! [ 1; 1] es integrable si y sólo si
jf (n)j es convergente. En este caso
N
= N con la
fd =
1
P
n=1
n=1
f (n).
Integración
56
15. Use el Corolario 112 aplicado al espacio N con la -álgebra usual y la medida de
conteo, para demostrar que para toda sucesión doble (aij ) de números positivos, se
cumple:
1 X
1
1 X
1
X
X
aij =
aij :
i=1 j=1
j=1 i=1
16. Sea f : ( ; A; ) ! [ 1; 1] una función integrable con ( ) < 1. Sea F un
subconjunto de R cerrado y no vacío. Suponga que:
Z
1
fd 2F :
(8E 2 A)
(E) > 0 )
(A) E
Entonces f (x) 2 F c.t.p. sobre
.
17. Sea f : ( ; A; ) ! [0; 1] una sucesión decreciente de funciones medibles tales que
fn (x) ! f (x) para todo x 2 . Suponga que f1 es integrable. Demuestre que:
Z
Z
lm
fn d =
fd :
n!1
18. Sea (fn ) una sucesión de funciones continuas en [0; 1] tal que 0 fn
R1
que fn (x) ! 0 para todo x 2 [0; 1]. Demuestre que l m 0 fn d = 0.
1. Suponga
n!1
19. Usando el teorema de la convergencia monótona de Lebesgue demuestre que:
Z n
x n x=2
e dx = 2
lm
1
n!1 0
n
Z n
x n 2x
lm
1+
e
dx = 1:
n!1 0
n
20. Sea fn = E si n es impar y fn = 1
esta sucesión respecto al lema de Fatou?
E
si n es par. ¿Cual es la importancia de
21. Suponga que ( ; A; ) es un espacio de medida. Demuestre que es
sólo si existe función integrable f tal que f (x) > 0 para todo x 2 .
-…nita si y
22. Sea fn : ( ; A; ) ! R una sucesión de funciones medibles y acotadas que convergeR uniformemente
a la función f . Suponga que ( ) < 1. Demuestre que
R
lm
fn d =
fd :
n!1
23. Sea = N con la -álgebra discreta y la medida del conteo. Considere la sucesión
(fn ) de…nida por:
1=n Si 1 k n
fn (k) =
0
Si k > n:
R
Demuestre
que esta sucesión converge uniformemente a f = 0, sin embargo l m fn 6=
R
f . Compare con el problema anterior.
24. Sea = N con la -álgebra discreta y la medida del conteo. Considere la sucesión
(fn ) de…nida por:
1=k Si 1 k n
fn (k) =
0
Si k > n:
(a) Demuestre que esta sucesión converge uniformemente a la función f (k) = 1=k; k 2
N.
(b) Demuestre que cada fn es integrable, pero f no lo es.
Comparación con la integral de Riemann
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25. Convergencia casi uniforme.
Una sucesión fn : ( ; A; ) ! [ 1; 1] de funciones medibles y reales c.t.p. se dice
que converge casi uniformemente a una función medible f si para todo > 0, existe
un conjunto medible E
con (E) < tal que (fn ) converge a f de manera
uniforme en
E. Demuestre que la sucesión (fn ) converge puntualmente a f casi
en todas partes (en ).
26. El teorema de Egoro¤ .
Suponga que la sucesión fn : ( ; A; ) ! [ 1; 1] de funciones reales c.t.p. converge
puntualmente (también c.t.p.) a una función medible f y real c.t.p. Entonces si
( ) < 1 se tiene que (fn ) converge casi uniformemente a f .
27. Convergencia en medida.
Una sucesión fn : ( ; A; ) ! [ 1; 1] de funciones medibles y reales c.t.p. se dice
que converge en medida a una función medible f si para todo > 0,
lm
n!1
(fx : jfn (x)
f (x)j
g) = 0:
Demuestre:
a) El límite es único c.t.p.
b) Convergencia casi uniforme ) convergencia en medida.
28. Demuestre que si f : [a; b] ! R es una función acotada y Riemann integrable,
entonces f es continua c.t.p. en [a; b].
29. Resuelva el Problema 8, página 35 usando integración del siguiente modo: de…na A
como el conjunto de los puntos x que están en in…nitos An . Hay que demostrar que
1
P
(A) = 0. Para este efecto de…na g(x) =
), en donde An es la
An (x), (x 2
n=1
función característica de An y observe que x 2 A si y sólo si g(x) = 1.
R
30. Sea f : ( ; A; ) ! [0; 1] una función integrable con 0 <
f d = c < 1. Sea
una constante. Demuestre que:
8
Z
< 1 Si 0 < < 1
f
c
Si = 1
lm
n ln 1 +
d =
n!1
:
n
0 Si 1 < < 1:
31. Sea,
fn (x) =
n
0
Si 0 x < 1=n
Si 1=n x 1
Demuestre que l m fn (x) = 0 c.t.p. en [0; 1], sin embargo l m
R1
n!1 0
n!1
la medida de Lebesgue). Este ejemplo muestra que la condición jfn j
teorema de la convergencia dominada de Lebesgue no es super‡ua.
32. Sea ( ; A; ) un espacio medible y (
0
g dada en el
; A0 ) un espacio de medida. Suponga que:
f : ( ; A) ! (
es medible. Demuestre que:
fn dm = 1 (m
0
; A0 )
Integración
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(a)
0
: A0 ! [0; 1] de…nida por:
0
(E 0 ) = f
1
(E 0 ) =
f
1
(E 0 )
(E 0 2 A0 )
es una medida sobre A0 :
(b) Suponga que g :
0
! [0; 1] es medible. Entonces:
Z
Z
gd f 1 =
(g f ) d :
(5.21)
0
(c) Suponga que g : 0 ! [ 1; 1] es medible. Entonces g es
si g f es -integrable y en este caso también rige 5.21.
0
-integrable si y sólo
33. Demuestre que la función f (x) = sin x + cos x no es Lebesgue integrable en R.
34. Demuestre que la función f (x) = (sin x)=x no es Lebesgue integrable en (1; 1).
35. Demuestre que la función f (x) = 1=x no es Lebesgue integrable en (0; 1).
36. Considere la función de…nida en [0; 1] por:
f (x) =
1=m Si x = n=m (fracción irreducible) con m; n 2 N.
0
Si x es irracional.
Demuestre que f es Lebesgue integrable. Halle
R1
0
f (x) dx.
37. Sea f : ( ; A; ) ! [0; 1] una función integrable y
A 2 A, (A) < 1 y tal que:
Z
Z
fd
fd < :
> 0. Demuestre que existe
A
38. Sea ( ; A; ) un espacio de medida tal que ( ) < 1 y f : ( ; A; ) ! R una
función medible. Sea:
An = fx : n 1 jf (x)j < ng :
P
Entonces f es integrable si y sólo si
n (An ) < 1.
39. Sean f; g : ( ; A; ) ! [ 1; 1] funciones medibles. Demuestre:
f y g integrables
2
2
)
f 2 + g2
f y g integrables
)
1=2
integrable.
f g integrable.