6 de noviembre de 2014. Instrucciones: Trabaje todos los ejercicios.

6 de noviembre de 2014. Instrucciones: Trabaje todos los ejercicios.

Universidad de Puerto Rico, Rı́o Piedras
Facultad de Ciencias Naturales
Departamento de Matemáticas
San Juan, Puerto Rico
MATE 5201: Cálculo Avanzado
Asignación 7: Fecha de quiz: 6 de noviembre de 2014.
Instrucciones: Trabaje todos los ejercicios.
1. Sea A ⊆ R y suponga que f : A → R tiene la siguiente propiedad: para todo
ε > 0, existe una función gε : A → R tal que gε es uniformemente continua en
A y |f (x) − gε (x)| < ε para todo x ∈ A. Demuestre que f (x) es uniforme.
2. Sea f : R → R definida como f (x) = x2 para x racional y f (x) = 0 para x
irracional. Demuestre que f (x) es diferenciable en x = 0. Encuentre f 0 (0).
3. Sea n ∈ N y f : R → R definida por f (x) = xn para x ≥ 0 y f (x) = 0 para
x < 0. ¿Para qué valores de n es f 0 continua en 0? ¿Para qué valores de n es
f 0 diferenciable en x = 0? Demuestre sus respuestas.
4. Sea g : R → R definida como g(x) = x2 sin(1/x2 ) para x 6= 0 y g(0) = 0.
Demuestre que g es diferenciable para todo x ∈ R. También, demuestre que g 0
no está acotada en el intervalo [−1, 1].
5. Si r > 0 es racional, entonces defina f : R → R como f (x) = xr sin(1/x) para
x 6= 0 y f (0) = 0. Determine los valores de r para los cuales f 0 (0) existe.
Demuestre sus respuestas.
6. Si f : R → R es diferenciable en c ∈ R, demuestre que
f 0 (c) = lim(n[f (c + 1/n) − f (c)]).
Encuentre un contraejemplo que demuestre que la existencia del lı́mite de esta
secuencia no implica la existencia de f 0 (c).
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