Matemáticas III - Bachilleres Río Blanco

Matemáticas III - Bachilleres Río Blanco

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Tiempo asignado: 10 horas
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Fo
BLOQUE
1
Reconoces lugares
geométricos
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OBJETOS DE APRENDIZAJE
• Geometría analítica introductoria
• Sistema de coordenadas rectangulares
• Parejas ordenadas:
- Igualdad de parejas
• Lugares geométricos
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DESEMPEÑOS DEL ESTUDIANTE
• Identifica las características de
un sistema de coordenadas rectangulares.
• Interpreta la información a partir de la noción de parejas ordenadas.
• Reconoce las relaciones entre
variables que conforman las parejas ordenadas para determinar un lugar geométrico.
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Competencias a desarrollar
Fo
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• Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingísticas, matemáticas y gráficas,
asimismo, interpreta tablas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y
científicos.
• Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno
de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
• Construye hipótesis, diseña y aplica modelos
para probar su validez.
• tiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
• Elige las fuentes de información más relevantes
para un propósito específico y discrimina entre
ellas de acuerdo con su relevancia y confiabilidad.
• Define metas y da seguimiento a sus procesos de
construcción de conocimientos.
• Propone la manera de solucionar un problema y
desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un
curso de acción con pasos específicos.
• Aporta puntos de vista con apertura y considera
los de otras personas de manera reflexiva.
• Asume una actitud constructiva, congruente con
los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
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I TRODUCCI
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Evaluación diagnóstica
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Las tablas y gráficas se usan en los medios de información (periódicos, revistas, , internet, etc.) para presentar datos de diversos contextos, y para entenderlas se requiere de la noción de un sistema de ejes coordenados, pareja
ordenada y lugar geométrico. Por consiguiente, en este bloque conocerás la
utilidad del estudio de la geometría analítica como parte fundamental en múltiples innovaciones de nuestra época, e identificarás el Sistema de ejes coorde
nados y los elementos necesarios para representar en sus distintas formas un
lugar geométrico.
Realiza los siguientes ejercicios, puedes resolverlos en los espacios de tu libro
o en tu cuaderno.
ro
I. Encierra la opción con el resultado correcto.
5
es:
7
.P
7
5
40
c)
56
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a)
co
1. na fracción equivalente a
25
49
25
d)
7
b)
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2. ¿Cuál de las siguientes fracciones se encuentra entre 
el
7
4
4
c)
5
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o
a) 
Fo
B1
30
b) 
d)
8 3
y ?
5 4
8
7
9
7
3. La temperatura registrada en una ciudad a las 6 a.m. fue de 7 ºC. Si para
una hora más tarde la temperatura se redujo a la mitad, ¿en cuál de las siguientes rectas numéricas se ubica la temperatura registrada a las 7 a.m.?
Reconoces lugares geométricos
4. ¿Cuáles son las coordenadas de los
vértices del triángulo de la siguiente
figura?
A(1, −3), B(2, 4), C(−4, 2)
A(−3, 1), B(4, 2), C(2, −4)
A(1, 3), B(−2, 4), C(4, 2)
A(−2, 0), B(3.3, 0), C(0, −2)
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a
a)
b)
c)
d)
II. Anota la respuesta correcta a cada cuestión.
su
1. Cada punto de una recta numérica puede hacerse corresponder con un número real.
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a) ¿Cuál es el conjunto de números reales?
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b) Escribe 20 números reales:
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c) Traza una recta numérica y marca con un punto la localización de los siguientes números reales:
o
el
7
9  123054 4275 16 30
7
−10,  , 9.25, 6, , 5, 22, ,  ,
,
, , ,  64, 2,
7
23 4 86351
570 2 3
4
Fo
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6. En el transcurso del tiempo, el ser humano ha utilizado distintos métodos y
elementos para poder ubicarse, y ha sido de suma importancia disponer de
los puntos cardinales como referencia.
a) ¿Cuáles son los puntos cardinales?
Escríbelos también en inglés:
b) ¿Cómo se llama la figura que indica los cuatro puntos cardinales y sus intermedios?
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a
c) Dibuja dicha figura.
.
e) ¿Qué otro nombre recibe?
.
.P
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d) ¿Cuál es el punto cardinal por donde sale el sol?
co
f) ¿Cuál es el punto cardinal por donde se oculta el sol?
.
.
ec
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g) ¿Qué otro nombre recibe?
el
Actividad introductoria
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I. Realiza la siguiente lectura.
Fo
B1
esarrollan una a licación ara estudiar los
or gps
o i ientos del aloncesto
Todos los jugadores llevan un s y, una vez finalizado el partido o el entrenamiento, los datos del dispositivo se vuelcan en un programa informático que realiza representaciones gráficas de los movimientos que han realizado, cómo han ocupado
los espacios o la velocidad a la que se han movido. Parece el sueño de todo entrenador de baloncesto, un deporte muy táctico en el que casi todo se estudia al
detalle, y está más cerca de hacerse realidad. Un proyecto de investigación de la
Universidad de Salamanca ha creado una aplicación informática que en un futuro cercano podría convertirse en un instrumento de trabajo para los profesionales del deporte.
La idea se ha materializado en el proyecto de fin de carrera de Laura Casares González, alumna de Ingeniería Informática de la Universidad de Salamanca. Había-
32
Reconoces lugares geométricos
mos pensado estudiar los movimientos de las personas y queríamos orientarlo al
deporte , señala. La joven investigadora confiesa que en un primer momento pensó en el fútbol, pero el deporte que más le gusta es el baloncesto, así que el proyecto se decantó hacia el mundo de la canasta, que ofrece muchísimas variantes tácticas
que pueden ser objeto de estudio. Así, de la idea de analizar los movimientos, pasó
a aspectos más complejos: cambios de ritmo, trayectorias y cualquier cosa llamativa, como el tiempo que está un jugador en zona, la velocidad o la distancia que recorre, todos los aspectos dinámicos y físicos , señala.
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El mismo sistema que guía al conductor de un coche hasta su destino gracias a la
localización por satélite puede utilizarse para esta novedosa aplicación. El jugador
se coloca un s de muñeca, similar a un reloj aunque un poco más grande, realiza
el ejercicio físico y, cuando finaliza, se descargan los datos en un ordenador, donde está instalada la aplicación, que se encarga de representar de forma gráfica todos los datos. El s ofrece información sobre las coordenadas, longitud y latitud,
y el tiempo, datos a partir de los cuales se extrae toda la información que el programa convierte en datos útiles.
le enta los ideos
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e ora co
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La aplicación es capaz de leer el archivo y traduce las coordenadas básicas a metros
y los metros a píxeles para realizar la representación gráfica sobre el dibujo de una
cancha de baloncesto. A partir de ahí, para representar la velocidad y la distancia se
usa la variable del tiempo, puesto que cada segundo queda registrada la posición del
jugador. Esto permite que el entrenador pueda ver en la pantalla líneas de puntos
que se corresponden con la trayectoria de un jugador y que aparezcan, por ejemplo,
en distintos colores en función de la velocidad a la que se desplazó el jugador.
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Hasta ahora, el trabajo táctico de un preparador de baloncesto se ha basado en los
videos, pero este sistema podría ser complementario y aportar mucha más información. Cada segundo de juego tienes la visión de dónde estaban los jugadores, puedes estudiar las distancias y las posiciones que han ocupado y esto ayuda a ver los
errores cometidos, si se ha jugado muy cerrado o muy abierto, o por dónde se han
movido los jugadores. Con el video al lado, sería práctico , apunta Laura Casares.
El profesor de Informática Roberto Therón ha sido el director de este proyecto y
destaca la vertiente de investigación del mismo. Buscamos una herramienta útil
para los entrenadores de baloncesto, pero la idea está dentro de una línea de investigación que se llama análisis de tiempo−movimiento y que habitualmente se desarrolla con grabaciones en video , comenta. Sin embargo, extraer información
precisa del video es complejo y tampoco se logra cubrir lo que un entrenador necesitaría , señala.
De ahí las ventajas del s, al permitir conocer la posición de cada jugador durante
todo el partido o entrenamiento. Así, el entrenador sabría qué área está cubierta en
cada momento y podría ver la representación gráfica de forma dinámica, pudiendo
ir atrás y adelante para ver dónde están los problemas , señala Therón.
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Sin embargo, para que el sistema se llegue a poner en práctica de forma real, deberá superar dos problemas: la escasa precisión del sistema s y la falta de cobertura en espacios cerrados, como un pabellón de baloncesto. En la actualidad, el sistema s no permite una precisión mayor de un metro, de forma que un jugador
podría aparecer desplazado esa distancia a un lado o al otro respecto a su posición
real , reconoce el profesor. Sin embargo, esto se va a ver solventado en breve, porque el sistema está mejorando y se espera que en muy pocos años ofrezca las posiciones al detalle para todo tipo de aplicaciones.
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Más complejo parece resolver el segundo problema, el uso de estos dispositivos en
espacios cerrados. Sin embargo, lo que nosotros proponemos es una línea de investigación, hacemos esta propuesta en espacios abiertos y, a partir de ahí, se puede avanzar mucho , apunta Roberto Therón. Además, hay que tener en cuenta que
este mismo sistema podría aplicarse a otros muchos deportes.1
Agrupados en equipos, respondan las siguientes preguntas.
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.P
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1. ¿Qué es un ?
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2. Según la lectura, ¿qué datos ofrece al entrenador del equipo de baloncesto
para analizar el desempeño de sus jugadores?
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3. ¿Qué se requiere para conocer la ubicación de un jugador?
4. ¿Qué limitantes enfrenta esta tecnología?
Fo
B1
5. Investiga dos usos específicos del  y comparte con tu grupo tu información.
1
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http://www.agenciasinc.es/esl/Noticias/Desarrollanunaaplicacionparaestudiarlosm
ovimientosdelbaloncestopor
Reconoces lugares geométricos
eometría analítica, ¿para qué?
Muchos avances tecnológicos de nuestra época, como las computadoras, los
satélites y los aparatos de posicionamiento global () se han desarrollado
gracias al estudio de la geometría analítica. También es de gran utilidad en el
campo de la astronomía, cartografía, arquitectura y en otras geometrías como
la descriptiva y la espacial.
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La geometría analítica tiene su origen en el siglo ,
con la propuesta de un nuevo método para resolver problemas geométricos, siendo René Descartes (15961650) y Pierre de Fermat (16011655) los
dos grandes iniciadores de esta rama de las matemáticas. Posteriormente, las aportaciones de grandes personalidades como Newton (1704) y Euler
(1748), representan un avance en la formalización
de la geometría analítica.
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Definición y origen de la geometría analítica
su
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La respuesta a nuestra interrogante es muy amplia, pues el estudio de la geometría analítica, además de ayudarnos en nuestro desarrollo intelectual adquiriendo una estructura de pensamiento lógico, nos ayuda a comprender las
distintas formas y características del entorno físico que nos rodea.
Figura 1.1 René
Descartes.
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La obra de René Descartes Discurso del Método denominada Géometrie, estableció una conexión entre el álgebra y la geometría con ayuda del sistema
de coordenadas, el cual también se conoce como
“sistema cartesiano”.
Fo
Pierre de Fermat en su obra ntroducción a la teoría
de los lugares planos y espaciales desarrolló un sistema de coordenadas rectangulares y la aplicación de
los métodos algebraicos a la geometría.
Figura 1.2 Pierre de
Fermat.
En 1704, Isaac Newton publicó la obra Enumeración
de las curvas de tercer orden, en la cual mostraba
nuevas posibilidades del método de coordenadas,
definiendo los signos de las funciones en los cuatro
cuadrantes.
Figura 1. Isaac Newton.
35
�
Leonhard Euler, en 1748, en el segundo tomo de
la obra ntroducción al análisis formaliza la geometría analítica, en donde estudió temas como el sistema de la geometría analítica en el plano, introduciendo las coordenadas rectangulares en el espacio
y las transformaciones de los sistemas de coordenadas, clasificación de las curvas según el grado de
sus ecuaciones y sus propiedades, secciones cónicas, entre otros.
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Figura 1.4 Leonhard
Euler.
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La geometría analítica estudia la resolución de problemas geométricos utilizando métodos algebraicos; permite, además, representar una ecuación mediante una gráfica y una gráfica con su
ecuación.
co
.P
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Para el estudio de la geometría analítica, necesitarás apoyarte de los contenidos abordados en tus cursos anteriores de geometría plana o euclidiana y álgebra. Además, para efectuar el tránsito entre las representaciones
(ecuacióngráfica, gráficaecuación) usarás un sistema de ejes coordenados
rectangular, mismo que analizarás a continuación.
tró
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Sistemas de ejes coordenados
ec
n sistema de ejes coordenados se forma con un eje coordenado , un eje coordenado y, y/o un eje coordenado z.
rm
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o
el
Los ejes coordenados son un sistema de referencia que permite
distinguir los puntos que forman un eje o un plano con características únicas para cada uno de ellos.
n sistema de ejes coordenados se clasifica en:
Fo
B1
• Sistema coordenado unidimensional (eje coordenado o recta numérica). ste consta de un eje, ya sea el eje coordenado o el eje coordenado y.
• Sistema coordenado bidimensional (sistema de ejes coordenados rectangulares, sistema cartesiano o plano). Consta de dos ejes, el eje coordenado y el eje coordenado y.
• Sistema coordenado tridimensional (sistema de ejes coordenados en el
espacio o en tres dimensiones), formado por el eje coordenado , el eje
coordenado y, y el eje coordenado z.
Los sistemas coordenados que abordaremos en este bloque son: el sistema
coordenado unidimensional y el sistema coordenado bidimensional. Para re-
36
Reconoces lugares geométricos
ferirnos a ellos emplearemos los nombres de eje coordenado y sistema de ejes
coordenados rectangular.
su
Cuando viajas en carretera habrás observado letreros que indican
que se está realizando algún trabajo sobre la misma, los cuales te
permiten tomar precauciones, por ejemplo: “Construcción de la
carretera brecha huasteca del m 17+600 al m 24+500”, “Pavimentación con carpeta de concreto asfáltico del m 14+500 al
24+500” en los municipios de Tamalín y Tantima en el estado de
Veracruz”, o bien, señalamientos como: “Tope a 50 m”, “alapa
a 240 m”y otros en los que se especifica un punto de referencia
ubicado en una línea.
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Eje coordenado
Figura 1.5
.P
ro
hi
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Estos señalamientos tienen sentido debido a la utilización de un eje coordena
do, en donde se escoge un origen O, un segmento como unidad de longitud y
un sentido. De manera convencional, es común elegir, en el eje horizontal, el
sentido positivo orientado hacia la derecha y el sentido negativo hacia la izquierda. Este eje coordenado se indica como eje O .
tró
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co
Veamos:
Fo
Ejemplos
rm
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o
el
ec
Cada coordenada o punto P que pertenece al eje se corresponde con un número real específico y dicho punto P es la representación del número real
; la notación utilizada para representar un punto es mediante una letra mayúscula, o bien, con la expresión P( 1) que se lee: “el punto P de coordenada
” o “el punto 1”.
1
Los siguientes ejemplos muestran las tres formas que se pueden emplear para
ubicar un punto en un eje coordenado.
En el siguiente eje coordenado O se señalan las coordenadas:
7
6
x1 = −4, x2 =  , x3 = 3, x4 = y x5 = 3 2
3
5
37
�
Ahora se señalan las coordenadas con mayúsculas, donde: 0 es la coordenada
de O, 7 es la coordenada de A,  5 es la coordenada de ,  es la coordenada
2
de C y 20 es la coordenada de D.
hi
bi
da
su
ve
nt
a
 13 
 1
Por último, se observa la localización de los puntos: P1    , P2(−3), P3   ,
 2
2

P4   y P5(5).
2
tró
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Actividad
co
.P
ro
El uso de estas tres formas para representar un punto en un eje coordenado es
indistinto, así que tú decidirás cuál elegir.
ec
I. bica las coordenadas en el eje O .
rm
at
o
el
1.Traza en una hoja blanca un eje coordenado con las siguientes características:
Fo
B1
a) Eje coordenado horizontal O .
b) El segmento considerado como unidad de longitud para graduar el eje
sea 1 cm, ubicando un origen y marcando 10 unidades en cada sentido.
c) Marca con puntos (de diferente color) 10 coordenadas.
2. Traza sobre la misma hoja blanca otro eje coordenado con las mismas características que el anterior y localiza las coordenadas:
 16 
 13 
 4
A    , B    , C    , D(1.2), E(3.5), F   , G
 3 
 2
 5

50

II. Intercambia con un compañero los ejes coordenados elaborados, con la finalidad de que éste realice lo siguiente:
38
Reconoces lugares geométricos
a) En el primer eje coordenado, identifica los puntos marcados y represéntalos con su respectiva coordenada, usando para ello alguna de las tres
formas de representación.
b) En el segundo eje coordenado, verifica que las coordenadas indicadas se
hallan localizado correctamente.
c) Regresa la hoja a tu compañero y comenten los aciertos y errores. Aclaren las dudas con la ayuda del profesor.
su
Figura 1. En algunas excavaciones arqueológicas, para determinar
la ubicación de las piezas
encontradas.
Fo
rm
at
o
el
ec
tró
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co
.P
ro
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da
Como observamos en la actividad introductoria, existen
diversos métodos de ubicación, en los cuales el sistema
de ejes coordenados rectangular tiene un papel muy importante. El uso de un sistema de ejes coordenados rectangular ha sido muy útil en diversas áreas para el desarrollo científico, ya que permite hacer la representación
geométrica (gráfica) de una determinada situación, y lograr a partir de tal gráfica el modelo algebraico (ecuación)
deseado (ver figuras). Por este motivo centraremos nuestra atención en el estudio de un sistema de ejes coordenados rectangular.
ve
nt
a
Sistema de ejes coordenados rectangular
Figura 1. En la localización de puntos geográficos
que nos ayudan a ubicarnos
en el espacio.
Figura 1. En física, para
representar un sistema de
fuerzas.
Figura 1. En la representación de datos estadísticos.
39
�
Actividad
I. Construye un sistema de ejes coordenados rectangular.
hi
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da
su
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nt
a
1. Traza en una hoja blanca un sistema de ejes coordenados rectangular con
las siguientes características.
a) El segmento considerado como unidad de longitud para graduar los ejes
sea 1 cm, marcando 10 unidades en cada sentido.
b) Remarca los ejes, la graduación y numeración respectiva con tinta negra.
c) Marca una cuadrícula (trazando líneas paralelas a los ejes) con tinta negra más tenue a la de los ejes.
d) Marca con puntos (de diferente color), 10 intersecciones de esta cuadrícula.
II. Intercambia con un compañero el plano elaborado, con la finalidad de que
éste realice lo siguiente:
co
.P
ro
a) Identifica los puntos marcados y represéntalos con su respectiva pareja
ordenada del mismo color con el que se marcó el punto.
ec
tró
ni
III. Regresa la hoja a tu compañero para que revise que las parejas ordenadas
indicadas sean las correctas. Haz las observaciones pertinentes con la ayuda de tu profesor.
rm
at
o
el
El sistema de ejes coordenados rectangular (sistema coordenado bidimensional, sistema cartesiano o plano) se construye sobre un plano con los dos ejes
coordenados O y y Oy perpendiculares, de modo que sus orígenes coincidan, como se muestra en la figura:
Fo
B1
Al sistema construido por dos
ejes coordenados unidimensionales intersectados perpendicularmente en sus orígenes, se
denomina sistema coordenado bidimensional o sistema de
ejes coordenados rectangular.
Las características de un sistema de
ejes coordenados rectangular son:
Consta de las siguientes partes:
40
Reconoces lugares geométricos
•
•
•
•
El punto de intersección de los ejes, origen de coordenadas.
El eje horizontal, eje de las abscisas o eje x.
El eje vertical, eje de las ordenadas o eje y.
Cuatro regiones llamadas cuadrantes.
su
hi
bi
da
En un
, se establece
una correspondencia entre parejas ordenadas de números reales
y los puntos del plano, de tal manera que a cada punto del plano le corresponde una única pareja ordenada de números reales. Para comprender esta característica, veamos el significado
de pareja ordenada.
ve
nt
a
Los cuadrantes se designan mediante los números romanos I, II,
III, IV, enumerados en sentido inverso a las manecillas del reloj
a partir del cuadrante superior derecho. Como se observa la siguiente figura.
Parejas ordenadas
el
ec
tró
ni
co
.P
ro
En diversas ocasiones formamos parejas, en las que el orden en que citamos sus elementos es muy importante; por ejemplo: en la central de autobuses el boleto de salida alapaVeracruz es distinto al de Veracruzalapa;
el número 17 ≠ 71, etc. Esta información relaciona dos elementos que podemos representar en las parejas ordenadas (alapa, Veracruz), (Veracruz,
alapa), (1, 7), (7, 1), en donde el orden dado a cada elemento resulta significativo en la información así representada. Debe advertirse que una relación es una regla de correspondencia entre dos conjuntos la cual forma parejas ordenadas.
Fo
rm
at
o
Observa en la tabla siguiente la importancia de conservar el orden entre los
elementos de una pareja de un caso general y las parejas de casos particulares, ya que al cambiar el orden, se cambia la información. De ahí, el nombre de
pareja ordenada.
Pareja ordenada
situación general
(País, capital)
Parejas ordenadas
situaciones particulares
(México, Distrito Federal), (Francia, París),
(Japón, Toio), (China, Peín),
(Inglaterra, Londres), (España, Madrid).
(Día festivo, celebración)
(05feb, Constitución Mexicana), (01mayo, Día del trabajo), (16sep, Independencia de México), (20nov, Revolución Mexicana).
(Magnitud, unidad de medida)
(tiempo, segundo), (longitud, metro), (masa, ilogramo), (velocidad, m/s), (aceleración, m/s2), (fuerza, Newton), (energía, joule).
41
�
De igual forma, el orden entre los elementos de las parejas ordenadas de números reales, determina la ubicación en el sistema de ejes coordenados rectangular, de manera que la pareja ordenada (3, 5) y la pareja ordenada (5,3) se
ubican en puntos distintos.
stas son algunas parejas ordenadas de números reales:
1   9 13 
2 7 
(2, 5), (5, 2), (−3, 4), (−7, −1),  ,  ,  3,   ,   ,   ,
2  5 5 
3 5 


25 , 32 , (5, 9).
ve
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a
na pareja ordenada es una representación numérica que consta
de dos elementos, no necesariamente distintos, escritos en un orden específico.
hi
bi
da
su
La notación (a, b) representa a la pareja ordenada cuyo primer ele
mento es a y cuyo segundo elemento es b.
.P
ro
Por ejemplo, en la pareja ordenada de números (8, 17), el primer elemento es
el número 8, mientras que su segundo elemento es 17.
co
Actividad
tró
ni
Parejas ordenadas en tu entorno físico
el
ec
Considera la pareja ordenada ( , y) en donde  número de caramelos comprados y y  cantidad total en pesos pagada por los caramelos.
o
1. ¿Cómo interpretas la pareja (15, 52.5)?
2. Encuentra la relación matemática que cumplen los elementos , y en la pareja ( , y).
3. Con la fórmula hallada, calcula el elemento faltante en cada una de las parejas ordenadas: A = (2, ), B = (3, ), C = (5, ), D = (7, ), E = (8, ) y F = ( , 70).
4. Plantea una situación de tu entorno físico en la que puedas especificar parejas ordenadas numéricas y la relación que cumplen sus elementos.
5. En plenaria, y con el apoyo de tu profesor, verifica tus respuestas.
rm
at
Fo
B1
Entre dos parejas ordenadas, cuando se cumple que sus primeros elementos
son iguales y sus segundos elementos también son iguales, se tiene la igualdad entre ellas.
Simbólicamente:
 a, b    c , d   a  c
42
y b=d
Reconoces lugares geométricos
Si lo anterior no se cumple, entonces las parejas son desiguales.
Ejemplos
Parejas ordenadas iguales.
1. ( 1, 25 )  ( 1, 5), porque −1 = −1 y
25  5
ve
nt
a
2. (2, −1) = (2, −1), porque 2 = 2 y −1 = −1
16 5
1
3.  ,    4 ,  , porque 16  4 y 5  1
4
15 3
 4 15   3 
hi
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su
1
5
 1 5
4.  ,    0.25, 2.5 , porque  0.25 y  2.5
4
2
4 2
Parejas ordenadas desiguales.
co
.P
ro
1. (7, 8) ≠ (7, 6), porque aun cuando los primeros elementos son iguales, los
segundos no; 8 ≠ 6
2. (3.5, 4) ≠ (3, 4), porque los primeros elementos no son iguales; 3.5 ≠ 3
3. (−1, −2) ≠ (−2, −1), porque −1 ≠ −2 y −2 ≠ −1
tró
ni
Las parejas ordenadas que contienen variables en sus elementos son iguales
condicionando las variables a valores específicos. Así,
rm
at
o
el
ec
1. (2, −3) = (2, y) se cumple si y = −3
2. (x + 3, y − 5) = (10, 8) se cumple si x + 3 = 10 y y − 5 = 8, es decir, x = 7 y
y = 13
3. (a, b)  (b, a) se cumple si y sólo si a  b
Fo
Ahora, continuemos con el estudio de las características de un sistema de ejes
coordenados rectangular.
Como se mencionó, en un sistema de ejes coordenados rectangular se establece
una correspondencia entre las parejas ordenadas de números reales y los puntos del sistema de ejes coordenados rectangular, tal que a cada punto del sistema de ejes coordenados rectangular, le corresponde una única pareja ordenada de números reales. Esto puede observarse de la siguiente manera:
1. Considérese un punto P de un plano (sobre el que se ha construido un sistema de ejes coordenados rectangular).
2. Por P se trazan dos líneas respectivamente perpendiculares a cada uno de
los ejes coordenados hasta intersectarse con los mismos; si U es la intersección en el eje (sobre O ) de coordenada 1 y V la intersección en el eje y
(sobre y Oy) de coordenada y1, entonces los números 1 y y1 son las coorde43
�
6.
rm
at
ve
nt
a
o
el
ec
tró
ni
co
.P
7.
su
5.
hi
bi
da
4.
nadas rectangulares o coordenadas del punto representadas por la pareja ordenada de números reales ( , ), como se muestra en la gráfica.
Recíprocamente, a cada pareja ordenada de números reales ( 1, y1) se le asocia
el punto de intersección de dos rectas, la
primera perpendicular al sistema coordenado unidimensional O en el punto
U( 1) y la segunda perpendicular al sistema coordenado unidimensional y Oy en
el punto V(y1).
La notación utilizada para representar
un punto en el sistema de ejes coordenados rectangular es con una letra mayúscula, mediante la expresión P( 1, y1),
o bien, P ( 1, y1).
En la gráfica, los puntos U y V marcados sobre los ejes, son representados,
respectivamente, por U(x1, 0) y V(0, y1).
En un punto P( 1, y1):
La pareja ordenada ( 1, y1) es llamada coordenada de P.
El número 1 se llama abscisa de P.
El número y1 se llama ordenada de P.
Según la ubicación de los puntos P( 1, y1)
en el origen de coordenadas, en los ejes
o en algún cuadrante, la abscisa 1 y la ordenada y1 cumplen condiciones específicas, como podrás observar en la gráfica y
tabla siguientes:
ro
3.
Fo
B1
P(x1, y1) → (0,0): x = 0 y y = 0
P(x1, y1) → (+,+): x >0 y y >0
P(x1, y1) → (0,+): x = 0 y y >0
P(x1, y1) → (+,−): x >0 y y <0
P(x1, y1) → (0,−): x = 0 y y <0
P(x1, y1) → (−,+): x <0 y y >0
P(x1, y1) → (+,0): x >0 y y = 0
P(x1, y1) → (−,−): x <0 y y <0
P(x1, y1) → (−,0): x <0 y y = 0
Ejemplo
En el sistema de ejes coordenados rectangular que se muestra, se han marcado los puntos que se corresponden con las parejas ordenadas indicadas en la
tabla.
44
ve
nt
a
Reconoces lugares geométricos
Actividad
.P
ro
hi
bi
da
su
A(1, 2) C(2, 1) E(2, −1) G(1, −2) I(−1, −2) K(−2, −1) M(−2, 1) O(−1, 2)
B(3, 3) D(5, 0) F(3, −3) H(0, −5) J(−3, −3) L(−5, 0) N(−3, 3) P(0, 5)
co
Contesta las siguientes preguntas y los planteamientos, según se indica.
¿Por qué?


23 , 32 , ¿es distinta o igual a la pareja ordenada
Fo
rm
at
o
2. La pareja ordenada
(5, 9)?
el
ec
tró
ni
1. La pareja ordenada (2, 5), ¿es distinta o igual a la pareja ordenada (5, 2)?
¿Porqué?
3. Define un sistema de ejes coordenados rectangular:
4. Define una pareja ordenada:
45
�
5. Encuentra los valores de y y para que se cumpla la igualdad entre las parejas ordenadas que se indican.
a) (x, 7) = (9, y)
b) (5x, 1 − 2y) = (2x + 18, y + 10) c) (x, 13) = (5, y + 2)
d) (x, −1) = (−5, y)
e) (4x + y, −2x − y) = (8, −6)
f ) (x2, 9) =
g) (−x, 5) = (−3, −y) h) (7x, 1 − 2y) = (2x + 15, y + 7)

5, y

i) (x − 2y, 3x + 2y) = (5, 7)
ec
tró
ni
co
.P
ro
hi
bi
da
su
ve
nt
a
6. n número entero puede expresarse como una pareja de números naturales; por ejemplo, (1, 5) expresa el −4, el cual se obtiene restando el segundo elemento del primero (1 − 5 = − 4); esta situación fue graficada por René
Descartes en el Plano Cartesiano, como se muestra a continuación:
o
el
Encuentra dos parejas de números naturales para cada número entero entre −6 y 6 y ubícalas en el plano cartesiano.
rm
at
7. Completa la tabla especificando las condiciones de la abscisa y la ordenada
de un punto, según su ubicación en el sistema coordenado rectangular.
Fo
B1
Ubicación
Cuadrante I
Cuadrante II
Cuadrante III
Cuadrante IV
Eje
Eje
46
Condiciones de las coordenadas del punto
Abscisa
Ordenada
Reconoces lugares geométricos
Ubicación
Condiciones de las coordenadas del punto
Abscisa
Ordenada
Origen
Parte positiva del eje
Parte negativa del eje
Parte positiva del eje
ve
nt
a
Parte negativa del eje
8. En el siguiente sistema de ejes coordenados rectangular, mar-

 15 3 
10 ,  20 , F(7, 0), G  ,  ,
 2 2

hi
bi
da
 1 17 
B(−6, 0), C(5, −6), D   ,  , E
 2 3
5
 8 21 

H   ,   , I(0, 4.5), J  0 ,  
2
 5 4

su
ca los puntos que corresponden a las parejas ordenadas A(−8, 3),
co
.P
ro
9. Completa la tabla con las parejas ordenadas correspondientes a los
puntos marcados en el sistema de ejes coordenados rectangular.
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
Fo
rm
at
o
el
ec
tró
ni
( , )
Lugares geométricos
Con anterioridad habíamos estudiado que en un sistema de ejes coordenados
rectangular se ubica un punto o puntos. Ahora agregaremos que al unir estos
puntos se forman líneas (rectas o curvas, abiertas o cerradas) dando origen a una
gráfica. Así como cada punto se asocia con una pareja ordenada, a una gráfica
se le asocia también una ecuación en dos variables y, recíprocamente, una ecua47
�
ción en dos variables se corresponde con una gráfica. Las gráficas y ecuaciones
se refieren a lugares geométricos. En este bloque iniciaremos con el estudio de
lugares geométricos, los cuales analizaremos detenidamente más adelante.
Los siguientes ejemplos muestran algunos lugares geométricos (la gráfica y la
forma de la ecuación con la cual se relaciona) y un contexto o aplicación con el
cual puede asociarse.
Lugar geométrico
Expresión algebraica
forma de ecuación
ve
nt
a
Figura gráfica
Aplicación
Recta
2
Carretera en línea recta
ro
hi
bi
da
su
y = mx + b
2
2
ec
tró
ni
co
.P
x +y =r
Disco compacto
2
y = 4px
rm
at
o
el
Circunferencia
Fo
B1
Parábola
Antena parabólica
x2 y2
 1
a2 b 2
Elipse
48
rbita de la Tierra
Reconoces lugares geométricos
En astronomía, las órbitas de los
cuerpos celestes son: circulares,
parabólicas y elípticas. Para su estudio, se usa un sistema de ejes coordenados rectangular. Observa
las figuras.
ve
nt
a
Actividad
su
Asociando nuestro entorno con una gráfica
hi
bi
da
En equipos de trabajo, realicen lo siguiente:
ec
tró
ni
co
.P
ro
1. Presten especial atención a las gráficas mostradas en los ejemplos de la tabla anterior y recuerden el nombre y trazo de cada una.
2. Elaboren en su libreta un listado de objetos o situaciones en donde se observe: la línea recta, la circunferencia, la parábola y la elipse. Expongan sus
resultados al grupo.
3. Busquen y recorten en periódicos o revistas, gráficos y figuras que se relacionen con rectas, circunferencias, parábolas y elipses, peguen los recortes
en una cartulina haciendo un collage y elijan algunos para colocarlos en algún espacio visible dentro del aula (tengan previsto el material requerido
anticipadamente).
rm
at
o
el
A cada gráfica que has observado en los ejemplos antes citados y en la actividad realizada, veremos que le corresponde una ecuación específica;
así también, a partir de una determinada ecuación podremos construir su
gráfica, pues son los dos planteamientos fundamentales de la geometría
analítica:
Fo
1. Dada una ecuación, construir su gráfica o lugar geométrico.
2. Dada una figura geométrica o la condición que deben cumplir los puntos de
la misma, determinar su ecuación.
Para abordar estos planteamientos se requiere conocer el concepto de lugar
geométrico.
Al conjunto de puntos en el sistema de ejes coordenados rectangular que cumplen una condición específica se le llama lugar
geométrico. Dicha condición se indica mediante una ecuación en
dos variables y y.
49
�
La condición que debe cumplir un lugar geométrico se indica por medio de
una relación dada en lenguaje verbal o simbólicamente usando la notación
R = {(x, y)}|E(x, y) = 0}
Léase: La relación R es el conjunto de todas las parejas ordenadas ( , y), tales
que satisfacen la ecuación E(x, y) = 0
Donde:
su
ve
nt
a
  es una relación, la cual se establece entre los elementos del eje y los del eje
y, mediante una regla de correspondencia dada por la ecuación E(x, y) = 0}
• ( , y) es la pareja ordenada cuyos elementos y y pertenecen a un conjunto (en este curso, dicho conjunto será el de los números reales).
 E(x, y) = 0 es la ecuación que especifica la condición que debe cumplir el lugar geométrico.
hi
bi
da
na pareja ordenada (a, b) pertenece a la relación si se verifica que E(x, y) = E(a, b) = 0;
es decir, si al sustituir por a y y por b la igualdad permanece.
.P
ro
El conjunto de parejas ordenadas (a, b) que pertenecen a una relación, localizadas en el plano cartesiano, forman la gráfica de la relación.
rm
at
o
el
ec
tró
ni
co
En los siguientes ejemplos, se describe la condición que debe cumplir el lugar
geométrico, tanto en lenguaje verbal como simbólicamente; se indican algunas parejas ordenadas que cumplen con la condición dada y se ubican en un
sistema de ejes coordenados rectangulares, haciendo posible que se trace la
gráfica del lugar geométrico.
Fo
B1
50
Reconoces lugares geométricos
Ejemplos
.P
ro
hi
bi
da
su
ve
nt
a
1. El lugar geométrico de los puntos P( , y) del 2. El lugar geométrico de los puntos P( , y) del
plano cartesiano, tales que:
plano cartesiano, tales que:
x=3
R = {(x,y)|x − 3 = 0}
y = −2
R = {(x,y)|y + 2 = 0}
Parejas ordenadas:
Parejas ordenadas:
(3, −4), (3, −1), (3, 2), (3, 7/2)
(−4, −2), (−1, −2), (2, −2), (7/2, −2)
Fo
rm
at
o
el
ec
tró
ni
co
3. El lugar geométrico de los puntos P( , y) del 4. El lugar geométrico de los puntos P( , y) del
plano cartesiano, tales que:
plano cartesiano, tales que:
y=x+1
R = {(x, y)|y = x + 1}
y = x2 − 1
R = {(x, y)|y = x2 − 1}
Parejas Ordenadas:
Parejas ordenadas:
(−3, −2), (−1, 0), (1, 2), (5/2, 7/2)
(−2, 3), (−1, 0), 0, −1), (3/2, 5/4)
51
�
co
.P
ro
hi
bi
da
su
ve
nt
a
5. El lugar geométrico de los puntos P( , y) del 6. El lugar geométrico de los puntos P( ,y) del
plano cartesiano, tales que:
plano cartesiano, tales que:
y = x3
R {(x,y)|y = x3}
1
1

y
R   x , y  y  
x
x

Parejas ordenadas:
Parejas ordenadas:
(−3/2, −27/8), (−1, −1), (0, 0), (1/2, 1/8), (1, 1)
(−3, −1/3), (−1, −1), (−1/2, −2), (1/2, 2), (1, 1),
(2, 1/2)
tró
ni
Análisis de gráficas
el
ec
En cada uno de los lugares geométricos arriba señalados, las parejas ordenadas forman un subconjunto del conjunto de todas las parejas ordenadas indicadas por la relación R; esto se observa en la gráfica como:
o
• Los puntos marcados son el subconjunto de R, y la línea o curva que pasa
por ellos es el conjunto R.
• Además, observa que cada pareja ordenada satisface la ecuación que define a la relación, por lo cual, en lo sucesivo referiremos sólo a la ecuación y
su gráfica de un lugar geométrico, sobrentendiendo la notación de R.
rm
at
Fo
B1
La tabulación de valores es una herramienta muy útil para precisar la gráfica
de una relación conociendo la ecuación que la define.
En nuestro entorno se presentan distintas situaciones en las que se establece
una relación entre dos variables; por ejemplo: la distancia recorrida en cierto
tiempo, el precio a pagar según el número de artículos comprados, gasto de
combustible por distancia recorrida, densidad del aire a determinada altura,
distancia alcanzada por una piedra derivada de la velocidad inicial con la que
fue lanzada, dosis de un medicamento administrada a un paciente de acuerdo con su peso.
52
Reconoces lugares geométricos
El registro de estos datos se presenta ordenado en una tabla, siendo ésta vertical u horizontal, en donde se hace posible identificar la relación dada entre
las variables para encontrar el modelo matemático o ecuación algebraica que
la define, así como formar las parejas ordenadas correspondientes y construir
su gráfica.
El proceso de especificar los valores de dos variables dadas por
una relación mediante una tabla se llama tabulación de valores.
ve
nt
a
A continuación podrás observar la utilidad de la tabulación de valores en la resolución de problemas.
su
Ejemplos
Precio c u
Precio total
1
$ 14.50
$ 14.50
$ 7.00
$ 7.50
2
$ 14.00
$ 28.00
$ 14.00
$ 14.00
3
$ 13.50
$ 40.50
$ 21.00
$ 19.50
4
$ 13.00
$ 52.00
$ 28.00
$ 24.00
5
$ 12.50
$ 62.50
$ 35.00
$ 27.50
6
$ 12.00
$ 72.00
$ 42.00
$ 30.00
$ 11.50
$ 80.50
$ 49.00
$ 31.50
$ 11.00
el
o
anancia
$ 88.00
$ 56.00
$ 32.00
$ 10.50
$ 94.50
$ 63.00
$ 31.50
$ 10.00
$ 100.00
$ 70.00
$ 30.00
11
$ 9.50
$ 104.50
$ 77.00
$ 27.50
12
$ 9.00
$ 108.00
$ 84.00
$ 24.00
13
$ 8.50
$ 110.50
$ 91.00
$ 19.50
14
$ 8.00
$ 112.00
$ 98.00
$ 14.00
15
$ 7.50
$ 112.50
$ 105.00
$ 7.50
16
$ 7.00
$ 112.00
$ 112.00
$ 0.00
9
10
Fo
8
rm
at
7
Inversión
tró
ni
Tortas
ec
co
.P
ro
hi
bi
da
1. Ana es estudiante del tercer semestre de bachillerato y los fines de semana ayuda a su tío Fidel en su negocio, el cual consiste en la venta de tortas.
El precio de cada torta es de $15.00, quedándole $8.00 de ganancia. Por
aniversario quiere ofrecer una oferta a sus clientes, para lo cual pide a Ana
que analice la oferta que propone hacer para obtener una mínima ganancia, pero sin pérdidas; él dice que descontará por cada torta “$0.50 por el
número de tortas que compre un cliente”, por lo que Ana hace de inicio la
siguiente tabla:
Con esta tabla, Ana sugiere a su tío que venda como máximo 15 tortas por cliente y además advierte que la mayor ganancia se obtiene en la venta de 8 tortas.
53
�
Ana considera únicamente la primera y la última columna de la tabla anterior
para obtener una tabulación que relacione dos variables (tortas vendidas t y
ganancia en pesos g).
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
g
7.50
14
19.5
24
27.5
30
31.5
32
31.5
30
27.5
24
19.5
14
7.5
0.0
ve
nt
a
Para entregar a su tío un análisis más
detallado presenta los datos en una
gráfica.
su
El análisis de estos datos permite a
Ana encontrar la ecuación que define
tal relación:
.P
ro
hi
bi
da
g = (0.5t)(16 − t)
g = 8t − 0.5t2
ec
tró
ni
co
2. El gerente de una empresa que produce y vende s multimedia educativos ha determinado que la utilidad de su producto se modela mediante la
ecuación y = 4x − x2, donde y está expresada en miles de pesos y está expresada en miles de s. Esta situación se representa gráficamente como
sigue:
rm
at
o
el
Primero: Se hace una tabulación con los valores elegidos para x y los correspondientes para y en la ecuación y = 4x − x2, representando éstos como parejas ordenadas.
Fo
B1
,
2
−1 4(−1) − (−1) = −5
0
(0,0)
2
4(0) − (0) = 0
1
4(1) − (1 ) = 3
(1,3)
2
4(2) − (2)2 = 4
(2,4)
3
4(3) − (3)2 = 3
(3,3)
4
5
54
(−1,−5)
2
2
4(4) − (4) = 0
2
4(5) − (5) = −5
(4,0)
(5,−5)
Reconoces lugares geométricos
Tercero: Se unen los puntos con un trazo continuo, obteniendo así su gráca.
su
ve
nt
a
Segundo: Se marcan los pares ordenados como puntos en el plano.
hi
bi
da
A través del análisis de la gráfica se obtienen conclusiones importantes, tales
como:
.P
ro
• Sólo se deben considerar valores positivos para .
• La mayor utilidad se obtiene al producir 2,000 s.
• A partir de una producción mayor a 4,000 s, empiezan las pérdidas.
tró
ni
co
Para representar gráficamente una ecuación en dos variables, y y, usando la
tabulación de valores, puedes atender el siguiente procedimiento:
Fo
Ejemplos
rm
at
o
el
ec
1. Dar valores posibles a una variable y sustituirlos en la ecuación, obteniendo así parejas ordenadas ( , y). sar una tabla vertical u horizontal para presentar los datos.
2. bicar estas parejas ordenadas en el sistema de ejes coordenados rectangular mediante puntos, atendiendo que sean suficientes para trazar la
gráfica de la ecuación y también que la graduación de los ejes sea la más
apropiada.
Mostrar gráficamente la ecuación:
y = x2 − x − 3
1. Se dan algunos valores a :
x
−3
−2.5
−2
−1.5 −1 −0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Estos valores se sustituyen en la ecuación y = x2 − x − 3, obteniendo los valores
para y. Los datos se presentan en la tabla horizontal siguiente:
55
�
x
−3 −2.5 −2 −1.5 −1
y
9
5.75
3
−0.5
0
0.75 −1 −2.25
−3
0.5
1
−3.25 −3
1.5
2
2.5
3
3.5
4
−3.25
−1
0.75
3
5.75
9
Así, se tienen las parejas ordenadas:
(−3, 9), (−2.5, 5.75), (−2, 3), (−1.5, 0.75), (−1, −1), (−0.5, −2.25), (0, −3), (0.5,
−3.25), (1, −3), (1.5, −3.25), (2, −1), (2.5, 0.75), (3, 3), (3.5, 5.75), (4, 9)
ve
nt
a
2. Se marcan los puntos en el sistema de ejes coordenados rectangular y se
traza la gráfica.
.P
co
Actividad
ro
hi
bi
da
su
Hemos visto que al trazar la gráfica de una ecuación se une cierto número de
puntos, mediante una línea recta o curva (abierta o cerrada). Para que el trazo
de estas líneas sea aún más preciso, es necesario obtener mayor información
sobre las gráficas, como: Las intersecciones con los ejes y simetrías respecto al
origen y de los ejes, logrando con esto mayor facilidad para trazar una gráfica,
o bien, a partir de una gráfica interpretar la información presentada.
tró
ni
Interpreta una situación a partir de la gráfica que la representa.
ec
1. Explica con tus propias palabras qué entiendes por:
.
b) Simetría de una gráfica:
.
rm
at
o
el
a) Intersección de gráficas:
Fo
B1
2. Observa la gráfica (en ella se representa la cantidad de líquido
que contiene un depósito en cierto
tiempo) y contesta correctamente
los siguientes planteamientos:
a) ¿Cuántas intersecciones tiene
la gráfica con el eje ?
.
¿Cuántas con el eje y?
.
b) Representa las intersecciones
como parejas ordenadas ( , y):
.
56
Reconoces lugares geométricos
c) ¿Cómo interpretas la situación real en la intersección de la gráfica con el
¿ con el eje ?
.
eje y?
Su simétrico al
eje x
Su simétrico al
eje y
co
Punto
.P
su
ro
hi
bi
da
• Recorta lo necesario para que te quede un cuadrado de
lado igual al ancho de la hoja.
• Dobla por la mitad con respecto a uno y otro par de lados
(marcando estos dobles como los ejes), como se muestra
en la figura de al lado.
• Marca los puntos A(2, 2), B(3, 5), C(10, −12), D(−7, 7), E(5,
−11) sobre este plano resultante, tomando como unidad
de longitud el lado de cada cuadrito.
• Ahora, dobla nuevamente la hoja, utilizando alguno de los
dobleces ya marcados como ejes de simetría, de tal manera que puedas marcar con la punta de tu lápiz un punto simétrico respecto a: eje y eje y cada punto A, , C, D y E.
• Marca los puntos simétricos respecto al origen, para ello
haz girar cada punto A, , C, D y E 180°.
• Con los puntos marcados, completa la tabla:
ve
nt
a
3. tiliza una hoja de papel (cuadrícula grande) y realiza en ella lo siguiente:
tró
ni
A (2, 2)
Su simétrico al
origen
B (3, 5)
C (10, −12)
ec
D (−7, 7)
o
el
E (5, −11)
Fo
rm
at
En plenaria, compara tus respuestas con tus compañeros, supervisado por tu
profesor.
ntersecciones con los ejes
Las intersecciones con el eje son los puntos donde la
gráfica de la ecuación intersecta el eje , y las intersecciones con el eje y son los puntos donde la gráfica de la
ecuación intersecta el eje y, como se describe a continuación.
Para obtener las intersecciones con el eje , se supone
y = 0 en la ecuación y resolvemos la ecuación que resulte en término de . Si el valor a es una solución de
la ecuación planteada, entonces, el punto a, 0 es un
57
�
punto de intersección con el eje . A estos puntos de intersección se les da
el nombre de abscisas al origen.
Análogamente, para obtener las intersecciones con el eje y, se supone x = 0
en la ecuación y resolvemos la que resulte en término de y. Si el valor b es una
solución de la ecuación planteada, entonces, el punto (0, b) es un punto de intersección con el eje y. A estos puntos de intersección se les da el nombre de
ordenadas al origen.
ve
nt
a
Ejemplos
su
En cada uno de los siguientes incisos, dada la ecuación, se encuentran las intersecciones con los ejes y se muestra la gráfica correspondiente.
Intersecciones
hi
bi
da
1. 2x − y + 6 = 0
Con y
Si y = 0 entonces
2x + 6 = 0
x = −6/2 =
x = −3
Si x = 0 entonces
−y = 6 = 0
−y = −6
y=6
co
.P
ro
Con x
ec
tró
ni
Intersección con el eje x: (−3, 0)
Intersección con el eje y: (0, 6)
o
el
2. y = 2x2 − 5x − 3
Intersecciones
Con x
Con y
Si y = 0 entonces
2x2 − 5x − 3 = 0
(2x + 1) (x − 3) = 0
x1 = −1/2, x2 = 3
Si x = 0 entonces
rm
at
Fo
B1
y = −3
Intersecciones con el eje x: (−1/2, 0),
(3, 0)
Intersecciones con el eje y: (0, −3)
58
Reconoces lugares geométricos
3. 2x2 + 2y2 = 8
Intersecciones
Con x
Con y
Si y = 0 entonces
2x2 = 8
x2 = 4, x =  4
x1 = −2, x2 = 2
Si x = 0 entonces
2y2 = 8
y2 = 4, y =  4
y1 = −2, y2 = 2
ve
nt
a
Intersecciones con el eje x: (−2, 0), (2, 0)
Intersecciones con el eje y: (0, −2), (0, 2)
su
4. 4x2 + 9y2 − 36 = 0
tró
ni
Intersecciones con el eje x: (−3, 0), (3, 0)
Intersecciones con el eje y: (0, −2), (0, 2)
ro
Si x = 0 entonces
9y2 = 36
y2 = 4, y =  4
y1 = −2, y2 = 2
.P
Si y = 0 entonces
4x2 = 36
x2 = 9, x =  9
x1 = −3, x2 = 3
co
Con y
hi
bi
da
Intersecciones
Con x
ec
imetrías respecto al origen y los ejes
rm
at
o
el
Otra característica importante que se debe considerar al hacer una gráfica es
su simetría. Aunque existen varios tipos, sólo estudiaremos las simetrías respecto a alguno de los ejes y al origen.
Fo
Conocer las simetrías que tiene una gráfica ahorra pasos en su trazo, pues una
vez realizada la mitad de la gráfica se puede obtener por simetría el resto. Para
determinarla es importante observar las siguientes condiciones:
na gráfica es simétrica respecto al:
• eje si se da la condición de que P( , y) y P( , −y) están en la gráfica.
• eje y si se da la condición de que P( , y) y P(− , y) están en la gráfica.
• origen si se da la condición de que P( , y) y P(− , −y) están en la gráfica.
A partir de una ecuación, la gráfica es simétrica respecto al:
• eje , si al sustituir y por −y en la ecuación se obtiene una ecuación equivalente.
59
�
• eje y, si al sustituir por − en la ecuación se obtiene una ecuación equivalente.
• origen, si al sustituir por − y y por −y en la ecuación se obtiene una ecuación equivalente.
En cada uno de los siguientes incisos, dada la ecuación, se verifica la simetría,
las intersecciones con los ejes y se muestra la gráfica correspondiente.
hi
bi
da
su
(−y)2 − x + 1 = 0
y2 − x + 1 = 0 (ecuación equivalente)
entonces, su gráfica es simétrica respecto
al eje .
ve
nt
a
1. y2 − x + 1 = 0
Si sustituimos y por −y, tenemos:
ec
tró
ni
co
.P
ro
2. 2x2 − y = 0
Si sustituimos por − , tenemos:
2(−x)2 − y = 0
2x2 − y = 0 (ecuación equivalente)
entonces, su gráfica es simétrica respecto
al eje y.
1
x
el
3. y 
rm
at
o
Si sustituimos por − y y por −y, tenemos:
Fo
B1
y 
y
1
x
1
x
(ecuación equivalente)
entonces, su gráfica es simétrica respecto
al origen.
60
Reconoces lugares geométricos
Actividad
1. En un sistema de ejes coordenados rectangular, marca cada uno de los siguientes puntos:
A(8, 3), B(−3, 9), C(5, −5), D(−3, −7), E (0, 10), F(−2, 0), P(x, y).
su
Al eje
Al eje y
Al origen
De la recta paralela al eje situada 2 unidades arriba de éste.
De la recta paralela al eje y situada 1 unidad a la izquierda de éste.
hi
bi
da
a)
b)
c)
d)
e)
.P
co
Encuentra simetrías.
Calcula las intersecciones con los ejes.
Realiza una tabulación apropiada.
Traza su gráfica.
ro
2. Para cada una de las siguientes ecuaciones:
•
•
•
•
ve
nt
a
Ahora, representa los puntos simétricos a cada uno, respecto:
b) x2 − 2y + 4 = 0
d) x + 4y2 − 8 = 0
e) 2x2 + 2y2 − 50 = 0
x
x 1
ec
h) y 
2
3
2
x 1
c) x2 + 2y2 − 4 = 0
f) 4x2 − 4y2 − 16 = 0
i) y 
x 1
2
rm
at
o
el
g) y 
tró
ni
a) x − y − 4 = 0
Autoevaluación
Fo
1. Define los siguientes conceptos.
a) Ecuación:
b) Ecuación lineal:
c) Ecuación cuadrática:
61
B1
�
d) Sistema de ecuaciones lineales con dos variables:
2. Identifica parejas ordenadas del lugar geométrico de cada gráfica y relaciónalas con su ecuación, escribiendo en el paréntesis la letra del inciso, según
corresponda.
b)
d)
e)
c)
f)
Fo
rm
at
o
el
ec
tró
ni
co
.P
ro
hi
bi
da
su
ve
nt
a
a)
x2 + y2 = 25
y=x−1
y = x2 − x − 2
y=x+2
y = 2x2
y = x2 + 6x + 9
62
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
Reconoces lugares geométricos
3. Indica las parejas ordenadas de las intersecciones con los ejes de cada una
de las gráficas del ejercicio anterior.2
b)
c)
d)
e)
f)
ve
nt
a
a)
tró
ni
co
.P
ro
hi
bi
da
su
4. Observa la siguiente gráfica y contesta lo que se pide:
o
el
ec
a) ¿Cuáles son las coordenadas del punto R simétrico a P respecto al
origen?
Fo
rm
at
b) ¿Cuáles son las coordenadas del punto simétrico a P respecto al eje de
las abscisas?
c) ¿Cuáles son las coordenadas del punto T simétrico a P respecto al eje de
las ordenadas?
2
. E amen Enlace Media uperior 2010. México. Reactivo 74.
63
�
hi
bi
da
su
ve
nt
a
5. La siguiente gráfica relaciona el precio a pagar en pesos por el número de
horas en un estacionamiento público.
co
20
40
46
50
tró
ni
a)
b)
c)
d)
.P
ro
¿Cuál es el pago, en pesos, que se debe efectuar por haber dejado el carro
en el estacionamiento 3 horas 15 minutos?
el
ec
6. Observa la siguiente gráfica.3
rm
at
o
¿Cuál es el enunciado que describe la relación entre la puntuación obtenida
y la calificación otorgada?
Fo
B1
3
64
Reactivo 86 del examen ENLACE 2008.
Reconoces lugares geométricos
La calificación otorgada al alumno
Fo
rm
at
o
el
ec
tró
ni
co
.P
ro
hi
bi
da
su
ve
nt
a
a) parte de uno en cuanto obtiene uno de puntuación, y por cada punto
adicional que obtenga, la calificación otorgada será igual a la suma de
las dos calificaciones otorgadas anteriores.
b) partirá de uno y será igual a la puntuación obtenida menos uno, hasta
lograr cinco y luego se invierte la relación.
c) es mejorada conforme la puntuación obtenida a partir de que ésta alcanza el valor de 5.
d) es igual a la puntuación obtenida, luego la puntuación es disminuida en
una unidad, posteriormente se mantiene igual y finalmente la puntuación es aumentada en 2.
65