Universidad de oviedo

UNIVERSIDAD
DE
OVIEDO
Asignatura
(a)
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Tema
Sistemas Lineales lineales
(Jacobi y Gauss Seidel )
Autor
César Menéndez Fernández
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Ejercicio 1.
Cálculo
Numérico
 −2 −4 4 


Dado el sistema lineal  1 1 1  ⋅ X = b
 4 4 2


Calcular las matriz de iteración de Jacobi y su radio espectral. ¿Cuántas
iteraciones son necesarias para obtener un error menor que 0.001 utilizando
la norma 1 o infinito?
(b)
Calcular las matriz de iteración de Gauss y su radio espectral. ¿Cuántas
iteraciones son necesarias para obtener un error menor que 0.001 utilizando
la norma 1 o infinito?
(c)
Seleccionar justificadamente el método iterativo más adecuado. Obtener el
vector c del método iterativo seleccionado de forma que la solución sea el
vector (1,1,1)T.
(d)
Definir el condicionamiento de un sistema lineal y su interpretación.
Apartado (a) Método de Jacobi
A partir de la descomposición A = D − L − U , donde
 −2 0 0 
 0 0 0
 0 −4 4 






D =  0 1 0 , L = − 1 0 0 y U = − 0 0 1 
 0 0 2
 4 4 0
0 0 0






se obtiene la matriz de iteración de Jacobi como
 0 −2 2 


-1
K J =D (L + U ) =  −1 0 −1 
 −2 −2 0 


El polinomio característico se obtiene haciendo
PJ ( x ) = K J − xI = x 3
Por tanto tiene un valor propio nulo único de multiplicidad tres y su radio espectral en
menor que 1, lo que implica que el método de Jacobi es convergente.
Calculando las normas de la matriz de iteración,
KJ
1
KJ
∞
= max { 0 + −1 + −2 , −2 + 0 + −2 , 2 + −1 + 0 } = 4
= max { 0 + −2 + 2 , −1 + 0 + −1 , −2 + −2 + 0} = 4
Puesto que ambas son mayores que la unidad, no es posible aplicar la relación
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Asignatura
x− x
≤
K
n
1− K
x( ) − x(
1
0)
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Sistemas Lineales lineales
(Jacobi y Gauss Seidel )
Autor
César Menéndez Fernández
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
( n)
Cálculo
Numérico
<ε
Sin embargo, aplicando el teorema de Cayley-Hamilton, se llega a que
3
n
0
PJ ( K J ) = ( K J ) = 0 . Utilizando entonces la relación x − x ( ) ≤ K n x − x ( ) se
observa que la solución exacta se obtiene en tres iteraciones.
Apartado (b) Método de Gauss-Seidel
La matriz de iteración de Gauss-Seidel se obtiene como
−1
 −2 0 0   0 4 −4   −1 2 0 0  0 4 −4   0 −2
-1

 
 

 
K G = ( D − L ) U =  1 1 0   0 0 −1  =  1 2 1 0  0 0 −1  =  0 2
 4 4 2   0 0 0   0 −2 1  0 0 0   0 0
2 

 
 
 
2

−3 
2 
El polinomio característico se obtiene haciendo
PG ( x ) = K G − xI = x ( x − 2 )
2
Por tanto sus valores propios son 0 y 2, con multiplicidades respectivas de 1 y 2. El
radio espectral de la matriz es 2 y el método de Gauss-Seidel es divergente. No tiene
sentido hablar de número de iteraciones.
Apartado (c) Selección del método
A la vista de los radios espectrales, se selecciona el método de Jacobi, que converge y
da la solución exacta en tres iteraciones. El de Gauss Seidel queda descartado al no ser
convergente.
Para obtener el vector c tenemos dos alternativas
1. Obtención de c mediante el cálculo previo del vector b
 −2 −4 4  1  −2 
 1

    
 
−1
b = A x =  1 1 1 ⋅ 1 =  3  → c = D b =  3 
 4 4 2  1  10 
 5

    
 
2. Obtención directa de c mediante la fórmula del método iterativo
 1 2 −2  1   1 

    
x = K J x + c → c = ( I − K J ) x =  1 1 1 g 1  =  3
 2 2 1  1   5 

    
Apartado (d) Condicionamiento
Dado un sistema Ax = b se define el condicionamiento de la matriz del sistema, segu´n
la norma p, al valor cond ( A, p ) = A p ⋅ A−1 p . El condicionamiento de un sistema
mide la sensibilidad de la solución del sistema a las variaciones de los coeficientes del
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sistema o del segundo miembro. Así, cuando el condicionamiento es “bajo”, pequeñas
variaciones de los coeficientes pueden producir pequeñas modificaciones de la solución.
Por el contrario, pequeñas variaciones de los coeficientes pueden originar cambios muy
importantes de la solución cuando el condicionamiento es “alto”. En los sistemas con
éste tipo de condicionamiento, el residual, definido como r = b − Ax no es un buen
indicador de la calidad de la raíz.
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