Prueba coef. 1: Funciones y Procesos Infinitos

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Centro Educacional San Carlos de Aragón.
Coordinación Académica Enseñanza Media.
Sector: Matemática.
Nivel: NM – 4
Prof.: Ximena Gallegos H.
Prueba coef. 1: Funciones y Procesos Infinitos
Nombre: _____________________________________ Fecha: _____
Puntaje ideal: 100 puntos
Puntaje Logrado: __________ Nota: ________
Aprendizajes Esperados: Analizar diferentes iteraciones y determinar el patrón por el cual se
rigen.
I) Análisis de iteraciones.
Asumiendo que la figura original es un cuadrado de lado a. Y usando el patrón fractal indicado,
encuentra un modelo algebraico que permita determinar el área de figura
No Sombreada, luego de realizar el procedimiento n veces.
Nº de Iteración (n)
i(0)
Medida del Lado
a
(20%)
Área
A = a2
i(1)
i(2)
i(3)
i(4)
i(n)
1
2
2) Considera la función f ( x ) =
Y usando la notación:
1
1−
1
1−
((
;
∀x ∈ IR − { ± 1} .
(18%)
x
x +1
( )))
( ) , Aplica sucesivamente esta función para:
f f f .........f x = fk x
!##
#"###
$
k veces
a) f ( x ) = f1 ( x )
b)
f2 ( x ) =
c) f3 ( x ) =
¿Puedes inferir cuál sería el resultado de:
a) f14 ( x ) =
b) f37 ( x ) =
¿Cuál sería la fórmula general que te permite determinar fn ( x )
; n ∈ IN
2
3
3) Usando el siguiente patrón fractal y asumiendo que la figura original es un triángulo equilátero
de lado a, encuentra un modelo algebraico que permita determinar el perímetro y el área de la
figura sombreada, luego de realizar el procedimiento n veces.
Iteración
0
Lado
a
Perímetro
P = 3a
(30%)
Área
A=
a2 3
4
1
2
3
40
200
n
3
4
Respuesta breve:
Considera el triángulo de Sierpinski, del problema anterior:
a) ¿Qué sucede con su área a medida que aumenta el número de iteraciones?
b) ¿Qué sucede con su perímetro a medida que aumenta el número de iteraciones?
4) Modifica la posición de una figura utilizando la siguiente regla de iteración: rotar una figura
sucesivamente, en ángulos de 45º, 60º y 90° considerando el centro de la figura como centro de
(15%)
rotación.
Nº de Iteración (n)
Rotación de 45º
Rotación de 60º
Rotación de 90º
0
10
57
130
n – ésima
4
5
5) Considera el siguiente segmento de recta de lado “a”. Divídela en 3 partes iguales y retira la
parte central. Repite este proceso en cada uno de los segmentos restantes “n” veces” y
determina alguna fórmula que nos permita tener una idea del valor aproximado de su longitud en
la n-ésima iteración.
(20%)
Nº de Iteración
Medida del Lado
i(0)
a
Longitud (L)
L=a
i(1)
i(2)
i(3)
i(4)
i(n)
5