d - Canek

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Circuito RC de corriente alterna .
E: Una resistencia de 25 , un capacitor de 0:02 F y una fuente de voltaje V .t/ D 125 cos 5t C 100 sen 2t V
se conectan en serie . Suponga que al tiempo t D 0 s, la carga del capacitor es Q D 1 C; encuentre una expresión para la carga del capacitor al tiempo t.
D: H La ED que modela la carga Q.t/ es
R
dQ
Q
Q.t/
C
D V .t/ ) 25Q 0.t/ C
D 125 cos 5t C 100 sen 2t;
dt
C
0:02
que se simplifica como:
Q 0.t/ C 2Q.t/ D 5 cos 5t C 4 sen 2t:
Esta ED es lineal con factor integrante .t/ D e 2t ; multiplicamos la ED por este factor:
d.Q.t/e 2t /
e 2t ŒQ 0.t/ C 2Q.t/ D e 2t .5 cos 5t C 4 sen 2t/ )
D e 2t .5 cos 5t C 4 sen 2t/ )
dt
Z
Z
Z
2t
2t
2t
) Q.t/e D e .5 cos 5t C 4 sen 2t/ dt D 5 e cos 5t dt C 4 e 2t sen 2t dt:
Calculamos las integrales del lado derecho usando las fórmulas:
Z
1
e at cos bt dt D 2
.a cos bt C b sen bt/ e at :
2
a
C
b
Z
1
e at sen bt dt D 2
.a sen bt b cos bt/ e at :
a C b2
Obtenemos entonces:
Q.t/e 2t D
5
4
.2 cos 5t C 5 sen 5t/ e 2t C
.2 sen 2t
4 C 25
4C4
2 cos 2t/ e 2t C K:
De donde obtenemos, despejando la carga,
Q.t/ D
25
10
cos 5t C
sen 5t C sen 2t
29
29
cos 2t C Ke
2t
:
Usando la condición inicial Q.0/ D 1 se tiene:
1D
10
29
1CK ) K D
48
:
29
Usando este resultado en la expresión de la carga obtenemos finalmente:
Q.t/ D
10
25
cos 5t C
sen 5t C sen 2t
29
29
cos 2t C
48
e
29
2t
C.
27. canek.azc.uam.mx: 18/ 1/ 2011