CAPÍTULO III

C A P ÍTULO I I I
TRIÁNGULOS RECTÁ NGULOS
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Teorema III -1
a) Un cateto es igual a la hipotenusa por el seno del ángulo opuesto
al primero.
b) Un cateto es igual a la hi potenusa por el coseno del ángu lo
comprendido entre ambos.
c ) Un cateto es igual al otro catet o por l a tangente del ángulo opuesto
al primero.
d) Un cateto es igual al otro cateto por la cotangente del ángulo
adyacente al primero.
Dem.:
Colocando el triángulo rectángulo
en unos
obtiene:
a) senB =
ejes
b
cartesianos,
se
b = a sen B
a
B = 90 º- C
b) sen B = cos C b = a cos C
c ) cos B =
c
;
senB
a cos B
=
b/a
c/a
d) tg B = cot C;
=
b
= tgB
b = c tg B
c
b = c cot C.
Proyección de un Segmento.
Teorema III - 2: La longitud de la proyección de un segmento sobre una
recta es igual a la longitud del segmento por el coseno del ángulo que
forman segmento y recta.
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Dem.: A'B' = proyección de AB.
A'B' = AB" = AB cosx.
Teorema II I- 3: La longitud algebraica de la proyección de un vector sobre
una recta orientada es igual, en valor y signo, al módulo del lector por el coseno
del ángulo que forman la dirección positiva de la recta y la del vector.
Dem.: Un vector es un segmento con sentido; de forma que un extremo A
precede al otro, B, A A se le llama origen del vector, y a B extremo del mismo.
Módulo es su longitud.
La proyección de un vector AB es un segmento A'B'; de forma que, en la
recta orientada, puede suceder que A'B' sea positivo o negativo, según A'
preceda o siga a B' en la recta.
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Puede comprobarse en la figura III- 3 que cuando el vector y la dirección
positiva de la recta forman un ángulo x agudo, la proyección resulta positiva y
vale /AB/ x cosx; y cuando x es obtuso, resulta negativa, y vale también /AB/
cosx, en cuyo caso cosx es negativo, introduciendo el signo que se necesita.
Teorema III- 4: La longitud algebraica de la proyección de una suma de
varios vectores sobre una recta orientada, es igual a la suma de las
proyecciones de cada vector sumando sobre la recta.
Dem.: La suma de varios vectores es el vector que se obtiene colocando
los sumandos uno a continuación del otro, de forma que el origen de cada uno
coincida con el extremo del anterior; y formando un vector cuyo origen sea el
origen del primer sumando y cuyo extremo sea el extremo del último:
FIG III – 4
Proyec ción de AF = A' ' F ' ' = A' ' B' ' + C ' ' D ' ' + E ' ' F ' ' = proyección de A B +
proyección de BD + proyección de EF.
Nota: Los teoremas III-3 y III-4 se aplican igual en el espacio.
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Área de la Pro yección de una Superficie
Teorema III -5: El área de la proyección de una figura plan a sobre un plano,
es igual al área de la figura por el coseno del ángulo que forman su plano y el de
la proyección.
Dem.: La proyección de una figura sobre un plano está formada por todos
los pies de perpendiculares de los puntos de ella al plano.
Así, l a proyección del rectángulo ABCD, de superficie S (que forma parte
del tejado de una casa), es el rectángulo A'B'C'D', de superficie S'.
S= ADxDC
S' = A'D' x D'C' pero A'D' = AD;
S' = AD x D'C'
y
D'C' = DC x cosx
S' = AD x DC x cosx = S x cosx
Quedando
demostrado el teorema cuando la figura plana es un
rectángulo con uno de sus lados paralelo al plano de proyección.
Para generalizar dicho teorema al caso de una figura plana cualquiera,
supondremos cubierta dicha figura por
anterior, de superficies S'1, S'2 .... S'n.
n
rectángulos iguales a los del caso
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S'1 = S 1 cosx
S'2 = S2 cosx
S'n = Sn cosx
sumando miembro a miembro y suponiendo que los rectángulos son tan
estrechos que llenan la figura y su proyección tendremos:
S'1 + S' 2 + ... + S'n = (S 1 + S 2 +. .. + Sn ) cosx
S' = S x cosx
Ejercicios propuestos
1. Un terreno tiene forma de triángulo, con hipotenusa 1 y un ángulo agudo B.
Calcular su área.
(R:
1 2
1 sen B cos B).
2
2. La planta de una casa de un piso ocupa 150 m2 . ¿Cuántos metros cuadrados
de calamina se necesitará para techarla, si el tejado tiene una inclinación de
30º respecto a la horizontal? (No se tendrán en cuenta ni los aleros ni las
superposiciones).
(R: 173.2 m2 ).