Cuando tomamos la dirección de diferente a la del plano tangente a

Cuando tomamos la dirección de diferente a la del plano tangente a

Cuando tomamos la dirección de
ángulo que hacen
diferente de cero.
r
dr
y
∇ϕ
r
dr
diferente a la del plano tangente a la superficie, en el punto
P,
el
es diferente de 90°, en consecuencia, la magnitud del producto escalar es
Figura 34
Conforme la dirección de
r
dr
cambia, se presentan dos posibilidades:
-el ángulo θ varía entre 90° y 0°, (caso en que el ángulo θ entre
r
d r y ∇ϕ
-el ángulo θ varía entre 90° y 180°, (caso en que el ángulo θ entre
es agudo).
r
d r y ∇ϕ
es obtuso).
Para esas variaciones, el cos (θ ) varía ente 0 y 1 en valor absoluto.
El valor que toma el producto
r
r
d r ⋅ ∇ϕ = d r ∇ϕ cos θ
es máximo en magnitud, cuando
cos (θ ) = ± 1 , es decir, cuando θ = 0° o con θ =180° .
Como
r
d r ⋅ ∇ϕ = dϕ , eso significa que el máximo cambio que sufre d ϕ
r
d r es paralelo al vector ∇ϕ .
aparece cuando el vector
Recordar que
sufre la
d ϕ = ϕ ( x + dx , y + dy , z + dz ) − ϕ ( x, y , z ) ,
función
ϕ
al desplazarnos
punto
r
r
(x+dx, y+dy,z+dz) extremo del vector r + d r .
Este cambio es máximo cuando el vector
∇ϕ
P : ( x,y,z)
y esta cantidad es el cambio que
extremo del vector
es para lelo a la dirección de
a 0°, ese cambio es máximo positivo. Esto significa que
ϕ
, al punto
r
d r , y si el ángulo θ
es igual
irá aumentando de valor positivamente, es decir
irá creciendo, y conforme nos vamos desplazando en dirección y sentido de
atravesando en ese “viaje”, son tales que las constantes a las cuales se iguala
cada una de esas Superficies de Nivel, van creciendo, y la dirección de
constantes cambian más rápidamente, diciéndose que la dirección de
ϕ crece más rápidamente.
r
r
∇ϕ , las superficies que vamos
ϕ , y que dan las ecuaciones de
∇ϕ , es la dirección en la cual esas
∇ϕ , es la dirección en que la función
Podemos en virtud de este hecho, decir simplemente:
“La dirección de máximo crecimiento de
ϕ se obtiene cuando d rr
tiene la misma dirección y sentido que
∇ϕ ”
Esto significa que si nos desplazamos en una dirección
r
d r determinada, veremos cómo cambia la función
ϕ , y ese cambio es máximo cuando el desplazamiento coincide con la dirección y sentido del vector ∇ϕ .
Mientras que ese cambio es mínimo, es decir, el más lento, cuando la dirección de
la de
r
dr
es perpendicular a
∇ϕ .
De manera gráfica, se pueden clarificar estos cambios, si tomamos un corte de las Superficies de Nivel de la
función
ϕ
y un plano paralelo al Plano XZ, como se ve en la figura 35.
En esa figura, al seguir cualquiera de los vectores
ecuaciones tienen constantes que van aumentando.
r
d r , se atraviesan diferentes Superficies de Nivel, cuyas
r
dr
paralela a la dirección de ∇ϕ , los cambios de superficie de
Sin embargo, si tomamos la dirección de
nivel son los más rápidos a partir del punto P. Mientras que los más lentos son los obtenidos cuando uno se
desplaza en una dirección de
r
dr
perpendicular a
∇ϕ .