clase-tema2 algebra-lineal

Conceptos básicos de Vectores en Rn
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n números reales, la
cual denotamos como
 
x1
x2 
 
x =  . .
 .. 
xn
Aquı́ xk lo llamamos k-ésima componente del vector x.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n números reales, la
cual denotamos como
 
x1
x2 
 
x =  . .
 .. 
xn
Aquı́ xk lo llamamos k-ésima componente del vector x.
¿Cual serı́a el vector vector nulo o vector cero?
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n números reales, la
cual denotamos como
 
x1
x2 
 
x =  . .
 .. 
xn
Aquı́ xk lo llamamos k-ésima
del vector x.
componente

5
10
4

EJEMPLOS: El vector x = 
 3  es un vector de R y su primera,
5
segunda, tercera y cuarta componentes son 5, 10, −3 y 5, en ese
orden.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n números reales, la
cual denotamos como
 
x1
x2 
 
x =  . .
 .. 
xn
Aquı́ xk lo llamamos k-ésima componente del vector x.
EJEMPLOS: Los vectores
 
 
 
0
0
1
0
1
0
 
 
 
e1 =  .  , e2 =  .  , · · · , en =  . 
 .. 
 .. 
 .. 
1
0
0
son vectores de Rn . A estos vectores los llamamos vectores
canónicos de Rn
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n números reales, la
cual denotamos como
 
x1
x2 
 
x =  . .
 .. 
xn
Aquı́ xk lo llamamos k-ésima componente del vector x.
¿Cuando dos vectores son iguales?
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Geométricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretar
como puntos;
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Geométricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretar
como puntos;
En las aplicaciones fı́sicas, es importante que pensemos en un vector,
no como un punto, sino como algo que tiene magnitud, dirección y
sentido. Estos vectores los llamaremos vectores libres.
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
 
 
v1
u1
v2 
 u2 
 
 
[SUMA] Dados u =  .  y v =  . , definimos
 .. 
 .. 
vn
un


u1 + v1
u2 + v2 


u+v = . 
 .. 
un + vn
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
 
u1
 u2 
 
[PRODUCTO POR ESCALAR] Dados u =  .  y λ ∈ R , definimos
 .. 
un


λu1
λu2 


λu =  . 
 .. 
λun
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
[RESTA] Definimos u − v
u − v = u + (−v )
PR = OR − OP.
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Teorema (Ejer. 9 del Taller2Parte A)
Sean u, v y w vectores de Rn y sean α, β dos números reales. Entonces
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u + v ∈ Rn . Ley clau para +.
(u + v ) + w = u + (v + w ). Ley asoc para +
u + v = v + u. Ley conm. para +
Existe un único vector z ∈ Rn tal que u + z = z + u = u(z = 0).
Ley mod para la suma
Para cada u, existe un único vector p ∈ Rn tal que
u + p = p + u = 0 (p = -u). Existencia del opuesto para suma.
αu ∈ Rn . Ley clau para el producto por escalar
α(u + v ) = αu + αv . Ley dist del producto por escalar resp +
(α + β)u = αu + βu. Ley dist del producto por escalar respecto a +
de escalares.
(αβ)u = α(βu) = β(αu). Ley asoc respecto al producto por
escalares
αu = 0, si y solo si, α = 0 ó u = 0.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Coloquio de Matemáticas:
Lunes 16 de febrero a las 11:00 am.
Salón: 202-405
”‘El residuo sobre funciones meromorfas con polos lineales del punto de
vista de la geometrı́a en conos”’
Profesora Sylvie Paycha
Instituto de Matemáticas
Universidad de Potsdam
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Combinación Lineal)
Dados v1 , v2 , . . . , vk vectores de Rn y λ1 , λ2 , . . . , λk ∈ R, al vector
v = λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λk vk
lo llamamos combinación lineal de los vectores v1 , v2 , . . . , vk . A los
escalares λ1 , λ2 , . . . , λk los llamamos coeficientes de la combinación
lineal.
−1
2
3
EJEMPLO: Sean u =
yv=
yw=
. Calculemos la
2
5
−2
combinación lineal de ellos dada por 3u − v + 2w .
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Combinación Lineal)
Dados v1 , v2 , . . . , vk vectores de Rn y λ1 , λ2 , . . . , λk ∈ R, al vector
v = λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λk vk
lo llamamos combinación lineal de los vectores v1 , v2 , . . . , vk . A los
escalares λ1 , λ2 , . . . , λk los llamamos coeficientes de la combinación
lineal.

  
2
−13
EJERCICIO ¿los vectores  4  y  0  son combinaciones lineales
−1
0
   
−5
1
de  0  y  2 ?.
−3
−2
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
v1 , v2 , . . . , vk lo representamos por
V := {v |v = λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λk vk , λi ∈ R} = Gen{v1 , v2 , . . . , vk }
V es generado por v1 , v2 , . . . , vk ; además, a {v1 , v2 , . . . , vk } lo llamamos
conjunto generador de V .
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
v1 , v2 , . . . , vk lo representamos por
V := {v |v = λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λk vk , λi ∈ R} = Gen{v1 , v2 , . . . , vk }
V es generado por v1 , v2 , . . . , vk ; además, a {v1 , v2 , . . . , vk } lo llamamos
conjunto generador de V .
√
EJEMPLO: Si V = Gen{u, v }, entonces 2u + 5v , 0, u, 3v , u − v son
vectores de V .
    
 
3
0 
 1
EJERCICIO ¿El vector 0 pertenece a Gen 0 ,  0  ?.


2
−1
1
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
v1 , v2 , . . . , vk lo representamos por
V := {v |v = λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λk vk , λi ∈ R} = Gen{v1 , v2 , . . . , vk }
V es generado por v1 , v2 , . . . , vk ; además, a {v1 , v2 , . . . , vk } lo llamamos
conjunto generador de V .
EJERCICIO Demuestre que Gen{e1 , e2 , . . . , en } = Rn .
EJERCICIO Determine Gen{e1 , e3 } si ei ∈ R3 .
EJERCICIO Determine Gen{v } si v es cualquier vector no nulo.
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
v1 , v2 , . . . , vk lo representamos por
V := {v |v = λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λk vk , λi ∈ R} = Gen{v1 , v2 , . . . , vk }
V es generado por v1 , v2 , . . . , vk ; además, a {v1 , v2 , . . . , vk } lo llamamos
conjunto generador de V .
EJERCICIO Determine un conjunto generador de




 3r − s
V = r + 5s  , r , s ∈ R


r
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Conjunto l.i.)
Un conjunto de vectores {v1 , v2 , . . . , vk } es linealmente independiente si
los únicos escalares λ1 , λ2 , . . . , λk tales que
λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λk vk = 0
son todos cero.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Conjunto l.i.)
Un conjunto de vectores {v1 , v2 , . . . , vk } es linealmente independiente si
los únicos escalares λ1 , λ2 , . . . , λk tales que
λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λk vk = 0
son todos cero.
      
−1
1 
 1
EJERCICIO: Demostremos que  3  , −5 , −2 , es un


−2
4
0
conjunto l.i.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Conjunto l.i.)
Un conjunto de vectores {v1 , v2 , . . . , vk } es linealmente independiente si
los únicos escalares λ1 , λ2 , . . . , λk tales que
λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λk vk = 0
son todos cero.
      
−1
2 
 1
EJERCICIO: Demostremos que  3  ,  2  ,  1  , es un


−2
3
−5
conjunto l.d.
EJERCICIO: Demuestre que todo conjunto de Rn que contenga al vector
0 es un conjunto l.d.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Producto escalar )
 
 
v1
u1
 .. 
 .. 
Dados u =  .  y v =  .  de Rn , definimos u · v el producto escalar
vn
un
entre u y v , como el escalar dado por
u · v = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Producto escalar )
 
 
v1
u1
 .. 
 .. 
Dados u =  .  y v =  .  de Rn , definimos u · v el producto escalar
vn
un
entre u y v , como el escalar dado por
u · v = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn
     
−2 
1
 2
EJERCICIO: Dados  1  , 3 , −1 , Calcule


−1
0
−5
u · v , u · w , v · w , (3u) · v , (u + v ) · w y v · u.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Producto escalar )
 
 
v1
u1
 .. 
 .. 
Dados u =  .  y v =  .  de Rn , definimos u · v el producto escalar
vn
un
entre u y v , como el escalar dado por
u · v = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn
EJERCICIO: Suponga que un fabricante produce
 cuatro
 artı́culos. La
30
20

demanda para los artı́culos está dada por d = 
40. Los precios
10
 
20
15

unitarios para los articulos están dados por el vector p = 
18. Si
40
satisface su demanda. ¿Cuánto dinero recibirá el fabricante?
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Producto escalar )
 
 
v1
u1
 .. 
 .. 
Dados u =  .  y v =  .  de Rn , definimos u · v el producto escalar
vn
un
entre u y v , como el escalar dado por
u · v = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn
Teorema (Ejer. 50 del Taller2ParteB)
Sean u, v y w vectores de Rn y sea α ∈ R. Entonces
1
2
3
4
u · v = v · u. Ley conm para ·.
u · (v + w ) = u · v + u · w . Ley dist
α(u · v ) = (αu) · v = u · (αv ).
u · u = 0, si y solo si, u = 0.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn , kuk, como la raı́z cuadrada de
u · u; es decir,
q
√
kuk = u · u = u12 + · · · + un2
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn , kuk, como la raı́z cuadrada de
u · u; es decir,
q
√
kuk = u · u = u12 + · · · + un2
 
 
 
2
5
1
EJERCICIO: Dados u =  1 , y los puntos P = 2, Q = −1,
−5
3
3
Calcule kuk y kPQk,
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn , kuk, como la raı́z cuadrada de
u · u; es decir,
q
√
kuk = u · u = u12 + · · · + un2
Teorema
Dados los vectores u, v ∈ Rn , y λ ∈ R tenemos que
(a) kλuk = |λ|kuk
(b) ku + v k2 = kuk2 + kv k2 + 2(u · v )
(c) ku − v k2 = kuk2 + kv k2 − 2(u · v )
(d) |u · v | ≤ kukkv k. La igualdad se obtiene, si y solo si, u = λv para
algún λ ∈ R. Desigualdad de Cauchy-Schwarz.
(e) ku + v k ≤ kuk + kv k. La igualdad se cumple, si y solo si, u = λv
con λ ≥ 0. Desigualdad triangular.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
(d) |u · v | ≤ kukkv k
DEM: para todo x ∈ R tenemos que kxu + v k2 ≥ 0
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
(d) |u · v | ≤ kukkv k
DEM: para todo x ∈ R tenemos que kxu + v k2 ≥ 0
0 ≤ kxu + v k2 = (xu + v ) · (xu + v )
= x 2 (u · u) + x(2u · v ) + (v · v ) = p(x)
donde p(x) = ax 2 + bx + c es un polinomio cuadrático con a = u · u,
b = 2u · v y c = v · v .
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
(d) |u · v | ≤ kukkv k
DEM: para todo x ∈ R tenemos que kxu + v k2 ≥ 0
0 ≤ kxu + v k2 = (xu + v ) · (xu + v )
= x 2 (u · u) + x(2u · v ) + (v · v ) = p(x)
donde p(x) = ax 2 + bx + c es un polinomio cuadrático con a = u · u,
b = 2u · v y c = v · v .
Como a ≥ 0, la gráfica de p(x) es una parábola cóncava hacı́a arriba con
vértice
en el semiplano
superior. Recordando que el vértice de p(x) es
−
b
2a , c
−
b2
4a
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
(d) |u · v | ≤ kukkv k
DEM: para todo x ∈ R tenemos que kxu + v k2 ≥ 0
0 ≤ kxu + v k2 = (xu + v ) · (xu + v )
= x 2 (u · u) + x(2u · v ) + (v · v ) = p(x)
donde p(x) = ax 2 + bx + c es un polinomio cuadrático con a = u · u,
b = 2u · v y c = v · v .
Como a ≥ 0, la gráfica de p(x) es una parábola cóncava hacı́a arriba con
vértice
en el semiplano
superior. Recordando que el vértice de p(x) es
−
b
2a , c
−
b2
4a
entonces
0≤c−
4(u · v )2
b2
= kv k2 −
4a
4kuk2
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
(d) |u · v | ≤ kukkv k
DEM: para todo x ∈ R tenemos que kxu + v k2 ≥ 0
0 ≤ kxu + v k2 = (xu + v ) · (xu + v )
= x 2 (u · u) + x(2u · v ) + (v · v ) = p(x)
donde p(x) = ax 2 + bx + c es un polinomio cuadrático con a = u · u,
b = 2u · v y c = v · v .
Como a ≥ 0, la gráfica de p(x) es una parábola cóncava hacı́a arriba con
vértice
en el semiplano
superior. Recordando que el vértice de p(x) es
−
b
2a , c
−
b2
4a
entonces
0≤c−
b2
4(u · v )2
= kv k2 −
4a
4kuk2
Además, si u = λv entonces
|u · v | = |λv · v | = |λ||v · v | = |λ|kv k2 = |λ|kv kkv k
= kλv kkv k = kukkv k
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Ángulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn , definimos el ángulo
determinado por u y v como el menor giro positivo.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Ángulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn , definimos el ángulo
determinado por u y v como el menor giro positivo.
OBS: Dados dos vectores u y v no nulos, siempre podemos construir un
triángulo como el de la siguiente figura
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Ángulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn , definimos el ángulo
determinado por u y v como el menor giro positivo.
Al aplicar el T. del Coseno a este triángulo, tenemos
ku − v k2 = kuk2 + kv k2 − 2kukkv k cos θ
kuk2 − 2u · v + kv k2 = kuk2 + kv k2 − 2kukkv k cos θ
Entonces
cos θ =
u·v
kukkv k
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Ángulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn , definimos el ángulo
determinado por u y v como el menor giro positivo.
Al aplicar el T. del Coseno a este triángulo, tenemos
ku − v k2 = kuk2 + kv k2 − 2kukkv k cos θ
kuk2 − 2u · v + kv k2 = kuk2 + kv k2 − 2kukkv k cos θ
Entonces
u·v
kukkv k
 
 
1
1
−1
−1
 

EJEMPLO: Calcule el ángulo de u = 
−1 y v = −1
1
−1
cos θ =
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Proyección ortogonal)
Si u 6= 0 y v son vectores de Rn , definimos la proyección ortogonal de v
sobre u como el vector
v ·u
proyu v =
u
kuk2
Llamamos a vc = v − proyu v la componente vectorial de v ortogonal a u.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Proyección ortogonal)
Si u 6= 0 y v son vectores de Rn , definimos la proyección ortogonal de v
sobre u como el vector
v ·u
u
proyu v =
kuk2
Llamamos a vc = v − proyu v la componente vectorial de v ortogonal a u.
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Proyección ortogonal)
Si u 6= 0 y v son vectores de Rn , definimos la proyección ortogonal de v
sobre u como el vector
v ·u
u
proyu v =
kuk2
Llamamos a vc = v − proyu v la componente vectorial de v ortogonal a u.
Algebra lineal Básica
Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Proyección ortogonal)
Si u 6= 0 y v son vectores de Rn , definimos la proyección ortogonal de v
sobre u como el vector
v ·u
proyu v =
u
kuk2
Llamamos a vc = v − proyu v la componente vectorial de v ortogonal a u.
EJEMPLOS: Halle la proyu v y la componente vectorial de v ortogonal a
u (Esto es vc ), para cada uno de los siguientes casos:
 
 
 
2
1
1
−1

(a) u = −1 y v = −1 (b) u = e1 y v = 
0
1
−1
3
proyv u =
v ·u
v
kv k2
Algebra lineal Básica
Producto Ax
Las columnas de las matrices son vectores de Rm , m son las filas de la
matriz, es decir, que las matrices las podemos ver como una sucesión
(finita y ordenada) de vectores, lo cual denotamos como
A = [a1 a2 . . . an ]
ai son las columnas de A.
Algebra lineal Básica
Producto Ax
Las columnas de las matrices son vectores de Rm , m son las filas de la
matriz, es decir, que las matrices las podemos ver como una sucesión
(finita y ordenada) de vectores, lo cual denotamos como
A = [a1 a2 . . . an ]
ai son las columnas de A.
Definición
Sea A una matriz, cuyas columnas son los vectores a1 , a2 , . . . , an de Rm ,
y sea x un vector de Rn , cuyas componentes son x1 , x2 , . . . , xn .
Definimos el producto matricial Ax como la combinación lineal
Ax = x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an .
Algebra lineal Básica
Producto Ax
Las columnas de las matrices son vectores de Rm , m son las filas de la
matriz, es decir, que las matrices las podemos ver como una sucesión
(finita y ordenada) de vectores, lo cual denotamos como
A = [a1 a2 . . . an ]
ai son las columnas de A.
Definición
Sea A una matriz, cuyas columnas son los vectores a1 , a2 , . . . , an de Rm ,
y sea x un vector de Rn , cuyas componentes son x1 , x2 , . . . , xn .
Definimos el producto matricial Ax como la combinación lineal
Ax = x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an .
 

−1 0 3
0
EJEM: Dado A =  2 1 1  y x = 1, tenemos
3 5 −2
3
 
 
 
−1
0
3
Ax = 0  2  + 1 1 + 3  1  =??
3
5
−2

Algebra lineal Básica
Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1 , a2 , . . . , an de
Rm , λ un escalar e x, y vectores de Rn , entonces
a) A(x + y ) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a)
Algebra lineal Básica
Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1 , a2 , . . . , an de
Rm , λ un escalar e x, y vectores de Rn , entonces
a) A(x + y ) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x, y ∈ Rn entonces x = (x1 , . . . , xn ) y = (y1 , . . . , yn ) y
por tanto x + y = (x1 + y1 , · · · , xn + yn ).
Algebra lineal Básica
Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1 , a2 , . . . , an de
Rm , λ un escalar e x, y vectores de Rn , entonces
a) A(x + y ) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x, y ∈ Rn entonces x = (x1 , . . . , xn ) y = (y1 , . . . , yn ) y
por tanto x + y = (x1 + y1 , · · · , xn + yn ). Luego,
A(x + y ) = (x1 + y1 )a1 + (x2 + y2 )a2 + · · · + (xn + yn )an
Algebra lineal Básica
Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1 , a2 , . . . , an de
Rm , λ un escalar e x, y vectores de Rn , entonces
a) A(x + y ) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x, y ∈ Rn entonces x = (x1 , . . . , xn ) y = (y1 , . . . , yn ) y
por tanto x + y = (x1 + y1 , · · · , xn + yn ). Luego,
A(x + y ) = (x1 + y1 )a1 + (x2 + y2 )a2 + · · · + (xn + yn )an
= x1 a1 + y1 a1 + x2 a2 + y2 a2 + · · · + xn an + yn an
Algebra lineal Básica
Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1 , a2 , . . . , an de
Rm , λ un escalar e x, y vectores de Rn , entonces
a) A(x + y ) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x, y ∈ Rn entonces x = (x1 , . . . , xn ) y = (y1 , . . . , yn ) y
por tanto x + y = (x1 + y1 , · · · , xn + yn ). Luego,
A(x + y ) = (x1 + y1 )a1 + (x2 + y2 )a2 + · · · + (xn + yn )an
= x1 a1 + y1 a1 + x2 a2 + y2 a2 + · · · + xn an + yn an
= x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an + y1 a1 + y2 a2 + · · · + yn an
Algebra lineal Básica
Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1 , a2 , . . . , an de
Rm , λ un escalar e x, y vectores de Rn , entonces
a) A(x + y ) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x, y ∈ Rn entonces x = (x1 , . . . , xn ) y = (y1 , . . . , yn ) y
por tanto x + y = (x1 + y1 , · · · , xn + yn ). Luego,
A(x + y ) = (x1 + y1 )a1 + (x2 + y2 )a2 + · · · + (xn + yn )an
= x1 a1 + y1 a1 + x2 a2 + y2 a2 + · · · + xn an + yn an
= x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an + y1 a1 + y2 a2 + · · · + yn an
= Ax + Ay
Algebra lineal Básica
Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1 , a2 , . . . , an de
Rm , λ un escalar e x, y vectores de Rn , entonces
a) A(x + y ) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x, y ∈ Rn entonces x = (x1 , . . . , xn ) y = (y1 , . . . , yn ) y
por tanto x + y = (x1 + y1 , · · · , xn + yn ). Luego,
A(x + y ) = (x1 + y1 )a1 + (x2 + y2 )a2 + · · · + (xn + yn )an
= x1 a1 + y1 a1 + x2 a2 + y2 a2 + · · · + xn an + yn an
= x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an + y1 a1 + y2 a2 + · · · + yn an
= Ax + Ay
3x − 2y + z = −2
Observe que el sistema lineal
x − 3z =
1
Algebra lineal Básica
Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1 , a2 , . . . , an de
Rm , λ un escalar e x, y vectores de Rn , entonces
a) A(x + y ) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x, y ∈ Rn entonces x = (x1 , . . . , xn ) y = (y1 , . . . , yn ) y
por tanto x + y = (x1 + y1 , · · · , xn + yn ). Luego,
A(x + y ) = (x1 + y1 )a1 + (x2 + y2 )a2 + · · · + (xn + yn )an
= x1 a1 + y1 a1 + x2 a2 + y2 a2 + · · · + xn an + yn an
= x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an + y1 a1 + y2 a2 + · · · + yn an
= Ax + Ay
3x − 2y + z = −2
Observe que el sistema lineal
x − 3z =
1
 
x
3
−2
1
−2
−2
3 −2 1  
y =
⇔x
+y
+z
=
⇔
1
1 0 −3
1
0
−3
1
z
Algebra lineal Básica
Observe que
[A|b],
Ax = b,
x1 a1 + x2 a2 + . . . + xn an = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Algebra lineal Básica
Observe que
[A|b],
Ax = b,
x1 a1 + x2 a2 + . . . + xn an = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Teorema (Equivalencia de conceptos- Ejer. 34 del Taller2ParteB)
Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vector
de Rm , las siguientes proposiciones son equivalentes:
Algebra lineal Básica
Observe que
[A|b],
Ax = b,
x1 a1 + x2 a2 + . . . + xn an = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Teorema (Equivalencia de conceptos- Ejer. 34 del Taller2ParteB)
Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vector
de Rm , las siguientes proposiciones son equivalentes:
El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.
Algebra lineal Básica
Observe que
[A|b],
Ax = b,
x1 a1 + x2 a2 + . . . + xn an = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Teorema (Equivalencia de conceptos- Ejer. 34 del Taller2ParteB)
Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vector
de Rm , las siguientes proposiciones son equivalentes:
El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.
Existe al menos un vector x de Rn , tal que Ax = b.
Algebra lineal Básica
Observe que
[A|b],
Ax = b,
x1 a1 + x2 a2 + . . . + xn an = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Teorema (Equivalencia de conceptos- Ejer. 34 del Taller2ParteB)
Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vector
de Rm , las siguientes proposiciones son equivalentes:
El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.
Existe al menos un vector x de Rn , tal que Ax = b.
El vector b es combinación lineal de las columnas de A.
Algebra lineal Básica
Observe que
[A|b],
Ax = b,
x1 a1 + x2 a2 + . . . + xn an = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Teorema (Equivalencia de conceptos- Ejer. 34 del Taller2ParteB)
Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vector
de Rm , las siguientes proposiciones son equivalentes:
El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.
Existe al menos un vector x de Rn , tal que Ax = b.
El vector b es combinación lineal de las columnas de A.
El vector b pertenece al conjunto generado por las columnas de A.
Algebra lineal Básica
Observe que
[A|b],
Ax = b,
x1 a1 + x2 a2 + . . . + xn an = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Teorema (Equivalencia de conceptos- Ejer. 34 del Taller2ParteB)
Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vector
de Rm , las siguientes proposiciones son equivalentes:
El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.
Existe al menos un vector x de Rn , tal que Ax = b.
El vector b es combinación lineal de las columnas de A.
El vector b pertenece al conjunto generado por las columnas de A.
Definición (Espacio nulo)
El espacio nulo de una matriz A esta dado por
NA = {x ∈ Rn : Ax = 0}
Algebra lineal Básica

−1
Dada A =  2
3
 
1
v = 2 yw
−3

0 3
−2

1 1
determinemos si los vectores u =
,
7
5 −2
 
−3
=  1  se encuentran en NA .
−5
Algebra lineal Básica


−1 0 3
−2


2 1 1
Dada A =
determinemos si los vectores u =
,
7
3 5 −2
 
 
1
−3
v =  2  y w =  1  se encuentran en NA .
−3
−5
OBS NA = {0}, si y solo si, Ax = 0 tiene solución única, i.e. x = 0.
Algebra lineal Básica


−1 0 3
−2


2 1 1
Dada A =
determinemos si los vectores u =
,
7
3 5 −2
 
 
1
−3
v =  2  y w =  1  se encuentran en NA .
−3
−5
OBS NA = {0}, si y solo si, Ax = 0 tiene solución única, i.e. x = 0.
Teorema (Propiedades del espacio nulo)
Dada una matriz A, si x, y son vectores de NA y λ es un escalar,
tenemos que:
(a) x + y ∈ NA
(b) λx ∈ NA
DEM
Algebra lineal Básica


−1 0 3
−2


2 1 1
Dada A =
determinemos si los vectores u =
,
7
3 5 −2
 
 
1
−3
v =  2  y w =  1  se encuentran en NA .
−3
−5
OBS NA = {0}, si y solo si, Ax = 0 tiene solución única, i.e. x = 0.
Teorema (Propiedades del espacio nulo)
Dada una matriz A, si x, y son vectores de NA y λ es un escalar,
tenemos que:
(a) x + y ∈ NA
(b) λx ∈ NA
DEM Puesto que x, y ∈ NA , Ax = 0 y Ay = 0;
Algebra lineal Básica


−1 0 3
−2


2 1 1
Dada A =
determinemos si los vectores u =
,
7
3 5 −2
 
 
1
−3
v =  2  y w =  1  se encuentran en NA .
−3
−5
OBS NA = {0}, si y solo si, Ax = 0 tiene solución única, i.e. x = 0.
Teorema (Propiedades del espacio nulo)
Dada una matriz A, si x, y son vectores de NA y λ es un escalar,
tenemos que:
(a) x + y ∈ NA
(b) λx ∈ NA
DEM Puesto que x, y ∈ NA , Ax = 0 y Ay = 0; entonces,
(a) A(x + y ) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0, por tanto, x + y ∈ NA .
(b) A(λx) = λ(Ax) = λ0 = 0, de donde, concluimos que λx ∈ NA .
Ix = x donde I es la matriz n × n dada por [e1 e2 · · · en ] y x ∈ Rn
Algebra lineal Básica
Definición (Espacio columna)
Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm , definimos el espacio
columna de A como el conjunto
CA = {b ∈ Rm : Ax = b, para algún x ∈ Rn }.
Algebra lineal Básica
Definición (Espacio columna)
Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm , definimos el espacio
columna de A como el conjunto
CA = {b ∈ Rm : Ax = b, para algún x ∈ Rn }.
OBS CA esta formado por todas las combinaciones lineales de las
columnas de A; es decir,
CA = Gen{a1 , a2 , . . . , an }
donde a1 , a2 , . . . , an son las columnas de A.
Algebra lineal Básica
Definición (Espacio columna)
Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm , definimos el espacio
columna de A como el conjunto
CA = {b ∈ Rm : Ax = b, para algún x ∈ Rn }.
OBS CA esta formado por todas las combinaciones lineales de las
columnas de A; es decir,
CA = Gen{a1 , a2 , . . . , an }
donde a1 , a2 , . . . , a
n son
−1
EJEM Dada A =  2
1
encuentran en CA .
las columnas
de A.
   

5
4
2
1  determinemos si  7 , 0 se
4
−1
−1
Algebra lineal Básica
Definición (Espacio columna)
Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm , definimos el espacio
columna de A como el conjunto
CA = {b ∈ Rm : Ax = b, para algún x ∈ Rn }.
OBS CA esta formado por todas las combinaciones lineales de las
columnas de A; es decir,
CA = Gen{a1 , a2 , . . . , an }
donde a1 , a2 , . . . , a
n son
−1
EJEM Dada A =  2
1
encuentran
en CA .
−1
2
1
M.Aum =  2
1 −1
las columnas
de A.
   

5
4
2
1  determinemos si  7 , 0 se
4
−1
−1



−1 2
4
5
4
5
7
0  M.Esc =  0 5 15 10 
−1 −4
0 −1
0 0
Algebra lineal Básica
Definición (Espacio columna)
Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm , definimos el espacio
columna de A como el conjunto
CA = {b ∈ Rm : Ax = b, para algún x ∈ Rn }.
OBS CA esta formado por todas las combinaciones lineales de las
columnas de A; es decir,
CA = Gen{a1 , a2 , . . . , an }
donde a1 , a2 , . . . , a
n son
−1
EJEM Dada A =  2
1
encuentran
en CA .
−1
2
1
M.Aum =  2
1 −1
las columnas
de A.
   

5
4
2
1  determinemos si  7 , 0 se
4
−1
−1



−1 2
4
5
4
5
7
0  M.Esc =  0 5 15 10 
−1 −4
0 −1
0 0
Entonces 1ro SI, 2do NO
Algebra lineal Básica
Teorema (Propiedades del espacio columna)
Dada una matriz A, los vectores b y c de CA y λ un escalar, entonces:
(1) b + c ∈ CA
(2) λb ∈ CA
Algebra lineal Básica
Teorema (Propiedades del espacio columna)
Dada una matriz A, los vectores b y c de CA y λ un escalar, entonces:
(1) b + c ∈ CA
(2) λb ∈ CA
DEM Puesto que b, c ∈ CA , existen vectores x y y tales que Ax = b y
Ay = c.
Algebra lineal Básica
Teorema (Propiedades del espacio columna)
Dada una matriz A, los vectores b y c de CA y λ un escalar, entonces:
(1) b + c ∈ CA
(2) λb ∈ CA
DEM Puesto que b, c ∈ CA , existen vectores x y y tales que Ax = b y
Ay = c. Entonces,
(1). b + c = Ax + Ay = A(x + y ), por tanto, b + c ∈ CA .
(2). λb = λ(Ax) = A(λx), de donde concluimos que λb ∈ CA .
Algebra lineal Básica
Teorema (Propiedades del espacio columna)
Dada una matriz A, los vectores b y c de CA y λ un escalar, entonces:
(1) b + c ∈ CA
(2) λb ∈ CA
DEM Puesto que b, c ∈ CA , existen vectores x y y tales que Ax = b y
Ay = c. Entonces,
(1). b + c = Ax + Ay = A(x + y ), por tanto, b + c ∈ CA .
(2). λb = λ(Ax) = A(λx), de donde concluimos que λb ∈ CA .
Corolario (1)
si el vector u es solución del sistema Ax = b y el vector v es solución del
sistema homogéneo asociado (Ax = 0), entonces (u + v ) es solución del
sistema Ax = b.
DEM
A(u + v ) = Au + Av = b + 0 = b.
Algebra lineal Básica
Corolario (2)
Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u − v
es solución del sistema homogéneo asociado Ax = 0.
Algebra lineal Básica
Corolario (2)
Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u − v
es solución del sistema homogéneo asociado Ax = 0.
Corolario (3)
Sea u solución del sistema Ax = b, entonces v es solución del sistema
Ax = b, si y solo si, v = h + u, donde h es una solución del sistema
homogéneo asociado Ax = 0.
Algebra lineal Básica
Corolario (2)
Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u − v
es solución del sistema homogéneo asociado Ax = 0.
Corolario (3)
Sea u solución del sistema Ax = b, entonces v es solución del sistema
Ax = b, si y solo si, v = h + u, donde h es una solución del sistema
homogéneo asociado Ax = 0.
DEM Sea v una solución del sistema Ax = b, entonces h = v − u es
solución del sistema homogéneo asociado (Coro 2) y por tanto
v = h + u. La otra implicación es el resultado del Coro 1.
Algebra lineal Básica
Corolario (2)
Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u − v
es solución del sistema homogéneo asociado Ax = 0.
Corolario (3)
Sea u solución del sistema Ax = b, entonces v es solución del sistema
Ax = b, si y solo si, v = h + u, donde h es una solución del sistema
homogéneo asociado Ax = 0.
Corolario (4)
Un sistema Ax = b que tiene más de una solución, tiene infinitas
soluciones.
Algebra lineal Básica
Corolario (2)
Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u − v
es solución del sistema homogéneo asociado Ax = 0.
Corolario (3)
Sea u solución del sistema Ax = b, entonces v es solución del sistema
Ax = b, si y solo si, v = h + u, donde h es una solución del sistema
homogéneo asociado Ax = 0.
Corolario (4)
Un sistema Ax = b que tiene más de una solución, tiene infinitas
soluciones.
DEM Sean u y v dos soluciones diferentes del sistema Ax = b. Por el
Coro 2, h = u − v 6= 0 es solución del sistema homogéneo asociado
Ax = 0. Por el Propiedades de NA , αh, ∀α ∈ R, también es solución del
sistema homogéneo, lo que nos indica que el sistema homogéneo tiene
infinitas soluciones. Por el Coro 3, w = αh + u es también solución del
sistema Ax = b. Ası́ que, el sistema Ax = b tiene infinitas soluciones.
Algebra lineal Básica
Rectas, Planos e Hiperplanos
DEF: Dado un punto P y un vector d no nulo de Rn , diremos que la
recta que contiene a P y tiene dirección d es
el conjunto de todos los puntos X que determinan vectores PX paralelos
a d.
Algebra lineal Básica
Rectas, Planos e Hiperplanos
DEF: Dado un punto P y un vector d no nulo de Rn , diremos que la
recta que contiene a P y tiene dirección d es
el conjunto de todos los puntos X que determinan vectores PX paralelos
a d. Al vector d lo llamamos vector director de la recta.
x − p = td
⇒
x = p + td
Algebra lineal Básica
Formas de expresar una recta
Ecuación vectorial de la recta
x = p + td
Ecuaciones paramétricas de la recta
x1
x2
xn
=
=
..
.
=
Algebra lineal Básica
p1 + td1
p2 + td2
pn + tdn
Formas de expresar una recta
Ecuación vectorial de la recta
Ecuaciones paramétricas de la recta
x1
x2
x = p + td
xn
=
=
..
.
=
p1 + td1
p2 + td2
pn + tdn
Al despejar t de cada ecuación e igualar esta expresiones, encontramos
las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto P y tiene
vector director d,
x2 − p2
xn − pn
x1 − p1
=
= ··· =
d1
d2
dn
siempre que di 6= 0
Algebra lineal Básica
Formas de expresar una recta
Ecuación vectorial de la recta
Ecuaciones paramétricas de la recta
x1
x2
x = p + td
xn
=
=
..
.
=
p1 + td1
p2 + td2
pn + tdn
Al despejar t de cada ecuación e igualar esta expresiones, encontramos
las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto P y tiene
vector director d,
x2 − p2
xn − pn
x1 − p1
=
= ··· =
d1
d2
dn
EJEM Dada la ecuación vectorial L :
1
x1
x2
x3
!
siempre que di 6= 0
=
2
−1
3
Halle dos puntos P y Q de la recta L.
Algebra lineal Básica
!
+t
−1
0
5
!
Formas de expresar una recta
Ecuación vectorial de la recta
Ecuaciones paramétricas de la recta
x1
x2
x = p + td
xn
=
=
..
.
=
p1 + td1
p2 + td2
pn + tdn
Al despejar t de cada ecuación e igualar esta expresiones, encontramos
las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto P y tiene
vector director d,
x2 − p2
xn − pn
x1 − p1
=
= ··· =
d1
d2
dn
EJEM Dada la ecuación vectorial L :
1
2
x1
x2
x3
!
Halle dos puntos P y Q de la recta L.
!
!
Determine si R =
3
−1
−2
yS=
4
−1
0
siempre que di 6= 0
=
2
−1
3
!
+t
−1
0
5
!
pertenecen a la recta L.
Algebra lineal Básica
Formas de expresar una recta
Ecuación vectorial de la recta
Ecuaciones paramétricas de la recta
x1
x2
x = p + td
xn
=
=
..
.
=
p1 + td1
p2 + td2
pn + tdn
Al despejar t de cada ecuación e igualar esta expresiones, encontramos
las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto P y tiene
vector director d,
x2 − p2
xn − pn
x1 − p1
=
= ··· =
d1
d2
dn
EJEM Dada la ecuación vectorial L :
1
2
x1
x2
x3
!
siempre que di 6= 0
=
2
−1
3
!
+t
−1
0
5
!
Halle dos puntos P y Q de la recta L.
Halle un vector d que sea un vector director de la recta L y verifique
que el vector PQ, de (a), es paralelo a d.
Algebra lineal Básica
EJEM. Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos
 
 
−1
2
P = 
0
1
2
1
Q= 
−1
1
Algebra lineal Básica
EJEM. Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos
 
 
−1
2
P = 
0
1
2
1
Q= 
−1
1
DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, los
vectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2
Algebra lineal Básica
EJEM. Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos
 
 
−1
2
P = 
0
1
2
1
Q= 
−1
1
DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, los
vectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2
EJEM Determine si las siguientes rectas son paralelas.
 
 
5
3
1
L1 es la recta que pasa por los puntos P = −2 y Q = 3 y
 0
  1 
4
0
x
L2 es la recta con ecuación vectorial y  = −4 + t  10 
−2
3
z
Algebra lineal Básica
EJEM. Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos
 
 
−1
2
P = 
0
1
2
1
Q= 
−1
1
DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, los
vectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2
EJEM Determine si las siguientes rectas son paralelas.
 
3
1
L1 es la recta que pasa por los puntos M = −2 y tiene vector
1
 
2
dirección v =  3  y L2 es la recta que pasa por los puntos
−1
 
 
2
0
Q = −2 y P = 3
1
1
Algebra lineal Básica
Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas y
tienen al menos un punto en común.
Algebra lineal Básica
Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas y
tienen al menos un punto en común.
DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y sólo si, los
vectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
Algebra lineal Básica
Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas y
tienen al menos un punto en común.
DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y sólo si, los
vectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:
 
 
1
3
1
L1 es la recta que pasa por los puntos P = 2 y Q = 3 y L2
0
1
 
   
2
5
x
es la recta con ecuación vectorial y  = −4 + t  2 
−2
1
z
Algebra lineal Básica
Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas y
tienen al menos un punto en común.
DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y sólo si, los
vectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:
 
0
1
L1 es la recta que pasa por los puntos M = −2 y tiene vector
0
 
1
dirección v =  3  y L2 es la recta que pasa por los puntos
−1  
 
1
2
Q = −2 y R =  3 
1
−1
Algebra lineal Básica
Ejercicios
Halle la ecuación vectorial y las ecuaciones simétricas de las rectas:
1
La recta que pasa por los puntos
 
−1
2
P = 
0
1


2
1
Q= 
−1
1
Algebra lineal Básica
Ejercicios
Halle la ecuación vectorial y las ecuaciones simétricas de las rectas:
1
La recta que pasa por los puntos
 
−1
2
P = 
0
1
2


2
1
Q= 
−1
1
 
   
4
0
x
L2 es la recta con ecuación vectorial y  = −4 + t  10 
−2
3
z
Algebra lineal Básica
Ejercicios
Halle la ecuación vectorial y las ecuaciones simétricas de las rectas:
1
La recta que pasa por los puntos
 
−1
2
P = 
0
1
2
3


2
1
Q= 
−1
1
 
   
4
0
x
L2 es la recta con ecuación vectorial y  = −4 + t  10 
−2
3
z
 
 
2
0
L2 es la recta que pasa por los puntos Q = −2 y P = 3
1
1
Algebra lineal Básica
PLANOS
DEF Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c, d ∈ Rn diferentes de cero y
no paralelos. Diremos que el conjunto de puntos X que determinan
vectores PX que son combinación lineal de los vectores c y d, es el plano
P que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d.
Algebra lineal Básica
PLANOS
DEF Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c, d ∈ Rn diferentes de cero y
no paralelos. Diremos que el conjunto de puntos X que determinan
vectores PX que son combinación lineal de los vectores c y d, es el plano
P que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d.
Observe que PX = tc + sd con t, s ∈ R. Ahora si x = OX y p = OP,
entonces para t, s ∈ R
x − p = tc + sd
x = p + tc + sd
Esta es la ecuación vectorial del plano.
Algebra lineal Básica
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas del plano?
Algebra lineal Básica
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas del plano?
x = p + tc + sd
x1
x2
xn
=
=
..
.
=
Algebra lineal Básica
p1 + tc1 + sd1
p2 + tc2 + sd2
pn + tcn + sdn
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas del plano?
x1
x2
x = p + tc + sd
xn
=
=
..
.
=
p1 + tc1 + sd1
p2 + tc2 + sd2
pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones paramétricas del plano P
x1
x2
x3
x4
1
=
=
=
=
2+t −s
2t
1 + 5s
−2
Encontremos tres puntos P, Q y R del plano P.
Algebra lineal Básica
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas del plano?
x1
x2
x = p + tc + sd
xn
=
=
..
.
=
p1 + tc1 + sd1
p2 + tc2 + sd2
pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones paramétricas del plano P
x1
x2
x3
x4
1
2
=
=
=
=
2+t −s
2t
1 + 5s
−2
Encontremos tres puntos P, Q y R del plano P.
Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del
plano P
Algebra lineal Básica
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas del plano?
x1
x2
x = p + tc + sd
xn
=
=
..
.
=
p1 + tc1 + sd1
p2 + tc2 + sd2
pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones paramétricas del plano P
x1
x2
x3
x4
1
2
3
=
=
=
=
2+t −s
2t
1 + 5s
−2
Encontremos tres puntos P, Q y R del plano P.
Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del
plano P
¿Los vectores PQ, PR y QR son combinaciones lineales de c y d?
Algebra lineal Básica
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas del plano?
x1
x2
x = p + tc + sd
xn
=
=
..
.
=
p1 + tc1 + sd1
p2 + tc2 + sd2
pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones paramétricas del plano P
x1
x2
x3
x4
1
2
3
2+t −s
2t
1 + 5s
−2
Encontremos tres puntos P, Q y R del plano P.
Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del
plano P
¿Los vectores PQ,
PR yQR son
lineales de c y d?

 combinaciones
2
4
=
=
=
=
6
4
2
¿Los puntos M =   N =   se encuentran en el plano P?.
−9
1
−2
−2
Algebra lineal Básica
Ecuaciones del plano
EJEM. Encontremos
! plano que contiene los
! vectorial del
! una ecuación
puntos P =
−2
5 ,Q=
3
0
−2
1
yR=
2
0
−3
Algebra lineal Básica
Ecuaciones del plano
EJEM. Encontremos
! plano que contiene los
! vectorial del
! una ecuación
puntos P =
−2
5 ,Q=
3
0
−2
1
yR=
2
0
−3
El plano que contiene los puntos P, Q y R tiene como vectores directores
a d1 = PQ y d2 = PR.
Algebra lineal Básica
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Diremos que dos planos son paralelos, si y solo si, los vectores
directores de uno de los planos son combinación lineal de los vectores
directores del otro plano.
Algebra lineal Básica
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Diremos que dos planos son paralelos, si y solo si, los vectores
directores de uno de los planos son combinación lineal de los vectores
directores del otro plano.
Teorema (Planos iguales- Ejer. 71 Taller2ParteB)
Dos planos son iguales, si y solo si, los dos planos son paralelos y tienen
al menos un punto común
Algebra lineal Básica
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1 , d1 ∈ Rn . Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1 .
Algebra lineal Básica
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1 , d1 ∈ Rn . Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1 .
Algebra lineal Básica
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1 , d1 ∈ Rn . Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1 .
Teorema (Inclusión de una recta en un plano)
Una recta está totalmente incluida en un plano de Rn , si y solo si, la
recta es paralela al plano y la recta y el plano tienen al menos un punto
en común.
Algebra lineal Básica
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1 , d1 ∈ Rn . Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1 .
Teorema (Inclusión de una recta en un plano)
Una recta está totalmente incluida en un plano de Rn , si y solo si, la
recta es paralela al plano y la recta y el plano tienen al menos un punto
en común.
DEM: pd L ⊂ P ⇔ L||P y P ∩ L =
6 ∅.
Sea L : P + td, t ∈ R y P : Q + rc1 + sd1 , r , s ∈ R.
Algebra lineal Básica
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1 , d1 ∈ Rn . Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1 .
Teorema (Inclusión de una recta en un plano)
Una recta está totalmente incluida en un plano de Rn , si y solo si, la
recta es paralela al plano y la recta y el plano tienen al menos un punto
en común.
DEM: pd L ⊂ P ⇔ L||P y P ∩ L =
6 ∅.
Sea L : P + td, t ∈ R y P : Q + rc1 + sd1 , r , s ∈ R.
⇒:Si L ⊂ P entonces P ∈ P (P ∩ L =
6 ∅). Entonces otra ecuación
vectorial de P es P + rc1 + sd1 . Además, como P + td ∈ L ∀t ∈ R
entonces P + td = P + r0 c1 + s0 d1 , t ∈ R. En particular, si t = 1
tenemos d = r0 c1 + s0 d1 , es decir, d ∈ Gen{c1 , d1 }. Por lo tanto, L||P.
Algebra lineal Básica
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1 , d1 ∈ Rn . Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1 .
Teorema (Inclusión de una recta en un plano)
Una recta está totalmente incluida en un plano de Rn , si y solo si, la
recta es paralela al plano y la recta y el plano tienen al menos un punto
en común.
DEM: pd L ⊂ P ⇔ L||P y P ∩ L =
6 ∅.
Sea L : P + td, t ∈ R y P : Q + rc1 + sd1 , r , s ∈ R.
⇐:Si L||P y ∃M ∈ P ∩ L. Entonces existen α, β ∈ R tales que
d = αc1 + βd1 . Ahora, note que L : M + td ∀t ∈ R y P : M + rc1 + sd1 ,
r , s ∈ R. Demostremos que L ⊂ P. Para ello, sea X ∈ L entonces
X = M + t0 d = M + t0 (αc1 + βd1 ) = M + r0 c1 + s0 d1 lo que implica que
X ∈ P.
Algebra lineal Básica
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1 , d1 ∈ Rn . Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1 .
Teorema (Inclusión de una recta en un plano)
Una recta está totalmente incluida en un plano de Rn , si y solo si, la
recta es paralela al plano y la recta y el plano tienen al menos un punto
en común.
EJEM:
  Encuentre
  una
 recta
 en el plano P:
 contenida
x
0
0
2
y  = −2 + t −2 + s  0 
z
1
1
−3
Algebra lineal Básica
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1 , d1 ∈ Rn . Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1 .
Teorema (Inclusión de una recta en un plano)
Una recta está totalmente incluida en un plano de Rn , si y solo si, la
recta es paralela al plano y la recta y el plano tienen al menos un punto
en común.
EJEM:
  Encuentre
  una
 recta
  en el plano P:
 contenida
x
0
0
2
y  = −2 + t −2 + s  0  PREG: Existe otra recta contenida
z
1
1
−3
en P? Cuántas rectas contenidas en P existen? Ejer. 75 Taller2ParteC
Algebra lineal Básica
Rectas y planos ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1 , d1 ∈ Rn . Diremos que la recta L es ortogonal al
plano P, si y solo si, el vector d es ortogonal tanto a c1 y d1 .
Algebra lineal Básica
Rectas y planos ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1 , d1 ∈ Rn . Diremos que la recta L es ortogonal al
plano P, si y solo si, el vector d es ortogonal tanto a c1 y d1 .
Algebra lineal Básica
Ejercicios
   
 
x
2
2
1. Determine si la recta L: y  = −1 + t −7 es paralela a P:
z
3
−2
 
 
   
2
0
0
x
y  = −2 + r −2 + s  0 . Rta: No
−3
1
1
z
 
1
2. Determine si la recta L que contiene los puntos P = −1 y
1
 
4
Q = 0 es ortogonal al plano P:
 
 
  3 
2
0
5
x
y  = −2 + r −2 + s  0 . Rta: Sı́
−3
1
3
z
Algebra lineal Básica
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjunto
formado por P y todos los puntos X que determinan vectores PX
ortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal al
vector n.
.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjunto
formado por P y todos los puntos X que determinan vectores PX
ortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal al
vector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjunto
formado por P y todos los puntos X que determinan vectores PX
ortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal al
vector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP, la ecuación
(x − p) · n = 0
equivalentemente x · n = p · n
es la ecuación del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n.
Algebra lineal Básica
(1)
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjunto
formado por P y todos los puntos X que determinan vectores PX
ortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal al
vector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP, la ecuación
(x − p) · n = 0
equivalentemente x · n = p · n
(1)
es la ecuación del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A esta
ecuación la llamamos ecuación normal del hiperplano.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjunto
formado por P y todos los puntos X que determinan vectores PX
ortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal al
vector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP, la ecuación
(x − p) · n = 0
equivalentemente x · n = p · n
(1)
es la ecuación del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A esta
ecuación la llamamos ecuación normal del hiperplano.
PORQUE
(x − p) · n = 0
equivalentemente l1 x1 + l2 x2 + · · · + ln xn = d
donde con d = l1 p1 + l2 p2 + · · · + ln pn = n · p.
Algebra lineal Básica
(2)
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjunto
formado por P y todos los puntos X que determinan vectores PX
ortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal al
vector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP, la ecuación
(x − p) · n = 0
equivalentemente x · n = p · n
(1)
es la ecuación del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A esta
ecuación la llamamos ecuación normal del hiperplano.
PORQUE
(x − p) · n = 0
equivalentemente l1 x1 + l2 x2 + · · · + ln xn = d
(2)
donde con d = l1 p1 + l2 p2 + · · · + ln pn = n · p.A esta ecuación la llamamos
ecuación general del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjunto
formado por P y todos los puntos X que determinan vectores PX
ortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal al
vector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP, la ecuación
(x − p) · n = 0
equivalentemente x · n = p · n
(1)
es la ecuación del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A esta
ecuación la llamamos ecuación normal del hiperplano.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjunto
formado por P y todos los puntos X que determinan vectores PX
ortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal al
vector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP, la ecuación
(x − p) · n = 0
equivalentemente x · n = p · n
(1)
es la ecuación del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A esta
ecuación la llamamos ecuación normal del hiperplano.
-Hiperplanos en R son puntos
-Hiperplanos en R2 son rectas (Ejer. 87 Taller2parteC)
-Hiperplanos en R3 son planos.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM
una ecuación del hiperplano que pasa por el punto
 Hallemos

2
−3

P=
 5  y es ortogonal al Eje X .
1
Algebra lineal Básica
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM
una ecuación del hiperplano que pasa por el punto
 Hallemos

2
−3

P=
 5  y es ortogonal al Eje X .
1
SOL: Un vector que tiene la dirección del Eje X es e1 .Ası́ que una ecuación
para este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
ó equivalentemente, x − 2 = 0 ó x = 2.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM
una ecuación del hiperplano que pasa por el punto
 Hallemos

2
−3

P=
 5  y es ortogonal al Eje X .
1
SOL: Un vector que tiene la dirección del Eje X es e1 .Ası́ que una ecuación
para este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
ó equivalentemente, x − 2 = 0 ó x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2 ,
respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solo
si, los vectores n1 y n2 son paralelos.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM
una ecuación del hiperplano que pasa por el punto
 Hallemos

2
−3

P=
 5  y es ortogonal al Eje X .
1
SOL: Un vector que tiene la dirección del Eje X es e1 .Ası́ que una ecuación
para este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
ó equivalentemente, x − 2 = 0 ó x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2 ,
respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solo
si, los vectores n1 y n2 son paralelos.
EJEM: Encontremos una ecuación del hiperplano H1 de R4 que pasa por el
origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM
una ecuación del hiperplano que pasa por el punto
 Hallemos

2
−3

P=
 5  y es ortogonal al Eje X .
1
SOL: Un vector que tiene la dirección del Eje X es e1 .Ası́ que una ecuación
para este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
ó equivalentemente, x − 2 = 0 ó x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2 ,
respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solo
si, los vectores n1 y n2 son paralelos.
EJEM: Encontremos una ecuación del hiperplano H1 de R4 que pasa por el
origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.
SOL: Una ecuación del hiperplano es (x − 0) · n2 = 0; es decir,
3x1 − 2x3 + x4 = 0.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM
una ecuación del hiperplano que pasa por el punto
 Hallemos

2
−3

P=
 5  y es ortogonal al Eje X .
1
SOL: Un vector que tiene la dirección del Eje X es e1 .Ası́ que una ecuación
para este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
ó equivalentemente, x − 2 = 0 ó x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2 ,
respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solo
si, los vectores n1 y n2 son paralelos.
EJEM: Encontremos una ecuación del hiperplano H1 de R4 que pasa por el
origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.
SOL: Una ecuación del hiperplano es (x − 0) · n2 = 0; es decir,
3x1 − 2x3 + x4 = 0.
PREG: ¿Existe otro hiperplano H1 que cumpla con las mismas condiciones?
Ejer. 82 Talle2parteC
Algebra lineal Básica
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2 ,
respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,
si y sólo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2 ,
respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,
si y sólo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuación del hiperplano H1 de R5 que pasa por
el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2 ,
respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,
si y sólo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuación del hiperplano H1 de R5 que pasa por
el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 −
3 − 2x4 = 2.
x
1
0 
 

SOL: Aquı́ n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 = 
0.
0 
2
Algebra lineal Básica
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2 ,
respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,
si y sólo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuación del hiperplano H1 de R5 que pasa por
el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 −
3 − 2x4 = 2.
x
1
0 
 

SOL: Aquı́ n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 = 
0. Como un
0 
2
punto de H1 es el origen, su ecuación es
(x − 0) · n1 = 0
⇔
x1 + 2x5 = 0.
Algebra lineal Básica
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2 ,
respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,
si y sólo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuación del hiperplano H1 de R5 que pasa por
el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 −
3 − 2x4 = 2.
x
1
0 
 

SOL: Aquı́ n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 = 
0. Como un
0 
2
punto de H1 es el origen, su ecuación es
(x − 0) · n1 = 0
⇔
x1 + 2x5 = 0.
PREG: ¿Existe otro hiperplano H1 que cumpla con las mismas condiciones?
Ejer.85 Taller2ParteC
Algebra lineal Básica
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
u1
u2
u3
!
yv=
v1
v2
v3
!
de R3 , definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u×v=
u2 v3 − u3 v2
−(u1 v3 − u3 v1 )
u1 v2 − u2 v1
!
Algebra lineal Básica
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
u1
u2
u3
!
yv=
v1
v2
v3
!
de R3 , definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el
! j
u2 v3 − u3 v2
i
u × v = −(u1 v3 − u3 v1 ) = u1 u2
v1 v2
u1 v2 − u2 v1
Algebra lineal Básica
vector
k u3 v3 Producto vectorial
Dados dos vectores u =
u1
u2
u3
!
yv=
v1
v2
v3
!
de R3 , definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el
! j
u2 v3 − u3 v2
i
u × v = −(u1 v3 − u3 v1 ) = u1 u2
v1 v2
u1 v2 − u2 v1
Teorema (Propiedades-Ejer. 88 del Taller2ParteC)
vector
k u3 v3 Si u, v y w son vectores de R3 y λ es un escalar, entonces:
1)
3)
5)
7)
9)
u × v = −v × u
(u + v) × w = u × w + v × w.
u × 0 = 0 × u = 0.
u × (v × w) = (u · w)v − (u · v)w.
u · (v × w) = w · (u × v)
2)
4)
6)
8)
u × (v + w) = u × v + u × w
λ(u × v) = (λu) × v = u × (λv)
u × u = 0.
(u × v) · u = (u × v) · v = 0.
Algebra lineal Básica
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
u1
u2
u3
!
v1
v2
v3
yv=
!
de R3 , definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el
! j
u2 v3 − u3 v2
i
u × v = −(u1 v3 − u3 v1 ) = u1 u2
v1 v2
u1 v2 − u2 v1
DEM Prop. 8
u×v·u=
u2 v3 − u3 v2
−(u1 v3 − u3 v1 )
u1 v2 − u2 v1
!
·
u1
u2
u3
!
Algebra lineal Básica
vector
k u3 v3 Producto vectorial
Dados dos vectores u =
u1
u2
u3
!
v1
v2
v3
yv=
!
de R3 , definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el
! j
u2 v3 − u3 v2
i
u × v = −(u1 v3 − u3 v1 ) = u1 u2
v1 v2
u1 v2 − u2 v1
DEM Prop. 8
u×v·u=
u2 v3 − u3 v2
−(u1 v3 − u3 v1 )
u1 v2 − u2 v1
!
·
u1
u2
u3
vector
k u3 v3 !
= (u2 v3 − u3 v2 )u1 − (u1 v3 − u3 v1 )u2 + (u1 v2 − u2 v1 )u3
= u2 v3 u1 − u3 v2 u1 − u1 v3 u2 + u3 v1 u2 + u1 v2 u3 − u2 v1 u3
=0
De manera análoga u × v · v = 0
Algebra lineal Básica
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
u1
u2
u3
!
yv=
v1
v2
v3
!
de R3 , definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el
! j
u2 v3 − u3 v2
i
u × v = −(u1 v3 − u3 v1 ) = u1 u2
v1 v2
u1 v2 − u2 v1
-El producto cruz no es asociativo. Contraejemplo:
(e1 × e2 ) × e2 6= e1 × (e2 × e2 )
Algebra lineal Básica
vector
k u3 v3 Producto vectorial
Dados dos vectores u =
u1
u2
u3
!
yv=
v1
v2
v3
!
de R3 , definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el
! j
u2 v3 − u3 v2
i
u × v = −(u1 v3 − u3 v1 ) = u1 u2
v1 v2
u1 v2 − u2 v1
-El producto cruz no es asociativo. Contraejemplo:
(e1 × e2 ) × e2 6= e1 × (e2 × e2 )
-Note que e1 × e2 = e3 , e2 × e3 = e1 y e3 × e1 = e2
Algebra lineal Básica
vector
k u3 v3 Producto vectorial
Dados dos vectores u =
u1
u2
u3
!
yv=
v1
v2
v3
!
de R3 , definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el
! i
j
u2 v3 − u3 v2
u × v = −(u1 v3 − u3 v1 ) = u1 u2
v1 v2
u1 v2 − u2 v1
Algebra lineal Básica
vector
k u3 v3 Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3 , si θ es el ángulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
ku × vk2 = kuk2 kvk2 − (u · v)2 .
ku × vk = kukkvksinθ.
Identidad de Lagrange
Norma del producto vectorial
DEM
ku × vk2
=
Algebra lineal Básica
Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3 , si θ es el ángulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
ku × vk2 = kuk2 kvk2 − (u · v)2 .
ku × vk = kukkvksinθ.
Identidad de Lagrange
Norma del producto vectorial
DEM
ku × vk2
= (u × v) · (u × v)
= u · [v × (u × v)]
Prop 9, con w = u × v
Algebra lineal Básica
Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3 , si θ es el ángulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
ku × vk2 = kuk2 kvk2 − (u · v)2 .
ku × vk = kukkvksinθ.
Identidad de Lagrange
Norma del producto vectorial
DEM
ku × vk2
= (u × v) · (u × v)
= u · [v × (u × v)]
Prop 9, con w = u × v
= u · [(v · v)u − (v · u)v]
Prop 7
= (v · v)(u · u) − (v · u)(u · v)
= kvk2 kuk2 − (u · v)2
Algebra lineal Básica
Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3 , si θ es el ángulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
ku × vk2 = kuk2 kvk2 − (u · v)2 .
ku × vk = kukkvksinθ.
Identidad de Lagrange
Norma del producto vectorial
DEM
ku × vk2
= (u × v) · (u × v)
= u · [v × (u × v)]
Prop 9, con w = u × v
= u · [(v · v)u − (v · u)v]
Prop 7
= (v · v)(u · u) − (v · u)(u · v)
= kvk2 kuk2 − (u · v)2
= kuk2 kvk2 − kuk2 kvk2 cos2 θ
= kuk2 kvk2 (1 − cos2 θ)
= kuk2 kvk2 sin2 θ
Algebra lineal Básica
Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3 , si θ es el ángulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
ku × vk2 = kuk2 kvk2 − (u · v)2 .
ku × vk = kukkvksinθ.
Identidad de Lagrange
Norma del producto vectorial
DEM
ku × vk2
= (u × v) · (u × v)
= u · [v × (u × v)]
Prop 9, con w = u × v
= u · [(v · v)u − (v · u)v]
Prop 7
= (v · v)(u · u) − (v · u)(u · v)
= kvk2 kuk2 − (u · v)2
= kuk2 kvk2 − kuk2 kvk2 cos2 θ
= kuk2 kvk2 (1 − cos2 θ)
= kuk2 kvk2 sin2 θ
ku × vk ≤ kukkvk
Algebra lineal Básica
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y sólo si, u × v = 0.
Algebra lineal Básica
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y sólo si, u × v = 0.
DEM: ⇒ si u es paralelo a v, v = λu, entonces,
u × v = u × (λu) = λ(u × u) = λ0 = 0
.
Algebra lineal Básica
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y sólo si, u × v = 0.
DEM: ⇐ Como u × v = 0, entonces ku × vk = 0, pero
ku × vk = kukkvksinθ ahora, como u, v 6= 0 entonces sinθ = 0, por lo
tanto θ = 0 ó θ = π, lo que implica que los vectores u y v son paralelos.
Algebra lineal Básica
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y sólo si, u × v = 0.
Corolario
El área del paralelogramo cuyos lados no paralelos están dados por los
vectores u y v de R3 está dada por la magnitud del producto vectorial de
ellos, es decir, ku × vk.
Algebra lineal Básica
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y sólo si, u × v = 0.
Corolario
El área del paralelogramo cuyos lados no paralelos están dados por los
vectores u y v de R3 está dada por la magnitud del producto vectorial de
ellos, es decir, ku × vk.
DEM: Observe que h, la altura del paralelogramo, está dada por
h = kuk sin θ y el área del paralelogramo, es base por altura, tenemos
A = kvkh = kv kkuk sin θ = ku × v k
Algebra lineal Básica
Corolario
El volumen del paralelepı́pedo cuyas aristas no paralelas están dadas por
los vectores u, v y w de R3 está dado por el valor absoluto del producto
mixto de ellos, es decir, por |u · (v × w)|.
DEM:
Algebra lineal Básica
Corolario
El volumen del paralelepı́pedo cuyas aristas no paralelas están dadas por
los vectores u, v y w de R3 está dado por el valor absoluto del producto
mixto de ellos, es decir, por |u · (v × w)|.
DEM: El vector v × w es ortogonal a la base definida por v y w
Algebra lineal Básica
Corolario
El volumen del paralelepı́pedo cuyas aristas no paralelas están dadas por
los vectores u, v y w de R3 está dado por el valor absoluto del producto
mixto de ellos, es decir, por |u · (v × w)|.
DEM: El vector v × w es ortogonal a la base definida por v y w
Observemos que h, la altura del paralelepı́pedo, es la norma del vector
proyv ×w u =
u · (v × w )
kv × w k
2
v ×w
Vol = (área del paral)(altura) = kv × w k h = kv × w k
Algebra lineal Básica
|u · (v × w )|
= |u·(v ×w )|
kv × w k
Corolario
El volumen del paralelepı́pedo cuyas aristas no paralelas están dadas por
los vectores u, v y w de R3 está dado por el valor absoluto del producto
mixto de ellos, es decir, por |u · (v × w)|.
DEM: El vector v × w es ortogonal a la base definida por v y w
Corolario
Tres vectores u, v y w ∈ R3 son coplanares, si y sólo si, u · (v × w) = 0
Algebra lineal Básica
Teorema (Ecuación normal del plano en R3 )
El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c y
d, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal a
n = c × d, son iguales.
Algebra lineal Básica
Teorema (Ecuación normal del plano en R3 )
El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c y
d, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal a
n = c × d, son iguales.
Algebra lineal Básica
Teorema (Ecuación normal del plano en R3 )
El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c y
d, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal a
n = c × d, son iguales.
DEM: ⊆ Sea X ∈ P. Entonces existen α, β ∈ R tal que PX = αc + βd.
Luego,
PX · n = (αc + βd) · (c × d) = αc · (c × d) + βd · (c × d) = 0
por lo tanto, PX ⊥n, de donde, concluimos que X ∈ H.
Algebra lineal Básica
Teorema (Ecuación normal del plano en R3 )
El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c y
d, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal a
n = c × d, son iguales.
DEM: ⊇ Sea X ∈ H. Entonces PX · (c × d) = 0 por el corolario anterior
tenemos que PX , c y d son coplanares. Como c y d no son paralelos y
son vectores distintos de cero entonces existen α, β ∈ R tal que
PX = αc + βd.
Luego, X ∈ P.
Algebra lineal Básica
Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de planos en R3 )
Sean P1 y P2 dos planos en R3 , con vectores normales n1 y n2 , resp.
P1 ||P2 , si y sólo si, n1 ||n2 ; es decir, n1 = λn2 .
P1 ⊥P2 , si y sólo si, n1 ⊥n2 ; es decir, n1 · n2 = 0.
Algebra lineal Básica
Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de planos en R3 )
Sean P1 y P2 dos planos en R3 , con vectores normales n1 y n2 , resp.
P1 ||P2 , si y sólo si, n1 ||n2 ; es decir, n1 = λn2 .
P1 ⊥P2 , si y sólo si, n1 ⊥n2 ; es decir, n1 · n2 = 0.
Algebra lineal Básica
Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de planos en R3 )
Sean P1 y P2 dos planos en R3 , con vectores normales n1 y n2 , resp.
P1 ||P2 , si y sólo si, n1 ||n2 ; es decir, n1 = λn2 .
P1 ⊥P2 , si y sólo si, n1 ⊥n2 ; es decir, n1 · n2 = 0.


−2
EJEM: Determine si el plano P1 que contiene el punto P =  5  y
3
 
 
2
4
tiene vectores directores c1 =  7  y d1 = −5 es paralelo o es
−2
−6
ortogonal al plano P2 definido por 3x − z = 4.
Algebra lineal Básica
Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de rectas y planos en R3 )
Sean L una recta con vector director d ∈ R3 y P un plano con vector
normal n ∈ R3 .
L||P, si y sólo si, d⊥n; es decir, d · n = 0.
L⊥P, si y sólo si, d||n; es decir, d = λn.
Algebra lineal Básica
Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de rectas y planos en R3 )
Sean L una recta con vector director d ∈ R3 y P un plano con vector
normal n ∈ R3 .
L||P, si y sólo si, d⊥n; es decir, d · n = 0.
L⊥P, si y sólo si, d||n; es decir, d = λn.
Algebra lineal Básica
Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de rectas y planos en R3 )
Sean L una recta con vector director d ∈ R3 y P un plano con vector
normal n ∈ R3 .
L||P, si y sólo si, d⊥n; es decir, d · n = 0.
L⊥P, si y sólo si, d||n; es decir, d = λn.
   
 
x
2
2
EJEM: Determine si la recta L : y  = −1 + t −7 es paralela u
z
3
−2
 
5
ortogonal al plano P que contiene al punto M = −2 y tiene vectores
3
 
 
0
2
directores c1 = −2 y d1 =  0 .
1
−3
Algebra lineal Básica
QUIZ 1
1
2
Deduzca una fórmula para determinar la distancia más corta del
punto P(x0 , y0 ) a la recta L cuya ecuación es ax + by + d = 0
Determine si los siguientes planos son ortogonales o paralelos al
hiperplano H : x1 + x2 − 2 = x4

 
 
 
−2
−2
1
x = 1 + t − 2s


y = −3s + 2t
0
0
−1
x = +s +t 
1
1
5

 z = 1−t +s
w
3
=
0
2+t

x



y
z



w
=
=
=
=
0
−4
2−t
−2s + 1
1+t +s
−t − 2s − 2
Teniendo en cuenta la siguiente propiedad x · (y × z) = z · (x × y )
demuestre la identidad de Lagrange. Es decir,
ku × vk2 = kuk2 kvk2 − (u · v)2
Algebra lineal Básica