MATEMÁTICAS III Grado en Ingeniería Química Examen inicial. 27

MATEMÁTICAS III Grado en Ingeniería Química Examen inicial. 27

MATEMÁTICAS III
Grado en Ingeniería Química
Examen inicial. 27 de Mayo de 2014
Ejercicio 1
a) Si  es una curva parametrizada por  () con velocidad  (), vectores
tangente unitario  y normal unitario  , entonces la aceleración verifica
 =   +   , donde
 =

(kk) 

 =  kk2 
( )2 + ( )2 = kk2 
Calcular las componentes tangencial  , normal  y la curvatura  de
la espiral cónica
 () = ( cos   sen  ) 
 ∈ R
b) Hallar los puntos más bajo y más alto de la curva definida por la intersección de las superficies
( − 1)2 +  2 = 1
2 + 2 +  2 = 4
a) En primer lugar, obtenemos
 () = 0 () = (cos  −  sen  sen  +  cos  1) y kk =
por lo que
p
2 + 2 


(kk) = √


2 + 2
Derivando el vector velocidad obtenemos la aceleración
 =
 () = (−2 sen  −  cos  2 cos  −  sen  0) y kk =
por lo que

r
q
2
2
= kk − ( ) = 4 + 2 −
2
=
2 + 2
r
p
4 + 2 
8 + 52 + 4

2 + 2
La curvatura de la espiral cónica es
r
√
8 + 52 + 4
8 + 52 + 4

1
=
=

2 = 2 + 2
2
2+
kk
(2 + 2 )3/2
1
b) Calculamos los extremos de  (  ) = , sujeto a las restricciones
 (  ) = ( − 1)2 + 2 − 1 = 0
 (  ) = 2 +  2 +  2 − 4 = 0
mediante el método de los multiplicadores de Lagrange. Resolvemos el sistema
∇ (  ) = ∇ (  ) + ∇ (  ) 
cuyas ecuaciones son
0 = 2 ( − 1) + 2
0 = 2 + 2 = 2 ( + ) 
1 = 2
La segunda ecuación implica que  +  = 0, o bien  = 0. Si  = − entonces
la primera ecuación implica que  = 0, por lo que también  = 0, lo que
contradice la tercera ecuación. En consecuencia,  = 0.
Usando las dos restricciones obtenemos
( − 1)2 − 1 = 0
2 +  2 − 4 = 0
La primera ecuación implica 0 = 2 − 2 =  ( − 2), luego  = 0 o bien
 = 2. Si  = 0 la segunda ecuación tiene dos soluciones  = ±2, por lo que
obtenemos los puntos
1 = (0 0 −2) 
2 = (0 0 2) 
Si  = 2 la segunda ecuación implica  = 0, que proporciona 3 = (2 0 0).
Entonces el punto más bajo de la curva es 1 y el más alto 2 .
2
MATEMÁTICAS III
Grado en Ingeniería Química
Examen inicial. 27 de Mayo de 2014
Ejercicio 2
a) Sea  el sólido acotado inferiormente por el plano  = 3 y superiormente
por la esfera 2 + 2 +  2 = 25. Sea  la superficie cerrada que es la
frontera de  . Calcular el volumen de  y el área de .
b) Calcular el flujo del campo vectorial
¡
¢
 (  ) = 2   2  2 2 
a través de la superficie  del apartado a) orientada por la normal
exterior.
a) La intersección del plano  = 3 y la esfera 2 +  2 +  2 = 25 es la circunferencia 2 + 2 = 16 en el plano  = 3. Entonces
o
n
p
 = (  ) ∈ R3 : 2 +  2 ≤ 16 3 ≤  ≤ 25 − 2 − 2 
Calculamos el volumen
ZZZ
 =
vol ( ) =

=
=
ZZ
ZZ
2 +2 ≤16
Z √25−2 −2
  
3
³p
´
25 − 2 −  2 − 3  
2 +2 ≤16
2 Z 4 ³p
Z
0
0
´
25 − 2 − 3   
¸4
∙µ ¶
¢
1 ¡
32
2 3/2
25 − 
−
−

=
3
2 0
0
¸
∙µ ¶ ³
´
1
3/2
3/2
9
− 25
− 24
= 2 −
3
∙
¸
¢
1¡ 3
3
= 2
5 − 3 − 24
3
¶
µ
26
52
98
− 24 = 2
= 
= 2
3
3
3
Z
2
La superficie , frontera de  , es la unión de la porción de la esfera situada
encima del plano  = 3, que denotamos 1 y del círculo 2 +  2 ≤ 16 en el
plano  = 3 que denotamos 2 . Por tanto el área a (2 ) = 16 y calculamos
ZZ
q
p
a (1 ) =
1 + 2 + 2   donde  ( ) = 25 − 2 − 2 
2 +2 ≤16
3
Dado que
1 + 2 + 2 = 1 +
2 +  2
25
=

25 − 2 −  2
25 − 2 −  2
tenemos
ZZ
a (1 ) =
=
5
p
  =
25 − 2 −  2
2 + 2 ≤16
Z 2 h
0
Z
0
2
Z
0
4
5
√
 
25 − 2
¡
¢1/2 i4
5 − 25 − 2
 = 10 (5 − 3) = 20
0
En conclusión, a () = a (1 ) + a (2 ) = 36
a) Aplicando el teorema de la divergencia de Gauss, el flujo exterior es
ZZ
ZZZ
ZZZ
 ·   =
div     =
(2 + 2)   


ZZ
=
2 +2 ≤16
ZZ
=
2 +2 ≤16
=
=
ZZ
2 +2 ≤16
2 Z 4
Z
0
0
Z √25−2 −2

2 ( + )    
3
£ 2 ¤√25−2 −2
( + )  3
 
£
¤
( + ) 25 − 2 −  2 − 9  
¡
¢
 (cos  + sen ) 16 − 2   
¸4
163 5
−
(cos  + sen )

=
3
5 0
0
¶
µ 5
Z 2
45
4
−

=
(cos  + sen )
3
5
0
2
= 45 [sen  − cos ]2
0 = 0
15
Z
2
∙
4