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Funciones de variable compleja-Bioingeniería- Año 2009 Ejercicios sugeridos 2 (01/04/09) Series de Potencias – Funciones de Variable Compleja Sección 9.2 O’Neil En cada problema determine el radio de convergencia y el disco abierto de convergencia de la serie de potencias: n +1
( z + 3i ) n n
2
n=0
∞
1
(−1) n
( z − i)2 n ∑
2
(2n + 1)
n=0
∞
∑
1.
2.
n
∞
⎛ 2i ⎞
n
4.
∑
⎜
⎟ ( z + 3 − 4i ) +
5
i
⎠
n=0 ⎝
∞
(1 − i ) n
6. ∑
( z − 3) n n=0 n + 2
Sección 9.3 O’Neil En cada problema escriba la función en la forma a bi 1. ei 2. sen(1 − 4i ) 8. cos(2-i ) – sen (2 – i )
9. eπ i /2 12. Encuentre u ( x, y ) y v( x, y ) tales que e1/ z = u ( x, y ) + iv( x, y ) . Pruebe que u y v satisfacen las ecuaciones de Cauchy‐Riemann para todo z excepto cero. 15. Pruebe que sen 2 ( z ) + cos 2 ( z ) = 1 para todo complejo z. 16. Sean z y w números complejos. Pruebe que sen( z + w) = sen( z ) cos( w) + cos( z ) sen( w) . Sección 9.4 O’Neil En cada problema determine los valores de log z . 1.
‐ 4i 2.
2 ‐ 2i 4.
1 5i Sección 9.5 O’Neil En cada problema determine todos los valores de zw. 1.
i1 i 2.
1 i
3.
2i ii 6. 1‐i
1/3 1 Funciones de variable compleja-Bioingeniería- Año 2009 Ejercicios sugeridos 2 (01/04/09) 7. i1/4 11. ‐16
1/4 13. 1 1/6 Integral de funciones de variable compleja Sección 10.2 O’Neil En cada problema evalúe ∫
Γ
f ( z )dz . Todas las curvas cerradas están orientadas en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj, a menos que se especifique la excepción. 1 f ( z ) = 1; Γ(t ) = t 2 − it , 1 ≤ t ≤ 3 . f ( z ) = z 2 − iz; Γ(t ) es el cuarto de circunferencia alrededor del origen de 2 a 2i. f ( z ) = 1/ z; Γ(t ) es la parte de la semicircunferencia de radio 4 alrededor del origen 2
4
de 4i a ‐4i. f ( z ) = z ; Γ(t ) es el segmento de recta de ‐4 a i. f ( z ) = Im( z ); Γ(t ) es la circunferencia de radio 1 alrededor del origen. 2
10
14
Sección 10.3 – Teorema de Cauchy En cada problema evalúe la integral de la función sobre la trayectoria cerrada dada. Todas las trayectorias están orientadas positivamente. En algunos casos se satisface el Teorema de Cauchy, y en otros no. 1. f ( z ) = sen(3 z ); Γ es la circunferencia z = 4 . 2z
; Γ es la circunferencia z − i = 3 . z −i
5. f ( z ) = z ; Γ es la circunferencia de radio uno alrededor del origen. 1
6. f ( z ) = ; Γ es la circunferencia de radio 5 alrededor del origen. z
8. f ( z ) = z 2 − 4 z + i; Γ es el rectángulo con vértices 1, 8, 8 4i y 1 4i. 2. f ( z ) =
9. f ( z ) = z ; Γ es la circunferencia de radio 7 alrededor del origen. 2
Sección 10.4 O’Neil En cada problema evalúe ∫
Γ
f ( z )dz para la función y trayectoria dadas. z4
; Γ es cualquier trayectoria cerrada que encierra a 2i. z − 2i
sen( z 2 )
; Γ es cualquier trayectoria cerrada que encierra a 5. 2. f ( z ) =
z −5
2z3
; Γ es el rectángulo con vértices 4 i, 4‐i, ‐4 i, ‐4‐i. 4. f ( z ) =
( z − 2) 2
1. f ( z ) =
2 Funciones de variable compleja-Bioingeniería- Año 2009 Ejercicios sugeridos 2 (01/04/09) 6. f ( z ) =
cos( z − i )
; Γ es cualquier trayectoria cerrada que encierra a ‐2i. ( z + 2i )3
∫
13. Evalúe 2π
0
e
cos (θ )
cos ( sen (θ ) ) dθ . Sugerencia: Considere v∫ ( e
Γ
z
/ z )dz , con Γ la circunferencia unitaria alrededor del origen. Evalúe esta integral una vez usando la fórmula de la integral de Cauchy, después otra vez directamente usando las funciones coordenadas para Γ . 14. Evalúe z − 4i
dz donde Γ es una trayectoria cerrada que encierra a 0, 2i y ‐2i. Γ z3 + 4z
v∫
Representación en serie de una Función Sección 11.1 O’Neil Encuentre la serie de Taylor de la función alrededor del punto. Determine el radio de convergencia y el disco abierto de convergencia de la serie. 1. cos(2 z ); z = 0 1
; z = 4i 1− z
1
5. ;z = 0 (1 − z ) 2
7. z 2 − 3 z + i; z = 2 − i 3
12. ; z = −5 z − 4i
3. 13. Suponga f diferenciable en un disco abierto alrededor de 0 y satisface f’’ z 2f z 1. Suponga que f z 0. Suponga que f 0 1 y f´ 0 i. Encuentre el desarrollo de Maclaurin de f z . Sección 11.2 O’Neil Escriba el desarrollo de Laurent de la función en un anillo 0 < z − z0 < R alrededor del punto. 2z
;i 1+ z2
sen( z )
2 ;0 z2
z2
;1 5 1− z
z +i
;i 9 z −i
1 Sección 1.4.6 James 3 Funciones de variable compleja-Bioingeniería- Año 2009 Ejercicios sugeridos 2 (01/04/09) 44. Determine la expansión en serie de Laurent de f ( z ) =
1
alrededor de a z 0 z ( z − 1) 2
y b z 1. Especifique la región de validez para cada una. 1
en una expansión en serie de Laurent válida para: ( z − 1)(2 − z )
a z < 1 ; b 1 < z < 2 ; c z > 2 ; d z − 1 > 1 ; e 0 < z − 2 < 1 . 46. Desarrolle f ( z ) =
4