Guía #2

Termodinámica y Ondas
Guı́a de ejercicios #
Prof. Andrés Gomberoff
Segundo semestre 2015
Ayudante: Constanza Farı́as
Una banda elástica es un sistema termodinámico que se puede describir, en una primera aproximación, a través de la relación fundamental
αx2
U
−
(1)
S(U, x, L) = Ls0 + cL log
Lρ0
2L
Aquı́ las variables extensivas son la energı́a interna, U , el largo natural del elástico, L y el estiramiento x (diferencia entre el largo y el largo natural), mientras que ρ0 , s0 y c son constantes.
En este ejemplo x es análogo al volumen en sistemas tridimensionales. Asociada a esta variable
definimos la tensión τ (análoga a la presión), de modo que
∂S
∂S
1
τ
=−
=
.
(2)
T
∂x L,U
T
∂U L,x
El largo natural, L es análogo al número de partı́culas N . En adelante asumiremos que L es
constante.
1. A partir de las definiciones de arriba establezca la primera ley de la termodinámica. Note
que el trabajo en este caso es dW = τ dx e interprete este resultado. Finalmente encuentre
la tensión y la temperatura de la banda elástica como función de las variables extensivas.
SOLUCIÓN
Diferenciando la relación fundamental con L constante,
∂S
∂S
τ
1
dx +
dU = − dx + dU,
dS =
∂x L,U
∂U L,x
T
T
o bien,
dU = T dS + τ dx.
Esta es la primera ley, en que la transferemcia de calor está dada por T dS y la de trabajo
por τ dx. Este último, a diferencia del caso de los gases, viene con un signo positivo, dado
que debemos ejercer un trabajo τ dx positivo para estirar el elástico en una distancia dx, y
luego entregamos energı́a al sistema (a diferncia de un gas, que es en la compresión en la que
entregamos energı́a al sistema).
Para encontrar la tensión y la temperatura insertamos la relación fundamental (1) en las
expresiones (2) y obtenemos,
αx
,
L
cL
=
,
U
τ
T
1
T
de donde
T =
=
U
,
cL
τ=
(3)
(4)
αxU
.
cL2
(5)
2. Una banda elástica es estirada una cantidad ∆x a temperatura constante. Calcule la transferencia de calor ∆Q y el trabajo realizado. ¿El calor fue cedido a o absorbido por el elástico?
SOLUCIÓN
De (5) vemos que un proceso a temperatura constante es también a energı́a constante, y
luego, la primera ley implica,
d̄Q = −τ dx.
Utilizando ahora (5),
Z
∆Q = −
αU
αxU
dx = − 2
2
cL
cL
Z
xi +∆x
xdx = −
xi
αT
∆xi (2xi + ∆x).
2L
Esto es negativo, luego el elástico ha cedido calor. Esto puede entenderse observando que
a pesar de que hicimos trabajo sobre el elástico para estirarlo, su energı́a interna, que sólo
depende de la temperatura, se mantuvo constante. Por lo tanto, esa energı́a es precisamente
la que fue cedida en forma de calor.
3. Encuentre la forma de las trayectorias adiabáticas ( d̄Q=0) e isotermales (dT = 0) en el
plano (τ, x). Dibuje un par de estas curvas en cada caso.
SOLUCIÓN
Las trayectorias isotermales vienen dadas por (3), es decir, son las lńeas rectas
τ=
αT
x
L
en el plano (x, τ ). Las trayectorias adiabáticas son aquellas para las cuales no hay transferencia de calor. Esto es,d̄Q = T dS = 0 en todo elemento infinitesimal de la trayectoria. La
entropı́a debe, por lo tanto, ser constante en esta trayectoria. De la relación fundamental,
esto significa que,
U
αx2
cL log
−
= constante,
Lρ0
2L
o bien,
U
= constante × exp
Lρ0
αx2
2cL2
.
Usamos ahora la segunda ecuación en (5) para expresar U en función de (x, τ ), y de este
modo obtenemos las trayectorias adiabáticas,
2
αx
.
τ = constante × x exp
2cL2
La figura muestra un par de estas trayectorias. Las lı́neas solidas son las isotermas (la con
mayor pendiente corresponde a aquella con temperatura más grande). Las lı́neas discontinuas
son las adiábatas.
4. Dos bandas elásticas distintas están conectadas por uno de sus extremos. Los otros dos
extremos están fijos como en la figura. Asuma que ambos elásticos están estirados, esto es,
el largo de cada uno es mayor que su largo natural por cantidades x1 , x2 en cada caso.
Inicialmente, Las bandas están a temperaturas T1 y T2 respectivamente y el punto de unión
está fijo. En cierto momento, permitimos el paso de calor y el movimiento del punto de
unión. Calcule las temperaturas y largos de las bandas en equilibrio. Asuma que el sistema
es cerrado y que los procesos son cuasi-estáticos.
5. Considere los siguientes procesos cuasi-estáticos para una banda elástica: (a) Estiramiento
isotermal, a temperatura T1 desde su largo natural, en cierta distancia xa . (b) Estiramiento
adiabático hasta llegar a una temperatura T2 y un largo xb . (c) Contracción isotermal hasta
el largo natural. (d) Enfriamiento, manteniendo largo natural, hasta temperatura T1 . Dibuje
el ciclo en el plano (τ, x). Calcule el trabajo total que entrega el elástico en este ciclo, y
verifique si es negativo o positivo.Exprese el resultado en término de las temperaturas y el
estiramiento xa . [ Nota: La parte (d) del ciclo no puede verse verse en el plano (τ, x). Esto no
tiene mayor relevancia que su inconveniencia gráfica. Ocurre porque cuando el elástico está
en su largo natural x = 0, entonces τ = 0 y la temperatura es arbitraria. Es sin embargo
importante para cerrar el ciclo. ]
L 1+ x 1
L2+ x 2
d
6. En la primera parte usted encontró una relación lineal entre la energı́a y la temperatura.
Asuma que experimentalmente se encuentra que en realidad U escala con el cuadrado de
la temperatura. ¿Cómo deberı́a cambiar la ecuación de la tensión para que ambas sean
consistentes?