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Seminario de Procesamiento Digital de Señales
Seminario de Procesamiento Digital de Señales Diseño de Filtros FIR Marcelo A. Pérez Departamento Electrónica Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Contenidos 2 / 83 1 Introducción 2 Muestreo en el tiempo 3 Efecto Gibbs 4 Muestreo en Frecuencia Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Contenido 3 / 83 1 Introducción 2 Muestreo en el tiempo 3 Efecto Gibbs 4 Muestreo en Frecuencia Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Caracterı́sticas Estructura Función de transferencia discreta Contenido 4 / 83 1 Introducción 2 Muestreo en el tiempo 3 Efecto Gibbs 4 Muestreo en Frecuencia Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Caracterı́sticas Estructura Función de transferencia discreta Introducción Caracterı́sticas La salida depende solo de las entradas. Pueden ser diseñados para obtener fase lineal. No presentan ciclos lı́mites. El error de redondeo es relativamente pequeño. Son estables. Requiere alto orden para lograr cortes abruptos de frecuencia. 5 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Caracterı́sticas Estructura Función de transferencia discreta Introducción Estructura Suma ponderada de las entradas y(n) = N X bk x(n − k) k=0 Donde bk son los coeficientes del filtro. 6 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Caracterı́sticas Estructura Función de transferencia discreta Introducción Función de transferencia discreta Aplicando la transformada Z se tiene: N Y (z) X = H(z) = bk z −k = X(z) k=0 PN k=0 bk z zN N −k que corresponde a la función de transferencia discreta del filtro. 7 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Caracterı́sticas Estructura Función de transferencia discreta Introducción Polos y Ceros N polos en cero. N ceros localizados según las raı́ces del numerador Im(z) Re(z) 8 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Caracterı́sticas Estructura Función de transferencia discreta Introducción Filtro de convolución Suponiendo que los coeficientes corresponden a la respuesta impulso del filtro. bk = h(k) Se tiene y(n) = N X h(k)x(n − k) k=0 que corresponde a la convolución discreta entre h(k) y x(k). 9 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Caracterı́sticas Estructura Función de transferencia discreta Introducción Filtro de convolución h(n) -5 -4 -3 -2 -1 x(n) 0 1 2 3 4 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 n n n 10 / 83 y(n) Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Caracterı́sticas Estructura Función de transferencia discreta Introducción Respuesta en frecuencia continua H(ω) = N X h(k)e−jkω k=0 h(n) -5 -4 -3 -2 -1 H( ) 0 1 2 3 4 5 n 11 / 83 Marcelo A. Pérez 0 s Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Caracterı́sticas Estructura Función de transferencia discreta Introducción Periodicidad de la respuesta en frecuencia H(ω + 2π) = N X −jk(ω+2π) h(k)e = k=0 H( ) 0 1 2 3 4 5 n 12 / 83 h(k)e−jkω e−jk2π = H(ω) k=0 h(n) -5 -4 -3 -2 -1 N X Marcelo A. Pérez s 0 s s Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Caracterı́sticas Estructura Función de transferencia discreta Diseño de Filtro FIR Introducción Muestreo en tiempo Utiliza el muestreo de la respuesta en el tiempo. Requiere desarrollo teórico para calcular la respuesta en el tiempo. No recomendado para respuesta en frecuencia no standard. Muestro en frecuencia Utiliza muestreo directo de frecuencias. Diseño preciso de frecuencias en los puntos de interés. Alto esfuerzo en cálculo. 13 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Contenido 14 / 83 1 Introducción 2 Muestreo en el tiempo 3 Efecto Gibbs 4 Muestreo en Frecuencia Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Diseño de filtro FIR Procedimiento de diseño Definir H(ω). Calcular h(t) usando la transformada inversa de Fourier. Calcular h(n) muestreando la respuesta en tiempo continuo. 15 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Diseño de filtro FIR Filtro pasa bajos ideal H(ω) = 16 / 83 1 0 < ω ≤ ωc 0 ω > ωc Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Diseño de filtro FIR Filtro pasa bajos ideal considerando periodicidad H s s/2 c c s/2 s H(ω ± ωs ) = H(ω) 17 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Diseño de filtro FIR Filtro pasa bajos ideal H s/2 c c s/2 0 −ωs /2 < ω < −ωc 1 −ωc < ω < ωc H(ω) = 0 ωc < ω < ωs /2 18 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Diseño de filtro FIR Respuesta en tiempo 1 h(t) = ωs Z ωs /2 H(ω)e−jωt dω −ωs /2 Utilizando la respuesta en frecuencia del pasa bajos h(t) = = 19 / 83 1 ωs Z ωc e−jωt dω −ωc 2 ejωc t − ejωc t 2 = sin (ωc t) ωs t 2j ωs t Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Diseño de filtro FIR Respuesta en el tiempo ωc sinc(ωc t) t ∈ [−∞, ∞] ωs /2 sin(α) α 6= 0 α sinc(α) = 1 α=0 h(t) = 1 0.8 sinc(t) 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -1 20 / 83 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 Marcelo A. Pérez 0 tiempo 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Diseño de filtro FIR Muestreo de la respuesta en el tiempo ωc sinc(ωc nT ) h(n) = ωs /2 21 / 83 Marcelo A. Pérez −∞<n<∞ Seminario de Procesamiento Digital de Señales Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Diseño de filtro FIR Muestreo de la respuesta en el tiempo ωc sinc(ωc nT ) − n0 ≤ n ≤ n0 h(n) = ωs /2 1 sinc(nT) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -50 22 / 83 -40 -30 -20 -10 Marcelo A. Pérez 0 n 10 20 30 40 50 Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Diseño de filtro FIR Respuesta en frecuencia H( ) c 23 / 83 s/2 frecuencia Marcelo A. Pérez s Seminario de Procesamiento Digital de Señales Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Diseño de filtro FIR Pasa altos ideal H s/2 c c s/2 1 −ωs /2 < ω < −ωc 0 −ωc < ω < ωc H(ω) = 1 ωc < ω < ωs /2 24 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Diseño de filtro FIR Respuesta en el tiempo h(t) = 1 ωs Z ωs /2 H(ω)e−jωt dω −ωs /2 Utilizando la respuesta en frecuencia del pasa altos Z −ωc Z ωs /2 1 1 −jωt h(t) = e dω + e−jωt dω ωs −ωs /2 ωs ωc h(t) = 25 / 83 2 ejωs /2t − e−jωs /2t 2 ejωc t − e−jωc t − ωs t 2j ωs t 2j Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Diseño de Filtro FIR Pasa Alto Respuesta en el tiempo h(t) = sinc ω ωc s t − sinc (ωc t) 2 ωs /2 1.5 Pasa Altos 1 0.5 0 -0.5 -1 -1 26 / 83 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 Marcelo A. Pérez 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Seminario de Procesamiento Digital de Señales Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Diseño de filtro FIR pasa banda Pasa banda ideal H s/2 2 1 1 2 s/2 0 −ωs /2 < ω < −ω2 1 −ω2 < ω < −ω1 0 −ω1 < ω < ω1 H(ω) = 1 ω1 < ω < ω2 0 ω2 < ω < ωs /2 27 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Diseño de filtro FIR pasa banda Respuesta en el tiempo 1 h(t) = ωs Z ωs /2 H(ω)e−jωt dω −ωs /2 Utilizando la respuesta en frecuencia del pasa banda Z −ω1 Z ω2 1 1 −jωt h(t) = e dω + e−jωt dω ωs −ω2 ωs ω1 h(t) = 28 / 83 2 ejω1 t − e−jω1 t 2 ejω2 t − e−jω2 t − ωs t 2j ωs t 2j Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Diseño de filtro FIR pasa banda Respuesta en el tiempo ω2 ω1 h(t) = sinc(ω2 t) − sinc(ω1 t) ωs /2 ωs /2 1.5 Pasa Banda 1 0.5 0 -0.5 -1 -1 29 / 83 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 Marcelo A. Pérez 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Seminario de Procesamiento Digital de Señales Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Diseño de filtro FIR elimina banda Elimina banda ideal H s/2 2 1 1 2 s/2 1 −ωs /2 < ω < −ω2 0 −ω2 < ω < −ω1 1 −ω1 < ω < ω1 H(ω) = 0 ω1 < ω < ω2 1 ω2 < ω < ωs /2 30 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Diseño de filtro FIR pasa banda Respuesta en el tiempo 1 h(t) = ωs Z ωs /2 H(ω)e−jωt dω −ωs /2 Utilizando la respuesta en frecuencia del elimina banda 1 h(t) = ωs h(t) = 31 / 83 Z −ω2 e −jωt −ωs /2 2 ej ωs t ωs t 2 − e−j 2j 1 dω + ωs ωs t 2 + Z ω1 −jωt e −ω1 1 dω + ωs Z ωs /2 e−jωt dω ω2 2 ejω1 t − e−jω1 t 2 ejω2 t − e−jω2 t − ωs t 2j ωs t 2j Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Diseño de filtro FIR elimina banda Pasa banda ideal h(t) = sinc ω ω1 ω2 s t + sinc(ω1 t) − sinc(ω2 t) 2 ωs /2 ωs /2 1.5 Elimina Banda 1 0.5 0 -0.5 -1 -1 32 / 83 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 Marcelo A. Pérez 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Seminario de Procesamiento Digital de Señales Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Diseño de Filtro FIR Pasa Bajo Pasa bajos triangular H s/2 c H(ω) = 33 / 83 c s/2 1 + ω/ωc −ωc < ω < 0 1 − ω/ωc 0 < ω < ωc Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Diseño de Filtro FIR no standard Respuesta en el tiempo 1 h(t) = ωs Z ωs /2 H(ω)e−jωt dω −ωs /2 Utilizando la respuesta en frecuencia del filtro triangular 1 h(t) = ωs 34 / 83 Z ωc 1 ω ω −jωt e dω + e−jωt dω 1+ 1− ωc ωs 0 ωc −ωc Z 0 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Diseño de Filtro FIR no standard h1 (t) = 1 ωs Z 0 −ωc h2 (t) = h2 (t) = e−jωt dω + 1 ωs ωc 0 ωc Z e−jωt dω = 0 ωe−jωt dω − −ωc 2 2 − 2 ωs ωc t ωs ωc t2 h(t) = 35 / 83 Z 1 ωs ejωc t + 2 1 ωs ωc e−jωc t Z − 2 ejωc t − e−jωc t ωs t 2j ωc ωe−jωt dω 0 2 ejωc t − e−jωc t ωs t 2j 2 2 ejωc t + e−jωc t − ωs ωc t2 ωs ωc t2 2 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Diseño de Filtro FIR no standard Respuesta en el tiempo filtro triangular h(t) = ωc 1 − cos(ωc t) ωs /2 ωc2 t2 1 0.5 0 -1 36 / 83 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 Marcelo A. Pérez 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Seminario de Procesamiento Digital de Señales Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Diseño de Filtro FIR no standard Pasa bajos cosenoidal H s/2 c H(ω) = cos 37 / 83 c πω 2ωc s/2 Marcelo A. Pérez − ωc < ω < ωc Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Diseño de Filtro FIR no standard Respuesta en el tiempo 1 h(t) = ωs Z ωs /2 H(ω)e−jωt dω −ωs /2 Utilizando la respuesta en frecuencia del filtro cosenoidal Z ωc πω 1 h(t) = cos e−jωt dω ωs −ωc 2ωc 38 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Diseño de Filtro FIR no standard 1 h1 (t) = ωs Z ωc cos −ωc πω 2ωc cos(ωt)dω 4πωc cos(ωc t) ωs (π 2 − 4ωc2 t2 ) Z ωc j πω h2 (t) = − cos sin(ωt)dω ωs −ωc 2ωc h1 (t) = h2 (t) = 0 39 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda Filtros no standard Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Diseño de Filtro FIR no standard Respuesta en el tiempo filtro cosenoidal h(t) = ωc cos(ωc t) ωs /2 π2 − π2 ωc2 t2 1 Pasa Bajos Cosenoidal 0.5 0 -1 40 / 83 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 Marcelo A. Pérez 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Ejemplo Fenómeno de Gibbs Ventanas Contenido 41 / 83 1 Introducción 2 Muestreo en el tiempo 3 Efecto Gibbs 4 Muestreo en Frecuencia Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Ejemplo Fenómeno de Gibbs Ventanas Ejemplo Filtro pasa bajos ideal H s/2 c 0 −ωs /2 < ω < −ωc 1 −ωc < ω < ωc H(ω) = 0 ωc < ω < ωs /2 42 / 83 Marcelo A. Pérez s/2 c h(n) = 2ωc sinc(ωc nT ) ωs Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Ejemplo Fenómeno de Gibbs Ventanas Utilización de ventanas Ventana Función original de largo infinito. Ventana permite utilizar un largo finito. Ventana rectangular h1 (k) = h(k) · w(k) 1 |k| ≤ kn w(k) = 0 |k| > kn 43 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Ejemplo Fenómeno de Gibbs Ventanas Respuesta en frecuencia del filtro utilizando una ventana rectangular de N = 11 44 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Ejemplo Fenómeno de Gibbs Ventanas Respuesta en frecuencia del filtro utilizando una ventana rectangular de N = 51 45 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Ejemplo Fenómeno de Gibbs Ventanas Respuesta en frecuencia del filtro utilizando una ventana rectangular de N = 101 46 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Ejemplo Fenómeno de Gibbs Ventanas Respuesta en frecuencia del filtro utilizando una ventana rectangular de N = 1001 47 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Ejemplo Fenómeno de Gibbs Ventanas Fenómeno de Gibbs Al aumentar N mejora la respuesta en frecuencia excepto en la banda de transición. No es posible lograr un filtro ideal si el número de muestras es finita. Caracterı́stica de la ventana rectangular. 48 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Ejemplo Fenómeno de Gibbs Ventanas Ventana Rectangular Ventana rectangular w(n) = 1 49 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Ejemplo Fenómeno de Gibbs Ventanas Ventana Triangular Ventana triangular 2 w(n) = N 50 / 83 N − 1 N − n − 2 2 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Ejemplo Fenómeno de Gibbs Ventanas Ventana Cosenoidal Ventana cosenoidal w(n) = cos 51 / 83 Marcelo A. Pérez πn π − N −1 2 Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Ejemplo Fenómeno de Gibbs Ventanas Ventana Hamming Ventana Hamming w(n) = 0,53836 + 0,46164 cos 52 / 83 Marcelo A. Pérez 2πn N −1 Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Ejemplo Fenómeno de Gibbs Ventanas Ventana Hann Ventana Hann w(n) = 0,5 + 0,5 cos 53 / 83 Marcelo A. Pérez 2πn N −1 Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Ejemplo Fenómeno de Gibbs Ventanas Ventana Blackman Ventana Blackman w(n) = 0,42 + 0,5 cos 54 / 83 2πn N −1 Marcelo A. Pérez + 0,08 cos 4πn N −1 Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Ejemplo Fenómeno de Gibbs Ventanas Ventana Gaussiana Ventana Gaussiana −0,5 w(n) = e 55 / 83 2n−N +1 σ(N −1) Marcelo A. Pérez 2 σ < 0,5 Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Ejemplo Fenómeno de Gibbs Ventanas Comparación de ventanas 56 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Contenido 57 / 83 1 Introducción 2 Muestreo en el tiempo 3 Efecto Gibbs 4 Muestreo en Frecuencia Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Diseño de filtros con muestreo de frecuencias Filtros con ventana son una solución satisfactoria para la mayorı́a de los problemas, excepto para casos especı́ficos: Especificaciones de filtro digital para sistema de mensajerı́a inalámbrica. 58 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Introducción Procedimiento de diseño Definir la respuesta en frecuencia H(ω). Calcular la amplitud A para las frecuencias de interés. Utilizar DFT inversa para calcular los coeficientes h(n) 59 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Diseño de filtros con muestreo de frecuencias Muestras de la respuesta en frecuencia de N puntos equiespaciados H(ω) = N −1 X h(k)e−jωk k=0 Utilizando DFT H 60 / 83 2πn N = N −1 X h(k)e−j2πkn/M n = 0, 1..., N − 1 k=0 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Diseño de filtros con muestreo de frecuencias Transformada Discreta de Fourier Muestras de la respuesta en frecuencia de N puntos equiespaciados amplitud Respuesta en Frecuencia frecuencia 61 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Muestreo en frecuencia Transformada Discreta de Fourier N debe ser lo suficientemente grande para representar la respuesta en frecuencia H(ω). amplitud Respuesta en Frecuencia frecuencia 62 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Muestreo en frecuencia Resultado de la transformada de Fourier H(ω) = N −1 X h(k)e−jωk k=0 H(ω) = Hreal (ω) + jHimag (ω) 63 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Muestreo en frecuencia Representación en frecuencia y fase H(ω) = HM (ω)ejd(ω) Donde q Hreal (ω)2 + Himag (ω)2 Hreal (ω) d(ω) = arctan Himag (ω) HM (ω) = HM (ω) es no analı́tica y d(ω) es no continua. 64 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Muestreo en frecuencia Representación en amplitud y fase H(ω) = HM (ω)ejd(ω) 65 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Muestreo en frecuencia Representación en frecuencia y fase H(ω) = A(ω)ejθ(ω) Donde A(ω) = ±HM (ω) θ(ω) = k1 + k2 d(ω) A(ω) es analı́tica y θ(ω) es continua. 66 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Muestreo en frecuencia Representación en amplitud y fase H(ω) = A(ω)ejθ(ω) 67 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Muestreo en frecuencia Desplazamiento Filtro no causal h2 (n) = h1 (n − M ) 68 / 83 M= Marcelo A. Pérez N/2 − 1 N par (N − 1)/2 N impar Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Clasificación filtros de fase lineal Clasificación Por longitud: Par, impar Por simetrı́a al punto medio: simétrico, antisimétrico 69 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Clasificación Tipo 1: Largo impar, simetrı́a 70 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Clasificación Tipo 1: Largo impar, simetrı́a A(ω) = A(−ω) A(ω + π) = A(π − ω) A(ω + 2π) = A(ω) A(ω + 4π) = A(ω) 71 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Clasificación Tipo 2: Largo par, simetrı́a 72 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Clasificación Tipo 2: Largo par, simetrı́a A(ω) = A(−ω) A(ω + π) = −A(π − ω) A(ω + 2π) = −A(ω) A(ω + 4π) = A(ω) A((2n − 1)π) = 0 73 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Clasificación Tipo 3: Largo impar, antisimetrı́a 74 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Clasificación Tipo 3: Largo impar, antisimetrı́a A(ω) = −A(−ω) A(ω + π) = −A(π − ω) A(ω + 2π) = A(ω) A(ω + 4π) = A(ω) A(0) = 0 75 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Clasificación Tipo 4: Largo par, antisimetrı́a 76 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Clasificación Tipo 4: Largo par, antisimetrı́a A(ω) = −A(−ω) A(ω + π) = A(π − ω) A(ω + 2π) = −A(ω) A(ω + 4π) = A(ω) A(0) = 0 77 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Muestreo en frecuencia Método Transformada discreta de Fourier H(k) = N −1 X h(n)ej2πkn/N n=0 Transformada discreta de Fourier inversa h(n) = N −1 1 X H(k)e−j2πkn/N N k=0 78 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Muestreo en frecuencia A partir de la representación en magnitud se puede encontrar la amplitud de cada elemento de frecuencia asignándole una fase lineal H(k) = A(k)ejπk/N reemplazando en la transformada inversa h(n) = N −1 1 X A(k)e jπk/N e−j2πkn/N N k=0 Dependiendo el tipo de filtro se puede simplificar esta expresión. 79 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Diseño de filtros con muestreo de frecuencias Para filtros tipo 1 (simétrico, impar): M = (N − 1)/2 2πk −k A(k) = (−1) H A(N − k) = A(k) N ( ) M X 2π(n − M )k 1 h(n) = A(0) + 2 A(k) cos N N k=1 80 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Diseño de filtros con muestreo de frecuencias Para filtros tipo 2 (simétrico, par): M = N/2 − 1 2πk −k A(k) = (−1) H A(N − k) = A(k) N ( ) M X 2π(n − M )k 1 h(n) = A(0) + 2 A(k) cos N N k=1 81 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Diseño de filtros con muestreo de frecuencias Para filtros tipo 3 (antisimétrico, impar): M = (N − 1)/2 2πk −k A(k) = (−1) H A(N − k) = −A(k) N ( M ) X 2π(M − n)k 1 h(n) = 2 A(k) sin N N k=1 82 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales Introducción Muestreo en el tiempo Efecto Gibbs Muestreo en Frecuencia Introducción Representación Clasificación Diseño Diseño de filtros con muestreo de frecuencias Para filtros tipo 4 (antisimétrico, par): M = N/2 − 1 2πk −k A(k) = (−1) H A(N − k) = −A(k) N ( M ) X 2π(M − n)k 1 h(n) = 2 A(k) sin + AN/2 sin(π(M − n)) N N k=1 83 / 83 Marcelo A. Pérez Seminario de Procesamiento Digital de Señales
