Práctica 4.2

CÁLCULO
Práctica 4.2
Cálculo diferencial en varias variables
(Curso 2015-2016)
1.– Sean f, h: IR2 7→ IR funciones definidas del siguiente modo:
f (x, y) =



x3
, (x, y) 6= (0, 0)
x2 + y 2


0,
(x, y) = (0, 0)
 3
3

 x − y , (x, y) 6= (0, 0)
h(x, y) = x2 + y 2


0,
(x, y) = (0, 0)
Se pide:
a) Estudiar la continuidad en el origen de las funciones dadas.
b) Calcular, en caso de que existan, las derivadas direccionales en (0,0) según un vector
genérico ū = (cos θ, sen θ). Obtener, en particular, las derivadas parciales en (0,0)
c) Estudiar la diferenciabilidad de las funciones dadas en (0,0).
∂f
∂f
=1y
= 0, y
∂x
∂y
cuya derivada direccional según una dirección w̄ es igual a cero en ese punto. ¿Es diferenciable
en el punto P?
2.– Dada una función f (x, y) tal que sus derivadas parciales en el punto P son
3.– Se considera la función z = f (x, y) diferenciable en el punto P y el vector ū = (4, 3). Si
∂f
(P ) = 12 y la derivada direccional de la función f según la dirección del vector ū vale 12,
∂y
calcular:
∂f
(a)
(P )
∂x
(b) La dirección y el valor de la variación máxima de f en P .
(c) La variación de f en P en la dirección de la recta 3x + 4y + 2 = 0.
4.– Se considera la función f : IR2 → IR definida de la siguiente forma:
xy 2
f (x, y) = x2 + y 2

0


si (x, y) 6= (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
(a) Determinar los puntos de IR2 en los que f es continua.
(b) Calcular, si existe, la derivada de f en (0, 0) según el vector (1, 2).
(c) Calcular, si existe, la derivada parcial de f con respecto a x en el punto (2, 1).
5.– Se considera la función, definida en todos los puntos de IR2 salvo en el (0,0), de la siguiente
forma:
f (x, y) =
sen(xy)
x2 + y 2
(a) ¿Es posible darle algún valor a f en (0, 0) de forma que la función ası́ obtenida sea continua
en ese punto?. ¿Y diferenciable?.
(b) Calcular la dirección de máxima variación de f en el punto (0, 1).
6.– Calcular la derivada direccional de la función f (x, y) = 3x2 + y 2 en el punto P (2, 2) y en el
sentido del vector que forma un ángulo de
π
3
con el sentido positivo del eje OX.
7.– Sea f : IR2 7→ IR una función definida del siguiente modo:

2
2

 3x(x − y ) ,
2
2
x +y
f (x, y) =


0,
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
Se pide:
a) Estudiar la continuidad de la función f (x, y) en su dominio.
b) Obtener, si existen, sus derivadas parciales en (0,0).
c) Estudiar la diferenciabilidad de la función f (x, y) en su dominio.
8.– Sea f : IR2 7→ IR una función definida del siguiente modo:
f (x, y) =



sen2 (xy)
,
sen2 (xy) + (x − y)2
(x, y) 6= (0, 0)


0,
(x, y) = (0, 0)
Se pide:
a) Obtener, si existen, sus derivadas parciales en (0,0).
b) Dada la función z = z(x, y) = f (u, v), con u = 2x + y, v = 3x − 2y, y sabiendo que en
∂f
∂f
el punto (u, v) = (3, 1) se tiene que
= 3 y que
= −2, obtener los valores de ∂z y
∂u
∂v
∂x
∂z en el punto (x, y) = (1, 1).
∂y
9.– Se considera la función
g : Dg ⊂ IR2 → IR,
a) Determinar su dominio.
b) Estudiar su diferenciabilidad.
g(x, y) = cos(2e xy + ex
2 y2
)
10.– Sean las funciones
f : Df ⊂ IR2 7→ IR2 ,
f (x, y) = ex+y , ln(x)
g: Dg ⊂ IR2 7→ IR2 ,
g(x, y) = (sen(x), cos(xy))
h(x, y, z) = xyz, x2 z
3
2
h: Dh ⊂ IR 7→ IR ,
Se pide:
a) Determinar los dominios Df , Dg y Dh de las funciones f, g y h.
b) Estudiar la diferenciabilidad de las funciones f, g y h, obteniendo (cuando existan) sus
matrices jacobianas en un punto genérico de su dominio.
c) Obtener, en particular, la matriz jacobiana de f en el punto F = (1, 0), la matriz
jacobiana de g en el punto G = (π, 1) y la matriz jacobiana de h en el punto H = (1, π, 1).
d) Estudiar la diferenciabilidad de g ◦ h y obtener su matriz jacobiana en el punto H.
◦
11.– Sean f, g: A ⊂ IRn 7→ IR funciones diferenciables en un punto a ∈A. Demostrar que
a) ∇(f + g)(a) = ∇f (a) + ∇g(a).
b) ∇(λf )(a) = λ∇f (a).
c) ∇(f g)(a) = g(a)∇f (a) + f (a)∇g(a).
12.– Se considera la función w = g(x, y, z) = xyz, con x = f1 (t) = lnt, y = f2 (t) = t y
z = f3 (t) = t3 . Hallar
dw
.
dt
13.– Sea la función g = f (u, v) = g(x, y, z), donde f es suficientemente derivable, y
u = u(x, y, z) = ea x − eb y,
a, b ∈ IR,
v = v(x, y, z) = x − y
Se pide:
a) Hallar A =
∂g
∂g ∂g
+
+
∂x ∂y ∂z
b) Establecer la relación entre a y b para que A = 0.
14.– Se considera la función z = f (u) = z(x, y) con u = u(x, y) = x2 y. Indicar razonadamente si se
verifica la relación x ∂z = 2y ∂z .
∂x
∂y
15.– Se considera la función z = z(t) = f (x, y) con f (x, y) = x2 y − y 2 , x = f1 (t) = sen t y
y = f2 (t) = et . Calcular, a través del árbol de dependencias,
dz
dt
cuando t = 0.
x+z
donde z está definida implı́citamente
y+z
∂u ∂u
por la ecuación zez − xex − yey = 0. Hallar
y
.
∂x ∂y
16.– Se considera la función u = u(x, y) = f (x, y, z) =
17.– Demostrar que la ecuación 1 + x + y + z = e−(x+y+z ) define implı́citamente a z como función
de x e y en un entorno de cualquier punto (a, b, c) que verifique la ecuación. Hallar
18.– Demostrar que la ecuación y 2 zex+y − π sen(xyz) =
de y y de z en un entorno del punto (1, −1,
π
2 ).
3π
2
∂z ∂z
y
.
∂x ∂y
define implı́citamente a x como función
19.– Demostrar que la ecuación x2 + sen y − 2y = 0 define implı́citamente a y como función de x
en un entorno de un punto que verifique la ecuación . Calcular
dy
dx .
20.– Se definen las funciones
f : Df ⊂ IR2 7−→ IR
(x, y) 7→ f (x, y)
donde
g: Dg ⊂ IR2 7−→ IR
(x, y) 7→ g(x, y)
h: IR3 7−→ IR
(x, y, z) 7→ h(x, y, z)

2
2
2

 Df = {(x, y) ∈ IR : x + y ≤ 1},



2
2


 f (x, y) = (x − 1) + y ,
Dg = {(x, y) ∈ IR2 : 0 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2},


2
2


 g(x, y) = −x + x − y − 2y − 1,


 h(x, y, z) = x3 + y 2 + z 2 − 2xy − x − 2z.
Determinar (si existen) los valores máximos y mı́nimos de las funciones f , g y h en los conjuntos
indicados.
21.– Sea A el conjunto {(x, y) ∈ IR2 : x > 0, y > 0}. Encontrar y clasificar los extremos relativos
de la función
f : A → IR, f (x, y) =
8 x
+ +y
x y
22.– Se considera la función f : IR2 → IR definida de la siguiente forma:
f (x, y) = ex
2 −2x+y 2
a) Encontrar y clasificar los puntos crı́ticos de f (x, y).
b) Hallar la derivada direccional de f (x, y) en el punto P (1, 1) en la dirección del vector
(−1, −2). Cuál es el valor máximo que alcanza la derivada direccional en el punto
P (1, 1)?.
c) Hallar
∂w ∂w
y
, siendo w = w(s, t) = f (x, y), x=sen s=f1 (s), y = t2 lns2 = f2 (s, t).
∂s
∂t
23.– Considérese la función h(x, y) = x2 − 6x + y 2 − 8y + 7.
a) Determinar y clasificar los extremos locales de h(x, y)
b) Encontrar el máximo y el mı́nimo de h(x, y) sobre el recinto {(x, y) ∈ IR2 /x2 + y 2 ≤ 1}
c) Si x = est cost , y = s2 ln(st), h(x, y) = g(s, t), calcular
∂g
∂s
24.– Entre todos los rectángulos de perı́metro dado p, hallar el de área máxima.
25.– El material de las tapas superior e inferior de una caja rectangular cuesta 3 euros por metro
cuadrado, y el material para los lados 2 euros por metros cuadrado. Cuál es la caja más barata
con un volumen de un metro cúbico?
26.– Determinar el punto en el que alcanza un extremo la derivada direccional de la función
f (x, y) = x3 + 3y 3 − x2 + y 2 según la dirección del vector (1,2). Averiguar el tipo de extremo
de que se trata, ası́ como el valor de la derivada direccional en ese punto.
2
27.– La temperatura de un depósito cilı́ndrico viene dada por la función T (x, y, z) = 10(xe−y +
2
ze−x ). Si estamos situados en el punto (0, 0, 1), indicar en qué dirección y sentido debemos
movernos para que la temperatura disminuya lo más rápidamente posible.
28.– Calcular las dimensiones de un cilindro de volumen máximo inscrito en una esfera de radio
conocido R.
29.– Encontrar la (única) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones:
(a) Sea A un subconjunto de IR2 abierto y f : A 7→ IR una función de clase dos. En esta
situación
Es posible que f no sea diferenciable en algún punto de A.
La matriz Hessiana de f es simétrica en cualquier punto de A.
Necesariamente f alcanza un máximo y un mı́nimo en A.
Las derivadas direccionales de f son independientes de la dirección en cualquier punto de A.
(b) La función f : IR2 7→ IR definida por f (x, y) = xy
Alcanza un mı́nimo en el origen.
Alcanza un máximo en el origen.
No alcanza ni un máximo ni un mı́nimo en el origen.
No cumple la condición necesaria de extremo relativo en el origen.
(c) Sea f : A ⊂ IRn 7→ IR una función de clase 1 y a un punto interior de A
Si f alcanza un extremo relativo en a, entonces ∇f (a) = 0.
Si ∇f (a) = 0 podemos asegurar que la función f alcanza un mı́nimo relativo en a si y sólo si
Hf (a) es definida positiva.
Es posible que A sea un conjunto compacto, f continua en A, y que f no alcance máximo en
A.
Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
(d) Sea f : A ⊂ IRn → IR una función definida en el conjunto abierto A.
Si f tiene todas las derivadas parciales en a ∈ A entonces es continua en a.
Si f es diferenciable en a ∈ A entonces existen las derivadas parciales de f en un entorno de
a y son continuas en a.
Si f es diferenciable en a ∈ A entonces existen todas las derivadas direccionales de f en a.
Si f es diferenciable en todo A, entonces D12 f = D21 f siempre que estas derivadas segundas
existan.
(e) Sea una función f : D ⊂ IR2 → IR tal que limx→0 f (x, mx) = 1, m ∈ IR
Es continua en el origen
Si f (0, 0) = 1, la función es continua en el origen
Puede ser diferenciable en el origen
Necesariamente limy→0 f (my, y) = 1, ∀m ∈ IR
(f)Sea la función f : A ⊂ IRn → IR, n > 1, n ∈ IN, y a un punto interior de A
El punto a viene determinado por un número natural
El punto a no viene determinado por un número real
Si la función f es continua en a, entonces existen las derivadas parciales de f en un entorno
de dicho punto y son continuas en a
Si la función f es diferenciable en a, entonces es de clase 1