β ym β - Instituto Tecnológico de Chihuahua

Transcripción

2.8.2 Solución de las Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homogéneas (coeficientes indeterminados, método de la superposición,
método de operador anulador)
128
2.8.2 Solución de las Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homogéneas (coeficientes
indeterminados, método de la superposición, método de operador anulador)
En esta sección encontraremos la solución de ecuaciones no homogéneas, de la forma
an
dn y
d n −1 y
dy
+
+ ... + a1
+ ao y = g ( x)
a
n −1
n
n −1
dx
dx
dx
(1)
Donde los coeficientes de y y todas su derivadas son constantes, ( ai : i = 0,1,..., n ).
g ( x) puede ser una función polinómica, una función exponencial, trigonométrica o
combinación de las mismas, tales como g ( x) = −5 , g ( x) = x 2 + 3 x − 2 , g ( x) = e x ,
g ( x) = sen ( x ) , g ( x) = sen( x) + cos( x) .
Aprenderemos diversos métodos para resolverlas, tales como, método de coeficientes
indeterminados, método de superposición, método del anulador
Método de Coeficientes Indeterminados
Este es un método que se limita a ecuaciones lineales no homogéneas
Habrá que tomar en cuenta que g ( x) , no puede ser funciones del tipo tangente, secante,
1
logarítmicas, o funciones inversas, como ln( x), , tan( x), arcsen( x), etc
x
Para resolver una ecuación lineal no homogénea de coeficientes constantes de la forma (1),
se debe realizar en dos etapas o fases, donde primero se resuelve para la ecuación
homogénea yc , después se debe encontrar cualquier solución particular y p (la aportación
que hace g ( x) ≠ 0 )
Este método se emplea bajo ciertas condiciones, los coeficientes de le ecuación diferencial
son constantes, g ( x) puede tener la forma de una constante, una función polinómica,
exponencial, trigonométrica o combinación de sumas y productos de dichas funciones,
como ya se indicó.
Podemos decir que es una combinación lineal de funciones de la forma
x m eα x cos β x y x m eα x sen β x
Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas
(2)
Amalia C. Aguirre Parres
129
La solución y p se propone con base a la siguiente tabla
g ( x)
Forma de y p
1
5x + 7
3x 2 − 2
x3 − x + 1
sen ( 4 x )
A
Ax + B
Ax 2 + Bx + C
Ax3 + Bx 2 + Cx + E
A cos ( 4 x ) + Bsen ( 4 x )
cos ( 4x )
A cos ( 4 x ) + Bsen ( 4 x )
e5x
(9 x − 2)e5 x
Ae x
( Ax + B)e x
x 2 e5x
( Ax 2 + Bx + C )e5 x
e −3 x sen ( 4 x )
Ae −3 x cos ( 4 x ) + Be −3 x sen ( 4 x )
5 x 2 sen ( 4 x )
( Ax 2 + Bx + C ) cos ( 4 x ) + ( Ex 2 + Fx + G ) sen ( 4 x )
xe3 x cos ( 4 x )
( Ax + B)e3 x c os ( 4 x ) + (Cx + E )e3 x sen ( 4 x )
Tabla 2.8.2.1 Tabla de soluciones propuestas
Dicho de otra manera, si g ( x) incluye la suma de términos de la forma p ( x)eα x , donde
p( x) es un polinomio de grado m , entonces la forma de y p debe incluir
x k  A0 + A1 x + " + Am x m  eα x donde k es la multiplicidad de α como una raíz del
polinomio característico ar 2 + br + c .
Si g ( x) incluye una suma de términos de la forma p ( x)eα x cos β x + q ( x )eα x sen β x, donde
p( x) es un polinomio de grado m y q( x) es un polinomio de grado n
Se sustituye la expresión para y p en la ecuación diferencial ay ll + by l + cy = f para
determinar los coeficientes desconocidos Ai , Bi .
La solución general es y = yc + y p
(3)
130
Se aplica a cualquier condición inicial a yc + y p con el fin de determinar las constantes
arbitrarias.
El principio de Superposición
El principio de superposición para ecuaciones diferenciales dice que si y p es una solución
particular de ay´´+by´+ cy = f1 , entonces
y p1 + y p 2 es una solución particular de ay´´+by´+ cy = f1 + f 2 .
Intuitivamente, el principio de superposición significa que la respuesta (salida) que se
obtiene de la suma (superposición) de dos términos de forzamiento (entradas) es la suma de
las respuestas de cada término. En las aplicaciones, saber si el dispositivo o problema físico
actúa de esta manera es un factor clave para saber si se pueden usar ecuaciones lineales
para analizar el problema.
El principio de superposición, permite que se use el método de coeficientes indeterminados
en muchos tipos de funciones adicionales de g ( x) .
La siguiente sección de ejemplos nos muestra como se determina y p
Ejemplo 2.8.2.1 Siendo g ( x ) = 3 x determinar la solución propuesta
Es una ecuación lineal, por lo tanto la solución propuesta es la ecuación general
(completa) de una función de primer orden
y p = Ax + B
(4)
Ejemplo 2.8.2.2 Siendo g ( x ) = 3 x 2 + 3 determinar la solución propuesta
Es una ecuación de segundo orden, por lo tanto la solución propuesta es la ecuación
general (completa) de una función de segundo orden
y p = Ax 2 + Bx + C
(5)
131
Ejemplo 2.8.2.3 Siendo g ( x ) = −5 x 2 + xe x determinar la solución propuesta
Aquí tenemos una suma de funciones, por lo que la solución está compuesta por dos
soluciones, una generada por la función cuadrática y la otras por la el producto de la
función lineal y la exponencial
y p = Ax 2 + Bx + C + ( Ex + F )e x
(6)
Por comodidad no se utiliza la constante D para evitar confusiones con la derivada.
Ejemplo 2.8.2.4 Siendo g ( x ) = ( 3x 3 + 3) sen(3x) determinar la solución propuesta
Nos genera como solución una función de senos y cosenos que es multiplicada por la forma
general de una ecuación cúbica, cada una con sus propios coeficientes constantes como es
y p = ( Ax 3 + Bx 2 + Cx + E ) cos ( 3 x ) + ( Fx3 + Gx 2 + Hx + I ) sen ( 3 x )
(7)
Ejemplo 2.8.2.5 Siendo g ( x ) = 5 x cos( x) + sen(2 x) determinar la solución propuesta
Como los ángulos de las funciones trigonométricas son diferentes, entonces debemos
agrega funciones de senos y cosenos de diferentes ángulos, de tal manera que
y p = ( Ax + B ) cos ( x ) + ( Cx + E ) sen ( x ) + F cos(2 x) + Gsen ( 2 x )
(8)
Nota: Si acaso en la solución propuesta, existiera algún término obtenido de la solución
complementaria, entonces se aplica un factor de multiplicidad, x
Determinación de soluciones propuestas y p de ecuaciones diferenciales con factores
de repetición
Ejemplo 2.8.2.6 Siendo y´´− y = x + 3e x determinar la solución y p
Como g ( x) = x + 3e x nuestra solución propuesta inicialmente sería y p = y p1 + y p2 donde
132
y p1 = Ax + B y
y p2 = Ce x , por lo que
y p = ( Ax + B) + Ce x
(9)
Aplicando superposición, ya que g ( x) es la suma de dos funciones, proponemos una
solución para cada sumando, una ecuación lineal y una exponencial. Tema que trataremos
con mayor amplitud, más adelante.
Pero al observar el lado izquierdo del igual de la ecuación diferencial vemos que la
ecuación auxiliar sería m 2 − 1 = 0 , o bien m = ±1 y nuestra solución complementaria
yc = c1e x + c2 e − x
(10)
De tal manera que la solución propuesta no puede ser y p2 = Ce x , pues esa solución ya está
contenida en la solución complementaria (10), por lo que debemos de proponer otra tal
como y p2 = Cxe x , y si se diera el caso que ya existiera , la solución propuesta entonces se
vuelve a multiplicar por x . Como se muestra en el siguiente ejemplo.
Por lo tanto la solución propuesta final sería y p = ( Ax + B) + Cxe x , en vez de (9)
Ejemplo 2.8.2.7 Siendo y´´−2 y´+ y = e x encontrar la solución propuesta y p
Como g ( x) = e x nuestra solución propuesta sería
y p = Ae x
(11)
Pero al observar el lado izquierdo del igual de la ecuación diferencial vemos que la
ecuación auxiliar sería m 2 − 2m + 1 = 0 , o bien m1 = 1 , m2 = 1 , raíces reales repetidas, por
lo que nuestra solución complementaria sería
yc = c1e x + c2 xe x
(12)
Observe que existe el factor de multiplicidad x en la solución, de tal manera que la
solución propuesta no puede ser (11), pues esa solución ya está contenida en la solución
133
complementaria (12), por lo que debemos de proponer otra solución tal como y p = Axe x ,
pero se da el caso que ya existe también en (12), entonces la solución propuesta se vuelve a
multiplicar por x , dando como resultado
y p = Ax 2 e x
(13)
Solución mediante coeficientes indeterminados
Ejemplo 2.8.2.8 Resolver
y´´+4 y´−2 y = 2 x 2 − 3 x + 6
la
siguiente
ecuación
diferencial
no
homogénea
Primer paso, se resuelve la ecuación como si fuera homogénea y´´+4 y´−2 y = 0
De tal manera que la ecuación característica sería m 2 + 4m − 2 = 0 , sus raíces son
m1,2 =
−4 ± 16 + 8
, m1,2 = −2 ± 6 , por lo tanto la solución complementaria sería
2
yc = c1e
( −2+ 6 ) x
+ c2 e
( −2− 6 ) x
(14)
Segundo paso, como g ( x) = 2 x 2 − 3x + 6 , proponemos
y p = Ax 2 + Bx + C
(15)
Es decir la ecuación general de segundo orden , por lo que nos resta encontrar esos
coeficientes A, B, C , o sea coeficientes indeterminados.
Por lo que siendo
y p = Ax 2 + Bx + C
(16)
La primera derivada y p ´= 2 Ax + B
(17)
La segunda derivada y p ´´= 2 A
(18)
134
Sustituyendo en la ecuación diferencial (16), (17) y (18) se obtiene
2 A ) + 4 ( 2 Ax + B ) − 2 ( Ax 2 + Bx + C ) = 2 x 2 − 3 x + 6
(N
y p ´´
yp ´
(19)
yp
Desarrollando
2 A + 8 Ax + 4 B − 2 Ax 2 − 2 Bx − 2C = 2 x 2 − 3 x + 6
(20)
Agrupando basado en las potencias de x , y asociando coeficientes de ambos lados del igual
−2 Ax 2 + ( 8 A − 2 B ) x + ( 2 A + 4 B − 2C ) = 2 x 2 − 3 x + 6
(21)
Nos quedan las siguientes ecuaciones
−2 A = 2
(22)
8 A − 2 B = −3
(23)
2 A + 4 B − 2C = 6
(24)
Por lo tanto A = −1 , si sustituimos el valor de A en (23), tenemos 8 ( −1) − 2 B = −3 , por lo
5
 5
que B = − , sustituyendo A y B en (24), obtenemos 2 ( −1) + 4  −  − 2C = 6 , por lo que
2
 2
C = −9
Sustituyendo en la solución propuesta resulta (15), tenemos
y p = − x2 −
5
x−9
2
(25)
Y nuestra solución general (3), y = yc + y p sería la suma de (14) y (25)
y = c1e
( −2+ 6 ) x
+ c2 e
( −2− 6 ) x
− x2 −
5
x−9
2
Donde los valores de las constantes se determinan si nos dieran las condiciones iniciales.
135
Ejemplo 2.8.2.9 Encontrar la solución de y ''− y '+ y = 2 sen ( 3 x )
La ecuación auxiliar m 2 − m + 1 = 0 , sus raíces m1,2 =
+1 ± 1 − 4(1)(1)
1
3
, m1,2 = ±
i
2
2 2
Por lo tanto la solución complementaria es
yc = e
1
x
2

 3 
 3 
x  + c2 sen 
x  
 c1 cos 
 2 
 2  

(26)
Siendo g ( x) = 2 sen ( 3 x ) , entonces la solución propuesta sería
y p = A cos ( 3 x ) + Bsen ( 3 x )
(27)
Obteniendo la primera y segunda derivada
y p ´= −3 Asen ( 3 x ) + 3B cos ( 3 x )
(28)
y p ´´= −9 Asen ( 3 x ) − 9 B cos ( 3 x )
(29)
Sustituyendo (27), (28) y (29) en la ecuación diferencial, obtenemos
 −9 A cos ( 3 x ) − 9 Bsen ( 3 x )  −  −3 Asen ( 3 x ) + 3B cos ( 3 x )  +  A cos ( 3 x ) + Bsen ( 3 x ) 
y p ´´
yp ´
yp
= 2 sen ( 3 x )
Desarrollando
−9 A cos ( 3 x ) − 9 Bsen ( 3 x ) + 3 Asen ( 3 x ) − 3B cos ( 3 x ) + A cos ( 3 x ) + Bsen ( 3 x ) = 2 sen ( 3 x )
Agrupamos (−9 A − 3B + A) cos ( 3 x ) + (−9 B + 3 A + B) sen ( 3 x ) = 2 sen ( 3 x )
Simplificando
136
(−8 A − 3B) cos ( 3 x ) + (−8 B + 3 A) sen ( 3 x ) = 2 sen ( 3 x )
(30)
Asociando coeficientes de ambos lados del igual, obtenemos las siguientes ecuaciones
−8 A − 3 B = 0
(31)
3 A − 8B = 2
(32)
Resolviéndolas simultáneamente (31) y (32) obtenemos
−24 A − 9 B = 0
24 A − 64 B = 16 ,
o bien
− 73B = 16
B=−
16
,
73
(33)
Sustituyendo (33) en alguna de las dos ecuaciones (31) o (32), por ejemplo
6
 16 
−8 A − 3  −  = 0 , de lo cual A =
,
73
 73 
Por lo que la solución propuesta sería
yp =
6
16
cos 3x − sen3 x
73
73
(34)
Por lo tanto la solución general sería la suma de (26) y (34)
1
x
y = e 2 (c1 cos
3
3
6
16
x + c2 sen
x) + cos 3 x − sen3 x
2
2
73
73
Coeficientes Indeterminados y Superposición
Cuando tenemos que g ( x ) es una combinación lineal de funciones, es decir, suma y/o
productos defunciones algebraicas, trigonométricas y logarítmicas, debemos de aplicar el
principio de superposición en la solución propuesta, es decir, proponer funciones de
acuerdo al tipo de la combinación de funciones que exista en g ( x )
137
Ejemplo 2.8.2.10 Resolver la ecuación diferencial y´´−2 y '− 3 y = 4 x − 5 + 6 xe 2 x
La ecuación auxiliar sería, m 2 − 2m − 3 = 0 , si factorizamos ( m − 3)( m + 1) = 0 , sus raíces
m1 = 3 m2 = −1 , la solución complementaria quedaría como
yc = c1e3 x + c2 e − x
(35)
Teniendo g ( x) = 4 x − 5 + 6 xe 2 x , nuestra solución propuesta
y p sería y p = y p1 + y p2 , o sea
y p1 = ( Ax + B) y y p2 = (Cx + E )e 2 x
(36)
De tal manera que la solución propuesta final sería la suma de ellas
y p = ( Ax + B ) + (Cx + E )e 2 x
(37)
Obteniendo la primera y segunda derivada de la solución propuesta
y p ´= A + (Cx + E )(2e 2 x ) + Ce 2 x , o bien
y p ´= A + 2Cxe 2 x + (2 E + C )e 2 x
(38)
y p ´´= 2C ( 2 xe 2 x + e 2 x ) + 2 ( C + 2 E ) e 2 x o bien
y p ´´= 4Cxe 2 x + (4C + 4 E )e 2 x
(39)
Sustituyendo en la ecuación diferencial
4Cxe 2 x + ( 4C + 4 E ) e 2 x − 2  A + 2Cxe 2 x + ( C + 2 E ) e2 x  − 3 ( Ax + B ) + ( Cx + E ) e 2 x 
y p ´´
yp´
yp
= 4 x + 5 + 6 xe 2 x
138
Desarrollando
4Cxe 2 x + 4Ce 2 x + 4 Ee 2 x − 2 A − 4Cxe2 x − 2Ce 2 x − 4 Ee2 x − 3 Ax − 3B − 3Cxe2 x − 3Ee2 x
= 4 x + 5 + 6 xe 2 x
Agrupando
−3 Ax + ( −2 A − 3B ) + ( 2C − 3E ) e 2 x − 3Cxe 2 x + = 4 x + 5 + 6e2 x
Obteniendo las siguientes ecuaciones asociando términos de iguales potencias
−3 A = 4
(40)
−2 A − 3 B = 5
(41)
2C − 3E = 0
(42)
−3C = 6
(43)
4
 4
, sustituyendo el valor de A en (41), obtenemos −2  −  − 3B = 5 por
3
 3
8
7
lo tanto −3B = 5 − , quedando B = − , de la ecuación (43) tenemos que C = −2 , y
3
9
4
sustituyendo C en (42), 2 ( −2 ) − 3E = 0 , nos queda E = −
3
De (40) A = −
Por lo tanto
23  
4
 4
y p =  − x +  +  −2 x −  e 2 x
9  
3
 3
(44)
Y nuestra solución general
y = c1e3 x + c2 e − x −
4
23 
4
+  −2 x −  e 2 x
x+
3
9 
3
(45)
En el siguiente ejemplo se proponen dos y p pues se aplica la regla de multiplicidad
Ejemplo 2.8.2.11 Resolver la ecuación diferencial y ''− 6 y '+ 9 y = 6 x 2 + 2 − 12e3 x
139
+6 ± 36 − 4(1)(9)
, o bien
2
= 3 , raíces reales repetidas, por lo tanto la solución complementaria es
La ecuación auxiliar sería m 2 − 6m + 9 = 0 , sus raíces m1,2 =
m1,2
yc = c1e3 x + c2 xe3 x
(46)
La solución propuesta y p = y p1 + y p2 sugerida por la tabla
y p1 = Ax 2 + Bx + C
(47)
y p2 = Ee3 x
(48)
Utilizando la regla de multiplicidad, ya que existe en (48) la segunda solución propuesta en
la solución complementaria (46).
La solución propuesta seria y p1 = Ax 2 + Bx + C y y p2 = Exe3 x , o sea finalmente
y p = Ax 2 + Bx + C + Ex 2 e3 x
(49)
La primera derivada y p ´= 2 Ax + B + E ( 3 x 2 e3 x + 2 xe3 x ) , Simplificando
y p ´= 2 Ax + B + 2 Exe3 x + 3Ex 2 e3 x
(50)
La segunda derivada y p ´´= 2 A + 2 E ( 3 xe3 x + e3 x ) + 3E ( 3 x 2 e3 x + 2 xe3 x ) , simplificando
y p ´´= 2 A + 2 Ee3 x + 12 Exe3 x + 9 Ex 2 e3 x
(51)
Sustituyendo en la ecuación diferencial (49), (50) y (51) tenemos
( 2 A + 2 Ee + 12 Exe + 9Ex e ) − 6 ( 2 Ax + B + 2Exe
+9 ( Ax + Bx + C + Ex e ) = 6 x + 2 − 12e
3x
2
3x
2 3x
2 3x
2
3x
+ 3Ex 2 e3x )
3x
Desarrollando
140
2 A + 2 Ee3 x + 12 Exe3 x + 9 Ex 2 e3 x − 12 Ax − 6 B − 12 Exe3 x − 18 Ex 2 e3x
+9 Ax 2 + 9 Bx + 9C + 9 Ex 2 e3 x = 6 x 2 + 2 − 12e3 x
Simplificando y agrupando términos comunes
( 9 A) x 2 + ( −12 A + 9 B ) x + ( 2 A − 6 B + 9C ) + ( 6 E ) e3 x
= 6 x 2 + 2 − 12e3x
(52)
De aquí obtenemos las ecuaciones y los valores de las constantes
9A = 6 ,
−12 A + 9 B = 0 ,
Donde finalmente A =
2
,
3
B=
2 A − 6 B + 9C = 2 ,
8
,
9
C=
2
y
3
2 E = −12
E = −6
La solución general sería y = c1e3 x + c2 xe3 x + Ax 2 + Bx + C + Ex 2 e3x , por lo que
y = c1e3 x + c2 xe3 x +
2 2 8
2
x + x + − 6 x 2 e3x
3
9
3
Ejemplo 2.8.2.12
Continuando con la solución del
x
y´´−2 y´+ y = e encontrar la solución general de la ecuación.
(53)
ejemplo 2.8.2.7, siendo
La aportación de la ecuación homogénea y´´−2 y´+ y = 0 sería
La ecuación auxiliar m 2 − 2m + 1 = 0 , o bien m1 = 1 , m2 = 1 , raíces reales repetidas, por lo
que nuestra solución complementaria
multiplicidad x .
yc = c1e x + c2 xe x observe que existe el factor de
Como g ( x) = e x nuestra solución propuesta sería y p = Ae x pero al observar la solución
complementaria, vemos que esta solución ya está contenida en ella, de tal manera que la
solución propuesta no puede ser Ae x , por lo que debemos de proponer otra tal como Axe x ,
pero se da el caso que existe también , entonces la solución propuesta se vuelve a
multiplicar por x , dando como resultado Ax 2 e x .
De tal manera que finalmente
141
y p = Ax 2 e x
(54)
Obteniendo la primera y segunda derivada
y´ p = Ax 2 e x + 2 Axe x
(55)
y´´ p = Ax 2 e x + 2 Axe x + 2 Axe x + 2 Ae x , resultando al simplificar
y´´ p = Ax 2 e x + 4 Axe x + 2 Ae x
(56)
Sustituyendo en la ecuación diferencial
( Ax e
2 x
+ 4 Axe x + 2 Ae x ) − 2 ( Ax 2 e x + 2 Axe x ) + Ax 2 e x = e x , reacomodando
Ax 2 e x + 4 Axe x + 2 Ae x − 2 Ax 2 e x − 4 Axe x + Ax 2 e x = e x , simplificando queda 2 Ae x = e x , de
1
lo cual resulta que A = por lo tanto
2
yp =
1 2 x
x e
2
(57)
Y la solución general y = yc + y p queda como
y = c1e x + c2 xe x +
1 2 x
x e
2
(58)
Método de coeficientes indeterminados usando anuladores
El método de coeficientes indeterminados funciona si se tiene una ecuación diferencial
lineal con coeficientes constantes y la función g ( x) es del tipo adecuado, es decir del tipo
algebraico, trigonométrico, exponencial, es decir las mismas condiciones que en el método
de superposición.
La expresión
dn y
d n −1 y
dy
L( y ) = an n + an −1 n −1 + " + a1
+ a0 y
dx
dx
dx
(59)
142
Se conoce como operador diferencial lineal de orden n .
Dada una función y , L( y ) es otra función. Así como utilizamos la letra L como operador
podríamos utilizar la letra D , que representa de igual manera un operador diferencial.
Muy frecuentemente utilizamos dos ejemplos de operadores, los cuales son la derivación y
antiderivación.
Si L es un operador diferencial con coeficientes constantes y f
es una función
diferenciable, de tal manera que aplicando el operador a la función resulta L  f ( x )  = 0 , se
dice que L es un anulador de la función.
Teniendo ( D 2 + 5D + 6) y
(60)
Podemos interpretar que el primer factor de (60), representa una función aplicada a y , es
decir: la segunda derivada de y + cinco veces la primera derivada de y + seis veces y
Pero el primer término de (60), lo podemos factorizar ya que es un polinomio de orden 2
quedando
( D 2 + 5 D + 6) y = ( D + 3)( D + 2 ) y
O sea dos factores aplicados a y , los cuales pueden ser conmutativos.
Teniendo
y´´+6 y´+9 y = 0
(61)
Podemos encontrar su ecuación característica
m 2 + 6m + 9 = 0
(62)
Donde m 2 representa la segunda derivada de y , como en (61) o bien
(D
2
+ 6 D + 9 ) y = 0 , donde D 2 representa la segunda derivada aplicada a y .
143
Podemos escribir ( D + 3) ( D + 3) y = 0 o bien ( D + 3) y = 0 .
2
Utilizando el operador diferencial
Ejemplo 2.8.2.13 Si L( y ) = xy´´+ y , calcule L s e n ( x ) 
Solo sustituimos el valor de y por el valor que nos proporcionan
L  sen ( x )  = x  sen ( x ) ´´+ sen ( x )
L( sen ( x )) = − xsen ( x ) + sen ( x )
Ejemplo 2.8.2.14 Suponga que L = x 2
Haciendo y = x 4 , entonces
L ( x4 ) = x2
d2 y
dy
+ x + x 3 , calcule L( x 4 )
2
dx
dx
 d2

d
L ( x 4 ) =  x 2 2 + x + x3  x 4
dx
 dx

d 2 x4
dx 4
+
x
+ x3 x 4
dx
dx 2
L ( x 4 ) = x 2 12 x 2 + x 4 x 3 + x3 x 4 = 16 x 4 + x 7
En coeficientes indeterminados, por el método del anulador utilizamos operadores que
anulen la función g ( x) [15]
Cuyos esquemas son los siguientes
Dn
(63)
Anula funciones de la forma 1, x, x 2 ,..., x n −1
( D − α )n
(64)
144
Anula funciones de la forma eα x , xeα x , x 2 eα x ,..., x n −1eα x
 D 2 − 2α D + (α 2 + β 2 ) 
n
(65)
Anula funciones de la forma eα x cos β x , xeα x cos β x , x 2 eα x cos β x , x n −1eα x cos β x y
eα x sen β x , xeα x sen β x , x 2 eα x sen β x , x n −1eα x sen β x
Resolviendo ecuaciones diferenciales mediante el operador anulador
Teniendo una ecuación diferencial como (1) donde por comodidad manejamos el operador
diferencial L( y ) , haciendo todo el lado izquierdo igual a L( y ) , como en (59), de tal
manera que la ecuación diferencial L( y ) = g ( x) , tiene coeficientes constantes y la función
g ( x) consta de
sumas y productos finitos constantes, polinomios, funciones
exponenciales, senos y cosenos.
1. Se determina la solución complementaria yc de la ecuación homogénea L( y ) = 0
2. Ambos lados de la ecuación no homogénea L( y ) = g ( x) se someten a la acción de un
operador diferencial L que anule la función g ( x)
3. Se determina la solución general de la ecuación diferencial homogénea de orden
superior L( y ) = 0
4. De la solución obtenida en el paso anterior se eliminan todos los términos duplicados en
la solución complementaria yc que se determinó en el paso 1. Se forma una
combinación lineal y p con los términos restantes. Esta será la forma de una solución
particular L( y ) = g ( x) )
5. Se sustituye y p que se determinó en el paso 4 en L( y ) = g ( x) , se igualan los
coeficientes de las diversas funciones a cada lado de la igualdad y se despejan los
coeficientes desconocidos en y p , del sistema de ecuaciones resultante.
6. Con la solución particular que se determinó en el paso 5 , se forma la solución general.
y = yc + y p , de la ecuación diferencial dada.
145
Haremos mención nuevamente que este método no es aplicable a ecuaciones lineales con
coeficiente variables, ni a aquellas donde, sea funciones como Ln( x ) ,
1 , tan( x) , arcsen( x)
x
Aplicando el operador anulador a funciones
Ejemplo 2.8.2.15 Siendo f ( x) = k , determinar el operador que lo anule
Tenemos que D ( k ) = 0
Aplicando el operador de la derivada D , a k vemos que su resultado es cero, o sea una
función constante se anula con la primera derivada.
Ejemplo 2.8.2.16 Siendo f ( x) = kx , determinar el operador que lo anule
Tenemos que D 2 ( kx ) = 0
Aplicando dos veces la derivada a una función lineal esta se anula porque
D  D ( kx )  = D ( k ) = 0
Ejemplo 2.8.2.17 Siendo f ( x) = kx 2 , determinar el operador que lo anule
Tenemos que D 3 ( kx 2 ) = 0
Aplicando tres veces la derivada a una función lineal esta se anula porque
{
}
D D  D ( kx 2 )  = D  D ( 2kx )  = D ( 2k ) = 0
Ejemplo 2.8.2.18 Teniendo x3 + 5 x 2 − 3 x − 1 , Determinar un operador lineal que anule la
función.
146
El orden de la función algebraica es n − 1 = 3 , (por conveniencia determinamos que el
orden de la función sea n − 1 ), de tal manera que n = 4 , por lo que el operador que anula
la función basado en (63), sería D n = D 4 , o sea
D 4 ( x 3 + 5 x 2 − 3x − 1) = 0
Una cuarta derivada aplicada a la función la hace cero.
Corroborando lo anterior
La primera derivada de la función D ( x 3 + 5 x 2 − 3x − 1) = 3 x 2 + 10 x − 3
La segunda derivada de la función D ( 3x 2 + 10 x − 3) = 6 x + 10
La tercera derivada de la función D ( 6 x + 10 ) = 6
La cuarta derivada de la función D ( 6 ) = 0
Lo cual queda comprobado para una función algebraica de orden n − 1 = 3
Ejemplo 2.8.2.19
Teniendo e5 x determinar un operador lineal que anule la función..
En una función exponencial (según (64)), sabemos que el operador ( D − α ) anularía la
n
función, no tenemos términos algebraicos de tal manera que n − 1 = 0 , o sea n = 1 , α = 5 ,
1
es decir ( D − (5) ) = D − 5 , o bien
( D − 5 ) ( e5 x ) = 0
(66)
O sea, la derivada de la función - 5 veces la función=0, o sea se anula.
Comprobando en (66) tenemos ( D − 5)( e5 x ) = D( e5 x ) − 5e5 x = 5e5 x − 5e5 x = 0
Ejemplo 2.8.2.20 Teniendo 4e3 x + 5 xe3 x , determinar un operador lineal que anule la
función..
147
En funciones de este tipo podemos factorizar, ( 4 + 5 x ) e3 x , de tal manera que tenemos una
función algebraica de orden n − 1 = 1 , o sea n = 2 , y el exponente de la función
exponencial es α = 3 , de tal manera que según (64), ( D − 3) anularía la suma de esas
2
funciones.
O sea
( D − 3)
2
( 4e
3x
+ 5 xe3 x ) = 0
Desarrollando el cuadrado del binomio ( D − 3) , o sea
2
(D
2
− 6 D + 9 )( 4e3 x + 5 xe3 x ) = 0
(67)
Lo cual significa que aplicaríamos sobre la función
la segunda derivada de la función - seis veces la primera derivada de la función + nueve
veces la función misma.
Comprobación
La primera derivada D ( 4e3 x + 5 xe3 x ) = 12e3 x + 15 xe3 x + 5e3 x
La segunda derivada D (17e3 x + 15 xe3 x ) = 66e3 x + 45 xe3 x
De tal manera que sustituyendo en (67)
66e + 45 xe ) − 6 (17e + 15 xe ) + 9 ( 4e + 5 xe ) = 0
(
3x
3x
D2 y
3x
3x
Dy
3x
3x
y
Simplificando 66e3 x + 45 xe3 x − 102e3 x − 90 xe3 x + 36e3 x + 45 xe3 x = 0 , o sea
0 = 0 , lo cual queda demostrado.
Ejemplo 2.8.2.21 Teniendo 6e x cos ( 3 x ) − 8e x sen ( 3 x ) , determinar un operador lineal que
anule la función..
148
Para anular esta función podemos observar que los argumentos de las funciones
trigonométricas son los mismos, de tal manera que el operador anulador de acuerdo (65),
sería  D 2 − 2α D + (α 2 + β 2 )  , donde α = 1 , β =3 y n − 1 = 0 , entonces n = 1 , dado que
no tenemos factor algebraico, por lo tanto
n
 D 2 − 2 D + (1 + 9 )  6e x cos ( 3 x ) − 8e x sen ( 3 x ) = 0
1
(68)
Sería quien anule la función.
La primera derivada de la función es
{
}
D 6 cos ( 3x ) − 8sen ( 3x )  e x = 6 cos ( 3x ) − 8sen ( 3x )  e x +  −18sen ( 3 x ) − 24 cos ( 3 x )  e x
{
}
Simplificando D 6 cos ( 3x ) − 8sen ( 3x )  e x =  −18cos ( 3x ) − 26 sen ( 3 x )  e x
La segunda derivada D ( −18cos ( 3x ) − 26 sen ( 3x ) ) e x =  −18cos ( 3 x ) − 26 sen ( 3 x )  e x
+ 54sen ( 3x ) − 78cos ( 3x )  e x
Simplificando D  −18cos ( 3x ) − 26sen ( 3 x )  e x =  −96 cos ( 3 x ) + 28sen ( 3x )  e x
Comprobación
Sustituyendo en  D 2 − 2 D + 10  6e x cos ( 3x ) − 8e x sen ( 3x )  = 0
{−96 cos ( 3x ) + 28sen ( 3x ) e } − 2{−18cos ( 3x ) − 26sen ( 3x ) e }
x
x
+10 6e x cos ( 3x ) − 8e x sen ( 3 x )  = 0
Simplificando
−96e x cos ( 3 x ) + 28e x sen ( 3x ) + 36e x cos ( 3x )
+52e x sen ( 3x ) + 60e x cos ( 3x ) − 80e x sen ( 3 x ) = 0
149
Por lo tanto 0 = 0 , lo cual se comprueba.
Siendo L un operador lineal tal que L( y1 ) = 0 y L( y2 ) = 0 , si tuviéramos el caso de una
combinación o suma de funciones k1 y1 ( x) + k2 y2 ( x) , entonces el producto de los
operadores lineales L( y1 )L( y2 ) , anularía la suma de funciones, para cualquier operador
diferente de cero. No importa el orden de los operadores, L1 L2 = L2 L1 , ya que tienen la
propiedad de linealidad, la cual conservan al multiplicarse.
Por ejemplo, para anular 3x , tenemos D 2
Para anular sen(3 x) tenemos
(
)
 D 2 − 2 ( 0 ) D + ( 0 )2 + ( 3)2 


1
( D + 9) ,
= ( D + 9)
2
ya que
α = 0 , β = 3 , y n = 1 , por lo que
2
Para 3x + sen(3x) , la anularíamos con ( D 2 + 9 ) D 2 o D 2 ( D 2 + 9 ) , o bien
(D
4
+ 9 D 2 ) [3 x + sen(3x)] = 0
(69)
Es decir la cuarta derivada de la función + nueve veces la segunda derivada de la función,
nos daría como resultado la anulación de la función 3 x + sen(3 x)
Comprobación
Obteniendo la primera derivada D [3 x + sen(3 x) ] = 3 + 3cos(3 x)
Segunda derivada de la función D [3 + 3cos(3x) ] = −9 sen(3 x)
Tercera derivada de la función D [ −9sen(3 x) ] = −27 cos(3 x)
Cuarta derivada de la función D [ −27 cos(3 x) ] = 81sen(3 x)
De tal manera que sustituyendo en (69), la cuarta derivada mas nueve veces la segunda
Tenemos 81 sen(3 x) + 9 ( −9 sen(3 x) ) = 0 , lo cual se cumple
150
Suponiendo que L( y ) = g ( x) es una ecuación diferencial lineal, con coeficientes
constantes, y que la entrada g ( x) consta se sumas y productos de funciones algebraicas,
trigonométricas, exponenciales, excepto las ya mencionadas como son las logarítmicas,
inversas, tangenciales. Entonces podemos anular g ( x ) con un operador diferencial
L1 como los mostrados anteriormente, de tal manera que si aplicamos ese operador a ambos
lados del igual de una ecuación diferencial, podríamos hacer L1 L( y ) = L1 [ g ( x) ] = 0 , ya que
el lado derecho del igual se anularía.
Es como si estuviéramos resolviendo una ecuación Diferencial Lineal Homogénea de orden
superior, de tal manera que así determinaríamos la solución particular o propuesta y p de la
ecuación no homogénea
Ejemplo 2.8.2.22 Resolver la ecuación y´´+3 y´+2 y = 4 x 2
Se resuelve la ecuación como si fuera homogénea
y´´+3 y´+2 y = 0 , la ecuación auxiliar es m 2 + 3m + 2 = 0 , con raíces m1 = −2 , m2 = −1 , de
tal manera que la solución complementaría sería
yc = c1e − x + c2 e −2 x
(70)
El operador lineal que anula g ( x) = x 4 sería D 3 , ya que n − 1 = 2 o sea n = 3
La ecuación característica m 2 + 3m + 2 , la podemos reescribir como D 2 + 3D + 2 , o bien
factorizada ( D + 2 ) ( D + 1)
De tal manera que retomando la ecuación diferencial podemos suponer
D 3 ( D + 2 )( D + 1) = D 3 g ( x) , o bien D 3 ( D + 2 )( D + 1) = 0 ,pues el lado derecho del igual
se anula. Quedando una ecuación quinto orden , siendo las raíces D1 = −2 , D2 = −1 ,
D3,4,5 = 0
151
De tal manera que la solución general sería
y = c1e −2 x + c2 e− x + c3 + c4 x + c5 x 2
(71)
Donde podemos identificar los primeros dos términos de (71) como la solución
complementaria , y los últimos tres términos como la solución particular o propuesta.
yc = c1e −2 x + c2 e− x
(72)
y p = c3 + c4 x + c5 x 2
(73)
Si cambiamos los nombres de las constantes de (73), nos quedaría como C + Bx + Ax 2 , o
bien Ax 2 + Bx + C , que no es otra cosa que la forma general de una ecuación de segundo
orden, que sería nuestra solución propuesta del método anterior ya que g ( x) = 4 x 2 , ahora
nos queda determinar el valor de esas constantes, y usaremos el método de coeficientes
indeterminados.
Haciendo
y p = Ax 2 + Bx + C
(74)
Calculando la primer y segunda derivada tenemos
y p ´= 2 Ax + B y y p ´´= 2 A
(75)
Sustituyendo (74) y (75) en la ecuación diferencial y´´+3 y´+2 y = 4 x 2
Obtenemos ( 2 A ) + 3 ( 2 Ax + B ) + 2 ( Ax 2 + Bx + C ) = 4 x 2
Simplificando 2 Ax 2 + ( 6 A + 2 B ) x + ( 2 A + 3B + 2C ) = 4 x 2
Asociando términos del lado izquierdo del igual con el lado derecho, obtenemos
2A = 4 ,
6 A + 2B = 0
2 A + 3B + 2C = 0
Por lo que A = 2 , B = −6 y C = 7 , de tal manera que y p = 2 x 2 − 6 x + 7
152
La solución quedaría como y = c1e −2 x + c2 e− x + 7 − 6 x + 2 x 2
y = c1e −2 x + c2 e− x + 7 − 6 x + 2 x 2
(76)
Ejemplo 2.8.2.23 Resolver y´´−3 y´= 8e3 x + 4 sen ( x )
La ecuación característica utilizando D , en el lugar de m , obtenemos D 2 − 3D = 0 o bien
D ( D − 3) = 0 La solución complementaría sería yc = c1 + c2 e3 x
El operador diferencial para eliminar g ( x) = 8e3 x + 4 sen ( x ) sería ( D − 3) ( D 2 + 1)
Ya que para eliminar 8e3 x , utilizaríamos ( D − α ) = D − 3 , pues α = 3 ,
Para eliminar 4sen ( x ) , n = 1 α = 0 , β = 1
Utilizamos  D 2 − 2 ( 0 ) D +

( (0)
2
)
1
2
+ (1)  = D 2 + 1

Aplicando el operador diferencial a ambos lados del igual obtenemos
( D − 3) ( D 2 + 1)  D ( D − 3) = ( D − 3) ( D 2 + 1) 8e3 x + 4sen ( x )  = 0
Observe que al aplicar en el lado derecho del igual el operador, éste anula la función g ( x)
( D − 3) ( D 2 + 1)  D ( D − 3)  = 0
De tal manera que la solución general sería
y = c1 + c2 e3 x + c2 xe3 x + c4 cos( x) + c5 sen( x)
(77)
Observar que se repite un factor, por lo tanto se debe aplicar el factor de multiplicación en
la solución.
Podemos identificar nuestra solución particular como
153
y p = c2 xe3 x + c4 cos( x) + c5 sen( x) , o por comodidad y p = Axe3 x + B cos( x) + Csen( x)
Derivando y p ´= 3 Axe3 x + Ae3 x − Bsen( x) + C cos( x)
Derivando nuevamente y p ´´= 9 Axe3 x + 3 Ae3 x + 3 Ae3 x − B cos( x) − Csen( x)
Simplificando y p ´´= 9 Axe3 x + 6 Ae3 x − B cos( x) − Csen( x)
Sustituyendo la solución propuesta y sus derivadas en la ecuación y´´−3 y´= 8e3 x + 4 sen ( x )
9 Axe3 x + 6 Ae3 x − B cos( x) − Csen( x) − 3 3 Axe3 x + Ae3 x − Bsen( x) + C cos( x) 
= 8e3 x + 4sen ( x )
Simplificando y Agrupando 3 Ae3 x + (− B − 3C ) cos( x) + (3B − C ) sen( x) = 8e3 x + 4 sen ( x )
Asociando coeficientes obtenemos 3 A = 8 , − B − 3C = 0 , 3B − C = 4 , resolviendo
−3B − 9C = 0
2
6
3B − C = 4 , por lo que C = − , de tal manera que B = −3C por lo tanto B = , y
5
5
− 10C = 4
8
A=
3
De (77) tenemos y = c1 + c2 e3 x + Axe3 x + B cos( x) + Csen( x) , sustituimos las constantes
Entonces la solución es
8
6
2
y = c1 + c2 e3 x + xe3 x + cos( x) − sen( x)
3
5
5
(78)
Ejemplo 2.8.2.24 Resolver y´´+ y = x cos( x) − cos( x)
154
La ecuación característica utilizando D , en el lugar de m , obtenemos D 2 + 1 = 0 o bien
D1,2 = ±i , α = 0 y β = 1 la solución complementaría sería
yc = c1 cos( x) + c2 sen( x)
(79)
Para eliminar g ( x) = x cos( x) − cos( x) , factorizando g ( x) = ( x − 1) cos( x) , tenemos n = 2 ,
α = 0 y β = 1 por lo que  D 2 − 2 ( 0 ) D + ( 02 + 12 )  = ( D 2 + 1)
2
2
Aplicando el operador diferencial a ambos lados de la ecuación diferencial obtenemos
+ 1)
(D
2
D + 1)
(
2
=
2
(
)
anulador para g( x ) Ecuación característica m 2 +1
+ 1) ( x − 1) cos( x)  = 0
(D
2
2
g ( x)
anulador para g( x )
Observe que al aplicar en el lado derecho del igual el operador, éste anula la función g ( x)
Resultando
(D
2
+ 1) = 0 , quedando como raíces
3
D1,2 = ±i o m1,2 = ±i , con factor de
multiplicidad 3, de tal manera que la solución general sería
y
p
yc
2
2
y = c1 cos( x) + c2 sen( x) + c3 x cos( x) + c4 xsen( x) + c5 x cos( x) + c6 x sen( x)
(80)
Observar que se repite el factor, por lo tanto se debe aplicar el factor de multiplicación en la
solución.
Identificando la solución particular como
y p = Ax cos( x) + Bxsen( x) + Cx 2 cos( x) + Ex 2 sen( x)
Factorizando y p = ( Ax + Cx 2 ) cos( x) + ( Bx + Ex 2 ) sen( x)
La primera derivada
y p ´= − ( Ax + Cx 2 ) sen( x) + ( A + 2Cx ) cos( x) + ( Bx + Ex 2 ) cos( x) + ( B + 2 Ex ) sen( x)
155
Simplificando y p ´= ( − Ax + B − Cx 2 + 2 Ex ) sen( x) + ( A + Bx + 2Cx + Ex 2 ) cos( x)
Reacomodando
y p ´= Bsen( x) + ( 2 E − A ) xsen( x) − Cx 2 sen( x) + A cos( x) + ( B + 2C ) x cos( x) + Ex 2 cos( x)
La segunda derivada
y p ´´= ( − Ax + B − Cx 2 + 2 Ex ) cos( x) + ( − A − 2Cx + 2 E ) sen( x)
− ( A + Bx + 2Cx + Ex 2 ) sen( x) + ( B + 2C + 2 Ex ) cos( x)
Simplificando
y p ´´= ( − Ax + 2 B − Cx 2 + 4 Ex + 2C ) cos( x) + ( −2 A − 4Cx + 2 E − Bx − Ex 2 ) sen( x)
Reacomodando
y p ´´= ( 2 B + 2C ) cos( x) + ( − A + 4 E ) x cos( x) − Cx 2 cos( x) + ( −2 A + 2 E ) sen( x)
+ ( −4C − B ) xsen( x) − Ex 2 sen( x)
Sustituyendo la solución particular y sus derivadas en y´´+ y = x cos( x) − cos( x)
( 2 B + 2C ) cos( x) + ( − A + 4 E ) x cos( x) − Cx 2 cos( x) + ( −2 A + 2 E ) sen( x)
+ ( −4C − B ) xsen( x) − Ex 2 sen( x)
+ Ax cos( x) + Cx 2 cos( x) + Bxsen( x) + Ex 2 sen( x)
= x cos( x) − cos( x)
Simplificando
( 2 B + 2C ) cos( x) + 4Ex cos( x) + ( −2 A + 2E ) sen( x) − 4Cxsen( x) = x cos( x) − cos( x)
Asociando coeficientes resulta 2 B + 2C = −1 , 4 E = 1 , −2 A + 2 E = 0 y −4C = 0
1
1
1
Por lo que C = 0 , B = − , E = y A = ,
2
4
4
156
Entonces y p =
1
1
1
x cos( x) − xsen( x) + 0 x 2 cos( x) + x 2 sen( x) , la solución general es
4
2
4
y = c1 cos( x) + c2 sen( x) +
1
1
1
x cos( x) − xsen( x) + x 2 sen( x)
4
2
4
(81)
Ejemplo 2.8.2.25 Resolver y´´−2 y´+ y = 10e −2 x cos( x)
D 2 − 2 D + 1 = 0 o bien
La ecuación característica es
( D − 1)
2
= 0 , la solución
complementaría sería yc = c1e x + c2 xe x
Para eliminar g ( x) = 10e −2 x cos( x) , tenemos n − 1 = 0 , entonces n = 1 , α = −2 y β = 1
(
)
1
2
Por lo que  D 2 − 2 ( −2 ) D + ( −2 ) + 12  = ( D 2 + 4 D + 5 ) , como


D1,2 =
−4 ± 16 − 20
, cuyas raíces son D1,2 = −2 ± i
2
Aplicando el operador diferencial a ambos lados del igual obtenemos
D + 4 D + 5)
(
D − 1)
(
2
2
anulador para g( x ) Ecuación característica ( m −1)2
Resultando
(D
2
= ( D 2 + 4 D + 5 ) 10e −2 x cos( x)  = 0
anulador para g( x )
g ( x)
+ 4 D + 5 ) ( D − 1) = 0 , quedando como raíces
2
D1,2 = 1 o m1,2 = 1 , con
factor de multiplicidad 2, y raíces imaginaria D3,4 = −2 ± i
y
yc
p
−2 x
x
x
De tal manera que la solución general sería y = c1e + c2 xe + c3 e cos( x) + c4 e−2 x sen( x)
Identificando la solución particular como y p = c3 e −2 x cos( x) + c4 e −2 x sen( x)
O bien y p = Ae −2 x cos( x) + Be −2 x sen( x)
157
Derivando y p ´= − Ae −2 x sen( x) − 2 Ae −2 x cos( x) + Be −2 x cos( x) − 2 Be −2 x sen( x)
Simplificando y p ´= ( − Ae −2 x − 2 Be −2 x ) sen( x) + ( −2 Ae−2 x + Be −2 x ) cos( x)
Reacomodando y p ´= ( − A − 2 B ) e −2 x sen( x) + ( −2 A + B ) e−2 x cos( x)
Derivando nuevamente
y p ´´= ( − Ae −2 x − 2 Be−2 x ) cos( x) + ( 2 Ae−2 x + 4 Be−2 x ) sen( x)
− ( −2 Ae −2 x + Be−2 x ) sen( x) + ( 4 Ae −2 x − 2 Be−2 x ) cos( x)
Simplificando y p ´´= ( 3 A − 4 B ) e −2 x cos( x) + ( 4 A + 3B ) e −2 x sen( x)
Sustituyendo en la ecuación y´´−2 y´+ y = 10e −2 x cos( x)
( 3 A − 4 B ) e−2 x cos( x) + ( 4 A + 3B ) e−2 x sen( x)
−2 ( ( − A − 2 B ) e −2 x sen( x) + ( −2 A + B ) e−2 x cos( x) )
+ Ae −2 x cos( x) + Be −2 x sen( x)
= 10e −2 x cos( x)
Reacomodando
( 3 A − 4 B + 4 A − 2 B + A) e−2 x cos( x) + ( 4 A + 3B + 2 A + 4 B + B ) e−2 x sen( x) = 10e−2 x cos( x)
( 3 A − 4 B ) e−2 x cos( x) + ( 4 A + 3B ) e−2 x sen( x)
−2 ( − A − 2 B ) e −2 x sen( x) + ( −2 A + B ) e −2 x cos( x) 
+ Ae −2 x cos( x) + Be −2 x sen( x) = 10e−2 x cos( x)
Reacomodando
( 3 A − 4 B + 4 A − 2 B + A) e−2 x cos( x) + ( 4 A + 3B + 2 A + 4 B + B ) e−2 x sen( x) = 10e−2 x cos( x)
158
Simplificando ( 8 A − 6 B ) e −2 x cos( x) + ( 6 A + 8 B ) e−2 x sen( x) = 10e−2 x cos( x)
Asociando coeficientes de ambos lados del igual
8 A − 6 B = 10 y 6 A + 8 B = 0 , resolviéndolas simultáneamente
32 A − 24 B = 40
18 A + 24 B = 0
50 A
de tal manera que A =
= 40
8 A − 6 B = 10
entonces
6 A + 8B = 0
4
sustituyendo en 6 A + 8 B = 0
5
3
 4
 24   1 
Tenemos 6   + 8B = 0 y B =  −    por lo tanto B = −
5
5
 5  8 
4 −2 x
3
e cos( x) − e−2 x sen( x) , la solución general es
5
5
4
3
y = c1e x + c2 xe x + e −2 x cos( x) − e−2 x sen( x)
5
5
Entonces y p =
(82)

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