1 Micelanea . E: .yexy cos 2x 2e xy sen2x C 2x/ dx C - Canek

1 Micelanea . E: .yexy cos 2x 2e xy sen2x C 2x/ dx C - Canek

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Micelanea .
E: .ye xy cos 2x
2e xy sen 2x C 2x/ dx C .xe xy cos 2x
3/ dy D 0.
D: H Análisis. Dada la forma diferencial de la ecuación y su complejidad, resulta atractivo determinar si ésta es exacta. Hacemos notar que el resto de los criterios discutidos son descartados
a simple vista.
Aquí:
M D ye xy cos 2x
2e xy sen 2x C 2x
&
N D xe xy cos 2x
Tenemos:
@M
D yxe xy cos 2x C e xy cos 2x
@y
2xe
xy
sen 2x
@N
D 2xe xy sen 2x C xye xy cos 2x C e xy cos 2x
@x
…
3:
) la ED es exacta.
Para resolver la ED buscamos una función f tal que:
@f
D M D ye xy cos 2x
@x
@f
D N D xe xy cos 2x
@y
2e xy sen 2x C 2xI
(1)
3:
(2)
A partir de (2) integramos con respecto a y, obtenemos:
Z y
f D
Œxe xy cos 2x 3 dy D e xy cos 2x
3y C k.x/:
Si ahora derivamos con respecto a x, e igualamos a M usando (1), hallamos:
@f
D
@x
2e xy sen 2x C ye xy cos 2x C k 0.x/ D ye xy cos 2x
2e xy sen 2x C 2x:
Por lo tanto k 0.x/ D 2x ) k.x/ D x 2 . La función buscada f es
f D e xy cos 2x
3y C x 2 :
En conclusión, la solución general de la ED es
e xy cos 2x
3y C x 2 D C:
18. canek.azc.uam.mx: 23/ 11/ 2010