DIFERENCIACI´ON DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

DIFERENCIACI´ON DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Departamento de
Análisis Matemático
DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Prof. Dr. José Antonio Facenda Aguirre
Prof. Dr. Miguel Lacruz Martı́n
Prof. Dr. Genaro López Acedo
Curso Académico 2012/2013
Índice general
Plan de la asignatura
V
1. El Espacio Euclı́deo Rn . Lı́mite y Continuidad
1.1. Resultados previos: Espacios métricos, Espacios normados
1.1.1. Repaso de Espacios métricos . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Repaso de Espacios normados . . . . . . . . . . . . .
1.2. El Espacio Euclı́deo Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Sucesiones. Lı́mite y continuidad . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Lı́mites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Estudio especı́fico de lı́mites dobles . . . . . . . . . .
1.3.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Equivalencia de normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Aplicaciones lineales continuas . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. Cálculo diferencial
2.1. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Derivadas direccionales y parciales. Matriz jacobiana
2.3.1. Matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Condición suficiente de diferenciabilidad . . . . . . . .
2.5. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Fórmula de Taylor. Extremos
3.1. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Estudio especı́fico del polinomio de Taylor de segundo orden
3.3. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Extremos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Teoremas de inversión local
15
4.1. Teorema de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2. Teorema de la función implı́cita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3. Derivada de la función implı́cita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Bibliografı́a
35
Plan de la asignatura
Contenido La asignatura Diferenciación de funciones de varias variables es una asignatura del módulo de
carácter obligatorio Fundamentos de Análisis Matemático del plan de estudios conducente a la obtención del tı́tulo oficial de Grado en Matemáticas. De acuerdo con dicho plan, tiene asignada una carga docente de 6 créditos
ECTS, luego le corresponden 60 horas presenciales. De
las 60 horas presenciales, 32 se dedicarán a clases teóricas, 24 a clases prácticas y 4 se dedicarán a utilizar el
software adecuado a los contenidos de la materia.
La asignatura está dedicada al estudio del cálculo diferencial de las funciones de varias variables reales y sus
aplicaciones.
Metodologı́a Las clases teóricas tienen por objeto mostrar al alumno los resultados fundamentales de la
materia, con sus demostraciones, y con ejemplos que faciliten su comprensión. Algunas pruebas se omiten o simplemente se indican, complementándose con bibliografı́a
adecuada. Se insiste al alumno en la necesidad del estudio continuado y de una actitud crı́tica y activa ante lo
que se le expone en estas clases.
En las clases prácticas se pretende que el alumno adquiera una comprensión más profunda de los conceptos
teóricos, y aprenda a manejarlos y a aplicarlos, mediante la resolución de problemas y ejercicios. Se recomienda
que sean los propios alumnos quienes resuelvan algunos
ejercicios, para lo que se hace entrega a principios de curso de hojas con los enunciados de los problemas.
Con objeto de facilitar la adquisición de habilidades
prácticas y servir como ilustración inmediata de los contenidos teóricos-prácticos, se manejarán los aspectos esenciales en un paquete de cálculo simbólico y visualización
gráfica.
Es necesario el aprendizaje del lenguaje matemático
preciso adecuado, lenguaje que ha de ser empleado con
propiedad y claridad. Los alumnos deben poseer la capacidad de expresarse con soltura.
Se aconseja a los alumnos consultar las dudas fundamentales de la asignatura a los profesores encargados
de impartirla. De acuerdo con las disposiciones vigentes,
en el tablón de anuncios del Departamento de Análisis
Matemático se publicará el horario de consultas o tutorı́a
del profesorado. Se recomienda a los alumnos que hagan
uso de tal horario, para aclarar aquellas dudas que les
plantee el estudio de la asignatura, tanto en sus aspectos
teóricos como prácticos, a lo largo del curso, procurando,
en la medida de lo posible, no dejar las consultas para los
˙ltimos dı́as anteriores a los exámenes.
Evaluación y calificación Se realizarán actividades de evaluación continua. Para aprobar la asignatura
por evaluación continua, será necesario:
No tener faltas no justificadas superiores al 5 % de
las clases presenciales.
Participar activamente en las clases presenciales y
las tutorı́as.
Aprobar las dos pruebas de control periódico que se
realizan a lo largo del curso. Con suficiente antelación, se anunciará la materia correspondiente a
estas pruebas. Cada una se valorará sobre 10 puntos.
Además, se realizarán dos exámenes finales ordinarios (30 de enero y 4 de septiembre) y una convocatoria extraordinaria de diciembre (22 de noviembre), de acuerdo
con las fechas fijadas por la Junta de Centro. Los exámenes serán escritos, estando determinados tanto el espacio
para las respuestas como la duración de la prueba, y en
ellos se evaluarán los conocimientos y capacidades adquiridos por los alumnos. Se exigirá el desarrollo o resolución
de cuestiones teóricas y prácticas. Es preciso mostrar un
conocimiento del conjunto de la asignatura, de tal modo
que los exámenes muy descompensados o que demuestren
un gran desconocimiento de partes fundamentales de la
materia serán considerados insuficientes.
La calificación en el primer examen final ordinario de
este curso académico al que se presente el alumno se obtendrá añadiendo a la nota obtenida en este examen el
20 % de la nota de la prueba de control periódico en la
que se haya obtenido al menos 5 puntos. Para aprobar la
asignatura la calificación final deberá ser mayor o igual
que 5 puntos.
Tribunal de evaluación y apelación
Tribunal Titular: Profesores Garcı́a Vázquez, López
Rodrı́guez y Pérez Moreno.
Tribunal Suplente: Profesores Espı́nola Garcı́a,
Martı́n Márquez y Rodrı́guez Piazza.
Tema
1
El Espacio Euclı́deo Rn. Lı́mite y
Continuidad
1.1.
1.1.1.
Resultados previos: Espacios métricos, Espacios normados
Repaso de Espacios métricos
Definición 1.1. Sea X un conjunto. Una aplicación d : X × X → R que verifique:
1. d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 si y sólo si x = y.
2. d(x, y) = d(y, x)
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
para cualesquiera x, y, z en X, se denomina una “distancia en X”. {X, d} se denomina espacio métrico.
Sea {X, d} un espacio métrico.
1. La bola abierta (resp. cerrada) de centro a y radio r > 0 es el subconjunto formado por los x que distan
de a menos (resp. menos o igual) que r. Denotamos la bola abierta B(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) < r} y
la cerrada B(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) 5 r}.
2. Si A es un subconjunto de X y a ∈ A, se dice que a es interior a A o que A es un entorno de a
cuando existe r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A. El conjunto de puntos interiores se denota: int(A) (interior
de A). Se dice que A es abierto cuando coincide con su interior. Se dice que A es cerrado cuando su
complementario es abierto.
3. Si A es un subconjunto de X, y a ∈ X, se dice que a es un punto de acumulación (resp. adherente) de
A cuando para todo r > 0 la bola B(a, r) corta a A \ {a} (resp. A). Se dice que a es punto frontera de
A cuando es adherente a A y al complementario de A. El conjunto de puntos adherentes se notará A
(cierre o clausura de A) y el de los de acumulación A0 (conjunto derivado de A).
4. Se verifica A = A ∪ A0 .
5. Se verifica que A es cerrado si y solo si A = A, es decir, A0 ⊂ A.
1.1.2.
Repaso de Espacios normados
Definición 1.2. Sea E es un espacio vectorial. Una norma en E es una función k · k : E → R tal que para
todos x, y ∈ E y todo λ ∈ R se cumplen:
1. kxk ≥ 0, kxk = 0 si y sólo si x = 0.
2. kλxk = |λ| kxk.
3. kx + yk ≤ kxk + kyk (desigualdad triangular).
Tema 1. El Espacio Euclı́deo Rn . Lı́mite y Continuidad
2
Proposición 1.3. Si k · k es una norma en E, la función d : E × E → R definida por d(x, y) = kx − yk es
una distancia en E. (Se denomina distancia asociada a la norma).
Proposición 1.4. Sea d : E × E → R una distancia en el espacio vectorial E. La distancia d es una
distancia asociada a una norma en E, si y solo si verifica:
1. d(x + z, y + z) = d(x, y); ∀x, y, z ∈ E
2. d(λx, λy) = |λ|d(x, y); ∀x, y ∈ E, ∀λ ∈ R
Definición 1.5. Si k · k y k · k∗ son dos normas en E. Se dice que son equivalentes si definen la misma
topologı́a en E.
Proposición 1.6. Dos normas k · k y k · k∗ en E son equivalentes si y sólo si verifican que existen m, M ∈ R
tales que mkxk ≤ kxk∗ ≤ M kxk, para todo x ∈ E.
Definición 1.7. Una sucesión (vj ) en el espacio normado E es convergente cuando existe v ∈ E tal que
para todo ε > 0 existe j0 de modo que kvj − vk ≤ ε para todo j ≥ j0 . El vector v si existe es único y se
llama lı́mite de la sucesión, Denotamos lı́mj→∞ vj = v.
Definición 1.8. Una sucesión (vj ) en el espacio normado E se dice de Cauchy cuando para todo ε > 0
existe j0 de modo que kvj − vk k ≤ ε para todos j, k ≥ j0 .
Definición 1.9. Un espacio normado en el que las sucesiones de Cauchy coinciden con las convergentes,
es decir, es completo, se llama espacio de Banach.
Definición 1.10. Un subconjunto A del espacio normado E se dice acotado cuando existe M > 0 tal que
kxk ≤ M para todo x ∈ A. Equivalentemente, cuando A está contenido en una bola.
Si A es acotado el diámetro de A se define como sup{ky − xk : x, y ∈ A}.
Nota 1.1. Dos normas equivalentes tienen los mismos conjuntos acotados pero el diámetro puede ser
diferente.
Teorema 1.11 (Teorema de Cantor). Si E es un espacio de Banach y (Aj ) es una sucesión decreciente de
subconjuntos
cerrados y acotados no vacı́os de E, cuyos diámetros tienden a cero, entonces existe un único
T
x ∈ j Aj .
Definición 1.12. Un subconjunto A del espacio normado E lo denominamos compacto cuando de todo
recubrimiento suyo por abiertos se puede extraer un subrecubrimiento finito.
1.2.
El Espacio Euclı́deo Rn
n veces
Definición 1.13. Consideremos el conjunto producto cartesiano R × R × . . . × R. Si x = (x1 , . . . , xn ),
y = (y1 , . . . , yn ) y λ ∈ R, definimos las operaciones suma y producto por escalares:
x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
λx = (λx1 , . . . , λxn )
Estas operaciones dotan a este conjunto de estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los números
reales. Sus elementos los denominaremos puntos o vectores. Si x = (x1 , . . . , xn ), cada xk se denomina
componente o coordenada k-ésima, y cada aplicación πk : R × R × . . . × R → R, definida por πk (x) = xk se
denomina proyección k-ésima.
Por último, en este espacio vectorial consideramos el producto escalar: si x = (x1 , . . . , xn ) e y =
(y1 , . . . , yn ), definimos
n
X
x · y = x1 y1 + · · · + xn yn =
xk yk
k=1
La estructura anterior se denomina espacio euclı́deo n-dimensional y lo denotamos por Rn . (En particular n = 1 recta, n = 2 plano, n = 3 espacio ordinario)
3
Sucesiones. Lı́mite y continuidad
Nota 1.2. El producto escalar en Rn es una aplicación bilineal simétrica definida positiva, es decir, se
cumplen las propiedades:
1.
2.
3.
4.
x · x ≥ 0; x · x = 0 si y sólo si x = 0.
x · y = y · x.
x · (y + z) = x · y + x · z.
(λx) · y = λ(x · y) para cualesquiera x, y, z ∈ Rn y λ ∈ R.
Definición 1.14. Definimos la norma euclı́dea o módulo del vector x de Rn como el número real
√
|x| = x · x
.
Proposición 1.15 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Para todos x, y ∈ Rn se cumple
|x · y| ≤ |x| |y|
Como consecuencia, de esta desigualdad podemos probar que la norma euclı́dea es una norma en Rn .
√
Proposición 1.16. La aplicación | · | : Rn → R definida por |x| = x · x es una norma en Rn .
Complemento: Otras normas en Rn
Proposición 1.17 (Otras normas en Rn ). Las aplicaciones k · k1 , k · k∞ : Rn → R definidas por:
kxk1 = |x1 | + . . . + |xn |,
kxk∞ = máx{|x1 |, . . . , |xn |}
son normas en Rn .
Proposición 1.18. Para todo x de Rn se cumple: kxk∞ ≤ |x| ≤ kxk1 ≤
√
n|x| ≤ nkxk∞ .
En consecuencia las tres normas definidas hasta ahora en Rn son equivalentes.
(Interpretación geométrica de las bolas para estas normas en R2 y R3 .)
Teorema 1.19 (Teorema de Bolzano-Weierstrass). Todo conjunto infinito y acotado de Rn tiene, al
menos, un punto de acumulación.
Teorema 1.20 (Teorema de Heine-Borel). En Rn los conjuntos compactos son los conjuntos cerrados y
acotados.
1.3.
1.3.1.
Sucesiones. Lı́mite y continuidad
Sucesiones
Proposición 1.21. Una sucesión en Rn es convergente si y sólo si son convergentes las n sucesiones reales
de sus coordenadas. El lı́mite se calcula coordenada a coordenada.
Proposición 1.22. Una sucesión en Rn es de Cauchy si y sólo si son de Cauchy las n sucesiones reales de
sus coordenadas.
Proposición 1.23. El espacio euclı́deo Rn es espacio de Banach.
1.3.2.
Lı́mites
Definición 1.24. Sea f : S ⊂ Rn → Rm . Sea a ∈ Rn un punto de acumulación de S. Sea l ∈ Rm . Se dirá que
l es el lı́mite de f cuando x tiende hacia a, si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que x ∈ A y 0 < |x − a| < δ
implican que |f (x) − l| < ε.
Tema 1. El Espacio Euclı́deo Rn . Lı́mite y Continuidad
4
Nota 1.3. El lı́mite es único, cuando existe. Se denotará l = lı́mx→a f (x). Normas equivalentes dan lugar
a los mismos lı́mites.
Proposición 1.25. Sea f : S ⊂ Rn → Rm . Sea a ∈ Rn un punto de acumulación de S. Se verifica que l =
lı́mx→a f (x) si y sólo si para cualquier sucesión {vj } en S\{a} que converge a a, la sucesión transformada
{f (vj )} converge a l.
Nota 1.4. Consecuencias:
1. Si para una tal sucesión no existe el lı́mite de la sucesión transformada por f , o existen dos de tales
sucesiones para las que las sucesiones transformadas por f tienen lı́mites distintos, entonces, no
existe el lı́mite de la función en el punto.
2. El resultado anterior permite trasladar el álgebra de lı́mites de sucesiones al de lı́mites de funciones.
Definición 1.26. Sea f : S ⊂ Rn → Rm y a un punto de acumulación de S.
Se dice que B ⊂ S es una dirección para el lı́mite de f cuando x → a si a es punto de acumulación
de B. El lı́mite de f cuando x → a en la dirección B es el lı́mite de la función f |B : B → Rm dada por
f |B (x) = f (x). Se notará lı́mx→a,x∈B f (x)
Proposición 1.27. Si existe lı́mx→a f (x) entonces existe cualquier lı́mite en cualquier dirección y tiene el
mismo valor.
Nota 1.5. Si para una dirección no existe el lı́mite, o existen dos direcciones para las cuales los lı́mites son
distintos, entonces no existe el lı́mite de la función en el punto.
Proposición 1.28. Sean B1 , . . . , Bp son direcciones para el lı́mite de f cuando x → a. Si existe r > 0 tal
que B(a, r)∩{S\{a}}} ⊂ B1 ∪. . .∪Bp y l es el lı́mite de f a través de las direcciones Bj , j = 1 . . . , p, entonces,
lı́mx→a f (x) = l.
Definición 1.29. Si f : S ⊂ Rn → Rm , la función fk = πk ◦ f : S → R, 1 ≤ k ≤ m, se denomina k-ésima
función componente de f .
Proposición 1.30 (Reducción a funciones escalares). Si f = (f1 , . . . , fm ) y l = (l1 , . . . , lm ), entonces
l = lı́mx→a f (x) si y sólo si lk = lı́mx→a fk (x), para todo k = 1, . . . , m.
1.3.3.
Estudio especı́fico de lı́mites dobles
En el caso de E = R2 , el lı́mite en un punto lo denominaremos lı́mite doble.
Proposición 1.31. Sea f : S ⊂ R2 → R y (a, b) un punto de acumulación de S. Si ϕ : I ⊂ R → R cumple
b = lı́mx→a ϕ(x) y {(x, ϕ(x)) : t ∈ I} ⊂ S\{(a, b)}, entonces B = {(x, ϕ(x)) : t ∈ I} es una dirección para el
lı́mite doble lı́m(x,y)→(a,b) f (x, y).
Además el lı́mite en (a, b) de f en la dirección de B coincide con lı́mx→a f (x, ϕ(x)).
Definición 1.32. Sea f : S ⊂ R2 → R y (a, b) un punto de acumulación de S.
Si b es punto de acumulación de {y ∈ R : existe lı́mx→a f (x, y)}, decimos que existe el lı́mite unidimensional respecto de x, que se denota lı́mx→a f (x, y). Análogamente se define lı́my→b f (x, y) lı́mite unidimensional respecto de y. Caso de que exista un lı́mite unidimensional, el correspondiente lı́mite reiterado se
define por:
lı́m ( lı́m f (x, y)).
y→b x→a
Análogamente,
lı́m (lı́m f (x, y)).
x→a y→b
Proposición 1.33. Si existe el lı́mite doble lı́m(x,y)→(a,b) f (x, y) y existe algún unidimensional, existe el
reiterado y vale lo mismo que el doble.
Nota 1.6. Puede ocurrir que exista el doble y no algún unidimensional y también que existan ambos
reiterados y coincidan pero no exista el lı́mite doble.
Equivalencia de normas
1.3.4.
5
Continuidad
Definición 1.34. Sea f : S ⊂ Rn → Rm . Sea a ∈ S. Se dice que f es continua en a cuando para todo ε > 0
existe δ > 0 tal que x ∈ S y |x − a| < δ implican que |f (x) − f (a)| < ε.
Nota 1.7. En el caso en que a sea de acumulación de S, es equivalente a que exista lı́mx→a f (x) y valga
f (a). Por ello, la continuidad de una función vectorial f : S → Rm equivale a la de todas de sus funciones
componentes.
Proposición 1.35 (Composición de funciones continuas). Sean f : S ⊂ Rn → Rm y g : U ⊂ Rm → Rp
tales que f (S) ⊂ U . Sea h(x) = g(f (x)) la función compuesta h : S → G. Si f es continua en a ∈ A y g es
continua en b = f (a), entonces h es continua en a.
Nota 1.8. Del álgebra de lı́mites obtenemos las siguientes propiedades: la suma, diferencia, y el producto
escalar de funciones vectoriales continuas son funciones continuas. También lo es el producto de una
función escalar y otra vectorial, si ambas son continuas. El cociente de dos funciones escalares continuas
cuyo denominador no es nulo, es continuo. La norma es continua. También los polinomios en Rn , las
funciones racionales de varias variables en su dominio de definición, y la composición de éstas con las
funciones reales elementales.
1.3.4.1.
Continuidad en conjuntos
Definición 1.36. Sea f : S ⊂ Rn → Rm . Se dirá que f es continua en S cuando lo sea en todo a ∈ S.
Proposición 1.37. Una función f : S ⊂ Rn → Rn es continua en S si y sólo si la imagen inversa de cada
abierto (cerrado) de Rm es intersección de un abierto (cerrado) de Rn con S.
Nota 1.9. Aplicación: Estudio de conjuntos abiertos y conjuntos cerrados en Rn definidos por desigualdades)
Proposición 1.38. Sea f : S ⊂ Rn → Rm continua en S y K ⊂ S es un conjunto compacto, entonces f (K)
es compacto.
Teorema 1.39 (Teorema de Weierstrass). Si f es una función escalar continua en S ⊂ Rn y S es
compacto, entonces f alcanza sus valores máximo y mı́nimo en S, es decir, existen a y b en S tales que
f (a) ≤ f (x) ≤ f (b) para todo x ∈ S.
Definición 1.40. Sea f : S ⊂ Rn → Rm . Se dice que f es uniformemente continua en S si para todo ε > 0
existe δ > 0 tal que x, y ∈ S y |x − y| < δ implican |f (x) − f (y)| < ε.
Teorema 1.41 (Teorema de Heine). Si f es una función continua en S ⊂ Rn y S es compacto, entonces f
es uniformemente continua en S.
1.4.
Equivalencia de normas
Teorema 1.42. En Rn todas las normas son equivalentes.
1.5.
Aplicaciones lineales continuas
Nota 1.10. El espacio de las aplicaciones lineales de Rn en Rm se identifica con el espacio de las matrices
reales de orden m × n, que escribimos Mm×n .
Proposición 1.43. Sea T : Rn → Rm una aplicación lineal. Son equivalentes:
1.
2.
3.
4.
T es continua en Rn .
T es continua en el origen.
Existe M ∈ R tal que |T(x)| ≤ M |x| para todo x ∈ Rn .
T es uniformemente continua en el Rn .
6
Tema 1. El Espacio Euclı́deo Rn . Lı́mite y Continuidad
Proposición 1.44. Todas las aplicaciones lineales de Rn en Rm son continuas.
Definición 1.45. Una aplicación T : Rn → Rn se dice que es un isomorfismo cuando es un isomorfismo
algebraico (lineal y biyectiva) y un homeomorfismo (T y T−1 son continuas). Una isometrı́a es un isomorfismo tal que |T(x)| = |x| para todo x ∈ Rn .
Tema
2
Cálculo diferencial
2.1.
Diferenciabilidad
Definición 2.1. Sea f : A ⊂ Rn → Rm , A abierto y a ∈ A. Se dice que f es diferenciable (derivable) en a si
existe una aplicación lineal T : Rn → Rm tal que:
lı́m
x→a
f (x) − f (a) − T(x − a)
=0
|x − a|
f (a + h) − f (a) − T(h)
=0
h→0
|h|
⇔ lı́m
La aplicación T se denomina diferencial de f en a y se denota: Df (a).
Se dice que f es diferenciable en A cuando lo sea en todos los a ∈ A y la función Df : A ⊂ Rn → Mm×n
se denomina función diferencial primera.
Definiciones equivalentes:
1. Sea f : A ⊂ Rn → Rm , A abierto y a ∈ A.
f es diferenciable en a si existe una aplicación lineal T : Rn → Rm tal que podemos expresar:
x→a
R(x)
=0
|x − a|
...
..
.
...

α1,n
.. , tal que
. 
αm,n
...
..
.
...


α1,n
x1 − a1

..  
..
 = 0
. 
.
αm,n
xn − an
f (x) = f (a) + T(x − a) + R(x) 0, y lı́m
2. Sea f : A ⊂ Rn → Rm , A abierto y a ∈ A.

α1,1

f es diferenciable en a si existe una matriz m × n:  ...
αm,1

 
 
f1 (x)
f1 (a)
α1,1
1





.
.
.
..
..
lı́m

−
 −  ..
x→a |x − a|
fm (x)
fm (a)
αm,1
Observación: Si existe la aplicación lineal T en las definiciones anteriores es única.
Proposición 2.2 (Algunas propiedades). Sea f , : A ⊂ Rn → Rm , A abierto y a ∈ A.
1. Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a.
2. Si f es constante en A, entonces f es diferenciable en A y Df (a) = 0 para todo a ∈ A.
8
Tema 2. Cálculo diferencial
3. Si f es una aplicación lineal de Rn en Rm entonces f es diferenciable en A y Df (a) = f para todo
a ∈ A.
4. f es diferenciable en a si y sólo si las funciones componentes fk son diferenciables en a.
Nota 2.1 (Caso particular: Curvas en Rm ). Una función f : I ⊂ R → Rm es diferenciable en a si y sólo si
f (t) − f (a)
existe el lı́mite lı́m
, que se nota f 0 (a) (derivada de f en a). En ese caso se tiene que Df (a)(t) =
t→a
t−a
tf 0 (a).
El vector f 0 (a) se llama vector tangente a la curva y = f (t) en f (a).
Si m = 3 y f (t) es el vector de posición en el espacio de una partı́cula móvil, f 0 (t) es el vector velocidad,
y su módulo |f 0 (t)| es la velocidad.
Proposición 2.3. Sean f , g : A ⊂ Rn → Rm , A abierto y a ∈ A. Si f y g son diferenciables en a, entonces:
1. f + g es diferenciable en a y D(f + g)(a) = Df (a) + Dg(a).
2. Para todo λ ∈ R, λf es diferenciable en a y Dλf (a) = λDf (a).
3. La función x ∈ A → f (x) · g(x) es diferenciable en a y su diferencial en a es la aplicación lineal:
v ∈ Rn → Df (a)(v) · g(a) + f (a) · Dg(a)(v)
2.2.
Regla de la cadena
Proposición 2.4. Sean f : A ⊂ Rn → Rm y g : B ⊂ Rm → Rp . A y B abiertos, y f (A) ⊂ B. Si f es diferenciable en a y g lo es en f (a), entonces la función compuesta h = g ◦ f es diferenciable en a, cumpliéndose
Dh(a) = Dg(f (a)) ◦ Df (a).
2.3.
Derivadas direccionales y parciales. Matriz jacobiana
Definición 2.5. Sea f : A ⊂ Rn → Rm , A abierto y a ∈ A. Si v ∈ Rn es no nulo, la derivada de f en a según
la dirección v, que se denota Dv f (a), se define por:
Dv f (a) = lı́m
t→0
f (a + tv) − f (a)
t
Observaciones:
1. Dv f (a) ∈ Rm .
2. La continuidad en un punto no implica la existencia de derivadas direccionales en ese punto
3. La existencia de todas las derivadas direccionales en un punto no implica la continuidad de la función en ese punto.
4. (Interpretación geométrica). Si f : A ⊂ R2 → R, a = (a, b) y v es de módulo 1, Dv f (a, b) representa
la pendiente de la recta tangente en (a, b, f (a, b)) a la curva intersección de la superficie z = f (x, y)
con el plano vertical levantado sobre la recta (x, y) = (a, b) + tv. Ası́, la derivada direccional mide la
variación de la función en la dirección indicada.
Proposición 2.6. Si f : A ⊂ Rn → Rm es diferenciable en a entonces existen todas las derivadas direccionales de f en a y se cumple Dv f (a) = Df (a)(v).
Definición 2.7. La derivada parcial respecto de la variable k-ésima de f en a es la derivada de f en la
∂f
dirección del vector unitario cuya k-ésima componente es 1. Se denota Dk f (a) o
(a).
∂xk
Observación: Coincide con la derivada en ak de la función xk → f (a1 , . . . , ak−1 , xk , ak+1 , . . . , an ).
9
Condición suficiente de diferenciabilidad
2.3.1.
Matriz jacobiana
Definición 2.8. Sea f : A ⊂ Rn → Rm diferenciable en a. La matriz m×n que le corresponde a la aplicación
lineal Df (a) cuando se fijan en Rn y Rm las bases canónicas se llama matriz jacobiana de f en a y se denota
∂(f1 , . . . , fm )
(a).
por
∂(x1 , . . . , xn )
Si n = m, el determinante de la matriz jacobiana se denomina jacobiano y se denota por Jf (a).
Estructura de la matriz jacobiana:

D1 f1 (a) D2 f1 (a) . . .
 D1 f2 (a) D2 f2 (a) . . .
∂(f1 , . . . , fm )
(a) = 
 ...
...
...
∂(x1 , . . . , xn )
D1 fm (a) D2 fm (a) . . .

Dn f1 (a)
Dn f2 (a) 

... 
Dn fm (a)
Expresión matricial de la regla de la cadena.
Proposición 2.9. La matriz jacobiana de h = g ◦ f en a se obtiene multiplicando las matrices jacobianas
de g en f (a) y f en a, en ese orden. En consecuencia,
Dj hi (a) =
m
X
Dk gi (f (a))Dj fk (a)
k=1
Funciones escalares: Vector gradiente
Definición 2.10. Cuando existen las n derivadas parciales de f : A ⊂ Rn → R en a, se define el vector
gradiente de f en a como el vector: ∇f (a) = (D1 f (a), . . . , Dn f (a)).
Consecuencias:
Si f es diferenciable en a entonces,
1. Dv f (a) = Df (a)(v) = ∇f (a) · v.
2. (Interpretación geométrica.)Si el vector gradiente es no nulo en un punto,entonces es la dirección de
máximo crecimiento de la función en ese punto.
3. El vector gradiente no nulo es ortogonal a los conjuntos de nivel. Por tanto, para n = 2 y n = 3
obtenemos las ecuaciones de la recta tangente y del plano tangente:
Recta tangente a la curva de nivel f (x, y) = c en el punto (a, b)
∇f (a, b) · (x − a, y − b) = D1 f (a, b)(x − a) + D2 f (a, b)(y − b) = 0
Plano tangente a la superficie de nivel f (x, y, z) = d en el punto (a, b, c)
∇f (a, b, c) · (x − a, y − b, z − c) = D1 f (a, b, c)(x − a) + D2 f (a, b, c)(y − b) + D3 f (a, b, c)(z − c) = 0
Nota 2.2. Si la superficie viene dada en explı́cita z = f (x, y) donde f es una función diferenciable en (a, b),
el plano tangente es
z − f (a, b) = D1 f (a, b)(x − a) + D2 f (a, b)(y − b),
ya que z = f (x, y) ⇔ g(x, y, z) = z − f (x, y) = 0.
2.4.
Condición suficiente de diferenciabilidad
Definición 2.11. Se dice que la función f : A ⊂ Rn → Rm es de clase C 1 en a cuando existen todas las
derivadas parciales de f en un entorno de a y son continuas en a.
Teorema 2.12. Si f : A ⊂ Rn → Rm es de clase C 1 en a entonces f es diferenciable en a.
Nota 2.3. Las hipótesis del teorema anterior se pueden debilitar en el sentido de que basta que para cada
función componente exista una derivada parcial en a y las restantes n − 1 derivadas parciales existan en
un entorno de a y sean continuas en a.
10
2.5.
Tema 2. Cálculo diferencial
Teorema del valor medio
Definición 2.13. Sea A ⊂ Rn .
1. Se dice que A es conexo cuando no existen abiertos U y V tales que: U ∩ V = ∅; A ⊂ U ∪ V ; A ∩ U 6= ∅
y A ∩ V 6= ∅
2. Se dice que A es convexo cuando todo segmento con extremos en A está contenido en A.
3. Se dice que A es poligonalmente conexo cuando cualesquiera dos puntos de A pueden unirse por una
curva poligonal contenida en A.
Nota 2.4. Si A es abierto, A es conexo si y sólo si es poligonalmente conexo. Además, la poligonal que une
dos puntos puede escogerse de modo que sus segmentos sean paralelos a los ejes.
Teorema 2.14 (Teorema del valor medio). Sea f : A ⊂ Rn → R diferenciable en el abierto A. Sean
a, b ∈ A tales que el segmento que los une está contenido en A.
Entonces, existe z en el segmento abierto tal que
f (b) − f (a) = ∇f (z) · (b − a)
Corolario 2.15.
1. (Teorema de incrementos finitos) Sea f : A ⊂ Rn → R diferenciable en el abierto
A. Sean a, b ∈ A de modo que el segmento que los une está contenido en A. Si |∇f (z)| ≤ M para todo
z de ese segmento, entonces |f (b) − f (a)| ≤ M |b − a|.
2. Sea f : A ⊂ Rn → Rm , A es un abierto conexo . Si f es diferenciable en el A y Df (x) = 0 para todo
x ∈ A, entonces f es constante en A.
Tema
3
Fórmula de Taylor. Extremos
3.1.
Derivadas de orden superior
Definición 3.1. Sea f : A ⊂ Rn → Rm , A abierto y tal que existe la derivada parcial Di f (x) en A. Las
derivadas parciales de la función Di f : A ⊂ Rn → Rm se denominan derivadas parciales de segundo orden,
y las denotaremos
∂ 2 f (x)
.
Dj (Di f )(x) = Di,j f (x) =
∂xj ∂xi
Estas definiciones y notaciones se extienden de modo natural por inducción a órdenes superiores de derivación.
Definición 3.2. Sea f : A ⊂ Rn → R, A abierto. Si p ∈ N y p > 1, se dice que f es p-veces diferenciable en
a ∈ A, si existen las derivadas parciales de f de orden p − 1 en B(a, r) ⊂ A y son funciones diferenciables
en a. Se dice que f es p-veces diferenciable en A, si f es p-veces diferenciable en cada punto de A.
Si f : A ⊂ Rn → Rm , A abierto, p ∈ N y p > 1, se dice que f es p-veces diferenciable en a ∈ A, si lo
es cada una de sus funciones componentes. Se dice que f es p-veces diferenciable en A, si cada función
componente de f es p-veces diferenciable en cada punto de A.
Definición 3.3. Sea p ∈ N. Se dice que la función f : A ⊂ Rn → R es de clase C p en a cuando existen todas
las derivadas parciales de f de orden menor o igual que p en B(a, r) ⊂ A y son funciones continuas en a.
Se dice que la función f es de clase C p en A, cuando existen en A todas las derivadas parciales de orden
menor o igual que p en A y son continuas en A. Si f es de clase C p en A para todo p ∈ N, decimos que f es
de clase C ∞ en A.
Si f : A ⊂ Rn → Rm , A abierto, p ∈ N y p > 1, se dice que f es de clase C p en a ∈ A, si lo es cada una de
sus funciones componentes. Se dice que f es de clase C p en A, si cada función componente de f es de clase
C p en cada punto de A.
Nota 3.1. De la condición suficiente de diferenciabilidad se deduce que si f es de clase C p en a, entonces f
es p-veces diferenciable en a.
Teorema 3.4 (Heffter – Young). Sea f : A ⊂ R2 → R, A abierto. Si las derivadas parciales D1 f y D2 f
existen en una bola B(a, r) ⊂ A y son diferenciables en a, entonces D1,2 f (a) = D2,1 f (a).
Corolario 3.5. Sea f : A ⊂ Rn → R, A abierto. Si f es dos veces diferenciable en a ∈ A, entonces Di,j f (a) =
Dj,i f (a), 1 ≤ i, j ≤ n.
Nota 3.2. Por inducción se deduce que si f : A ⊂ Rn → R, A abierto, y f es p-veces diferenciable en a ∈ A,
entonces Di1 ,...,ip f (a) = Dj1 ,...,jp f (a), si 1 ≤ ik , jk ≤ n y {i1 , . . . , ip } es una permutación de {j1 , . . . , jp }.
Teorema 3.6 (Schwarz). Sea f : A ⊂ R2 → R, A abierto, a ∈ A. Si D1 f , D2 f y Di,j f , i 6= j, existen en una
bola B(a, r) ⊂ A y Di,j f es continua en a, entonces existe Dj,i f (a) y Dj,i f (a) = Di,j f (a).
12
Tema 3. Fórmula de Taylor. Extremos
Corolario 3.7. Sea f : A ⊂ Rn → R, A abierto. Si f es de clase C p en A, entonces para todo x ∈ A se verifica
Di1 ,...,ip f (x) = Dj1 ,...,jp f (x), si 1 ≤ ik , jk ≤ n y {j1 , . . . , jp } es una permutación de {i1 , . . . , ip }, .
3.2.
Teorema de Taylor
Definición 3.8. Sea f : A ⊂ Rn → R una función p-veces diferenciable en a ∈ A. El polinomio de Taylor
de f de orden p en a ∈ A es el polinomio de n variables, Pp (x) definido como
f (a)+
n
X
i=1
Di f (a)(xi −ai )+
n
n
1 X
1 X
Di,j f (a)(xi −ai )(xj −aj )+· · ·+
Di ,...,ip f (a)(xi1 −ai1 ) · · · (xip −aip ).
2! i,j=1
p! i ,...,i =1 1
1
p
El resto de Taylor de orden p es Rp (x) = f (x) − Pp (x).
La fórmula f (x) = Pp (x) + Rp (x) se denomina “Fórmula de Taylor de f en a de orden p”.
Teorema 3.9 (Expresión del resto de Taylor). Sea f : A ⊂ Rn → R una función de clase C p+1 en el
abierto A. Sean a, x ∈ A tales que L(a, x) ⊂ A. Entonces, existe z ∈ L(a, x) tal que
Rp (x) =
1
(p + 1)! i
n
X
Di1 ,...,ip+1 f (z)(xi1 − ai1 ) · · · (xip+1 − aip+1 ).
1 ,...,ip+1 =1
Teorema 3.10 (Comportamiento del resto de Taylor). Sea f : A ⊂ Rn → R una función de clase C p en
Rp (x)
el abierto A. Entonces lı́m
= 0.
x→a |x − a|p
Nota 3.3. El resultado anterior es cierto con la hipótesis “f es p-veces diferenciable en a”.
3.2.1.
Estudio especı́fico del polinomio de Taylor de segundo orden
Definición 3.11 (Nociones básicas de aplicaciones bilineales y formas cuadráticas). Sea ϕ : Rn ×
Rn → R una aplicación bilineal. La matriz A = (γij ), donde γij = ϕ(ei , ej ) se denomina matriz asociada a
la forma bilineal ϕ. Se expresa
n
X
ϕ(x, y) = xt Ay =
γij xi yj
i,j=1
La forma bilineal se dice simétrica si ϕ(x, y) = ϕ(y, x), cualesquiera que sean x, y ∈ Rn . En este caso, la
matriz asociada es simétrica. La aplicación Q(x) = ϕ(x, x) se denomina forma cuadrática asociada a la
forma bilineal ϕ.
La forma cuadrática es definida positiva (resp. definida negativa) si Q(h) > 0 (resp. Q(h) < 0), cualquiera que sea h ∈ Rn \{0}. Si las desigualdades no son estrictas, se dice semidefinida positiva (resp.
semidefinida negativa).
Si existen u, v ∈ Rn tales que Q(u) < 0 < Q(v) se dice que Q es indefinida.
Nota 3.4.
1. Q es definida positiva si y sólo si todos los autovalores de la matriz asociada son mayores
que 0, y Q es definida negativa si y sólo si todos los autovalores de la matriz asociada son menores
que 0.
2. Si ∆k son los menores principales de la matriz asociada a una forma cuadrática simétrica Q, Q es
definida positiva si y sólo si ∆k > 0, 1 ≤ k ≤ n y Q es definida negativa si y sólo si (−1)k ∆k > 0, 1 ≤
k ≤ n.]
El polinomio de Taylor de orden dos de la función f en a es:
P2 (x) = f (a) +
n
X
i=1
Di f (a)(xi − ai ) +
n
1 X
Dij f (a)(xi − ai )(yj − aj ).
2 i,j=1
13
Extremos relativos
Que podemos expresar
1
P2 (x) = f (a) + ∇f (a) · (x − a) + Q(x − a)
2
donde Q es la forma cuadrática correspondiente a la matriz


D1,1 f (a) D1,2 f (a) . . . D1,n f (a)
 D2,1 f (a) D2,2 f (a) . . . D2,n f (a) 


 ..

..
. . ..
 .

. .
.
Dn,1 f (a) Dn,2 f (a)
...
Dn,n f (a)
que se denomina “matriz hessiana de f en a” (es simétrica por el teorema de Heffter – Young) . Su determinante se denomina “hessiano de f en a”.
Nota 3.5. Comentario sobre la diferencial segunda.
Sea f : A ⊂ Rn → R. Si f es dos veces diferenciable en a, Df es diferenciable en a. Puesto que Df : A ⊂
n
R → L(Rn , R), tenemos que D2 f (a) = D(Df )(a) ∈ L(Rn , L(Rn , R)).
La aplicación:
(u, v) 7→ D2 f (a)(u)(v) = (D2 f (a)(v))(u)
es una forma bilineal simétrica de Rn × Rn → R y su matriz asociada es la matriz hessiana.
3.3.
3.3.1.
Extremos relativos
Extremos libres
Definición 3.12. Sea f : A ⊂ Rn → R. Si existe una bola B(a, r) tal que f (x) ≤ f (a) (resp. f (x) ≥ f (a)),
para todo x ∈ B(a, r) ∩ A, decimos que f tiene en el punto a un máximo (resp. mı́nimo) relativo. En ambos
casos decimos que f tiene un extremo relativo en a. Si las desigualdades son estrictas para x 6= a, el
extremo se denomina estricto.
Definición 3.13. Sea f : A ⊂ Rn → R. Si f tiene en a ∈ A un extremo relativo y a es un punto interior de
A, decimos que f tiene en a un extremo libre.
Teorema 3.14 (Condición necesaria de extremo). Sea f : A ⊂ Rn → R, a ∈ A. Si f tiene en a un
extremo relativo y existe Du f (a), u ∈ Rn , entonces Du f (a) = 0.
Corolario 3.15 (Condición necesaria de extremo relativo libre para funciones diferenciables). Sea f : A ⊂
Rn → R, A es abierto y a ∈ A. Si f es diferenciable en a y tiene en a un extremo relativo (libre), entonces
Dk f (a) = 0, 1 ≤ k ≤ n (es decir, ∇f (a) = 0) .
Nota 3.6. La condición necesaria del corolario anterior no es una condición suficiente.
Definición 3.16. Sea f : A ⊂ Rn → R diferenciable en a, A abierto. Si ∇f (a) = 0, se dice que a es un
punto estacionario o crı́tico de f . Si a es un punto estacionario y cualquiera que sea la bola B(a, r) ⊂ A
existen x, y ∈ B(a, r) tales que f (x) < f (a) < f (y), decimos que a es un punto de silla de f .
Luego si a es un punto estacionario de f , entonces f tiene en a un extremo relativo o un punto de silla.
Nota 3.7. El polinomio de Taylor de orden dos se puede escribir
1
P2 (x) = f (a) + ∇f (a) · (x − a) + Q(x − a)
2
donde Q es la forma cuadrática asociada a la matriz hessiana de f en a.
Teorema 3.17 (Condición suficiente de extremo relativo libre para funciones dos veces diferenciables). Sea f : A ⊂ Rn → R dos veces diferenciable en a ∈ A, A abierto y ∇f (a) = 0. Entonces,
1. Si Q es definida positiva, f tiene mı́nimo relativo estricto en a.
14
Tema 3. Fórmula de Taylor. Extremos
2. Si Q es definida negativa, f tiene máximo relativo estricto en a.
3. Si existen u, v ∈ Rn de modo que Q(u) < 0 < Q(v), f tiene punto de silla en a.
4. Si Q es semidefinida, nada puede afirmarse (caso dudoso1 ).
Corolario 3.18 (Condición necesaria de extremos libres para funciones dos veces diferenciables). Sea f : A ⊂ Rn → R dos veces diferenciable en a ∈ A, A abierto. Si f tiene en a extremo relativo,
entonces Q no es indefinida.
Caso particular n = 2
Corolario 3.19. Sea f : Ω ⊂ R2 → R dos veces
en a, Ω abierto, ∇(a) = 0. Sean A =
diferenciable
A C = AB − C 2 . Entonces,
D1,1 f (a), B = D2,2 f (a), C = D1,2 f (a), ∆ = det C B
1.
2.
3.
4.
Si ∆ > 0 y A > 0, f tiene mı́nimo relativo estricto en a.
Si ∆ > 0 y A < 0, f tiene máximo relativo estricto en a.
Si ∆ < 0, f tiene punto de silla en a.
Si ∆ = 0, nada puede afirmarse2 .
3.3.2.
Extremos condicionados. Teorema de los multiplicadores de Lagrange
Definición 3.20. Sean f, gi : A ⊂ Rn → R, 1 ≤ i ≤ m < n, y
D = {x ∈ A : gi (x) = 0, 1 ≤ i ≤ m}.
Se dice que f tiene en a un extremo relativo bajo las condiciones gi (x) = 0, 1 ≤ i ≤ m (llamadas también
ecuaciones de ligadura) si la función f|D tiene en a un extremo relativo.
Teorema 3.21 (Teorema de los multiplicadores de Lagrange). Sean f, gi : A ⊂ Rn → R, 1 ≤ i ≤ m <
n, A ⊂ Rn abierto, tales que f, g1 , . . . , gm ∈ C 1 (A). Sea
D = {x ∈ A : gi (x) = 0, 1 ≤ i ≤ m}.
Si a ∈ D y f (x) ≥ f (a) ( f (x) ≤ f (a) ), ∀x ∈ D ∩ B(a, r), entonces existen λ0 , λ1 , . . . , λm ∈ R no todos nulos
tales que
m
X
λk ∇gk (a) = 0,
es decir,
λ0 ∇f (a) +
k=1
λ0 Dj f (a) +
m
X
λk Dj gk (a) = 0, 1 ≤ j ≤ n.
k=1
Si además los vectores ∇gk (a), 1 ≤ k ≤ m, son linealmente independientes, podemos elegir λ0 = 1.
1 Si f es un polinomio de segundo grado, entonces si Q es semidefinida positiva f tiene mı́nimo relativo en a, y si Q es semidefinida
negativa f tiene máximo relativo en a.
2 Si f es un polinomio de segundo grado y ∆ = 0, entonces: si A > 0 o B > 0, f tiene mı́nimo relativo en a. Mientras que si A < 0
o B < 0, f tiene máximo relativo en a.
Tema
4
Teoremas de inversión local
4.1.
Teorema de la función inversa
Definición 4.1. Sea A ⊂ Rn abierto. Una función f : A → Rn es localmente invertible en a ∈ A cuando
existe r > 0 tal que f es inyectiva en B(a, r). En ese caso, se puede definir la función inversa f −1 en
f (B(a, r)).
Se dice que f es localmente invertible en A cuando lo es en cada a ∈ A. Se dice que es globalmente
invertible cuando es inyectiva en A.
Teorema 4.2 (Teorema de la función inversa). Sea f : A ⊂ Rn → Rn , A abierto. Si:
1. f es diferenciable en A,y Df es continua en a.
2. Jf (a) 6= 0.
Entonces, existen abiertos V, W ⊂ Rn tales que:
a ∈ V, f (a) ∈ W, f : V → W es biyectiva.
f −1 es diferenciable en W y Df −1 (y) = (Df (f −1 (y)))−1 , ∀y ∈ W .
Df −1 es continua en f (a).
Corolario 4.3. En las condiciones del teorema, si f ∈ C p (A) entonces f −1 ∈ C p (W ).
4.2.
Teorema de la función implı́cita
Teorema 4.4 (Teorema de la función implı́cita). Sea f : U ⊂ Rn × Rm → Rm , U abierto, tal que
1. f (a, b) = 0, (a, b) ∈ U, (a ∈ Rn , b ∈ Rm ).
2. f esdiferenciableen U y Df es continua en (a, b).
∂(f1 . . . fm )
(a, b) 6= 0.
3. det
∂(y1 . . . ym )
Entonces,
Existen A ⊂ Rn , B ⊂ Rm abiertos con a ∈ A, b ∈ B, A × B ⊂ U .
Existe g : A → B diferenciable, g(a) = b, Dg continua en a y f (x, g(x)) = 0, ∀x ∈ A. (g se denomina
función implı́cita definida por la ecuación f (x, y) = 0 en un entorno de (a, b)).
La aplicación g es única en el sentido de que ∀(x, y) ∈ A × B : f (x, y) = 0 =⇒ y = g(x).
Corolario 4.5. En las condiciones del teorema, si f ∈ C p (U ) entonces g ∈ C p (A).
16
4.3.
Tema 4. Teoremas de inversión local
Derivada de la función implı́cita
Teorema 4.6 (Derivada de la función implı́cita). Con las hipótesis y notaciones del teorema de la
función implı́cita, la diferencial de la función implı́cita g es
Dg(a) = −
∂(f1 . . . fm )
(a, b)
∂(y1 . . . ym )
−1 ∂(f1 . . . fm )
◦
(a, b)
∂(x1 . . . xn )
Ejercicios del tema 1
Problema 1. En cada uno de los siguientes conjuntos, indica razonadamente si son cerrados, acotados o
compactos:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
2
2
A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 − 2x +
p3y + z ≤ 3}.
B = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 < z = 1 − x2 − y 2 }.
C = {(x, y, z) ∈ R3 : x = z 2 , y ≥ 0}.
D = {(x, y, z) ∈ R3 : |y| ≤ arctan x}.
E = {(x, y) ∈ R2 : | arctan x| ≤ y ≤ π/4}.
F = {(x, y) ∈ R2 : (arctan x)2 ≤ y ≤ π 2 /4}.
G = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 1, x > 0, y > 0, z > 0}.
Problema 2. Responde razonadamente las siguientes cuestiones:
1. Si A = {(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ y 2 + z 2 , x + y = 1}, ¿es A compacto?
2. Si B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + xy + y 2 ≥ 1}, ¿es B compacto?
3. Si C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 < 3 , x = y = z}, ¿es C cerrado? ¿es abierto?
Problema 3. Determina si los siguientes conjuntos son cerrados y acotados:
1. A = {(x, y) ∈ R2 : y 2 ≤ x ≤ 3 + y 2 }.
2. B = {(x, y) ∈ R2 : y 2 ≤ x ≤ 3 − y 2 }.
3. C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 − 4x + y 2 ≤ (z − 1)2 − 3, |z| ≤ 2}.
Problema 4. Consideremos los conjuntos
A = {(x, y) ∈ R2 : log x ≤ 3}
B = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ log x ≤ 3}
C = {(x, y) ∈ R2 : y 2 + log x ≤ 3}
D = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ y 2 + (log x)2 ≤ 3}
Indica razonadamente si estos conjuntos son cerrados o acotados en R2 .
Problema 5. Calcula, si existen, los lı́mites:
x2 + xy + y 3
,
x2 + y 2
(x,y)→(0,0)
lı́m
sen(xy)
p
,
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
lı́m
x3
(x,y)→(0,0) xy + y − x2
lı́m
Problema 6. Indica razonadamente si los siguientes conjuntos son abiertos, cerrados, acotados o compactos:
1.
2.
3.
4.
5.
A = {(x, y) ∈ R2 : xy < 1}.
B = {(x, y) ∈ R2 : (x2 + y 2 − 1)(4 − x2 − y 2 ) ≤ 0}.
C = {(x, y) ∈ R2 : (2x − x2 − y 2 )(x2 + y 2 − x) ≥ 0}.
D = {t ∈ R : t = et }.
E = {(x, y) ∈ R2 : x + y = ex+y }.
Con ayuda de las siguientes gráficas, dibuja los conjuntos anteriores e indica qué curvas aparecen
dibujadas en estas figuras.
18
Tema 4. Teoremas de inversión local
2
1.0
1
0.5
4
0.5
2
-2
1
-1
1.0
1.5
2.0
-2
1
-1
-0.5
-1
-1.0
-2
2
-2
-2
2
2
1
1
1
-1
2
-2
1
-1
-4
-1
-1
-2
-2
Problema 7. Indica las respuestas verdaderas o falsas:
V
F
El conjunto {(x, y) ∈ R2 : 3x2 − 2xy − y 2 = 0} es cerrado y acotado
V
F
El conjunto {(x, y) ∈ R2 : 3x2 − 2xy − y 2 = 0} es cerrado pero no es acotado
V
F
El conjunto {(x, y) ∈ R2 : 3x2 + 2xy + y 2 = 0} es cerrado y acotado
V
F
El conjunto {(x, y) ∈ R2 : 3x2 + 2xy + y 2 = 0} es cerrado pero no es acotado
V
F
El conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z = 3} es cerrado y acotado
V
F
El conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z = 3} es cerrado pero no es acotado
V
F
El conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + |z| = 3} es cerrado y acotado
V
F
El conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + |z| = 3} es cerrado pero no es acotado
V
F
La función f (x, y) = (xy)2 /(xy 3 + (x − y)2 ) no tiene lı́mite en el origen
V
F
La función f (x, y) = (xy)2 /(xy 3 + (x − y)2 ) tiene lı́mite y vale cero en el origen
Problema 8. Consideremos las funciones
f (x, y) =
x2
,
x+y
g(x, y) =
x3
,
x2 + y 2
h(x, y) =
x4
x3 + y 3
Estudia razonadamente la existencia de lı́mite doble en el origen de coordenadas.
Problema 9. Calcula, si existen, los lı́mites
x2 y
p
,
(x,y)→(0,0)
x6 + y 2
lı́m
2
lı́m
(x,y)→(0,0)
arctan
x2 − y 2
x4 + y 4
log(1 + x2 + y 2 )
x2 − y 2
(x,y)→(0,0)
lı́m
2
19
Derivada de la función implı́cita
Problema 10. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:
1. f (x, y) = sen x si x ≥ 0; f (x, y) = y 3 si x < 0 e y ≥ 0; f (x, y) = 1 − e−x si x < 0 e y < 0.
2. f (x, y) = |x − y| si x ≥ 0; f (x, y) = y 3 si x < 0 e y ≥ 0; f (x, y) = e−x si x < 0 e y < 0.
Problema 11. Estudia la existencia de lı́mites unidimensionales, reiterados y doble en el punto (0, 0) en
los siguientes casos:
(
x + y, si x > 0
xy 2
f (x, y) = 2
f (x, y) =
x + y4
x − y, si x ≤ 0
Problema 12. Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
1. Todo conjunto acotado es compacto
2. Si f : R2 → R es tal que no tiene lı́mites reiterados en el origen, entonces no tiene lı́mite doble en
dicho punto.
3. Sea f (x, y) = y 4 /x3 . Entonces f tiene lı́mite en el origen a través de la dirección A = {(x, y) ∈ R2 :
x > 0, |y| < x}, pero no existe el lı́mite doble en el origen de coordenadas.
Problema 13. Indica si las implicaciones son verdaderas o falsas para f : A ⊂ R2 → R, (a, b) ∈ A, A
abierto.
V
F
La existencia e igualdad de los lı́mites reiterados de f en (a, b) implica la existencia del lı́mite
doble en (a, b)
V
F
El conjunto {(x, y) ∈ R2 :
p
y − x2 < 1} es abierto
V
F
El conjunto {(x, y) ∈ R2 :
p
x2 + (y − 1)2 < 1} es abierto
V
F
El conjunto {(x, y) ∈ R2 : x2 − 6x + 2y 2 ≤ 1} es compacto
V
F
El lı́mite
log(1 + x2 + 3y 2 )
existe y vale 0
x2 + y 2
(x,y)→(0,0)
lı́m
Problema 14. Estudia la existencia de lı́mites unidimensionales, reiterados y doble en el origen de las
funciones:
1
−
1
log(1 + x − y)
2
2
f (x, y) = e x + y sen 2
g(x, y) =
x
x+y
Problema 15. Indica razonadamente si los siguientes conjuntos son abiertos, cerrados, acotados o compactos:
1.
2.
3.
4.
A = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 3, E(x) ≤ y ≤ 3}.
B = {(x, y) ∈ R2 : √
2 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ E(x)}.
C = {(x, y) ∈ R2 : √x − 1 ≤ y ≤ 1}.
D = {(x, y) ∈ R2 : x − 1 < y < 1}.
Nota: E(x) denota la parte entera de x, es decir, el menor entero mayor o igual que x.
20
Tema 4. Teoremas de inversión local
Ejercicios del tema 2
Problema 16. Calcula la derivada de f en a según la dirección v:
1. f (x, y) = xy; a = (1, 3); v = (2, −1).
2. f (x, y) = xexy ; a = (1, −1); v = (1, 1).
3. f (x, y, z) = (x/y)z ; a = (1, 1, 1); v = (2, 1, −1).
Problema 17. Obtén las matrices jacobianas de las siguientes funciones en los puntos indicados:
√
1. f (x, y) = arctan((x + y)/(1 − xy)), tan(x2 /y) ; ( π, 1).
p
2. f (x, y) = (x2 + y 2 sen xy, x/ x2 + y 2 , log((x + y)/(x − y))); (2, π/2).
x2 y
, si (x, y) 6= (0, 0); f (0, 0) = 0 y g(t) = (2t, 2t).
x2 + y 2
Comprueba que f ◦ g es derivable en el origen de coordenadas. Calcula las derivadas parciales de f en
el origen de coordenadas, ası́ como el vector ∇f (0, 0). ¿Cuánto vale ∇f (0, 0) · g0 (0)? Explica los resultados
obtenidos.

x2 y 2

, si (x, y) 6= (0, 0)
Problema 19. Sean f (x, y) = x2 y 2 + (x − y)2
, g(t) = (2t, t) y h(t) = (t2 , t). Calcula

0,
si (x, y) = (0, 0)
las derivadas parciales en el origen de f , ası́ como el valor de ∇f (0, 0) · g0 (0) y ∇f (0, 0) · h0 (0). Calcula
directamente los valores de (f ◦ g)0 (0) y (f ◦ h)0 (0). Explica razonadamente los resultados obtenidos.
Problema 18. Consideremos las funciones f (x, y) =
x2 sen y + y 2 sen x
. ¿Cuál es el dominio de definición de f ? Calcula los lı́mites
x2 + xy + 2y 2
direccionales a través de rectas que pasan por el origen. Prueba que puede definirse en el origen para que
sea continua. Calcula las derivadas direccionales en el origen de coordenadas. ¿Es f diferenciable en ese
punto?
Problema 20. Sea f (x, y) =
Problema 21. ¿En qué puntos la gráfica de la función f (x, y) = x2 + xy + y 2 tiene un plano tangente que
es paralelo al plano de ecuación x + z = 0?
Problema 22. Sea f : R2 → R definida por f (x, y) = y 2 arctan(y − x2 ) y sea g : R → R2 definida por
g(t) = (sen t, cos t). Calcula, mediante la regla de la cadena, la matriz jacobiana de g ◦ f en (0, 1) y la
derivada de f ◦ g en t = 0.
Problema 23. Sea f : R3 → R, definida por f (x, y, z) = x2 cos(y − z); y sea g : R → R3 , definida por
π
g(t) = (t, , arctan t).
2
Calcula la matriz jacobiana de g ◦ f en el punto (1, 1, 1) y la derivada de f ◦ g en t = 1.

4
4
arctan x + y
si (x, y) 6= (0, 0)
Problema 24. Sea f (x, y) =
x2 + y 2

0
si (x, y) = (0, 0)
1. Calcula los lı́mites unidimensionales, reiterados y a través de rectas de f en el origen de coordenadas.
¿Es f continua en el origen de coordenadas?
2. Calcula las derivadas direccionales de f en el origen de coordenadas. ¿Cuál es el vector ∇f (0, 0)? ¿Es
diferenciable en ese punto?
3. Si las gráficas de las curvas del tipo x4 + y 4 = c(x2 + y 2 ), c > 0, son del tipo de la indicada en la
gráfica de abajo (izquierda), ¿puedes decir cómo son las curvas de nivel de esta superficie? Dibújalas
a la derecha.
21
Derivada de la función implı́cita
x4 + y 4 = c(x2 + y 2 )
Curvas de nivel de f
(
2
Problema 25. Sea f : R → R definida por f (x, y) =
xy
xy
p
y − x2
si y > x2
.
si y ≤ x2
1. Estudia la continuidad de f en R2 .
2. Estudia la diferenciabilidad de f en R2 .
3. Calcula la derivada direccional de f en los puntos (0, 1), (1, 1) y (1, 0) según el vector v = (1, 2).
(
y
x sen 4 arctan
, si x 6= 0
x
Problema 26. Sea f (x, y) =
0,
si x = 0
Estudia la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciablidad de la función f .
Problema
p 27. Estudia la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad de la función
f (x, y) = |xy|.
Problema 28. Sea f : R2 → R definida por
(
p
y 4 − x2 , si y ≥ |x|
p
f (x, y) =
x2 − y 2 , si y < |x|
1. Estudia la continuidad de f y calcula sus derivadas parciales.
2. Estudia la diferenciabilidad de f .
3. Calcula, si existe, la derivada direccional de f según el vector v = (2, 1) en los puntos (0, 0) y (1, 1).
Problema 29. De una función f : R2 → R diferenciable en el punto (1, 2), sabemos que las derivada direccionales D(1,1) f (1, 2) y D(0,2) f (1, 2) valen respectivamente 2 y −4. ¿Cuánto vale la derivada direccional
D(−1,−2) f (1, 2)?
Problema 30. Consideremos la función f (x, y) = arctan
1. Prueba que es continua en todo el plano.
x2 y
, si (x, y) 6= (0, 0); f (0, 0) = 0.
+ y2
x2
22
Tema 4. Teoremas de inversión local
2. Si v = (cos α, sen α) es un vector de módulo uno, calcula Dv f (0, 0).
3. ¿Es f diferenciable en el origen de coordenadas?
4. ¿En qué dirección se alcanza la derivada direccional máxima en el origen de coordenadas?
Problema 31. Sea f : R2 → R, definida por f (x, y) = x|y − x|. Calcula las derivadas parciales de f donde
existan y estudia la diferenciabilidad de f .
Problema 32. Sea f (x, y) = |x2 − y 2 |.
1.
2.
3.
4.
5.
Estudia la continuidad de f .
Calcula las derivadas direccionales de f en los puntos (3, 2) y (−2, 3).
Estudia la existencia de las derivadas direccionales en el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : |x| = |y|}.
¿En qué puntos del conjunto A es f diferenciable?
¿Verifica la condición suficiente de diferenciabilidad la función f en el origen de coordenadas?

5
 (x + y)
si (x, y) 6= (0, 0)
2
2
Problema 33. Sea n un número natural y consideremos la función f (x, y) = (x + y )n

0
si (x, y) = (0, 0)
1. Calcula el lı́mite de f en el origen de coordenadas en la dirección y = 0. ¿Qué condición debe verificar
n para que f sea continua en ese punto? Demuestra que, efectivamente, para esos valores de n , la
función f es continua en el origen.
2. ¿Para qué valores de n existen las derivadas parciales de f en el origen de coordenadas?
3. ¿Para qué valores de n es f diferenciable en el origen de coordenadas?
Problema 34. Sea la función f : R2 → R definida por

1
(x2 + y 2 ) sen
, si (x, y) 6= (0, 0)
2
x + y2
f (x, y) =
0,
si (x, y) = (0, 0)
1.
2.
3.
4.
Demuestra que f es continua en R2 .
Estudia la existencia de D1 f y D2 f en un entorno de (0, 0).
Estudia la continuidad de D1 f y D2 f en (0, 0).
¿Es f diferenciable en (0, 0)? Justifica la respuesta. ¿Contradicen los resultados obtenidos la condición suficiente de diferenciabilidad?
Problema 35. Sea

 (x + y) sen(xy)
f (x, y) =
x2 + y 2

0
si (x, y) 6= (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
1. Estudia la continuidad de f en (0, 0).
2. Calcula, si existen, las derivadas direccionales de f en (0, 0).
3. Estudia la diferenciabilidad de f en (0, 0).
Problema 36. Sean f : R3 → R definida por f (x, y, z) = (x2 + y 2 )z , g : R → R3 definida por g(t) =
(|t|, 1, e|t|−1 ). Calcula, razonadamente, la matriz jacobiana de g ◦ f en el punto (1, 1, 1) y la derivada de
f ◦ g en t = −2.
Problema 37. Consideremos las funciones
f (x, y, z) = (ex + y 2 , kez + y);
g(u, v) = v 2 + log u
donde k es una constante real. Calcula las matrices jacobianas de f y g donde existan. ¿Cuánto debe valer
k para que la dirección de máximo crecimiento de la función g ◦ f en (0, 0, 0) sea la del vector (1, 6, 18)?
 2
3
x y − y
si (x, y) 6= (0, 0)
Problema 38. Sea f (x, y) =
x2 + y 2

0
si (x, y) = (0, 0)
Derivada de la función implı́cita
23
1. Calcula los lı́mites unidimensionales, reiterados y a través de rectas de f en el origen de coordenadas.
¿Es f continua en el origen de coordenadas?
2. Calcula las derivadas direccionales de f en el origen de coordenadas. ¿Cuál es el vector ∇f (0, 0)? ¿Es
diferenciable en ese punto?
3. Calcula la función D1 f (x, y). Demuestra que D1 f no es continua en el origen. Sin hacer cálculos,
¿qué puedes decir de la continuidad de la función D2 f ?
Problema 39. Sea f : [0, 1] → R2 , f (x) = (x2 , x3 ). ¿Existe c ∈ (0, 1) tal que f (1) − f (0) = f 0 (c)? Comenta el
resultado obtenido en relación al teorema del valor medio.
Problema 40. En cada una de las afirmaciones siguientes tacha V si es verdadera y tacha F si es falsa.
f : A ⊂ R2 → R, (a, b) ∈ A, A es abierto.
V
F
La existencia e igualdad de los lı́mites reiterados de f en (a, b) implica la existencia del
lı́mite doble en (a, b)
V
F
La existencia del lı́mite doble de f en (a, b) implica que todos los lı́mites direccionales
de f en (a, b) existen y son iguales
V
F
La existencia e igualdad de todas las derivadas direccionales de f en (a, b) implica que
f es diferenciable en (a, b)
Problema 41. Sea n ∈ N. Consideremos la función

n
 xy , si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) = x2 + y 4
0,
si (x, y) = (0, 0)
1. Demuestra que f es continua en el origen si y sólo si n ≥ 3.
2. Estudia para qué valores de n existen las derivadas parciales de f en origen.
3. ¿Para qué valores de n es diferenciable en (0, 0)?
Ejercicios del tema 3
(
Problema 42. Sea f (x, y) =
(y − ex )2 , si y ≥ e|x|
0,
si y < e|x|
1. Estudia la continuidad de f .
2. ¿Existen las derivadas parciales de f en (0, 1)? ¿Es f diferenciable en ese punto?
3. Calcula las derivadas cruzadas de f en (0, 1).

 x3 y
si (x, y) 6= (0, 0)
Problema 43. Sea f (x, y) =
x2 + y 2

0
si (x, y) = (0, 0)
Calcula D1,2 f (0, 0) y D2,1 f (0, 0). ¿Es f dos veces diferenciable en (0, 0)? Justifica la respuesta.
(
y − x2 ,
si y ≥ x2
.
Problema 44. Sea f (x, y) =
x2 + sen y, si y < x2
Calcula las derivadas de segundo orden en el origen de coordenadas. ¿Es f dos veces diferenciable en
ese punto?
Problema 45. Sea g : R3 → R dos veces diferenciable en (0, 1, 1) tal que

g(0, 1, 1) = 0,
∇g(0, 1, 1) = (1, 2, 1),
1
Hg (0, 1, 1) = 2
0
2
0
1

0
1
1
c) Expresa el polinomio de Taylor de orden dos de g en (0, 1, 1).
d) Si h : R → R3 es la aplicación definida por h(t) = (arctan t2 , et , cos t), calcula razonadamente la matriz
jacobiana de h ◦ g en (0, 1, 1) y la derivada de g ◦ h en t = 0.
 2 2
 x y
si (x, y) 6= (0, 0)
Problema 46. Sea f (x, y) = x2 + y 2

0,
si (x, y) = (0, 0)
1. Calcula, donde existan, las derivadas parciales de primer orden de f .
2. Calcula, si existen, las derivadas parciales de segundo orden de f en el origen.
3. Calcula el polinomio de Taylor de f de orden dos en el origen.
4. Calcula D1,2 f (x, y) si (x, y) 6= (0, 0).
5. ¿Es f dos veces diferenciable en el origen?
6. ¿Es la derivada cruzada D1,2 f (x, y) continua en el origen?
7. En conclusión, (táchese lo que NO proceda):
las derivadas cruzadas de f en el origen son IGUALES
DISTINTAS
f SÍ
NO verifica las hipótesis del teorema de Heffter-Young.
f SÍ
NO verifica las hipótesis del teorema de Schwarz.
Problema 47. Sea f : R2 → R definida por
 2
 x y(y − x) , si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) =
x2 + y 2

0,
si (x, y) = (0, 0)
25
Derivada de la función implı́cita
1.
2.
3.
4.
5.
Estudia la continuidad de f en R2 .
Calcula las derivadas parciales de f en (0, 0).
¿Es f diferenciable en (0, 0)?
Calcula las derivadas parciales cruzadas de segundo orden de f en (0, 0).
¿Es f dos veces diferenciable en (0, 0)?
Problema 48. Sea f : R2 → R definida por
y4
, si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) = x2 + y 2

0,
si (x, y) = (0, 0)


1. Calcula las derivadas parciales de primer orden de f en R2 . Demuestra que f ∈ C 1 (R2 ).
2. Calcula las derivadas parciales de segundo orden de f en (0, 0).
3. ¿Es f dos veces diferenciable en (0, 0)?
Problema 49. De una función f : R2 → R sabemos que
1. f es de clase C 2 (R2 ).
2. f tiene en (0, 0) un extremo relativo estricto.
3. Existen α y β reales tales que ∇f (0, 0) = (α − β, 0) y la matriz hessiana de f en (0, 0) es
α
1
αβ
.
2
Calcula razonadamente el valor de α y β. ¿Qué tipo de extremo tiene f en el origen?
Problema 50. Sea f : R2 → R de clase C 2 (R2 ). Supongamos que
f (1, 2) = 3,
∇f (1, 2) = (α, β),
α+1
Hf (1, 2) =
γ
γ
β−1
1. Expresa el polinomio de Taylor de f en el punto (1, 2).
2. Demuestra que para todos los valores de α, β y γ la función f no tiene un extremo relativo en (1, 2).
Problema 51. Resuelve razonadamente los siguientes ejercicios:
1. Estudia los extremos relativos y absolutos de la función f (x, y) = x4 + y 4 − 2x2 − 2y 2 + 4xy.
2. Encuentra los puntos de la elipse x2 + 6y 2 + 3xy = 40 que tienen la abscisa mayor.
Problema 52. Estudia los extremos relativos y absolutos de las siguientes funciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
f (x, y) = x3 + 3xy 2 − 15x − 12y.
f (x, y) = x3 + y 3 + 3xy.
f (x, y) = 6xy 2 − 2x3 − 3y 4 .
f (x, y) = x4 + y 4 + 6x2 y 2 + 8x3 .
f (x, y) = x2 + 2xy + 2y 3 + 4y 2 + 7.
f (x, y) = 3x2 y 2 + y 3 − 6y 2 + 9y.
f (x, y) = y 3 + x2 y − 3y.
f (x, y) = x2 + y 2 + kxy.
Problema 53. Consideremos las funciones
f (x, y) = x2 (1 + y)3 + y 2 ,
g(x, y) = (x2 y − x − 1)2 + (x2 − 1)2 .
Estudia los extremos de f y g. Comenta los resultados obtenidos con el caso de funciones reales de una
variable real.
Problema 54. Sea f (x, y) = y 3 − x2 .
1. Calcula los extremos absolutos y relativos de f en A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + 3y 2 = 3}.
2. Calcula los extremos absolutos y relativos de f en B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + 3y 2 ≤ 3}.
26
Tema 4. Teoremas de inversión local
3. Comenta el resultado obtenido para el punto (0, −1) en los apartados anteriores.
Problema 55. Sea f (x, y) = x + y 2 .
√
1. Estudia los extremos absolutos de f en el recinto M = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4, y ≤ 15x}.
2. Si δ > 0 es arbitrario pero fijo, estudia los valores que toma f en puntos de la forma (x, 0), ası́ como
en puntos de la forma (x, y) con x2 + y 2 = 4, con 2 − δ < x < 2. Deduce de ello que el punto (2, 0) no
es extremo relativo condicionado.
√
3. Mediante un estudio similar, deduce que el punto (−1/2, − 15/2) tampoco es extremo relativo condicionado.
Problema 56. Estudia los extremos relativos y absolutos de la función f (x, y) = x2 + y 2 en el recinto
A = {(x, y) ∈ R2 : x2 − 2x + y 2 − 4y ≤ 0}.
Interpreta geométricamente el problema propuesto.
Problema 57. Sea f (x, y) = 4x2 + 10y 2 . Estudia los extremos relativos y absolutos de f en el recinto
x2 + y 2 ≤ 4.
Problema 58. Sea f (x, y) = 2x + y 2 y sea M = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 2, x ≤ y 2 }. Calcula, si existen, los
extremos relativos y absolutos de f en M .
Problema 59. Consideremos la función f (x, y, z) = z + (x − 1)2 + y 2 y los recintos
A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z = 3},
B = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z ≤ 3}
1. Indica en las gráficas de abajo los recintos A y B.
2. Calcula sus extremos en el recinto A.
3. Los extremos de f en A, ¿son extremos en el conjunto B?
Problema 60. Utilizando el teorema de los multiplicadores de Lagrange calcula los extremos relativos y
absolutos, si existen, de la función f (x, y) = xy en el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + (y − 1)2 ≤ 1}.
Problema 61. Sea f (x, y) = x2 − y 2 + 4x y sea A = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 9}.
1. Prueba que f alcanza extremos absolutos en A y calcúlalos.
2. ¿Tiene f extremos relativos en el interior de A?
Problema 62. Prueba que la función f (x, y) = x2 + y 2 + x + y tiene extremos absolutos en el conjunto
M = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4, y ≤ 1}. Calcúlalos.
27
Derivada de la función implı́cita
Problema 63.
1. Prueba que la función f : R2 → R definida por: f (x, y) = x2 + (y −
extremos absolutos en el conjunto M = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4, x ≤ 1} y calc
√ úlalos.
2. Prueba que f restringida a M no tiene un extremo relativo en el punto (1, 3).
3. Interpreta geométricamente el problema de extremos planteado.
√
3)2 alcanza
Problema 64. Sea f (x, y) = x2 + 2y 2 .
1. Calcula los extremos relativos y absolutos de f en A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 + 2y = 3}.
2. Calcula los extremos relativos y absolutos de f en B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 + 2y ≤ 3}.
3. Comenta los resultados obtenidos.
Problema 65. Sea f (x, y) = x2 − 2x + y 2 + 2.
1. Calcula los extremos relativos y absolutos de f en A = {(x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 + 4y 2 = 4}.
2. Calcula los extremos relativos y absolutos de f en B = {(x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 + 4y 2 ≤ 4}. ¿Todos los
extremos de f en A lo son en B? Justifica la respuesta.
Problema 66. Prueba que en M = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 2, z ≥ x2 + y 2 } existen dos puntos P1 y
P2 que son, respectivamente, los puntos de M que están más cerca y más lejos del punto (0, 1, 2). Calcula
P1 y P2 .
Problema 67. Consideremos el conjunto M = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z ≤ 3}. Demuestra que la función
f (x, y, z) = z + (x − 1)2 + y 2 alcanza extremos absolutos en el conjunto M . Calcúlalos.
Problema 68. Consideremos la curva en R3 dada por las ecuaciones
(
x2 + 2y 2 + 2x + 4y − 9 = 0
y−z =0
¿Es un conjunto cerrado en R3 ? ¿Es acotado? Encuentra, si existen, los puntos que estén más cercanos y
lejanos del origen de coordenadas.
Problema 69. Sea A = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 1, x − y + 2z = 2}. ¿Es A un conjunto acotado? ¿Y
cerrado? ¿Es compacto? Estudia los extremos de la función f (x, y, z) = x2 + 2y 2 + 3z 2 en A, mediante el
teorema de los multiplicadores de Lagrange y sin el uso de tal teorema.
Problema 70. Consideremos los conjuntos
A = {(x, y, z) ∈ R3 : 2z + x2 + y 2 = 16, x + y = 4};
B = {(x, y, z) ∈ A : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}
1. ¿Es el conjunto A cerrado? ¿Y acotado? Encuentra, usando el método de los multiplicadores de Lagrange, los puntos de A más próximos al origen de coordenadas.
2. ¿Es el conjunto B cerrado? ¿Y acotado? Encuentra, usando el método de los multiplicadores de Lagrange, los puntos de B más alejados del origen de coordenadas.
3. Plantea como resolverı́as los apartados anteriores sin el uso del método de Lagrange.
Problema 71. Sea f (x, y) = (x − 5)2 + y 2 y sea M = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 6 4, x > −1}.
1. Calcula, si existen, los extremos absolutos y relativos de f en M .
2. Interpreta el problema gráficamente en R2 y explica geométricamente los resultados obtenidos anteriormente.
Problema 72. Consideremos la función f (x, y) = x2 − y 2 + 4x.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Estudia los extremos relativos y absolutos de f en R2 .
Escribe el polinomio de Taylor de orden dos de f en el punto (−2, 0).
Estudia los extremos absolutos de f en x2 + y 2 = 1.
Estudia los extremos absolutos de f en x2 + y 2 = 9.
¿Es el punto (−3, 0) extremo condicionado de f en el conjunto x2 + y 2 = 9?
Cuáles son los extremos absolutos de f en el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 9}?
28
Tema 4. Teoremas de inversión local
Problema 73. Sea f (x, y) = xy − x − y + 1.
1. ¿Tiene f extremos relativos en R2 ? ¿Y extremos absolutos?
2
2
2.5
2
2. Sea A = {(x, y) ∈ R : x + y = 2, (x − 1) + (y − 1) 6 2}.
2.0
Calcula los extremos de f en A.
1.5
3. Sea B = {(x, y) ∈ R2 : x + y 6 2, (x − 1)2 + (y − 1)2 = 2}.
1.0
Calcula los extremos de f en B.
4. Sea C = {(x, y) ∈ R2 : x + y 6 2, (x − 1)2 + (y − 1)2 6 2}.
Calcula los extremos de f en C. (Indicación: Utiliza los resultados
obtenidos anteriormente).
0.5
0.0
-0.5
5. En la figura adjunta señala los conjuntos A, B y C.
Comenta el comportamiento de f en el punto (1, 1) según se considere -1.0
-1.0
f en R2 o restringida a A o restringida a C.
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Problema 74. Sean f, g : R2 → R definidas por
g(x, y) = x2 + y 2 − 2x − 2y
f (x, y) = xy − x − y
Sean A = {(x, y) ∈ R2 : f (x, y) = 0} y B = {(x, y) ∈ R2 : g(x, y) = 0}.
1. ¿Es A compacto? ¿Es B compacto? Justifica las respuestas.
2. Calcula los extremos de f en B mediante los multiplicadores de Lagrange.
3. Justifica que la función g alcanza mı́nimo absoluto en A y calcúlalo mediante los multiplicadores de
Lagrange.
Problema 75. Consideremos la función f (x, y) = x2 y.
1. Estudia los extremos relativos y absolutos en R2 .
2. Estudia los extremos relativos y absolutos en el conjunto {(x, y) ∈ R2 : 2x2 + y 2 = 3}.
3. Estudia los extremos relativos y absolutos en el conjunto {(x, y) ∈ R2 : 2x2 + y 2 ≤ 3}.
Eje Z
A la vista de la gráfica, podemos decir (táchese lo que NO proceda):
Eje Y
f SÍ
NO tiene máximos absolutos en el plano.
f SÍ
NO tiene máximos relativos en el plano.
f SÍ
NO tiene mı́nimos absolutos en el plano.
f SÍ
NO tiene mı́nimos relativos en el plano.
f SÍ
NO tiene puntos de silla en el plano.
Eje X
29
Derivada de la función implı́cita
Eje Z
A la vista de la gráfica, podemos decir (táchese lo que NO proceda):
Eje Y
f SÍ
NO tiene máximos absolutos en 2x2 + y 2 = 3.
f SÍ
NO tiene máximos relativos en 2x2 + y 2 = 3.
f SÍ
NO tiene mı́nimos absolutos en 2x2 + y 2 = 3.
f SÍ
NO tiene mı́nimos relativos en 2x2 + y 2 = 3.
Eje X
Eje Z
A la vista de la gráfica, podemos decir (táchese lo que NO proceda):
Eje Y
Eje X
f SÍ
NO tiene máximos absolutos en 2x2 + y 2 ≤ 3.
f SÍ
NO tiene máximos relativos en 2x2 + y 2 ≤ 3.
f SÍ
NO tiene mı́nimos absolutos en 2x2 + y 2 ≤ 3.
f SÍ
NO tiene mı́nimos relativos en 2x2 + y 2 ≤ 3.
30
Tema 4. Teoremas de inversión local
Ejercicios del tema 4
Problema 76. Sea f : R2 → R2 definida por f (x, y) = (x3 + x + y 2 , y 3 ).
1. Comprueba que f es inyectiva en R2 .
2. Determina los puntos en los que f admite inversa local diferenciable.
3. Calcula la matriz jacobiana de f −1 en los puntos en los que f −1 sea diferenciable.
2
Problema 77. Sea f : R2 → R2 definida por f (x, y) = (ex , sen(x + y)).
1. Determina los puntos en los que f admite función inversa diferenciable.
2. Calcula la matriz jacobiana asociada a Df −1 (f (1, 1)).
3. ¿Es f localemnte invertible en (0, π/2)? Justifica la respuesta.
Problema 78. Sea A = {(x, y) ∈ R2 : x + y 6= 1} y sea f : A ⊂ R2 → R2 definida por
y
x
,
f (x, y) =
1−x−y 1−x−y
1. Prueba que f es localmente invertible en todos los puntos de A. Calcula Df −1 (f (x, y)).
2. Demuestra que f es inyectiva en A. Calcula f −1 . ¿Cuál es su dominio?
3. Halla la matriz jacobiana de f −1 y comprueba el resultado obtenido en el apartado anterior.
Problema 79. Sea f : R2 → R2 de clase C 1 . Conocemos el valor de dos derivadas direccionales de f en el
punto (1, 1):
D(3,0) f (1, 1) = (0, −6);
D(−3,1) f (1, 1) = (2, 0)
1. Calcula la matriz jacobiana de f en (1, 1).
2. ¿Es f localmente invertible en (1, 1)? En caso afirmativo, calcula la matriz jacobiana de f −1 en f (1, 1).
Problema 80. Sea f : R3 → R, A abierto, (1, −1, 2) ∈ A. Sabemos que
1. f es de clase C 1 en A.
2. f (1, −1, 2) = 0.
3. ∇f (1, −1, 2) = (2, 0, 5).

1
4. La matriz hessiana de f en (1, −1, 2) es Hf (1, −1, 2) = −1
0
−1
2
1

0
1
−1
Se pide:
1. Calcula la ecuación del plano tangente a la superficie f (x, y, z) = 0 en el punto (1, −1, 2).
2. Calcula el polinomio de Taylor de segundo grado de f en el punto (1, −1, 2).
3. Prueba que la ecuación f (x, y, z) = 0 define una función implı́cita z = z(x, y) en un entorno de
(1, −1, 2) que verifica z(1, −1) = 2. Calcula el plano tangente a la superficie z = z(x, y) en el punto
(1, −1, 2). Comenta el resultado obtenido en relación al primer apartado.
Problema 81. Comprueba que la ecuación sen(xz) + ey = 32 define una función implı́cita z = z(x, y) en un
entorno de (1, 0) cumpliendo z(1, 0) = π6 . Calcula el polinomio de Taylor de segundo orden de z en (1, 0).
Problema 82. Prueba que la ecuación x − 2y + z + ez = 1 define una función implı́cita z = z(x, y) de clase
C ∞ en un entorno de (0, 0) y que verifica z(0, 0) = 0. Calcula el polinomio de Taylor de segundo grado de
z(x, y) en (0, 0).
Problema 83. Prueba que la ecuación ex + sen(x + y) + ex+y+z = 2 define una función implı́cita y = y(x, z)
de clase C ∞ en un entorno del origen. Si h(x, z) = y(x, z) + 32 x + 12 z, ¿es el origen extremo relativo de h?
Problema 84. Sea f (x, y, z) = z 3 log(xy) + 2(x2 + y 2 ) + z 2 + 8xz − z + 8.
31
Derivada de la función implı́cita
1. ¿Para qué valores de a la ecuación f (x, y, z) = 0 define una función de clase C ∞ , z = h(x, y), tal que
h(1, 1) = a?
2. Si h es la función tal que h(1, 1) = −3, calcula la ecuación del plano tangente a h en el punto (1, 1, −3).
3. Calcula D1,2 h(1, 1). ¿Cuál es el valor de D2,1 h(1, 1)? Justifica tu respuesta.
Problema 85. Sea f : A ⊂ R3 → R una función de clase C 1 en el abierto A. Supuesto que (1, 2, 3) ∈ A, que
f (1, 2, 3) = 0 y que ∇f (1, 2, 3) = (−1, 0, 2), se pide:
1. Si F (x, y, z) = f (x, y, z)+2x−y +z, calcula la ecuación del plano tangente a la superficie F (x, y, z) = 3
en el punto (1, 2, 3).
2. Deduce razonadamente que la ecuación f (x, y, z) = 0 define x = g(y, z) en un entorno de (2, 3)
verificando g(2, 3) = 1 y f (g(y, z), y, z) = 0 para todos los puntos de ese entorno.
3. Si v = (1, −1), calcula la derivada direccional Dv g(2, 3).
Problema 86.
1. Utiliza los multiplicadores de Lagrange para calcular los extremos de la función
f (x, y, z) = x + y − z 2 en el conjunto (x − 2)2 + y 2 + z 2 ≤ 1. ¿Tiene f extremos absolutos en ese recinto?
¿Cuáles son?
2
2
2
2. Prueba √
que la ecuación
√ (x − 2) + y + z = 1 define y como función implı́cita de (x, z) cumpliendo
y(2 − 1/ 2, 0) = −1/ 2.
√
√
3. Utiliza la función del apartado anterior para estudiar la naturaleza del punto (2 − 1/ 2, −1/ 2, 0).
Problema 87.
1. Prueba que la ecuación x2 + y 2 + z 2 = ex−y+z − 1 define a z como función implı́cita
∞
de clase C verificando z(0, 0) = 0.
2. Calcula la ecuación del plano tangente a la superficie z = z(x, y) en el punto (0, 0, 0).
3. Sean g(x, y) = z(x, y) y h(t) = (log(1 + t), arctan t2 ). Calcula razonadamente la matriz jacobiana de
h ◦ g en (0, 0) y la derivada de g ◦ h en 0.
Problema 88. Consideremos la ecuación ez + xz + y = 0.
1. Prueba que define una función z = z(x, y) indefinidamente diferenciable en un entorno del punto
(0, −1).
2. Calcula a y b para que (0, −1) sea punto crı́tico de la función g(x, y) = z(x, y) + ax + by.
3. Para esos valores de a y b, ¿es (0, −1) extremo relativo de g?
Problema 89. Sea f : R3 → R definida por f (x, y, z) = x2 + 2y 2 − 2xz − z 2 .
1. Calcula el plano tangente a la superficie f (x, y, z) = 0 en el punto (1, 1, 1).
2. Prueba que la ecuación f (x, y, z) = 0 define una función implı́cita indefinidamente diferenciable,
z = z(x, y), en un entorno del punto (1, 1, 1).
3. Calcula la ecuación del plano tangente a la superficie z = z(x, y) en el punto (1, 1). Comenta el
resultado obtenido.
Problema 90. Prueba que el sistema
(
xz 3 + yu + x = 1
2xy 3 + u2 z + y = 1
define, en un entorno de (0, 1) una función implı́cita (x, y) = g(z, u) que cumple g(0, 1) = (0, 1). Calcula
D(2,3) (g1 + g2 )(0,1). Estudia si g es localmente invertible en (0, 1). Calcula D(3,−1) g−1 (0, 1)
Problema 91. Consideremos el sistema de ecuaciones
exu + eyv = 2
x2 + y 2 + u2 + v 2 = 5
Prueba que define funciones implı́citas (y, v) = g(x, u) y (x, u) = h(y, v) tales que g(1, 0) = (0, 2) y h(0, 2) =
(1, 0). ¿Es g localmente invertible en (1, 0)? ¿Lo es h en (0, 2)? ¿Qué relación existe entre las funciones g y
h?
32
Tema 4. Teoremas de inversión local
Problema 92. Consideremos el sistema
x + y + 2z − 2t = 0,
x2 + y 2 + 4z − t3 = 1
1. Prueba que define dos funciones de clase C ∞ , z(x, y), t(x, y) en un entorno del punto (4, −2) verificando z(4, −2) = 2, t(4, −2) = 3.
2. Si F (x, y) = (z(x, y), t(x, y)), prueba que F es localmente invertible en (4, −2). Calcula DF −1 (2, 3).
3. Prueba que el sistema anterior también define dos funciones de clase C ∞ , x(z, t), y(z, t) en un entorno
de (2, 3) verificando x(2, 3) = 4, y(2, 3) = −2.
4. Si G(z, t) = (x(z, t), y(z, t)), calcula DG(2, 3).
Problema 93. Consideremos el sistema de ecuaciones
(
exy + eyz + exz = e + 2
sen(xz) + cos(yz) = 1
Prueba que define unas funciones y = y(x), z = z(x), verificando y(1) = 1, z(1) = 0. Si g(x) = (y(x), z(x)),
¿es diferenciable? En caso afirmativo, si h(u, v) = u2 + v 2 , calcula razonadamente (h ◦ g)0 (1) y D(g ◦ h)(1, 0).
Problema 94. Consideremos el sistema de ecuaciones
x2 + 2y 2 + u2 + v = 6
2x3 + 4y 2 + u + v 2 = 9
Prueba que define funciones implı́citas (y, v) = g(x, u) y (x, u) = h(y, v) tales que g(1, −1) = (−1, 2) y
h(−1, 2) = (1, −1). ¿Es g localmente invertible en (1, −1)? En caso afirmativo, calcula Dg−1 (−1, 2).
√
Problema 95. Demuestra que en un entorno del punto ( 2, 0, 1, −1) el sistema de acuaciones
(
2uv + x2 − y 2 = 0
u2 − v 2 + 2xy = 0
define u, v como funciones implı́citas de x, y.
√
Prueba que la función implı́cita (u, v) = g(x, y) es invertible en un entorno de ( 2, 0). Calcula razonadamente Dg−1 (1, −1).
Problema 96.
1. Prueba que la ecuación x2 + xy + y 2 + z 3 − z = 0 define una función implı́cita z(x, y)
en un entorno E de (0, 0) verificando z(0, 0) = 1.
2. Prueba que la función z(x, y) definida anteriormente tiene un extremo relativo en (0, 0).
3. Sea G : E ⊂ R2 → R2 definida por G(x, y) = ∇z(x, y). Utilizando algunos de los cálculos realizados
anteriormente, prueba que G es localmente invertible en (0, 0).
Problema 97. Calcula b para que la ecuación y 3 + x2 y = 10 defina implı́citamente a y como función de x,
y = g(x), en un entono del punto (3, b). Calcula
x−3
2
(x − 3)2
g(x) − 1 +
lı́m
x→3
Problema 98. Consideremos las funciones
f : R2 → R2 ,
f (x, y) = (2ye2x , xey );
g : R2 → R3 ,
g(x, y) = (3x − y 2 , 2x + y, xy + y 3 )
1. ¿Es f localmente invertible en (0, 1)?
2. Calcula D(g ◦ f −1 )(2, 0).
Problema 99. Calcula los valores de b tales que se verifican las dos condiciones siguientes:
33
Derivada de la función implı́cita
1. El sistema de ecuaciones
(
x + 2 sen y − z 3 = 0
x − 4y 2 + ebz = 1
define dos funciones implı́citas de clase C ∞ , y = f (x), z = g(x) tales que f (0) = g(0) = 0.
2. La función h(x, t) = (f (x)+arctan t, g(x)+log(1+t)) tiene inversa local diferenciable en (0, 1). Justifica
la respuesta.
1
Problema 100. Sea f : R3 → R, f (x, y, z) = xyz + ey−z − .
e
1. ¿Para qué valores de a la ecuación f (x, y, z) = 0 define a z como función implı́cita z = g(x, y) en un
entorno del punto (a, 0, 1)?
2. ¿Para qué valores de a la función implı́cita anterior tiene un punto crı́tico en el punto (a, 0)? ¿Alcanza
extremo en este punto crı́tico?
3. ¿Para qué valores de a la función h(x, y) = (g(x, y) + x − ey , g(x, y) − x − y) tiene inversa diferenciable
en el punto (a, 0)?
Bibliografı́a
Resúmenes teóricos y ejercicios de la asignatura completamente desarrollados en nuestro texto:
Carmona, J., Facenda, J.A., Freniche, F.J. Ejercicios de Cálculo Diferencial de varias variables. Secretariado de Publicaciones. Universidad de Sevilla, 2008.
Libros de teorı́a:
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Apostol, T. M. Análisis Matemático, 2a edición. Reverté, 1976.
Apostol, T. M. Calculus, 2a edición. Reverté, 1986.
Burgos, J. de Cálculo infinitesimal de varias variables. McGraw-Hill, 2002.
Garcı́a, A. y otros Cálculo II. Teorı́a y problemas de funciones de varias variables. Clagsa, Madrid
2002.
Larson, R.E., Hostetler, R.P., Edwards, B.H. Cálculo y Geometrı́a Analı́tica. McGraw-Hill, 1995.
Marsden, J.E., Tromba, A.J., Weinstein, A. Basic multivariable calculus. Springer, 1993.
Rudin, W. Principios de Análisis Matemático, 3a edición. McGraw-Hill, 1980.
Spivak, M. Cálculo en variedades. Reverté, 1970.
Stewart, J. Cálculo multivariable. Thomson Learning, 4a edición. 2002.
Otros libros de problemas:
1.
2.
3.
4.
Bombal, F., Rodrı́guez, L., Vera, G. Problemas de Análisis Matemático (3 tomos). AC, 1987.
Fernández Viñas, J. M. Ejercicios y problemas de Análisis Matemático II. Tecnos, 1986.
Flory, G. Ejercicios de Topologı́a y Análisis (tomo 3). Reverté, 1971.
Liashkó, I.I. y otros. Matemática superior. Problemas resueltos (tomo 3). Editorial URSS, 1999.