MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS
MATHpines
III CONCURSO INTERCENTROS ( 2003 )
PRUEBAS RESUELTAS
Prof. M.Díaz-Pinés
COMUNIDAD DE MADRID
PRUEBA INDIVIDUAL Segundo ciclo de E.S.O. (90 minutos)
Ejercicios 1. y 2.
1. En un congreso hay hombres y mujeres. Abandonan 15 mujeres el congreso y entonces quedan
2 hombres por cada mujer. A continuación abandonan el congreso 45 hombres y quedan entonces
5 mujeres por cada hombre. ¿Cuántas personas participaban inicialmente en el congreso?
Resolución
Designamos por x el número de "hombres" y por y el de mujeres
El total de personas es x + y
Si abandonan 15 mujeres quedan y − 15 mujeres
Si son el doble los hombres :
> 2*(y-15)=x;
2 y − 30 = x
Después abandonan 45 hombres => quedan x − 45
Si son las mujeres que quedan el quíntuplo de los hombres : y − 15 = 5 ( x − 45 )
> y-15=5*(x-45);
y − 15 = 5 x − 225
Resolvamos el sistema integrado por las dos ecuaciones anteriores
> ec.1:=x-2*y=-30:ec.2:=5*x-y=210:
> ec.1;ec.2;
x − 2 y = -30
5 x − y = 210
Si a la ecuación 2ª la multiplicamos por 2 y le restamos la primera
> 2*ec.2-ec.1;
9 x = 450
> x=solve(");
x = 50
> y=5*x-210;
y = 5 x − 210
> y=5*50-210;
y = 40
Solución
90 personas
50 hombres y 40 mujeres
2. Las circunferencias de la figura de centros P y Q y radios diferentes, son tangentes entre sí y una
de ellas es tangente además al rectángulo ABCD en un punto T. Si el área del rectángulo es 37 m2,
¿cuál es el área del triángulo rectángulo PQT?
Resolución
Tomamos un punto H que completa con el triángulo PQT el rectángulo PQTH
Designamos por R y r los radios de las circunferencias mayor y menor, respectivamente
El área del rectángulo es Ω = 37 m2
Ese área es Ω( ABCD ) = 2 R2 + 2 R r = 2 R ( R + r )
El área del rectágulo PQTH ( doble del triángulo PQT ) es la mitad del área de ABCD : R ( R + r )
Ω( PQTH ) = R ( R + r )
Por tanto, el triángulo PQT que tiene área mitad del área del rectágulo anterior es :
Ω( PQT ) =
R (R + r)
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