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Universidad de Salamanca
Departamento de Física Aplicada
OPTIMIZACIÓN DE MÁQUINAS TÉRMICAS
Norma Sánchez Salas
Salamanca, Septiembre 2003
Universidad de Salamanca
Departamento de Física Aplicada
OPTIMIZACIÓN DE MÁQUINAS TÉRMICAS
Memoria presentada por Norma Sánchez Salas para optar al
grado de Doctor en Ciencias Físicas.
D. Antonio Calvo Hernández, profesor titular de Universidad del departamento de
Física Aplicada de la Universidad de Salamanca, autoriza la presentación de la tesis
doctoral titulada ”Optimización de máquinas térmicas” realizada bajo su dirección
por D. Norma Sánchez Salas.
Salamanca, 29 de Septiembre de 2003.
Fdo. A. Calvo Hernández
Deseo expresar mi más sincero agradecimiento a D. Antonio Calvo Hernández, mi
director de tesis, por su dedicación, asesoría, colaboración y apoyo constantes durante
la realización de este trabajo.
También, quiero agradecer al grupo de investigación dirigido por D. Santiago Velasco
por su apoyo y hospitalidad durante mi estancia en la Universidad de Salamanca. Y,
finalmente a todas las instituciones que apoyaron, en el aspecto económico, mi trabajo
de investigación como son la COFAA-IPN (México) y la AECI.
Dedico este trabajo a todas las personas que de alguna u otra forma han
hecho posible que haya llegado a buen termino, a los amigos y amigas, profesores, compañeros, personal administrativo y todos los demás.
Y de forma especial a Sergio por brindarme su compañía y apoyo durante
todos estos años, a toda mi familia, a mis padres y a mis hermanos, Valentín
e Israel.
6
Índice general
Índice general
7
1. Introducción
9
2. TTF y criterios de optimización
15
2.1. Antecedentes históricos de la TTF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2. Características y aplicaciones relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.3. Criterio Omega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3. Sistemas macroscópicos
25
3.1. Ciclos de potencia tipo Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.1.1. Ley de conducción lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.1.2. Leyes no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.2. Ciclos frigoríficos tipo Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.2.1. Ley de conducción lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.2.2. Leyes no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.3. Ciclo Brayton regenerativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.3.1. Modelo teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.3.2. Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.3.3. Límite Endorreversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4. Sistemas brownianos
59
4.1. Rectificador mecánico: Ratchet de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.1.1. Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.1.2. Régimen lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.2. Rectificador eléctrico: ratchet de Sokolov . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
4.2.1. Descripción del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
7
8
ÍNDICE GENERAL
4.2.2. Régimen ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
4.3. Adiabatic Rocked Ratchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
4.3.1. Límite determinista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
4.3.2. Temperaturas finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
4.3.3. Corriente neta, energía de entrada y calor disipado . . . . . . . .
91
5. Sistemas cuánticos
5.1. Consideraciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
99
5.2. Ciclo de potencia armónico con fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3. Ciclo frigorífico armónico con fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6. Conclusiones
119
Bibliografía
125
Capítulo 1
Introducción
Es bien conocido que la Termodinámica Clásica del Equilibrio (TCE) proporciona
expresiones analíticas muy simples para el rendimiento de una gran variedad de ciclos
propuestos para modelar el comportamiento de máquinas térmicas (tanto motores, como frigoríficos y bombas de calor). Sin embargo, dichas expresiones proporcionan resultados numéricos muy diferentes de los observados en las máquinas térmicas reales.
La principal causa de esta discrepancia es, sin duda, el hecho de que los rendimientos calculados dentro de la TCE suponen siempre la hipótesis de procesos reversibles
(duración temporal infinita), con lo cual sus resultados deben considerarse como cotas superiores para tales rendimientos. Más aún, al requerir tiempo infinito, los ciclos
reversibles modelan máquinas de potencia nula [1].
El estudio de las máquinas térmicas reales, cuyos ciclos se completan en un tiempo
finito, requiere la localización y análisis de las irreversibilidades inherentes a los procesos reales que configuran tales ciclos. En este contexto es de destacar el desarrollo
que en los últimos veinticinco años ha experimentado la denominada Termodinámica de Tiempo Finito (TTF), cuyo principal objetivo es el análisis del funcionamiento óptimo de las máquinas térmicas reales y que ha aportado nuevos límites para el
funcionamiento de dispositivos térmicos. Su método de trabajo se basa, fundamentalmente, en la aplicación sucesiva de los tres puntos siguientes [2]:
Modelar las ligaduras espacio-temporales asociadas a las diferentes fuentes de
irreversibilidad mediante parámetros macroscópicos,
Optimizar una función adecuada con respecto de los parámetros característicos
del problema.
9
10
1. Introducción
Calcular los estados del dispositivo que sean más adecuados respecto de la optimización planteada.
Conviene resaltar en este punto una diferencia entre la TTF y la Termodinámica
de los Procesos Irreversibles (TPI) [3]. Ambas tratan de la extensión de la TCE a sistemas con irreversibilidades y también ambas estudian cómo estas irreversibilidades
afectan al comportamiento de los dispositivos. Sin embargo, mientras que la TPI se
centra fundamentalmente en el planteamiento y posible resolución de las ecuaciones
de evolución en el tiempo (normalmente ecuaciones diferenciales de carácter local) de
las variables termodinámicas del sistema, la TTF se centra en analizar la influencia que
las ligaduras temporales o la realización de un proceso en un tiempo finito tienen sobre
el comportamiento global de tal dispositivo. Así, mientras que la primera se desarrolla
generalmente sobre modelos de tipo local, la segunda lo hace sobre modelos donde
las irreversibilidades se describen mediante constantes macroscópicas tales como coeficientes de rozamiento, viscosidades y conductancias térmicas.
Otro matiz importante de la TTF, que la diferencia respecto de la Termodinámica tradicional (tanto reversible como irreversible), reside en que la TTF se desarrolló
con el objetivo de intentar mejorar el rendimiento de las máquinas térmicas y, en consecuencia, su principal objetivo es la optimización de tales máquinas, analizando los
procesos que originan mayores beneficios respecto de la optimización planteada originalmente [4–6].
En la TTF se tiene, en principio, libertad para elegir la función a optimizar (figura
de mérito en muchos textos anglosajones), centrándose el interés en la comparación de
funciones termodinámicas relevantes (rendimiento, potencia, generación de entropía,
etc) bajo diferentes criterios de optimización, una cuestión no tratada generalmente
en la Termodinámica tradicional [4]. Es de resaltar la gran variedad de criterios de
optimización propuestos no solo para motores sino también para frigoríficos y tanto
de tipo económico como termodinámico [7]. La mera existencia de tantos y tan diversos criterios muestra claramente la dificultad de obtener un criterio de optimización
generalizado en el sentido de que sea válido tanto para motores como para frigoríficos y bombas de calor y que además permita obtener situaciones de funcionamiento
eficientes. En TTF se considera como óptimo cualquier régimen de trabajo cuyos valores para el rendimiento y la potencia estén comprendidos entre los correspondientes a
máxima potencia y máximo rendimiento.
11
Por otra parte, más allá de los dispositivos macroscópicos considerados tradicionalmente por la Termodinámica, en los últimos años se está realizando una destacada y
exhaustiva investigación en dispositivos a escala celular [8] (con objeto de modelar en
la medida de lo posible el comportamiento de algunos procesos biológicos como la
contracción muscular o el flujo másico a través de membranas) y en dispositivos microelectrónicos compuestos por diodos semiconductores [9, 10]. Una gran parte de los
modelos desarrollados para ello se basan en los denominados motores brownianos o
ratchets, cuya idea esencial es obtener trabajo en un sistema de tipo mesoscópico, con
escalas espaciales muy pequeñas, mediante la rectificación apropiada de fluctuaciones
provenientes de ruido térmico [11].
La importancia de los sistemas brownianos radica en que, desde la publicación de
un trabajo de Feynman [12] sobre un rectificador de tipo mecánico, se han encontrado en ellos pautas de comportamiento semejantes a las que se observan en los denominados motores moleculares [8, 13]: dispositivos capaces de transportar iones entre diferentes partes de una membrana en contra del gradiente electroquímico de los
iones; moléculas que avanzan a lo largo de microtúbulos transportando diverso material celular; o moléculas capaces de formar tejido muscular mediante transporte de
filamentos. Todos estos sistemas constan de una proteína que cambia su configuración
tridimensional al hidrolizar ATP (adenosín trifosfato). La proteína es distinta según el
sistema considerado, pero todas ellas son motores capaces de extraer energía química
almacenada en los enlaces de ATP y transformarla en energía mecánica, realizándose
esta transformación en escalas de tiempo y en escalas espaciales donde la influencia de
las fluctuaciones térmicas es ineludible.
Asimismo, otra línea de investigación actual y especialmente activa es el estudio
de máquinas cuánticas [14]. El interés de estos estudios es doble. Desde un punto de
vista práctico se pretende desarrollar modelos de máquinas microscópicas análogas
a las macroscópicas pero cuya dinámica esté gobernada por las leyes de la Mecánica Cuántica y analizar sus aspectos energéticos más relevantes y modos de operación
eficientes. Se destacan algunos trabajos sobre una partícula cuántica en diferentes potenciales unidimensionales [21] a fin de construir los procesos cuánticos análogos a
los procesos básicos que tienen lugar en cualquier ciclo macroscópico (procesos isobaros, isocoros, etc). Desde un punto de vista más formal con estos sistemas se pretende analizar los límites de validez de las leyes fundamentales de la Termodinámica,
para lo cual la comprensión desde un punto de vista microscópico de fenómenos tan
12
1. Introducción
diversos como la disipación de la energía o la producción de entropía son aspectos conceptuales directamente relacionados con la fundamentación microscópica del Segundo
Principio de la Termodinámica. En particular, temas como la fundamentación cuántica
del teorema de fluctuación-disipación o el movimiento browniano cuántico están aún
lejos de ser comprendidos satisfactoriamente.
El principal objetivo de la presente memoria, continuando el trabajo de investigación del área de Física Aplicada de la Universidad de Salamanca en el campo de la
optimización de dispositivos térmicos, es presentar un análisis sistemático de máquinas
térmicas (motores y frigoríficos) desde el punto de vista de la TTF. Para ello se analiza el comportamiento optimizado de algunas máquinas macroscópicas, brownianas
(mesoscópicas) y cuánticas (microscópicas) bajo tres régimenes de funcionamiento.
Dos de ellos, los de máximo rendimiento y máxima potencia [máxima eficiencia y
máxima potencia de enfriamiento en frigoríficos], son los que de forma natural definen la propia utilidad del dispositivo. El tercero, que se denomina Ω, es un criterio
que puede considerarse como general y unificador en el sentido que es aplicable tanto
a ciclos de potencia como a ciclos frigoríficos y que en todos los casos estudiados, como
se mostrará, proporciona resultados intermedios respecto a los otros dos.
La idea básica más importante que subyace detrás del criterio Ω, como se verá más
adelante, es la del mejor compromiso entre beneficios energéticos y pérdidas por irreversibilidades en cualquier dispositivo termodinámico convertidor de energía. Una
consecuencia importante, que se adelanta aquí, es que los resultados obtenidos muestran que todos las sistemas de potencia, por un lado, y todos los sistemas frigoríficos,
por otro lado, e independientemente de su naturaleza y tamaño, presentan un comportamiento energético cualitativo similar cuando se analizan bajo los mencionados
criterios de optimización. Dicho de otra forma, todas las máquinas térmicas parecen
mostrar grandes similitudes en el comportamiento de la potencia y del rendimiento
(carga de refrigeración y eficiencia en el caso de frigoríficos) cuando son estudiadas en
términos de variables independientes apropiadas dentro del contexto de la TTF.
El material que constituye la presente memoria se organiza del modo siguiente:
En el capítulo 2, y por razones de completitud, se presenta un breve esquema
histórico sobre la evolución de la TTF, haciendo especial énfasis en sus ideas básicas,
logros más relevantes y en diferentes criterios de optimización y, en particular, sobre el
criterio Ω.
En el capítulo 3 se presenta el análisis de ciclos termodinámicos representativos
13
de máquinas térmicas macroscópicas, tanto motores como frigoríficos. Los ciclos analizados corresponden, en primer lugar, a un modelo teórico muy sencillo, pero que
incorpora las tres fuentes de irreversibilidades usuales en todas las máquinas térmicas
reales, llamado ciclo irreversible tipo Carnot y, en segundo lugar, un ciclo habitual
en instalaciones de potencia de gas como es el ciclo Brayton regenerativo. En el primer
caso se presenta un estudio detallado de los ciclos termodinámicos bajo diferentes leyes
de conducción de calor: la ley lineal de Newton, la ley inversa, la de Dulong y Petit
y la de Stefan-Boltzman. Se analizará asimismo con cierto detenimiento el llamado
límite endorreversible, cuyos resultados dentro de la TTF pueden considerarse como
paradigmáticos y, en cierta forma, equivalentes a los del teorema de Carnot en la TCE.
En el capítulo 4 se presenta el estudio energético de tres tipos de motores brownianos o ratchets. En primer lugar y por su importancia histórica se presenta la optimización de la llamada máquina de Feynman, un rectificador de fluctuaciones de tipo
mecánico que trabaja en contacto simultáneo con dos focos térmicos a diferentes temperaturas. En segundo lugar el ratchet de Sokolov, que puede considerarse como el
equivalente eléctrico del anterior. En tercer lugar se estudiará el denominado Adiabatic
Rocked Ratchet que es el modelo más simple de ratchet que incorpora todos los ingredientes necesarios para la realizacion de trabajo en un sistema browniano isotermo y
donde el agente responsable de romper el equilibrio es una fuerza externa periódica.
En el capítulo 5 se analiza un ciclo cuántico irreversible cuyo sistema de trabajo es
un conjunto de osciladores armónicos sin interaccionar. Este ciclo cuántico es analizado
tanto cuando opera en el modo de potencia, como en el modo frigorífico y también se
presenta su comportamiento en el límite de altas temperaturas.
Finalmente, se presenta un breve resumen y las principales conclusiones del trabajo, donde se hace un énfasis especial en los comportamientos cualitativos similares
encontrados de los sistemas analizados, independientemente de la naturaleza del convertidor energético considerado y de la ley de transferencia de calor involucrada.
14
1. Introducción
Capítulo 2
TTF y criterios de optimización
La Termodinámica de Tiempo Finito es actualmente una disciplina bien fundamentada y ampliamente utilizada en el estudio y desarrollo de procesos térmicos eficientes en los más diversos campos: Física, Química, Ingeniería, etc. Aunque existen
numerosas publicaciones especializadas en el tema [4–7] , se resumen brevemente en
este capítulo (por razones de completitud), algunas de sus ideas fundamentales, algo
de su historia y algunos de sus logros más sobresalientes en relación con el trabajo
específico presentado en esta memoria.
2.1.
Antecedentes históricos de la TTF
En 1824, Sadi Carnot [15] publicó su célebre trabajo “Réflexions sur la puissance
motrice du feu” (Reflexiones sobre la fuerza motriz del fuego), en el que presentó
los resultados del primer estudio sistemático de los procesos físicos que gobiernan las
máquinas de vapor. Carnot demostró que ningún motor térmico operando entre dos
focos térmicos de temperaturas TH y TC , con TH > TC , puede superar el rendimiento η
dado por η = 1 − (TC /TH ) ≡ 1 − τ (con τ = TC /TH ) y conocido como rendimiento de
Carnot (ηC ).
Este resultado, que proporciona un límite superior especialmente sencillo para el
rendimiento de cualquier motor térmico que funciona entre dos focos térmicos de temperaturas TH y TC , junto con los trabajos posteriores de autores como Gibbs, Clausius
y Kelvin entre otros, originaron un cuerpo de doctrina, la Termodinámica Clásica del
Equilibrio, que aporta una descripción completa de los procesos reversibles, es decir,
15
16
procesos cuasiestáticos no disipativos que tienen una duración infinita [1]. Consecuencia inmediata es que la TCE no es un marco adecuado para la descripción de procesos
reales debido a que estos se realizan en condiciones de irreversibilidad y por lo tanto
producen menos trabajo y más entropía que sus correspondientes reversibles. En particular, la TCE no permite obtener potencia para los motores, potencia de enfriamiento
para los frigoríficos ó potencia de calentamiento para bombas térmicas.
Aunque anteriormente algunos ingenieros como Novikov y Chambadal ya habían
considerado algunas restricciones que se presentan en las máquinas reales (en concreto,
la duración temporal finita del proceso de intercambio de calor entre el sistema de
trabajo y los focos térmicos) [16, 17], no fue hasta 1975 con el trabajo de Curzon y
Ahlborn (CA) [18] cuando se empezó a desarrollar en la literatura física un estudio
formal y sistemático de los efectos cuantitativos y cualitativos que las irreversibilidades
producen en los ciclos termodinámicos.
En el trabajo de Curzon y Ahlborn [18] se presenta un análisis de un ciclo de Carnot
(dos adiabáticas y dos isotermas) en el que no existe equilibrio térmico entre los focos
térmicos y el sistema de trabajo. Estos autores permitieron en su modelo un intercambio irreversible de calor, descrito mediante una ley de transferencia lineal o newtoniana. Sin embargo, para poder emplear el formalismo de la Termodinámica Clásica,
acotaron estos procesos irreversibles a los acoplamientos del sistema y sus alrededores,
permitiendo que el sistema de trabajo realizara internamente un proceso cíclico reversible. A esta hipótesis se le ha denominado hipótesis de endorreversibilidad. De este
modo, integrando las ecuaciones de transporte se puede evaluar el tiempo de duración
de los procesos de intercambio de calor y calcular el período del ciclo. Con estas suposiciones, se obtuvo un ciclo tipo Carnot más realista, con producción de potencia no
nula y con generación de entropía. En particular, estos autores mostraron que un ciclo
como el descrito anteriormente, y trabajando en circunstancias de máxima potencia,
p
√
tiene un rendimiento dado por la expresión ηCA = 1 − TC /TH ≡ 1 − τ , donde TC
y TH son las temperaturas de los focos térmicos frío y caliente, respectivamente. Este
resultado, conocido ampliamente como rendimiento de Curzon y Ahlborn, representa
un papel análogo al rendimiento de Carnot pero en ciclos irreversibles trabajando en
condiciones de máxima potencia. Hay que apuntar que los resultados obtenidos de la
ecuación anterior dan valores de rendimientos que logran acercarse notablemente al
rendimiento de plantas reales productoras de potencia (véase tabla 2.1) a pesar de ser
un resultado muy simple que depende sólo de las temperaturas de los focos externos
2.1. Antecedentes históricos de la TTF
17
Tabla 2.1: Datos de alguna plantas de potencia. ηobs denota el rendimiento real, ηC =
√
1 − Tc /Th ≡ 1 − τ el de Carnot, ηCA = 1 − τ el de Curzon-Ahlborn, y ηM E = 1 −
p
τ (τ + 1)/2 el rendimiento en condiciones de máximo para el criterio ecológico (véase
más adelante). Valores tomados de [19].
Plantas
Th (K) Tc (K)
ηobs
ηC
ηM E
ηCA
Doel 4 (nuclear PWR, Bélgica)
566
283
0,350
0,5
0,387
0,293
Almaraz II (nuclear PWR, España)
600
290
0,345
0,516
0,401
0,305
Sizewell B (nuclear PWR, UK)
581
288
0,363
0,504
0,366
0,296
Cofrentes (nuclear BWR, España)
562
289
0,340
0,485
0,391
0,283
Heysham (nuclear AGR, UK )
727
288
0,4
0,603
0,474
0,371
e independiente de cualquier otra característica del sistema.
Así, el trabajo pionero de Curzon y Ahlborn marcó el nacimiento de la TTF, planteándose a partir de entonces la tarea de proponer modelos físicos de máquinas térmicas que incorporen las inevitables restricciones que se tienen en el mundo real: tiempos finitos y/o tamaño finito. Otro elemento clave de la TTF es que permite de forma
natural analizar las condiciones óptimas de operación para ciclos termodinámicos, mediante la optimización de funciones adecuadas y empleando habitualmente métodos
variacionales y teorías de control. Algunos autores también se refieren a la TTF como
“Termodinámica Endorreversible” [20]. En Ingeniería Termodinámica, Bejan incorporó
la minimización de la producción de entropía como el método de optimización más
adecuado en el diseño de procesos y dispositivos térmicos y, como consecuencia, le
asignó el término “Minimización de la Generación de Entropía” [16, 17]. No obstante,
todas estas disciplinas tienen el mismo objetivo: hacer una conexión entre las leyes de
la Termodinámica y de la Transferencia de Calor a fin de conseguir la optimización
de dispositivos y procesos reales, incluyendo las irreversibilidades provenientes de las
restricciones espacio-temporales.
Conviene resaltar que, aunque la TTF incorpora en sus modelos los efectos disipativos observados en procesos reales, se centra también en analizar la influencia de
ellos sobre el comportamiento global del proceso, intentando describir los efectos disipativos con el menor número posible de nuevos parámetros o variables —evitando un
estudio de los procesos y sistemas de manera detallada— de tal forma que los resultados obtenidos sean simples y aporten una guía sobre cómo diseñar los ciclos para
18
alcanzar los objetivos requeridos. En este sentido comparte la misma esencia que la
Termodinámica Clásica.
2.2.
Características y aplicaciones relevantes
De forma muy resumida se puede decir que el método de trabajo usado dentro del
campo de la TTF se basa típicamente en el siguiente procedimiento: se hacen ciertas
estimaciones del proceso real para establecer un modelo termodinámico, es decir, las
restricciones de tiempo y/o tamaño finito que incorporen las irreversibilidades mediante parámetros macroscópicos, y posteriormente se optimiza el modelo respecto de
una función o criterio que proporcione el régimen de operación óptimo elegido.
Dentro de la TTF, se tiene libertad para elegir cualquier función a optimizar para
luego comparar el rendimiento, o cualquier otra función de interés, bajo diferentes
criterios de optimización [4, 7]. En el caso de los motores térmicos, los criterios de optimización naturales son la maximización del rendimiento y de la potencia producida;
en los frigoríficos son la maximización de la potencia de enfriamiento (calor extraído
del foco térmico frío por unidad de tiempo) y de la eficiencia, o bien, la mínimización
de la potencia suministrada. En las siguientes secciones de este capítulo se mostrará
un panorama más amplio sobre otros criterios de optimización utilizados.
Uno de los méritos de la TTF es la posibilidad de su aplicación a una amplia variedad de dispositivos termodinámicos convencionales como motores térmicos, frigoríficos y bombas de calor [7], y a otros no tan convencionales como máquinas cuánticas
[14, 21, 22], fenómenos de transición superconductora [23], reacciones químicas [24,
25] y el comportamiento de los vientos [26], entre otros. Una descripción detallada
de todas las aplicaciones de la TTF está fuera del marco de la presente memoria y
nos limitaremos aquí, por consiguiente, a enumerar algunas de las aplicaciones más
relevantes en relación con el presente trabajo.
Obviamente, el ciclo endorreversible utilizado por Curzon y Ahlborn es el modelo
más estudiado dentro de la investigación realizada en la TTF, no sólo por ser el primero
sino también por su sencillez matemática. Como se explicó anteriormente, en este
modelo el fluido de trabajo realiza un proceso cuasiestático no disipativo y la única fuente de irreversibilidad reside en el intercambio de calor con los focos térmicos
siguiendo una ley de tipo lineal en la diferencia de temperaturas. Aparte de la maxi-
2.2. Características y aplicaciones relevantes
19
mización de la potencia [18], este modelo ha sido estudiado bajo distintos criterios de
optimización, entre los que destacamos los siguientes: la producción de entropía [27],
la potencia específica y la densidad de potencia [28, 29], la función ecológica [30] (un
compromiso entre la potencia y la generación de entropía, véase más adelante), la función ahorro [19] (un criterio que permite evaluar de forma sencilla tanto la energía
consumida como la potencia producida y la energía disipada) y también mediante
variados criterios de aspecto termoeconómico [31].
En las máquinas reales no todas las transferencias de calor entre los focos y el fluido
de trabajo obedecen una ley de transferencia de Newton, y aún más, aparte de la resistencia térmica, existen pérdidas de calor globales y disipaciones internas en el fluido
de trabajo. Estas características fueron incorporadas sucesivamente en modelos cada
vez más complejos. Así el modelo original endorreversible de Curzon y Ahlborn fue
analizado utilizando leyes de transferencia de calor no lineales características de procesos de conducción-convección, [q ∝ (∆T )n ] o de radiación [q ∝ ∆(T n )] [32]. Fue
Rubin [33] quién determinó la configuración óptima para un ciclo de una máquina
térmica formada por dos ciclos endorreversibles combinados con focos térmicos de
temperaturas intermedias. Posteriormente, Chen et al. [34] desarrollaron un modelo
cíclico irreversible, que además de los acoplamientos lineales entre el sistema de trabajo y los focos térmicos externos, incluye los efectos de irreversibilidades internas en el
fluido de trabajo y pérdidas globales de calor en el ciclo, y lo analizaron bajo los criterios de máxima potencia y máximo rendimiento. Dicho ciclo fue posteriormente analizado usando leyes de transferencia de calor distintas a la ley de Newton [32,35] y bajo
diferentes criterios de optimización como la función ecológica, mínima producción de
entropía, la exergía y el rendimiento por unidad de tiempo [36].
En el caso de motores de combustión interna, los ciclos Otto [37] y Diesel [38] han
sido optimizados usando teorías de control, encontrándose que la eficiencia y la potencia de estos ciclos optimizados, se pueden incrementar hasta en un 10 % respecto de
los no optimizados y considerando las mismas fuentes de irreversibilidad. Se han publicado asimismo numerosos artículos donde se analizan los efectos de las irreversibilidades en el comportamiento de ciclos Otto [39] y Diesel [40] bajo variados criterios
de optimización. Para los ciclos de potencia de vapor y gas también existe cuantiosa
literatura. En particular se mencionan los resultados para ciclos tanto endorreversibles
como irreversibles de tipo Rankine [41], Brayton [42, 43], Stirling [44] y Ericsson [45]
optimizados fundamentalmente bajos los criterios de máximo rendimiento, máxima
20
potencia y máxima densidad de potencia.
Es evidente que el método utilizado y las ideas propuestas para analizar a los motores térmicos pueden ser aplicados también a ciclos frigoríficos y bombas de calor.
Así se han estudiado los comportamientos de frigoríficos endorreversibles e irreversibles, principalmente de tipo Carnot y Brayton invertido usando diferentes criterios de
optimización [46–49]. En esta dirección el grupo de Física Aplicada de la Universidad de Salamanca propuso [50, 51] un criterio diferente para encontrar los límites de
funcionamiento de un frigorífico: el rendimiento por unidad de tiempo (per-unit-time
COP).
Entre los sistemas térmicos no tradicionales analizados con la metodología de la
TTF se citan los siguientes: ciclos térmicos de potencia como las celdas de convección
atmosférica representadas (a nivel global) como ciclos de Carnot irreversibles, con el
aire como sistema de trabajo y la radiación solar como fuente externa [20]; procesos
de fundición de materiales analizados bajo la mínima producción de entropía [52];
dispositivos láser [53]; máquinas impulsadas con luz [54]; sistemas electroquímicos
[25,55], procesos de destilación, reacciones bioquímicas [56]; y la contracción muscular
[57, 58].
Asimismo, en los últimos años se ha desarrollado una activa línea de investigación
con el objetivo de aplicar la filosofía y los métodos de trabajo de la TTF en sistemas
macroscópicos a sistemas microscópicos descritos por las leyes de la Mecánica Cuántica.
En particular, se destacan aquí los trabajos de Kosloff et al. [59–64] y Chen et al. [65–67]
sobre modelos endorreversibles tipo Carnot y ciclos irreversibles tipo Brayton y Ericcson, considerando como fluidos de trabajo sistemas de espines y de osciladores cuánticos y diversos trabajos analizando la influencia de la degeneración en gases ideales
cuánticos [68–70].
2.3.
Criterio Omega
Esta sección está especialmente dedicada a describir el criterio Omega de optimización, uno de los punto centrales de este trabajo de investigación. Sin embargo,
se empezará describiendo con cierto detalle la denominada función ecológica, que en
cierta medida motivó el desarrollo del criterio Ω, y que puede ser considerada como
un caso particular de él en ciertas situaciones límites.
2.3. Criterio Omega
21
La función ecológica, E, fue propuesta por F. Angulo-Brown [30] en 1991 con el
objetivo de disminuir la producción de entropía generada en los ciclos de potencia
endorreversibles tipo Carnot. Este autor observó que, con el criterio de máxima potencia utilizado por CA, si bien la potencia obtenida y el rendimiento se acercaban a los
resultados reales de las plantas de potencia, los procesos involucrados en el ciclo originan una elevada producción de entropía, lo que representa un efecto no deseable. En
consecuencia, él propuso la función ecológica como un criterio de optimización más
realista puesto que representa un compromiso entre la máxima potencia y la mínima
generación de entropía. La expresión explícita para esta función es E = P −TC σ, donde
P representa la potencia de salida, σ la producción de entropía y TC la temperatura del
foco térmico de temperatura más baja. La maximización de E aporta propiedades interesantes al modelo endorreversible, pues aunque la potencia se reduce aproximadamente en un 25 % respecto de la máxima posible, la producción de entropía se reduce
aproximadamente en un 75 % (teorema 75 − 25). Otra característica muy importante de
este criterio de optimización es que predice en ciclos endorrevesibles un rendimiento
p
dado por la expresión ηM E = 1 − τ (τ + 1)/2, el cual, al igual que el de Carnot y el de
Curzon-Ahlborn, es sólo dependiente de las temperaturas de las focos externos con las
que interacciona el fluido de trabajo. Además, es fácil comprobar que ηM E representa
no sólo un valor intermedio entre los rendimientos de Carnot y de Curzon-Ahlborn,
sino que además verifica la relación ηM E ≈ (ηC + ηCA )/2, conocida como la propiedad
de semisuma (ver tabla 2.1).
Desde su publicación, la función ecológica fue ampliamente aplicada en una gran
variedad de ciclos convencionales y en el análisis de procesos de tipo biológico. Entre otras aplicaciones se citan las siguientes: modelos endorreversibles de ciclos Otto
y Joule-Brayton [71]; transición de fase conductor-superconductor [23]; análisis de la
glucólosis aeróbica (respiración) [56]; el modo de operación de algunos procesos biológicos como la síntesis de ATP y la contracción muscular [57, 58].
Retornando al criterio de optimización Ω, éste fue propuesto recientemente [72] por
el grupo de Física Aplicada de la Universidad de Salamanca, siguiendo la filosofía de
compromiso (trade-off) inherente en la definición de la función ecológica. En particular,
este nuevo criterio se propone como un compromiso entre la energía útil aprovechada
y la energía útil perdida cuando un convertidor energético arbitrario realiza su trabajo
específico. No está, pues, de entrada limitado a ciclos de potencia sino que, como se
verá más adelante, es aplicable en principio cualquier convertidor energético.
22
La función Omega se origina del siguiente planteamiento. Sea un convertidor ener-
gético arbitrario que produce una energía útil Eu (x; {α}) mediante la transformación
de la energía de entrada Ei (x; {α}) durante un proceso caracterizado por una variable
independiente apropiada x y un conjunto de parámetros llamados de control que se
denotan genéricamente por {α}. La definición de rendimiento convencional de este
convertidor es la relación entre la energía útil producida y la energía de entrada
z(x; {α}) =
Eu (x; {α})
,
Ei (x; {α})
(2.1)
y satisface la siguiente relación
zmin ({α}) ≤ z(x; {α}) ≤ zmax ({α})
(2.2)
donde zmin ({α}) y zmax ({α}) son los valores mínimo y máximo de z(x; {α}), respecti-
vamente, para todo el intervalo de valores permitidos de x y valores dados del con-
junto de parámetros de control. Cabe destacar que, para algunos convertidores energéticos zmin ({α}) 6= 0. Entonces se tiene que, dada una energía de entrada Ei (x; {α}),
se cumple
zmin ({α})Ei (x; {α}) ≤ Eu (x; {α}) ≤ zmax ({α})Ei (x; {α}).
(2.3)
Estos límites sugieren la definición de la energía útil efectiva como
Eu,ef f (x; {α}) = Eu (x; {α}) − zmin ({α})Ei (x; {α})
y la energía útil perdida como
Eu,L (x; {α}) = zmax ({α})Ei (x; {α}) − Eu (x; {α}).
Para evaluar el mejor compromiso entre la energía útil y la energía útil perdida se
introduce la función Ω como la diferencia de estas dos cantidades:
Ω(x; {α}) = Eu,ef f (x; {α}) − Eu,L (x; {α})
2z(x; {α}) − zmin ({α}) − zmax ({α})
Eu (x; {α}),
=
z(x; {α})
(2.4)
que es precisamente la función propuesta para optimizar el modo de operación de
cualquier convertidor energético.
Para aplicar este criterio a máquinas macroscópicas tradicionales en Termodinámica, primero se distinguen entre motores térmicos (HE, heat engines), frigoríficos (RE,
2.3. Criterio Omega
23
refrigerators) y bombas (HP, heat pumps). En las HE la energía útil obtenida es el trabajo |W | aportado y la energía de entrada es el calor suministrado |QH |; para RE la
energía útil obtenida es el calor extraído del foco a temperatura baja, |QL | a expensas
del trabajo suministrado |W |; y para las HP la energía útil obtenida es el calor |QH |
de abastecimiento al foco térmico de mayor temperatura a expensas del trabajo suministrado |W |. Los rendimientos para estos dispositivos son bien conocidos: para los
ciclos de potencia
zHE ≡ η =
|W |
,
|QH |
(2.5)
|QL |
,
|W |
(2.6)
|QH |
.
|W |
(2.7)
para los frigoríficos es la eficiencia [o coefficient of performance (COP)],
zRE ≡ ² =
y finalmente para las bombas de calor
zHP ≡ ν =
Hay que observar que η y ² pueden alcanzar un valor nulo, mientras ν = ² + 1 y,
como consecuencia, para las bombas el valor mínimo de ν es la unidad. Las bombas
son un ejemplo de casos donde zmin 6= 0.
De estas expresiones y usando la ec. (2.4) se obtiene las expresiones para Ω de cada
uno de estos dispositivos térmicos:
|W |
,
η
(2.8)
|QL |
,
²
(2.9)
ΩHE = 2|W | − |W |max = (2η − ηmax )|QH | = (2η − ηmax )
ΩRE = 2|QL | − |QL |max = (2² − ²max )|W | = (2² − ²max )
|QH |
. (2.10)
ν
A la vista de los resultados precedentes, se destacan las siguientes características de
ΩHP = 2|QH | − |W | − |QH |max = (2ν − 1 − νmax )|W | = (2ν − 1 − νmax )
la función Ω:
Es muy fácil de implementar en cualquier tipo de dispositivo térmico, pues su
definición sólo necesita el conocimiento del rendimiento y de la potencia en motores; de la carga de refrigeración y eficiencia en frigoríficos; y de la carga de
calentamiento y eficiencia para bombas. Es de destacar que, aunque hasta ahora se han propuesto numerosos criterios de optimización dentro del contexto de
24
la TTF, ninguno tenía la propiedad de poderse aplicar a distintos dispositivos
térmicos - por ejemplo, motores, frigoríficos y bombas térmicas. En este sentido
se puede afirmar que Ω es un criterio general para cualquier convertidor energético [4, 6].
Su implementación no necesita el conocimiento explícito de la generación de entropía, un problema a menudo difícil y sutil en la mayoría de los sistemas fuera
del equilibrio [4, 6].
Tampoco requiere la consideración de parámetros del entorno como sucede con
la función ecológica o la exergía. Esta propiedad le convierte en un buen criterio
de optimización dentro del contexto de la TTF [4, 6].
Finalmente, otra propiedad destacada de este criterio, y como se podrá comprobar
a lo largo de este trabajo, es su carácter unificador en el sentido de que siempre proporciona valores del rendimiento (eficiencia) y de la potencia (carga de refrigeración)
intermedios a los obtenidos con los criterios de máxima potencia (máxima carga de refigeración) y máximo rendimiento (máxima eficiencia) en los ciclos de potencia (frigoríficos). Estas características le otorgan la propiedad de ser un criterio de optimización
óptimo en el contexto de la TTF.
Nótese que la definición de Ω en el caso de bombas de calor se puede obtener directamente a partir de la del frigorífico, sin más que tener en cuenta que en este tipo
de ciclos |QH | = |QL | + |W | y ν = ² + 1. Así pues, el proceso de optimización de una
bomba de calor bajo el criterio Ω se reduce al proceso de optimización del correspondiente ciclo frigorífico y, en consecuencia, no serán presentados resultados explícitos
para estos dispositivos en este trabajo.
Capítulo 3
Sistemas macroscópicos
El objetivo de este capítulo es mostrar los resultados obtenidos al aplicar los métodos de la TTF a modelos de máquinas térmicas macroscópicas. Se analizaran, como
dos modelos representativos y bien diferentes, un ciclo irreversible tipo Carnot y un
dispositivo de potencia operando según un ciclo Joule-Brayton.
El primer sistema, un ciclo tipo Carnot irreversible estándar es un modelo, que
aunque muy sencillo desde el punto de vista analítico es muy utilizado, ya que introduce las tres principales irreversibilidades que aparecen en todos los dispositivos
térmicos reales [17, 34, 36]: (a) pérdidas de calor por disipación entre los focos térmicos
externos al sistema (heat leak); (b) irreversibilidades internas en el fluido de trabajo; y
(c) las transferencias de calor en tiempo finito entre los focos térmicos externos y el sistema de trabajo. El análisis presentado para este ciclo incluye los modos de operación
en forma de ciclo de potencia y ciclo frigorífico. Se considerarán en cada caso, además,
cuatro leyes distintas de transferencia de calor: una ley lineal o newtoniana y tres leyes
no lineales como son la ley inversa, la ley de Dulong y Petit y finalmente la ley de
transferencia de calor por radiación de Stefan-Boltzmann [32, 35].
En la segunda parte de este capítulo se analiza el segundo sistema propuesto. Es
un ciclo de potencia que recorre un ciclo irreversible Joule-Brayton con regeneración
y leyes lineales para las transferencias de calor. Es un modelo ampliamente utilizado
como prototipo en la investigación de ciclos de potencia con turbinas de gas [17, 43, 73,
74].
En todos los casos se analizan los modos de operación optimizados bajo tres regímenes: máxima potencia (máxima potencia de enfriamiento para el frigorífico), máximo
rendimiento (máxima eficiencia en frigoríficos) y máxima función Omega.
25
26
Th
σh
.
Th'
Qi
.
Qh
Ciclo de
Carnot
Irreversible
σi
.
Q
.
W
.
Qc
i
T c'
σc
Tc
Figura 3.1: Esquema de un ciclo de potencia irreversible tipo Carnot.
3.1.
Ciclos de potencia tipo Carnot
El modelo teórico [75] que se considera es un ciclo (continuo) irreversible de tipo
Carnot cuyo esquema se muestra en la Fig. 3.1. |Q̇h | y |Q̇c | denotan, respectivamente,
el calor por unidad de tiempo (flujo de calor) suministrado por el foco térmico caliente
externo de temperatura Th y el flujo de calor absorbido por el foco térmico frío de
temperatura Tc ; |Q̇i | es el flujo de calor disipado directamente entre los focos externos;
|Ẇ | es la potencia obtenida por ciclo; Th (< Th ) y Tc (> Tc ) son, respectivamente, las
0
0
temperaturas del sistema de trabajo a lo largo de las isotermas caliente y fría. Finalmente, σh y σc denotan las conductancias térmicas asociadas, respectivamente, a las
transferencias de calor entre los focos térmicos caliente y frío y el sistema de trabajo
y σi es la conductancia térmica asociada al flujo de calor intercambiado directamente
entre las dos focos externos (heat leak).
Para el ciclo realizado por el fluido de trabajo, la desigualdad de Clausius es
|Q̇h | |Q̇c |
− 0 ≤ 0,
0
Tc
Th
(3.1)
expresión que puede ser escrita como una igualdad si se utiliza un parámetro I, tal que
3.1. Ciclos de potencia tipo Carnot
27
|Q̇c |
|Q̇h |
=I 0
0
Tc
Th
con
(3.2)
0 ≤ I ≤ 1.
Un caso límite, ya mencionado en el capítulo anterior, y que será analizado ampliamente a lo largo del presente trabajo, corresponde a la situación en la que todas las
irreversibilidades están asociadas exclusivamente a los acoplamientos entre el fluido
de trabajo y los focos térmicos exteriores y, en consecuencia, el ciclo es internamente
reversible. La hipótesis de endorreversibilidad (internamente reversible) [ó exoirreversibilidad (externamente irreversible)] ha sido un elemento central en el desarrollo de la
TTF, aunque hay que puntualizar que también ha sido objeto de numerosas críticas y
disputas [76–78]. A la vista de la ecuación anterior es obvio que se recupera el límite
endorreversible, desde el punto de vista operacional, cuando I = 1.
A fin de simplificar las expresiones analíticas en las siguientes secciones es conveniente introducir las siguientes variables adimensionales para la descripción del ciclo
irreversible tipo Carnot:
Th
ah = 0 ≥ 1,
Th
0
T
ac = c ≥ 1,
Tc
τ=
Tc
,
Th
σhc =
σh
σc
y
σih =
σi
.
σh
(3.3)
3.1.1. Ley de conducción lineal
Se considera que todos los flujos de calor involucrados en el ciclo son proporcionales a las diferencias de temperaturas. Es decir, se considera una ley de transferencia de calor de tipo Newton. Con la notación de las expresiones (3.3) se obtiene en este
caso que los flujos externos de calor vienen dados por las ecuaciones
0
|Q̇h | = σh (Th − Th ) = σh Th (1 − a−1
h )
(3.4)
y
0
|Q̇c | = σc (Tc − Tc ) = σc Tc (ac − 1),
(3.5)
mientras que el flujo de calor |Q̇i |, transferido directamente entre los dos focos térmicos
de temperaturas Th y Tc , es
|Q̇i | = σh Th σih (1 − τ ).
(3.6)
Con las ecuaciones anteriores el flujo neto de calor desde el foco térmico de temperatura Th se puede expresar como
£
¤
|Q̇H | = |Q̇h | + |Q̇i | = σh Th (1 − a−1
h ) + σih (1 − τ ) ,
(3.7)
28
y el flujo neto de calor absorbido por el foco térmico de temperatura Tc es
¸
·
1−τ
|Q̇C | = |Q̇c | + |Q̇i | = σc Tc (ac − 1) + σic
.
τ
(3.8)
Las variables ah y ac que aparecen en las ecuaciones anteriores no son independientes, sino que están ligadas entre sí mediante la ecuación (3.2). Sustituyendo los
flujos de calor |Q̇h | y |Q̇c | en la ec.(3.2) es posible encontrar la siguiente relación para ac
en función de las demás variables,
ac =
I
.
I − σhc (ah − 1)
(3.9)
Usando las ecs. (3.4)-(3.9) se obtiene directamente la expresión para la potencia producida en el ciclo
P (ah ; τ, I, σhc , σih ) = |Q̇H | − |Q̇C |
I(ah − 1) − σhc (ah − 1)2 − τ (a2h − ah )
,
= σh Th
ah (I + σhc ) − σhc a2h
(3.10)
y para el rendimiento
|Q̇H | − |Q̇C |
|Q̇H |
µ
¶−1
³
ac ah τ ´
1−τ
.
1 + σih
= 1−
I
1 − a−1
h
η(ah ; τ, I, σhc , σih ) =
(3.11)
Conocidas las expresiones de la potencia y del rendimiento, la de Ω es (ver sección 2.3)
ΩHE (ah ; τ, I, σhc , σih ) =
[2η(ah ; τ, I, σhc , σih ) − ηmáx (τ, I, σhc , σih )]
P (ah ; τ, I, σhc , σih )
.
η(ah ; τ, I, σhc , σih )
(3.12)
donde ηmáx (τ, I, σhc , σih ) es el valor máximo del rendimiento para valores fijos de los
parámetros τ, I, σhc , y σih .
Los comportamientos con ah de η, P y ΩHE [P = P/(σh Th ) y ΩHE = ΩHE /(σh Th )]
para ciertos valores de τ , de las conductancias y de I se muestran en la Fig. 3.2(a).
Puede observarse como las tres funciones poseen siempre un valor máximo para un
valor distinto de ah ≥ 1. Además, como los valores de ah que maximizan al rendimien-
to y a la potencia son distintos, cuando se representa la potencia frente al rendimiento
se obtiene un curva en forma de bucle, Fig. 3.2(b), donde se pone de manifiesto que
29
0.14
(a)
η
0.4
_
P
0.1
0. 3
0. 2
(b)
_
0.06
P
0. 1
_
Ω
1.1
1.2
1.3
0.02
1.4
1.5
ah
1.6
0.1
0.2
0.3
0.4
η
0.5
Figura 3.2: Comportamiento del rendimiento η potencia P y Ω frente a ah (a) y de la
potencia vs rendimiento (b) para un ciclo de potencia irreversible tipo Carnot con ley
de transferencia de calor lineal. En todos los casos τ = 0,2; I = 0,9, σhc = 1 y σih = 0,1.
• denota el estado de máximo rendimiento y ¥ el de máxima potencia.
los estados termodinámicos correspondientes al de máxima potencia y al de máximo
rendimiento no son coincidentes aunque sí próximos. Esta figura en forma de bucle
para el comportamiento potencia-rendimiento parece ser una seña de identidad específica de todas los dispositivos reales de potencia [79]. Se ha comprobado que los
comportamientos cualitativos de las figuras anteriores son independientes de los valores de las conductancias, de las irreversibilidades internas y de las temperaturas de los
focos externos. Este hecho garantiza la optimización de las tres funciones en este sistema considerando ah (i.e., la temperatura interna del fluido de trabajo en la isoterma
de temperatura alta) como la variable independiente apropiada y las restantes variables, τ, I, σhc , σih , como el conjunto de parámetros de control.
En la fig. 3.3 se muestran los valores optimizados del rendimiento y de la potencia normalizada versus la relación entre las temperaturas de los focos térmicos externos τ . Como hechos más relevantes en esta figura se destacan los siguientes: (1)
Los valores del gradiente térmico ah en condiciones de máxima función Ω, ah,máx Ω ,
son intermedios a los obtenidos en condiciones de máximo rendimiento, ah,máx η y
máxima potencia ah,máx P ; (2) El rendimiento en condiciones de máxima función Ω,
ηmáx Ω = η(ah,máx Ω ; τ, I, σhc , σih ), es para todo τ intermedio entre el máximo rendimiento, ηmáx = η(ah,máx η ; τ, I, σhc , σih ) y el rendimiento en condiciones de máxima potencia,
ηmáx P = η(ah,máx P ; τ, I, σhc , σih ); (3) La potencia del ciclo en condiciones de máximo Ω,
P máx Ω = P (ah,máx Ω ; τ, I, σhc , σih ), es para todo τ intermedia entre la máxima potencia,
30
1.8
ah
0. 8
(a)
1.6
0.6
1.4
0.4
1.2
0.2
1
0.2
0.4
0.6
0.8
τ
1
(b)
_
P
η
0.2
0.4
0.6
0.8
τ
1
Figura 3.3: Resultados de la optimización para el ciclo de potencia irreversible tipo
Carnot lineal. (a) Valores de ah , en condiciones de máxima potencia, ah,máx P , ( línea
continua superior), máximo Ω, ah,máx Ω , (línea discontinua) y máximo rendimiento,
ah,máx η , (línea continua inferior). (b) Rendimiento máximo, ηmáx , (línea continua superior), rendimiento en condiciones de máximo Ω, ηmáx Ω , (línea discontinua) rendimiento
a máxima potencia, ηmáx P , (línea continua inferior). Potencia máxima, P máx , (línea continua superior) potencia en condiciones de máxima Ω, P máx Ω , (línea discontinua) y en
condiciones de máximo rendimiento, P máx η . En todos los casos I = 0,9; σhc = 1 y
σih = 0,1.
P máx = P (ah,máx P ; τ, I, σhc , σih ) y la potencia en condiciones de máximo rendimiento, P máx η = P (ah,máx η ; τ, I, σhc , σih ). Estas dos últimas características son las que convierten a Ω en un criterio óptimo, tal como se indicó en el capítulo anterior. Otras dos
importantes propiedades en la Fig. 3.3 son: (a) que el rendimiento en condiciones de
máximo Ω es aproxidamente la semisuma de los rendimientos máximo y en condiciones de máxima potencia, y (b) la potencia del ciclo en condiciones de máximo Ω es
muy cercana a la máxima potencia.
Límite Endorreversible. En esta situación, donde sólo se consideran fuentes de
irreversibilidad asociadas a los acoplamientos del sistema de trabajo con los focos térmicos externos mientras que el ciclo se considera internamente reversible, se obtiene a
partir del caso general presentado anteriormente, haciendo I = 1 y σih = 0. El comportamiento de P , η y Ω en este límite, se muestra en la Fig. 3.4(a). Nótese como ahora el
rendimiento es una función decreciente con ah desde su valor máximo (el rendimiento de Carnot) en ah = 1 hasta cero para valores de ah suficientemente grandes. Para
la potencia y la función Ω, sin embargo, se encuentra un comportamiento cualitativo
31
0.8
(a)
η
0.6
(b)
0.15
_
P
0.1
0.4
_
0.2
0.05
P
1.1
_
Ω
1.2
1.3
1.4
1.5
ah1.6
0
0.2
0.4
0.6
η
0.8
Figura 3.4: Límite endorreversible (σih = 0, I = 1) del ciclo irreversible tipo Carnot
lineal. (a) Comportamiento de η, P y Ω con ah ; (b) Comportamiento de P frente a η. En
todos los casos τ = 0,2 y σhc = 1.
similar al del caso general. Una consecuencia directa del comportamiento decreciente
del rendimiento y del comportamiento primero creciente y luego decreciente de la potencia, es que las curvas rendimiento-potencia endorreversibles son de la forma que se
muestran en la Fig. 3.4(b), característica de los modelos que verifican la hipótesis de endorreversibilidad, y bien diferente de la forma de bucle que se observó anteriormente
para el modelo irreversible.
Además de simplificadora, la hipótesis de endorreversibilidad permite obtener expresiones analíticas especialmente sencillas para las funciones termodinámicas de interés. En particular, se destacan las del rendimiento, ya que sólo dependen de las temperaturas externas y son bien conocidas en el ámbito de la TTF: ηmáx = 1 − τ ≡ ηC ,
p
√
ηmáx P = 1 − τ ≡ ηCA , ηmáx Ω = 1 − τ (τ + 1)/2 ≡ ηM E . Estos tres resultados merecen
tres comentarios importantes :
El rendimiento de Curzon-Ahlborn se obtiene para ciclos endorreversibles tipo
Carnot cuando la leyes de transferencia de calor entre el sistema de trabajo y
los focos térmicos externos son lineales en la diferencia de temperaturas. Cuando alguna de estas condiciones no se cumple el rendimiento en condiciones de
máxima potencia no es la expresión de Curzon-Ahlborn, tal como se verá posteriormente.
El rendimiento en condiciones de máxima Ω, ηmáx Ω , coincide exactamente con el
obtenido por Angulo [30] en la optimización del mismo sistema bajo el criterio
32
1
ηC
η
0.6
η C + ηCA
2
η
máx Ω
ηCA
0.2
0
0.2
0.6
τ
1
√
Figura 3.5: Comportamiento frente a τ de ηC = 1 − τ , ηCA = 1 − τ y ηmáx Ω ≡ ηM E =
p
1 − τ (τ + 1)/2. Para algunos valores numéricos concretos de estos rendimientos y su
comparación con rendimientos reales de plantas de potencia veáse la tabla 2.1.
ecológico. Es decir, el criterio ecológico y Ω son equivalentes para un ciclo tipo
Carnot endorreversible y lineal. Esto se puede verificar analíticamente de forma
sencilla sin más que tener en cuenta la expresión de la producción de entropía en
este modelo:
E ≡ W − Tc ∆S = W − Tc (
= W + W − |Qh |(1 −
|Qc | |Qh |
Tc
−
) = W − |Qc | + |Qh |
=
Tc
Th
Th
Tc
) = 2W − |Qh |ηC = (2η − ηC )|Qh | ≡ Ω
Th
(3.13)
En la figura 3.5 se muestra el comportamiento del rendimiento para estos tres
regímenes en el límite endorreversible. Como se puede observar, el rendimiento
bajo condiciones de máxima función Omega -línea discontinua- es intermedio entre los de Carnot y el de CA. Además se ha incluido una tercera curva continua,
que corresponde a la semisuma del rendimiento de Carnot y de CA, y donde
se puede observar que ηmaxΩ ≈ (ηC + ηCA )/2, de acuerdo con la propiedad de la
semisuma [30], mencionada anteriormente. Hay que apuntar que esta propiedad,
aunque en principio se obtuvo para los modelos endorreversibles tipo Carnot
con leyes lineales de conducción, tiene un intervalo de validez mucho más amplio, como se presentó para el modelo irreversible y como se tendrá ocasión de
comprobar reiteradamente a lo largo de este trabajo.
33
3.1.2. Leyes no lineales
En esta sección se analizan los comportamientos del rendimiento y la potencia optimizados bajo las tres situaciones estudiadas en este trabajo, pero considerando leyes
de transferencia de calor no lineales. En primer lugar se presenta el análisis con una ley
inversa, a continuación con una ley de Dulong y Petit y, finalmente, con la de StefanBoltzmann.
Ley Inversa. En este caso las transferencias de calor entre el sistema de trabajo y los
focos térmicos, así como el intercambio directo entre las dos focos térmicos se comportan como q ∝ ∆(1/T ), una ley fenomenológica muy familiar en el contexto de la T.P.I.
Usando una vez más las expresiones para ah , ac , σhc y σih definidas en (3.3), los tres
flujos de calor involucrados quedan expresados como
1
1
σh
)=
(ah − 1),
0 −
Th
Th Th
σh 1
1
1
1
(1 − ),
|Q̇c | = σc ( − 0 ) =
Tc Tc
Th τ σhc
ac
|Q̇h | = σh (
y
(3.14)
(3.15)
1
1
σh
1
(3.16)
− )=
σih ( − 1).
Tc Th
Th
τ
Al igual que en el caso lineal, de las ecuaciones para los flujos de calor y la ecuación
|Q̇i | = σi (
(3.2), se obtiene ahora que
ac =
I−
p
I 2 − 4τ 2 ah (ah − 1)Iσhc
,
2τ 2 ah (ah − 1)Iσhc
(3.17)
ecuación que relaciona ac con ah y los demás parámetros del problema.
Teniendo en cuenta las ecuaciones anteriores, la potencia, el rendimiento y la función Ω se pueden expresar, respectivamente, como
"
Ã
!#
1
2τ 2 ah (ah − 1)Iσhc
σh
p
ah − 1 −
1−
P (ah ; τ, I, σhc , σih ) =
, (3.18)
Th
τ σhc
I − I 2 − 4τ 2 ah (ah − 1)τ σhc
y
p
I − 2 + 2(ah − 1)σhc τ + I(I − 4(ah − 1)ah σhc τ 2 )
,
η(ah ; τ, I, σhc , σih ) =
2σhc (σih + (ah − σih − 1)τ )
ΩHE (ah ; τ, I, σhc , σih ) = [2η − ηmáx ]
P
.
η
(3.19)
(3.20)
34
0.6
_
P
0.4
η
0.2
0
_
Ω
1.5
2
2.5
ah
3
Figura 3.6: Rendimiento η, potencia P y Ω en término de ah con valores de los parámetros de control τ = 0,2, I = 0,9, σhc = 1 y σih = 0,1, para un ciclo irreversible tipo
Carnot usando una ley de transferencia de calor inversa.
Los comportamientos de P (= P Th /σh ), η y Ω(= ΩTh /σh ) respecto de ah para valores
dados de los parámetros (τ , I, σhc y σih ) se muestran en la Fig. 3.6. Como se puede observar presentan un comportamiento cualitativo similar al encontrado en el caso de
la ley lineal de transferencia de calor, es decir, las tres funciones presentan un sólo
máximo en valores distintos de ah ≥ 1 y en consecuencia el bucle característico de la
potencia vs rendimiento también se obtiene en este caso, aunque no se muestra explíci-
tamente.
Los comportamientos optimizados frente a τ de ah , η y P , en los tres regímenes
de operación, y mostrados en la Fig. 3.7, son similares a los observados en el mismo
modelo con la ley de Newton: en el régimen de máxima función Omega de ah , η y
P son intermedios entre los obtenidos en condiciones de máximo rendimiento y en
condiciones de máxima potencia. Hay que notar como la potencia, en el régimen de
máximo Ω, alcanza un valor muy cercano al máximo posible y como, en el mismo
régimen, el rendimiento es muy cercano a la semisuma de los otros dos. En definitiva, todos los comportamientos encontrados en la sección anterioer para la ley lineal
son reproducidos cualitativamente también mediante una ley de transferencia de calor
completamente diferente como es la ley inversa.
En el límite endorreversible (I = 1, σih = 0), la ley de transferencia inversa también
permite obtener algunos resultados analíticos concretos. En particular, se resaltan los
35
5
(a)
ah
4
3
2
0.5
(b)
η
0.3
0.1
1
(c)
_
P
0.6
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
τ
1
Figura 3.7: Resultados del proceso de optimización para el ciclo irreversible tipo Carnot
con ley inversa. (a) ah en condiciones de máxima potencia (línea superior continua),
máxima función Omega (línea discontinua) y máximo rendimiento (línea inferior continua). (b) Rendimiento máximo, ηmáx (línea superior continua), rendimiento en condiciones de máxima Ω, ηmáx Ω , (línea intermedia discontinua), rendimiento a máxima potencia, ηmáx P (línea inferior continua). (c) Máxima potencia, P máx (línea superior continua), potencia a máximo Ω, P máx Ω (línea intermedia discontinua), potencia a máximo rendimiento, P máx η (línea inferior continua). En todos los casos I = 0,9, σhc = 1,
σih = 0,1.
36
dos siguientes para el rendimiento: en condiciones de máxima potencia
ηmáx P =
1 + σhc −
p
(1 + σhc )(1 + σhc τ 2 )
σhc (1 + τ )
(3.21)
y en condiciones de máxima función Omega
ηmáx Ω =
p
(2 + σhc (1 + τ ))(1 + σhc τ 2 ) − (1 + σhc τ ) (1 + σhc τ 2 )(4 + σhc (1 + τ )2 ))
p
.
σhc (1 + τ )(1 + σhc τ 2 ) − σhc τ (1 + σhc τ 2 )(4 + σhc (1 + τ )2 )
(3.22)
Nótese como las expresiones para el rendimiento óptimo sí dependen en este caso (ley inversa) del valor de las conductividades térmicas asociadas a las diferentes
transferencias de calor, a diferencia del caso lineal endorreversible, donde las expresiones sólo dependían de la relación entre las temperaturas de los focos térmicos, τ . A
continuación se analiza el comportamiento del rendimiento en tres límites: 1) σhc → 1,
i.e., las conductancias térmicas asociadas a la transferencia de calor del fluido de trabajo con los focos son idénticas, 2) σhc → 0, la conductancia asociada a la transferencia de
calor entre el fluido de trabajo y el foco caliente es muy pequeña comparada con del
foco térmico frío y, 3) σhc → ∞, la situación inversa que el caso 2), es decir, σh À σc .
Para el rendimiento a máxima potencia se tiene que
√ √
2 − 2 1 + τ2
lı́m ηmáx P =
,
σhc →1
1+τ
(3.23)
un resultado que difiere del obtenido por Chen et al. [32] para el mismo modelo (estos
autores encontraron la expresión lı́mσhc →1 ηmáx P = 1 −
1+3τ
).
3+τ
Sin embargo, las expre-
siones en los dos límites restantes coinciden con las obtenidas por los mencionados
autores:
lı́m ηmáx P =
σhc →0
1−τ
,
2
(3.24)
y, finalmente,
1−τ
.
(3.25)
σhc →∞
1+τ
Las correspondientes expresiones para η en circunstancias de máxima función Omega,
lı́m ηmáx P =
ηmáx Ω , son
lı́m ηmáx Ω =
σhc →1
p
(1 + τ 2 )(4 + (1 + τ )2 )
,
1 + 3τ
3
= (1 − τ ),
4
3 + (2 − τ )τ −
(3.26)
lı́m ηmáx Ω
(3.27)
σhc →0
37
y
(3.28)
lı́m ηmáx Ω = 1.
σhc →∞
Este último resultado se debe a que en el lı́m σhc → ∞, ah toma el valor de la unidad.
Es inmediato comprobar que en todos los casos ηmáx ≥ ηmáx Ω ≥ ηmáx P .
Leyes de Dulong y Petit y Stefan-Boltzmann. La ley de transferencia de calor de
Dulong y Petit, (∆T )n con n = 5/4, se considera una ley fenomenológica adecuada para
describir las transferencias de calor que tiene lugar simultáneamente por convección
y radiación. La ley de Stefan-Boltzmann, por su parte, tiene la forma T k − T k , con
0
k = 4, y describe las transferencias de calor por radiación. En consecuencia, esta ley es
la adecuada en el estudio de todos los dispositivos térmicos utilizados en la conversión
de energía solar [20, 80]. De forma unificada para estas dos leyes, los flujos de calor, de
acuerdo al modelo de la Fig. 3.1 se pueden escribir como, usando (3.3)
(kn)
0
|Q̇h | = σh (Thk − Thk )n = σh Th
0
(kn) τ
|Q̇c | = σc (Tc k − Tck )n = σh Th
(kn)
|Q̇i | = σi (Thk − Tck )n = σh Th
1 n
) ,
akh
(3.29)
(akc − 1)n ,
(3.30)
(1 −
(kn)
σhc
σih (1 − τ k )n ,
(3.31)
con k = 1, n = 5/4 para la ley de Dulong-Petit y k = 4, n = 1, para la ley de StefanBoltzmann. Las restricciones impuestas por la ecuación (3.2) para ac y la variable independiente ah y las parámetros de control, ac = ac (ah , τ, I, σhc ), están dadas por:
σhc ah1−n (ah − 1)n =
Iτ n−1 (ac − 1)n
ac
(3.32)
con n = 5/4 para Dulong-Petit y por
3 3
−1
σhc (ah − a−3
h ) = Iτ (ac − ac )
(3.33)
para la ley de Stefan-Boltzmann. En ninguno de los dos casos es posible obtener una
solución analítica para ac .
De las ecuaciones (3.29)-(3.31) se obtienen las expresiones de la potencia, el rendimiento y la función Omega para estos dos tipos de leyes de transferencia de calor.
Los comportamientos de estas funciones respecto de la variable independiente ah son
similares a los obtenidos para los casos anteriores (leyes lineal e inversa) por lo que
no se mostrarán nuevamente las gráficas correspondientes. Sin embargo, sí se muestran los valores optimizados de estas funciones, obtenidos numéricamente, en los tres
38
0.25
0.7
(c)
η
(a)
η
0.5
0.15
0.3
0.05
0.1
0.06
0.25
_
(b)
P
_
(d)
P
0.04
0.15
0.02
0.05
0.2
0.4
0.6
τ
0.8
0.2
0.4
0.6
τ
0.8
Figura 3.8: Valores optimizados del rendimiento [(a) y (c)] y de la potencia normalizada [(b) y (d)] para un ciclo tipo Carnot con leyes de transferencia tipo Dulong-Petit
(izquierda) y Stefan-Bolztmann (derecha). En todos los casos I = 0,9; σih = 0,1 y
σhc = 1. La disposición de las curvas es la misma que en la Fig. 3.7.
regímenes de operación analizados. Así, ηmáx , ηmáx P y ηmáx Ω se muestran en la Fig. 3.8(a)
para la ley de Dulong y Petit y en la Fig. 3.8(c) para la de Stefan-Boltzmann. Las
figs. 3.8(b) y (d) muestran, respectivamente, P̄máx , P̄máx Ω y P̄máx η para las dos leyes.
(5/4)
Los valores de la potencia están en unidades reducidas: σh Th
Petit y
σh Th4
para la ley de Dulong-
para la ley de Stefan-Boltzmann.
Se deduce de los resultados obtenidos que, a pesar del distinto comportamiento
cuantitativo de las funciones rendimiento y potencia, dependiendo de la ley de transferencia de calor, se sigue conservando el carácter intermedio de los valores optimizados mediante el criterio Omega. Se ha comprobado que estos comportamientos son independientes de los valores dados a los parámetros de control. Es conveniente resaltar
que, para estas leyes de transferencia no lineales, no es posible encontrar soluciones
analíticas en el límite endorreversible.
3.2. Ciclos frigoríficos tipo Carnot
39
Th'
.
Qh
.
σh
Th
.
Ciclo de
Carnot
Irreversible
W
Qi
σi
.
Tc
T c'
σc
Qc
Figura 3.9: Esquema de un ciclo frigorífico irreversible tipo Carnot.
3.2.
Ciclos frigoríficos tipo Carnot
En esta sección se analiza un modelo de máquina irreversible tipo Carnot trabajando como un frigorífico [51]. En la fig. 3.9 se expone un esquema del dispositivo considerado, utilizando la misma notación que en el caso del ciclo de potencia mostrado en la
Fig. 3.1. Así, Q̇h y Q̇c representan, respectivamente, los flujos de calor transferidos entre el sistema de trabajo (refrigerante) y los focos térmicos exteriores de temperatura
Th y Tc (Th > Tc ); Th (> Th ) y Tc (< Tc ) son, respectivamente, las temperaturas del re0
0
frigerante en los procesos isotermos caliente y frío; Q̇i es el flujo de calor transferido
directamente entre los dos focos térmicos externos de temperaturas Th y Tc ; por último, σh y σc son las conductancias térmicas asociadas a los calores intercambiados
entre el sistema de trabajo y los focos externos y σi lo es para el calor intercambiado directamente por los focos. Es muy importante percatarse de que en el caso de los
frigoríficos, las temperaturas de los focos térmicos externos tienen que ser intermedias
a las temperaturas de los procesos isotermos seguidos por el refrigerante en el ciclo de
Carnot. Es decir, deben verificarse las siguientes desigualdades entre las temperaturas:
Th > Th > Tc > Tc .
0
0
En este caso, el ciclo realizado por el refrigerante verifica nuevamente la desigual-
40
dad de Clausius
|Q̇h | |Q̇c |
− 0 ≤ 0,
0
Tc
Th
que puede escribirse como una igualdad
|Q̇c |
|Q̇h |
=I 0
0
Tc
Th
con 0 ≤ I ≤ 1,
(3.34)
mediante el parámetro I que tiene en cuenta las irreversibilidades internas presentes
en el refrigerante. Obviamente, el modelo endorreversible se recupera cuando I = 1
(ciclo internamente reversible) y σi = 0 (sólo pérdidas en los acoplamientos entre el
refrigerante y los focos térmicos externos).
Debido a las desigualdades de las temperaturas antes mencionadas, es conveniente,
para posteriores operaciones, definir las siguientes variables (distintas a las definidas
para el ciclo de potencia):
0
T
ah = h ≥ 1,
Th
ac =
Tc
≥ 1,
Tc0
τ=
Tc
,
Th
σhc =
σh
σc
y
σih =
σi
.
σh
(3.35)
Al igual que en el ciclo de potencia descrito en el apartado anterior, los resultados
que se muestran están ordenados del siguiente modo: en primer lugar se analizará el
caso general del frigorífico irreversible lineal con su límite endorreversible y finalmente
se presenta el estudio del frigorífico usando leyes de transferencia de calor no lineales.
3.2.1. Ley de conducción lineal
Se considera que, tanto las transferencias de calor entre los focos externos y el refrigerante, como la transferencia de calor directa entre los focos térmicos, obedecen una
ley lineal. Por lo tanto, se tienen fácilmente las siguientes expresiones para los calores
transferidos en términos de las variables definidas en (3.35):
0
|Q̇h | = σh (Th − Th ) = σh Th (ah − 1),
τ
0
|Q̇c | = σh (Tc − Tc ) = σh Th
(1 − a−1
c ),
σhc
(3.36)
(3.37)
y
|Q̇i | = σi (Th − Tc ) = σh Th σih (1 − τ ).
(3.38)
De la ecuación (3.34) se obtiene la expresión de ac en función de la variable ah y de
los parámetros restantes,
¢
¡
,
ac = 1 + Iσhc 1 − a−1
h
(3.39)
41
con lo cual es posible reescribir |Q̇c | como
τ
|Q̇c | = σh Th
σhc
µ
−Iσhc (ah − 1)
ah + Iσhc (ah − 1)
¶
.
(3.40)
Utilizando las ecuaciones anteriores es sencillo obtener las expresiones para la potencia de enfriamiento |Q̇L | (flujo de calor extraído por el refrigerante desde el foco
térmico de temperatura Tc ) y la eficiencia del frigorífico ². Los resultados son:
|Q̇L |(ah ; τ, I, σhc , σih ) = |Q̇c | − |Q̇i | =
µ
¶
¸
·
−Iσhc (ah − 1)
τ
= σh Th
− σih (1 − τ ) ,
σhc ah + Iσhc (ah − 1)
y
²(ah ; τ, I, σhc , σih ) =
=
(3.41)
|Q̇c | − |Q̇i |
=
|Q̇h | − |Q̇c |
−(ah + (ah − 1)Iσhc )σih + (ah σih + (ah − 1)I(σhc σih − 1))τ
.
(ah − 1)(ah + ah Iσhc + I(−σhc + τ ))
(3.42)
La función Omega para el frigorífico (RE), de acuerdo con la ec. (2.9), viene dada como
ΩRE (ah ; τ, I, σhc , σih ) =
=
2²(ah ; τ, I, σhc , σih ) − ²(ah ; τ, I, σhc , σih )
|Q̇L |(ah ; τ, I, σhc , σih )
²(ah ; τ, I, σhc , σih )
(3.43)
donde |Q˙L | = |Q̇L |/(σh Th ).
Los comportamientos de estas funciones se muestran en la Fig. 3.10(a). Puede ob-
servarse como, con parámetros de control dados, ² y Ω presentan un máximo para
ah ≥ 1, mientras que la potencia de enfriamiento, |Q̇L |, presenta un comportamiento creciente y, por consiguiente, su máximo corresponde al valor más alto físicamente
aceptable de ah (el que proporciona eficiencia nula). Se observó en el caso de los ciclos
de potencia irreversibles que el comportamiento rendimiento-potencia en forma de bucle era su signo distintivo. Para los ciclos frigoríficos reales este signo distintivo es el
comportamiento del inverso de la eficiencia, 1/², vs. el inverso de la potencia de enfriamiento, 1/|Q̇L |. Dicha gráfica se muestra para este modelo en la fig. 3.10(b) y cumple
fielmente con la forma característica encontrada en todos los dispositivos frigoríficos
reales de tipo convencional [81]: una brusca disminución de 1/² para |Q̇L | grandes y
un crecimiento monótono para |Q̇L | pequeños.
42
ε
0.17
(a)
(b)
14
1
ε
0.12
.
10
QL
0.07
_
Ω
0.02
6
1. 2
1.4
1.6
1.8
2
ah
20
40
60
80
1
100
.
QL
Figura 3.10: Ciclo frigorífico tipo Carnot irreversible con ley lineal. (a) Comportamiento
de la eficiencia, ², de la potencia de enfriamiento, |Q̇L |, y de Ω frente a ah ; (b) Comportamiento de 1/² vs 1/|Q̇L |. En todos los casos I = 0,9, σhc = 1, σih = 0,1 y τ = 0,5.
La Fig. 3.11(a) muestra los resultados optimizados de ah . La Fig. 3.11(b) los resultados optimizados de la eficiencia: la máxima eficiencia y la eficiencia en condiciones
de máximo ΩRE (la eficiencia en condiciones de máxima potencia de enfriamiento ya
se mencionó anteriormente que tiene valor nulo). La fig. 3.11(c) muestra los resultados optimizados de la otra magnitud de interés en los ciclos frigoríficos, la potencia
de enfriamiento, en condiciones de máxima eficiencia, en condiciones de máximo Ω
y, obviamente, su máximo valor posible. Nótese como la eficiencia en condiciones de
máximo Ω es inferior a la máxima eficiencia para todos los valores del gradiente térmico y como la potencia de enfriamiento en condiciones de máximo Ω es inferior a la
máxima posible y superior a la obtenida en condiciones de máxima eficiencia. Dicho
de otra forma, los resultados de la eficiencia y de la potencia de enfriamiento en el régimen Omega son intermedios respecto de los correspondientes valores obtenidos en las
otras dos circunstancias óptimas.
En consecuencia, se puede afirmar que también en ciclos frigoríficos, al menos
con el modelo adoptado aquí, el criterio Ω proporciona un régimen óptimo de funcionamiento. Se mostrará a continuación que esto también se verifica para el mismo
modelo con leyes no lineales y, en el último capítulo, para un sistema cuántico cuyo
ciclo y dinámica son completamente diferentes.
43
5
(a)
4
_
a h máxΩ
3
2
a h máx ε
7
(b)
5
εmáx
3
_
εmáxΩ
1
0.5
(c)
.
Q máx
L
0.3
.
_
Q máxΩ
L
.
Q máx ε
L
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
τ
1
Figura 3.11: Resultados de la optimización de un ciclo frigorífico tipo Carnot irreversible con ley de transferencia de calor lineal: (a) ah en condiciones de máxima eficiencia, ah,máx ² , máximo ΩRE , ah,máx Ω [en condiciones de máxima potencia de enfriamiento el valor de ah tiende a infinito tal como puede verse en la Fig.3.10]; (b) ²máx y
²máx Ω [²máx |Q̇ | = 0]; (c) |Q̇L |máx , |Q̇L |máx Ω y |Q̇L |máx ² . En todos los casos I = 0,9, σhc = 1,
L
σih = 0,1.
44
1
(a)
(b)
ε
0.8
3
1/ ε
0.6
0.4
_
Ω (x10)
2
.
0.2
Q
1.1
1.2
1.5
L
1.3
1.4
1.5
ah
1.6
0
20
60
.
1/ Q L
100
Figura 3.12: Límite endorreversible de un ciclo frigorífico tipo Carnot con ley lineal. (a)
Comportamiento con ah de ², Ω(x10), y ||Q̇L |. (b) Comportamiento 1/² vs 1/|Q̇L |. En
todos los casos I = 1, σih = 0, σhc = 1 y τ = 0,5.
Límite endorreversible. Ahora se analiza el límite endorreversible del frigorífico
tipo Carnot lineal, es decir, la situación en la que el calor intercambiado directamente
entre los focos térmicos es nulo y el ciclo interno del refrigerante se realiza de forma
reversible. Por tanto, el modelo endorreversible se recupera nuevamente a partir del
ciclo frigorífico irreversible haciendo I = 1 y σih = 0.
En la Fig. 3.12(a) se ilustra el comportamiento endorreversible de ², |Q̇L | y Ω. Como
se puede observar la eficiencia ahora presenta un máximo (trivial) en ah = 1, de valor el
máximo posible (la eficiencia de Carnot) y luego decrece monótonamente; la potencia
de enfriamiento es una función creciente en ah (al igual que en el modelo irreversible); y
Ω presenta un máximo en un valor de ah que sigue conservando la siguiente propiedad:
ah máx ² ≤ ah máx Ω ≤ ah máx |Q̇| . Como consecuencia del decrecimiento monótono de la
L
eficiencia en este límite ahora el comportamiento 1/² vs. 1/|Q̇|L es diferente al encon-
trado en el caso irreversible ya que, véase Fig. 3.12(b), presenta una forma hiperbólica,
típica de todos los modelos endorreversibles de ciclos frigoríficos. Hay que destacar
que la principal diferencia con el caso irreversible es el comportamiento que se obtiene
para potencias de enfriamiento pequeñas y eficiencias muy grandes.
En este caso límite es posible encontrar algunas soluciones analíticas para la eficiencia en las distintas situaciones óptimas. Por su importancia se destacan dos resultados.
Obviamente que la máxima eficiencia es la de Carnot ²máx = τ /(1 − τ ) ≡ ²C , y que la
45
eficiencia en condiciones de máximo Ω es
²máx ΩRE = √
τ
.
2−τ −τ
(3.44)
un resultado sólo dependiente de las temperaturas de los focos térmicos externos, y
que fue obtenido previamente por Yan [82] y Chen [76], en la optimización de un
ciclo frigorífico endorreversible de Carnot bajo el criterio de tipo ecológico ERE =
P − ²C T0 Ṡgen cuando T0 toma el valor particular de la temperatura del foco caliente,
TH . De estos resultados se sigue que el criterio Ω es un criterio de tipo ecológico pero
que no necesita involucrar parámetros del medio ambiente, presentes en los tratamientos de tipo exergético, ni cálculos explícitos de la generación de la entropía, necesarios
para un análisis desde el punto de vista de la minimización de entropía.
3.2.2. Leyes no lineales
Ley inversa. Para un frigorífico irreversible tipo Carnot con transferencias de calor
siguiendo una ley inversa, q ∝ ∆(1/T ), los flujos de calor involucrados están dados
por, usando (3.35)
σh
1
1
− 0)=
(1 − a−1
h ),
Th Th
Th
(3.45)
|Q̇c | = σc (
1
σh 1
1
)=
(ac − 1),
0 −
Tc
Tc
Th σhc τ
(3.46)
|Q̇i | = σi (
1
1
σh
− )=
σih (τ −1 − 1).
Tc Th
Th
(3.47)
|Q̇h | = σh (
Usando la ecuación (3.34) y las expresiones para los flujos de calor |Q̇h | y |Q̇c |, se
obtiene la dependencia de ac respecto de ah y los demás parámetros, como
p
a2h − 4(1 − ah )Iσhc τ 2
.
(3.48)
ac =
2ah
De las ecuaciones (3.45)-(3.47) y sustituyendo ac , se obtienen las siguientes expresiones
ah +
para la potencia de enfriamiento y la eficiencia del frigorífico:
|Q̇L |(ah ; τ, I, σhc , σih ) = |Q̇c | − |Q̇i | =
"
#
p
ah + a2h − 4(1 − ah )Iσhc τ 2
σh 1
−
− σih (1 − τ ) ,
=
Th τ
2ah σhc
(3.49)
46
6
(a)
4
ε máx
ε máxΩ_
2
ε máx Q.
L
2
.
(b)
Q máx
L
0.15
.
_
0.9
τ
Q máxΩ
L
0.1
0.05
.
Q máx ε
L
0
0.5
0.6
0.7
0.8
1
Figura 3.13: Resultados de la optimización de un ciclo frigorífico tipo Carnot irreversible para una ley de transferencia inversa: (a) ²max , ²máx Ω y ²máx |Q̇ | ; (b) |Q̇L |máx ,
L
|Q̇L |máx Ω y |Q̇L |máx ² . En todos los casos I = 0,9, σhc = 1, σih = 0,1.
|Q̇c | − |Q̇i |
=
|Q̇h | − |Q̇c |
p
ah (−1 + 2σhc σih (−1 + τ )) − a2h − 4(1 − ah )Iσhc τ 2
p
=
ah − 2σhc τ + 2ah σhc τ + a2h − 4(1 − ah )Iσhc τ 2
²(ah ; τ, I, σhc , σih ) =
(3.50)
Con las dos ecuaciones anteriores se obtiene directamente ΩRE = (2² − ²máx )|Q̇|L /².
Los comportamientos de la potencia, |Q̇L |, la eficiencia, ², y Ω, respecto de la variable
ah para parámetros de control dados, son similares a los encontrados en el caso del
frigorífico lineal y no se muestran aquí. Sí se muestran los resultados del proceso de
optimización en la Fig. 3.13. Nuevamente se comprueba el resultado intermedio de los
valores optimizados en la situación de máximo Ω. Como diferencia más importante
respecto del caso lineal se destaca que con la ley inversa la eficiencia en condiciones
de máxima potencia de enfriamiento no es nula. Se muestran a continuación algunos
resultados analíticos de la eficiencia optimizada en el límite endorreversible y para
47
diferentes valores de las conductancias térmicas:
τ
√
,
1 − τ + 1 + τ2
τ
lı́m ²máx |Q̇|L =
σhc →0
2−τ
lı́m ²
σhc →1 máx |Q̇|L
=
σhc →0
(3.53)
(3 − τ )τ
(τ − 1)(τ − 4)
(3.54)
2τ
3(1 − τ )
(3.55)
lı́m ²máx Ω =
σhc →∞
(3.52)
=0
lı́m ²
σhc →∞ máx |Q̇|L
lı́m ²máx Ω =
(3.51)
El lı́mσhc →1 ²máx Ω no tiene una expresión simple por lo que se ha optado por no
mostrar su fórmula junto a las demás.
Leyes de Dulong y Petit y Stefan-Boltzmann. Para finalizar el estudio del frigorífico con leyes de transferencia no lineales, se hará el análisis asumiendo que las leyes
de transferencia de calor son del tipo de Stefan-Boltzmann ó Dulong y Petit de forma análoga a como se procedió para el análisis del ciclo de potencia. Se obtienen las
siguientes expresiones para los flujos de calor calores involucrados durante el ciclo del
frigorífico:
(kn)
0
|Q̇h | = σh (Thk − Thk )n = σh Th
¡
¢n
akh − 1 ,
(3.56)
es el flujo de calor cedido por el refrigerante al foco térmico de temperatura alta Th ;
0
(kn) τ
|Q̇c | = σc (Tck − Tc k )n = σh Th
(kn)
σhc
n
(1 − a−k
c ) ,
(3.57)
es el flujo de calor extraído del foco de temperatura baja TC y,
(kn)
|Q̇i | = σi (Thk − Tck )n = σh Th
(1 − τ k )n
(3.58)
es el flujo de calor intercambiado directamente entre las dos focos externos. Si en las
ecuaciones anteriores se hace n = 4 y k = 1 se recupera la ley de Stefan-Boltzmann y
con n = 1 y k = 5/4 la de Dulong-Petit.
La ecuación (3.34) proporciona, para la ley de Dulong y Petit la ecuación
τI
τ 5/4
5/4
(1 − a−1
=
(ah − 1)5/4 ,
c )
σhc
ac ah
(3.59)
48
2
1
(a)
1.75
(c)
1.25
0.6
ε máx
ε máx
0.75
ε máxΩ_
0.2
ε máxΩ_
0.25
8
(b)
0.8
0.6
.
(d)
.
0.6
Q máx
L
0.4
Q máx
L
.
_
τ
0.98
Q máxΩ
L
0.4
.
.
Q máx ε
_
L
Q máxΩ
L
0.2
0.2
.
Q máx ε
L
0.5
0.6
0.7
0.8
τ
0.9
0.86
0.9
0.94
Figura 3.14: Valores optimizados de la eficiencia ² [(a) y (c)] y de la potencia de enfriamiento, |Q̇L |, [(b) y (d)] para un ciclo frigorífico tipo Carnot con leyes de transferencia
de calor de tipo Dulong-Petit (izquierda) y Stefan-Boltzmann (derecha). En todos los
casos I = 0,9, σhc = 1 y σih = 0,1.
mientras que para la ley de Stefan-Boltzmann se tiene
τI 4
τ4
(1 − a−4
(a − 1).
c ) =
σhc
ac ah h
(3.60)
En ninguno de los dos casos es factible obtener la solución analítica que permita
obtener ac en términos de ah y de los parámetros de control. La solución debe obtenerse
mediante cálculo numérico.
Los comportamientos de |Q̇L | = |Q̇c | − |Q̇i | y ² = (|Q̇c | − |Q̇i |)/(|Q̇h | − |Q̇c |) son simi-
lares a los obtenidos en los casos anteriores y no se muestran explícitamente. Tanto ²
como Ω tienen un máximo especificado en un ah para valores dados de los parámetros
y ambas leyes reproducen los comportamiento típicos del inverso de la eficiencia cuando se representan frente al inverso de la potencia de enfriamiento. Los valores óptimos
de ² y |Q̇L | vs τ siguen conservando en estos dos casos las mismas propiedades que
ya vimos en los casos con leyes lineal e inversa, véase Fig. 3.14. En definitiva, también
3.3. Ciclo Brayton regenerativo
49
con estas leyes de conducción, ΩRE es un régimen óptimo de funcionamiento en ciclos
frigoríficos.
3.3.
Ciclo Brayton regenerativo
Un modelo común utilizado en el estudio de instalaciones de potencia con turbinas
de gas es el ciclo Brayton [o Joule-Brayton] regenerativo de aire-estándar. Este ciclo,
aunque idealizado, es muy útil debido a que permite obtener conclusiones cualitativas
y cuantitativas acerca del rendimiento y de la potencia en dispositivos reales de potencia de gas. En esta sección se presenta el análisis de un ciclo Brayton dentro del contexto
de la TTF bajo las tres situaciones de operación (máxima potencia, máximo rendimiento y criterio Omega) siguiendo la línea de los trabajos en la referencias [43, 74].
3.3.1. Modelo teórico
En la Fig. 3.15 se muestra el diagrama temperatura-entropía del ciclo analizado.
Para comenzar se hacen las siguientes consideraciones, habituales en el tratamiento de
este ciclo [16,17,73]: (1) El fluido de trabajo es aire, que se comporta como gas ideal; (2)
El proceso de combustión externa se simula mediante una transferencia de calor entre
un foco térmico de temperatura alta y el fluido de trabajo; y (3) el proceso de descarga de la turbina, normalmente a la atmósfera, se simula mediante una transferencia
de calor desde el fluido de trabajo hacia un foco térmico de temperatura baja; (4) las
irreversibilidades internas del fluido de trabajo se simulan mediante caídas de presión
en los procesos de absorción y cesión de calor con las fuentes externas y mediante el
comportamiento no isoentrópico del compresor y de la turbina; y (5) la actuación del
regenerador se simula mediante un intercambiador de calor en contracorriente instalado entre la salida de la turbina y el proceso de combustión que hace que el fluido
de trabajo sea precalentado antes de entrar en la cámara de combustión, con el consiguiente ahorro de combustible.
De forma más concreta el recorrido del ciclo es como sigue. Inicialmente, el fluido
de trabajo realiza un proceso de compresión no adiabático, 1 → 2; a la salida del com-
presor el gas es precalentado hasta un estado x mediante absorción de calor desde la
corriente caliente del regenerador de calor; en el proceso x → 3 el sistema es calentado
hasta la temperatura del estado 3 mediante la absorción de un flujo de calor Q̇H propor-
50
T
Foco Térmico Caliente
TH
.
3
|Q |
H
4
.
4s
x
.
y
2
PH
2s
PH - ∆P
H
.
| Q L|
PL
PL - ∆PL
1
TL
Foco Térmico Frío
S
Figura 3.15: Esquema temperatura-entropía de un ciclo Brayton con regeneración.
cionado por un foco térmico infinito de calor a temperatura TH sufriendo una pérdida
de presión ∆PH ; el gas se expande en la turbina mediante un proceso no-isoentrópico
3 → 4 y es enfriado hasta un estado Y mediante una cesión de calor a la corriente fría
del regenerador. Finalmente, el gas es enfriado una vez más desde Y hasta su temperatura inicial TL , con una caída de presión ∆PL , y cediendo el flujo de calor Q̇L a un foco
térmico externo de temperatura TL .
Las caídas de presión del gas en el proceso de combustión, ∆PH , y en el proceso
de enfriamiento, ∆PL , son cuantificadas, respectivamente, por los parámetros ρH y ρL
definidos como
P3
ρH = ( )
P2
γ−1
γ
=(
PH − ∆PH γ−1
) γ
PH
(3.61)
=(
PL − ∆PL γ−1
) γ ,
PL
(3.62)
y
P1
ρL = ( )
P4
γ−1
γ
de forma que las relaciones de compresión de la turbina, aT , y del compresor, aL ,
aT = (
PH − ∆PH γ−1
T3
)=(
) γ
T4s
PL
(3.63)
aL = (
están ligadas por la ecuación
51
γ−1
PH
T2s
)=(
) γ ,
T1
PL − ∆PL
aT = aL ρH ρL .
(3.64)
(3.65)
Las irreversibilidades asociadas a los flujos de calor se cuantifican mediante las
denominadas “efectividades"(effectivenesses), las cuales se expresan como la relación
entre la transferencia de calor efectivo y la máxima transferencia de calor. Así
²H =
TX − T3
,
TX − TH
(3.66)
²L =
T1 − TY
,
TL − TY
(3.67)
²R =
TX − T2
,
T4 − T2
(3.68)
y
denotan, respectivamente, las irreversibilidades en los flujos de calor Q̇H , Q̇L y el asociado al regenerador de calor en contracorriente.
Las irreversibilidades globales en el compresor y la turbina son cuantificadas por
sus respectivos rendimientos isoentrópicos ²C y ²T definidos como
²C =
T2s − T1
T2 − T1
(3.69)
²T =
T3 − T4
.
T3 − T4s
(3.70)
y
Combinando las ecs. (3.61)-(3.70) se obtienen, después de un laborioso cálculo, la
expresiones para el flujo de calor desde el foco térmico de temperatura TH , |Q˙H |, y para
la transferencia de calor desde el sistema al foco térmico de temperatura TL , |Q˙L | [43]:
|Q̇H | = CW (T3 − Tx ) = CW ²H (TH − Tx ) =
y
·
¸
T1
T3
= CW ²H TL τ − ZC (1 − ²R )
− ² R ZT
TL
TL
|Q̇L | = CW (TY − T1 ) = CW ²C (TY − TL ) =
¸
·
T1
T3
+ ² R ZC
,
= CW ²L TL −1 + ZT (1 − ²R )
TL
TL
(3.71)
(3.72)
52
donde ahora τ = TH /TL (τ ≥ 1) es el cociente entre las temperaturas más alta y baja
del ciclo, CW es la capacidad calorífica del gas, y
T3
=
TL
=
τ ²H [1 − (1 − ²L )²R ZC ] + ²L (1 − ²H )(1 − ²R )ZC
,
[1 − (1 − ²L )²R ZC ][1 − (1 − ²H )²R ZT ] − (1 − ²H )(1 − ²L )(1 − ²R )2 ZT ZC
T1
²L + (1 − ²L )(1 − ²R )ZT [T3 /TL ]
=
,
TL
1 − (1 − ²L )²R ZC
con
(3.74)
³
´
³
1
1´
= 1 − ²T 1 −
,
ZT = 1 − ² T 1 −
aT
ρH ρL aC
ZC = 1 +
(3.73)
aC − 1
.
²C
(3.75)
(3.76)
Estas ecuaciones muestran que el rendimiento del ciclo, η = 1 − (|Q̇L |/|Q̇H |), y la
potencia neta producida |Ẇ | = |Q̇H | − |Q̇L |, dependen únicamente de la relación de las
presiones extremas aC (nuestra variable independiente) y los siguientes parámetros
de control: la relación de temperaturas τ = TH /TL , los términos que contabilizan las
irreversibilidades en las caídas de presión (ρH , ρL ), los rendimientos isoentrópicos del
compresor y la turbina (²C , ²T ) y, por último, de las irreversibilidades en los intercambiadores de calor (²R , ²H , ²L ). Por la forma en que está definida Ω, ec. (2.8), ésta también
es sólo función de la variable independiente y los parámetros mencionados para el
rendimiento y la potencia.
El comportamiento general de las funciones termodinámicas de interés, potencia,
rendimiento y función Omega, así como sus valores optimizados debe ser obtenido
numéricamente. Sólo en algunos casos particulares, como se verá más adelante, se
pueden obtener algunas expresiones analíticas sencillas.
3.3.2. Resultados numéricos
El análisis numérico está basado en las siguientes magnitudes: a) las relaciones de
γ/(γ−1)
presión en condiciones de máximo rendimiento, rp,máx η = amáx η , máxima potencia
γ/(γ−1)
γ/(γ−1)
neta, rp,máx Ẇ = amáx W y máxima función Omega, rp,máx Ω = amáx Ω ; b) el máximo
rendimiento, ηmáx = η(rp,máx η ), el rendimiento bajo condiciones de máxima potencia,
53
(a)
0.6
.
__
Ω
0.4
.
W
0.6
(b)
W
0.4
η
0.2
0.2
2.5
7.5
12.5
r p 17.5
0.1
0.2
0.3
η
0.4
Figura 3.16: Ciclo Joule-Brayton: (a) η, |Ẇ |, y Ω frente a la relación de presiones rp ; (b)
|Ẇ | frenta a η. El círculo representa el punto de máximo rendimiento y el cuadrado el
de máxima potencia. En todos los casos ρH = ρL = 0,95, ²H = ²L = 0,9, ²T = ²C = 0,9,
²R = 0,8, y τ = 5.
ηmáx Ẇ = η(rp,máx Ẇ ) y el rendimiento bajo condiciones de máxima función Ω, ηmáx Ω =
η(rp,máx Ω ); y c) la potencia máxima |Ẇ |máx = ( C|WẆT|C )máx = |Ẇ (rp,máx W )|, la potencia
en condiciones de máximo rendimiento, |Ẇ |máx η = |Ẇ (rp,máx η )|, y la potencia bajo
condiciones de máxima Ω, |Ẇ |máx Ω = |Ẇ (rp,máx Ω )|.
En primer lugar, en la Fig. 3.16(a) se muestran los comportamientos del rendimien-
to, η, la potencia, Ẇ (rp ) y la función Omega Ω(rp ) en términos de rp , para valores realistas de los parámetros de control. Se observan una vez más los comportamientos típicos
en forma de parábola para el rendimiento y la potencia respecto de la relación de presiones con máximos en valores únicos de rp , lo que conduce al comportamiento tradicional en forma de bucle cuando se dibuja el rendimiento vs. la potencia, Fig. 3.16(b).
Para la función Omega, además, se advierte que el valor de rp que proporciona máxima Ω es intermedio entre los precisados para obtener máximo rendimiento y máxima
potencia. Los valores optimizados en términos de la efectividad del regenerador ²R
para valores dados de los parámetros restantes se muestran en la parte izquierda de la
Fig. 3.17; en (a) aparecen las relaciones de presiones que proporcionan funciones optimizadas, rp,máx η , rp,máx Ẇ y rp,máx Ω ; en (b) los valores optimizados para el rendimiento, ηmáx , ηmáx Ẇ y ηmáx Ω y, finalmente, en (c) se representan las potencias optimizadas
|Ẇ |máx , |Ẇ |máx Ω y |Ẇ |máx η .
La relación de presiones que proporciona máxima función Ω es intermedia entre las
predichas para obtener máximo rendimiento y máxima potencia para todos los valo-
54
30
r p,máx Ω
15
20
15
10
5
r p,máxη
25
r p,máxη
20
rp,máx W.
10
(a)
5
r p,máx Ω
rp,máx W.
(a)
0.8
0.45
η máx
(b)
η máx
0.6
0.4
0.35
η máx Ω
0.25
(b)
1
.
W máx
.
.
W máx
(c)
0.2
0.2
W máx η
W máx Ω
0.6
.
W máx Ω
0.45
.
.
W máx η
0.55
η máx W.
0.2
η máx W.
0.65
η máx Ω
0.6
εR
1
(c)
0.2
0.4
0.6
0.8
εR
Figura 3.17: Optimización de un ciclo Brayton regenerativo frente a ²R . Izquierda: caso
general con ρH = ρL = 0,95, ²H = ²L = 0,9, ²T = ²C = 0,9, y τ = 5. Derecha: ρH = ρC =
²T = ²C = 1 (sin irreversibilidades internas), τ = 5 y ²H = ²L = 0,9. (a) rp,máx |Ẇ | , rp,máx η ,
y rp,máx Ω . (b) ηmáx , ηmáx |Ẇ | , y ηmáx Ω . (c) |Ẇ |máx , |Ẇ |máx η , y |Ẇ |máx Ω .
55
res de ²R , independientemente de si la relación de presiones a máximo rendimiento
es mayor (para ²R < 0,5) o menor (en ²R > 0,5) que la relación de presiones que proporciona máxima potencia. En ²R = 0,5, el valor de las tres relaciones de presiones es
idéntico por lo que, en este valor particular de ²R , los tres regímenes de optimización
coinciden. Como resultado de esta particularidad, los rendimientos optimizados y las
potencias optimizadas coinciden en ²R = 0,5 y progresivamente se van alejando entre
sí a medida que ²R → 1 ó ²R → 0. Independientemente de esto, nótese que el régimen
del criterio Ω es intermedio entre el de máximo rendimiento y máxima potencia. Otra
característica de los valores optimizados es que, el rendimiento predicho por el criterio
Omega es más cercano al máximo rendimiento que al de máxima potencia y la potencia predicha por el criterio Omega es más próxima a la potencia máxima que a la de
máximo rendimiento.
Se ha comprobado que todas las propiedades mencionadas anteriomente son independientes de los valores concretos que tomen los parámetros de control. En consecuencia, los comportamientos de la potencia, rendimiento y de los valores optimizados
que hemos mostrado para el ciclo Joule-Brayton son cualitativamente similares a las
que obtuvimos con el ciclo irreversible tipo Carnot.
3.3.3. Límite Endorreversible
Para completar el estudio del ciclo Brayton con regeneración estudiado en esta
sección se presenta su límite endorreversible. Como se ha señalado anteriormente, en
un ciclo endorreversible se tiene como única fuente de irreversibilidades la transferencia de calor en el acoplamiento entre el sistema de trabajo con los focos térmicos
externos. En esta situación el ciclo se considera internamente reversible y por consiguiente ρH = ρL = 1, ²T = ²C = 1 y ²R = 0 (ciclo sin regenerador) ó ²R = 1 (ciclo
con regenerador ideal). Las únicas irreversibilidades son pues aquellas cuantificadas
por ²H y ²L , es decir las asociadas a los flujos de calor entre el gas y las focos térmicos
externos y que simulan los procesos de combustión y descarga.
Los valores optimizados de las relaciones de presión, del rendimiento y la potencia
se muestran en la parte derecha de la Fig. 3.17 respecto de ²R . Cabe destacar que se
sigue conservando el carácter intermedio predicho por el criterio Omega tanto para
el rendimiento y la potencia y para todos los valores de ²R . Asimismo, se aprecia un
comportamiento simétrico en los valores optimizados del rendimiento y de la potencia
56
respecto ²R = 0,5. En particular, este comportamiento simétrico del rendimiento es, en
cierta medida, paradójico. El comportamiento del lado derecho es esperado ya que ηmáx
crece a medida que el rendimiento del regenerador aumenta desde 0,5 hasta su límite
reversible superior ²R = 1. Sin embargo, en el lado izquierdo, el comportamiento es inverso pues el máximo rendimiento también se incrementa cuando ²R decrece desde 0,5
hasta 0. Éste es un resultado inesperado aunque el estado de ²R = 0 debe ser un estado
de máximo rendimiento (el de Carnot) ya que describe un ciclo Brayton reversible sin
regeneración. Una posible explicación de este hecho puede residir en la violación de
los principios termodinámicos cuando en la optimización de máquinas térmicas con
varios componentes, las irreversibilidades de uno de ellos son consideradas individualmente. Este tema ha sido extensamente estudiado por Bejan y como consecuencia
no se discutirá más sobre ello en este trabajo [17].
El límite endorreversible predice distintos valores para la potencia, el rendimiento y la relación de presiones cuando no existe regenerador ²R = 0, y cuando el regenerador trabaja reversiblemente, es decir, ²R = 1. Sin embargo, vale la pena subrayar que la potencia máxima |Ẇ |máx , la potencia a máximo rendimiento, |Ẇ |máx η , la
potencia a máxima Ω, |Ẇ |máx Ω , el máximo rendimiento, ηmáx , el rendimiento a máxi-
ma potencia ηmáx |Ẇ | , el rendimiento a máxima Ω, ηmáx Ω , tienen los mismos valores en
cualquiera de las condiciones límites -con ó sin regeneración total. En particular, las
expresiones para el rendimiento optimizado en las distintas condiciones tanto para
²R = 0 o ²R = 1, son exactamente iguales a los obtenidos en el ciclo endorreversible de
p
potencia tipo Carnot, es decir, ηmáx = 1 − (TC /TH ) ≡ ηC , ηmáx Ẇ = 1 − TC /TH ≡ ηCA y
p
ηmáx Ω = 1 − [TC /TH (TC /TH + 1)]/2 ≡ ηmáx E . Estas expresiones muestran claramente
que el ciclo Joule-Brayton que presente únicamente irreversibilidades externas se comporta exactamente como un ciclo endorreversible tipo Carnot lineal trabajando entre
las temperaturas extremas del ciclo. No es de extrañar este comportamiento ya que la
leyes de transferencia de calor usadas han sido de tipo lineal.
Cabe destacar que otros ciclos de interés técnico como los representativos de motores alternativos de combustión interna (ciclos Otto y Diesel) cuando incluyen irreversibilidades internas, presentan comportamientos cualitativos muy similares a los
encontrados anteriormente para el ciclo Brayton irreversible si se eligen adecuadamente las variables independientes: la relación de compresión en el ciclo Otto y las
relaciones de compresión y de combustión en el ciclo Diesel. Estos ciclos también presentan un límite endorreversible, que en el caso del ciclo Otto con leyes lineales de
57
transferencia es absolutamente equivalente al límite endorreversible del Brayton o del
ciclo irreversible tipo Carnot lineal. En el caso del ciclo Diesel lineal no se obtienen
exactamente los mismos resultados, aunque son muy semejantes. Se ha comprobado
que, en general, todos los ciclos constituidos por dos procesos adiabáticos alternando
con otros dos de la misma naturaleza (isotermos en los ciclos tipo Carnot, isocoros en
el Otto, isobaros en el Brayton) y con leyes lineales de transferencia de calor presentan
exactamente el mismo límite endorreversible. Sin embargo, los ciclos constituidos por
dos adiabáticas alternando con dos procesos de naturaleza diferente (una isocora y una
isobara en el ciclo Diesel) presentan propiedades diferentes, aunque cualitativamente
muy similares a los anteriores. Estos ciclos no se tratarán en este trabajo y se remite al
lector interesado a la numerosa literatura existente sobre el tema [7].
58
Capítulo 4
Sistemas brownianos
En los últimos años se ha producido un enorme interés por los denominados motores Brownianos o ratchets, sistemas con escalas espaciales pequeñas cuya característica general más sobresaliente es que el ruido térmico no sólo no es despreciable, sino
que juega un papel dominante [8, 11, 13]. En general, estos sistemas permanecen en
contacto con un foco térmico que actúa comos agente disipador y/o generador de ruido térmico. El sistema es alejado del equilibrio térmico mediante perturbaciones que
pueden ser de tipo determinista o estocástico. La rectificación o filtrado de las fluctuaciones producidas, mediante algún método adecuado, es la base para que estos sistemas produzcan trabajo útil. Desde el punto de vista físico, las perturbaciones pueden
ser originadas por algún agente externo al sistema o bien pueden ser intrínsecas a él,
como por ejemplo las debidas a la presencia de un segundo foco térmico [84–91].
Así pues, además de las perturbaciones que saquen al sistema del equilibrio térmico, es necesario un ingrediente aún más importante en los sistemas brownianos
con objeto de obtener un trabajo: la ruptura de la simetría espacial. La forma más
común de hacerlo es mediante el uso de potenciales periódicos asimétricos, llamados
potenciales ratchet. Otra posibilidad es que las perturbaciones térmicas aporten a su
vez la asimetría espacial. Estas dos condiciones, ruptura del equilibrio térmico y de la
simetría espacial, son necesarias y suficientes para que ocurra el llamado ratchet effect,
es decir, la obtención de trabajo útil de un sistema browniano a pesar de que las fluctuaciones aleatorias y fuerzas actuando sobre él, tengan un valor promedio igual a
cero.
Por su propia naturaleza, estos modelos han sido muy utilizados para describir sistemas con amplia aplicación en Nanotecnología y en Biología. Así, por ejemplo, se han
59
60
utilizado para describir y diseñar microcircuitos eléctricos eficientes con componentes
resistivos, tanto lineales como no lineales, donde el ruido térmico es un factor necesario
para su funcionamiento [9, 10, 92].
También en los últimos años se han realizado numerosas investigaciones que ponen de manifiesto cómo una parte significativa de las células eucoriotas -con un núcleo
bien definido, mejor organizadas y de mayor tamaño- confían el transporte de material intracelular a “motores” de proteínas que se mueven en una forma determinada a
lo largo de filamentos que constituyen el citoesqueleto. La miosina junto con la actina
puede convertir la energía química del ATP en movimiento contráctil en muchos tipos
de células. Las cabezas de miosina son enzimas capaces de hidrolizar ATP y aprovechar
la energía liberada. La miosina utiliza esta energía para modificar de manera transitoria su propia conformación, y puesto que este cambio produce trabajo mecánico, cuando una de estas fibras se encuentra con un microfilamento alineado en paralelo, las
cabezas de miosina tienen preferencia a acoplarse con las moléculas de actina, favoreciendo una firme asociación entre ambas estructuras. Es entonces cuando, en presencia
de ATP, se expresan las propiedades motoras de la miosina y sus cabezas literalmente
caminan a lo largo del filamento. Al igual que el movimiento de un pie, este notable
fenómeno ocurre en varias etapas: 1) separación del punto de contacto inicial; 2) avance
hacia una nueva posición; 3) afianzamiento en el nuevo punto de contacto, y 4) efecto
de arrastre sobre el resto de la estructura en esa dirección. Las moléculas de ATP participan en las dos primeras etapas a través de dos acciones. Por una parte, tienen la
virtud de desprender las cabezas de miosina del filamento de actina; por la otra, ceden
su energía para permitir que las cabezas ya liberadas recuperen su condición retraída
normal y puedan alcanzar el siguiente punto de anclaje. Cada miosina toma energía
de la molécula de ATP para enderezarse y se ancla nuevamente en un punto vecino
al filamento. Al concluir este último paso, la cabeza de miosina se vuelve a retraer y,
puesto que se halla unida al filamento de actina, la retracción se refleja en el arrastre
de su cola. Dado que otras cabezas de miosina en esa misma fibra efectúan un proceso
equivalente, la fibra se desplaza longitudinalmente sobre el filamento.
Las cabezas de miosina pueden caminar únicamente en un sentido. Esto es consecuencia de la polaridad estructural de los filamentos de actina, que acepta la asociación entre ambas clases de moléculas exclusivamente en una posición específica.
Cuando las cabezas forman parte de una fibra de miosina en la condición natural, el
desplazamiento de la fibra es en dirección hacia el extremo (+), o aquél en donde ocurre
61
preferentemente la adición de moléculas de actina durante la polimerización.
Por compleja que pueda parecer la descripción, el principio de operación es, en
última instancia, el de una de las máquinas más simples inventadas por el hombre;
corresponde a un trinquete, es decir, un dispositivo en el que un freno avanza a lo largo
de un poste, clavándose sucesivamente en ranuras hendidas de manera periódica sobre
la superficie del mismo. En cada paso, el freno se separa de la ranura que ocupa y
alcanza la ranura siguiente, donde se engancha para iniciar un nuevo ciclo. La forma
del freno y las ranuras es complementaria y oblicua con respecto al eje del poste, de tal
modo que el avance sólo puede efectuarse en una dirección; el mecanismo se atranca
en la dirección contraria. De manera análoga, la miosina avanza unidireccionalmente
como un freno sobre el filamento de la actina. La única diferencia fundamental es que
el freno del trinquete mecánico responde pasivamente a una fuerza externa —aplicada
por la mano de un operador, por ejemplo, mientras que la miosina consume energía
directamente para realizar ella misma todo el trabajo. La energía obtenida del ATP es
utilizada por la miosina de manera específica para enderezar la cabeza y ponerla en
posición de alcanzar un nuevo sitio de anclaje. Es por esta razón que la miosina, a
diferencia del trinquete, es un motor [8].
Aunque existe una enorme variedad de sistemas tipo ratchet [11], que comparten
algunas similitudes con el funcionamiento real de motores moleculares, en este capítulo se analizarán tres modelos representativos. Los dos primeros casos que se analizan
son el Ratchet de Feymann [12] y un dispositivo de diodos (ratchet de Sokolov [9, 10]).
En ambos las perturbaciones provienen de un segundo foco térmico y la ruptura de
la simetría espacial se tiene, en el primer modelo, mediante un dispositivo mecánico
y en el segundo mediante un diodo semiconductor. El tercer modelo que se presenta
es el llamado Adiabatic Rocked Ratchet [85–87]: una partícula Browniana en condiciones
isotermas y sometida a un potencial asimétrico con perturbaciones originadas mediante la aplicación de una fuerza externa periódica y con periodo temporal infinito. Hay
que mencionar que, mientras el ratchet de Feynman admite un tratamiento analítico
tradicional, los otros dos modelos necesitan una fundamentación teórica basada en el
uso de ecuaciones diferenciales estocásticas.
62
TC
L
TH
Figura 4.1: Esquema del ratchet de Feynman.
4.1.
Rectificador mecánico: Ratchet de Feynman
4.1.1. Caso general
El sistema fue propuesto originalmente por Feynman con la finalidad de mostrar
desde el punto de vista molecular la validez de la Segunda Ley de la Termodinámica.
El esquema del dispositivo se presenta en la Fig. 4.1 y es conocido con el nombre de
Ratchet de Feynman. Consiste en dos cajas unidas por un eje. En una de las cajas hay
un sistema de aspas inmerso en un gas que permanece a temperatura constante TH y
que pueden moverse debido a las colisiones aleatorias de las partículas del gas con las
aspas. En la segunda caja, en el otro extremo del eje, hay una rueda dentada e inmersa en un gas que permanece a temperatura constante TC , la cual en principio puede
moverse en un sólo sentido debido a un trinquete que le impide moverse en sentido
contrario. Acoplado al eje común se dispone de una polea por la cual puede eventualmente ascender un peso como consecuencia del movimiento de la rueda dentada. Se
obtiene de esta forma, la posibilidad de que el dispositivo realice trabajo como consecuencia de las fluctuaciones térmicas brownianas originadas en la caja de las paletas,
y filtradas (o rectificadas) convenientemente por el mecanismo de trinquete y rueda
dentada.
En su análisis, Feynman obtuvo que el rendimiento del dispositivo era el dado por
el rendimiento de Carnot y, por consiguiente, sólo dependiente de las temperaturas
TH y TC de los focos térmicos e independiente de cualquier otra característica del sis-
4.1. Rectificador mecánico: Ratchet de Feynman
63
tema. Sin embargo, posteriormente Parrondo et al. [93] demostraron que el análisis
de Feynman no era correcto, ya que el dispositivo utilizado se encuentra en contacto
simultáneamente con dos focos térmicos de diferentes temperaturas TH y TC y, por lo
tanto, no cumple las condiciones para realizar un proceso reversible, a diferencia de
un ciclo de Carnot donde las transferencias de calor pueden ocurrir idealmente de forma reversible debido a que el sistema no está nunca en contacto simultáneo con los
dos focos térmicos. En consecuencia, y de acuerdo con el Segundo Principio de la Termodinámica, la máquina de Feynman nunca puede alcanzar el rendimiento de Carnot
debido al flujo inevitable de calor que se produce entre los dos focos -a pesar de que
el eje no conduzca calor- inducido por el acoplamiento mecánico entre las diferentes
partes del sistema.
Siguiendo los resultados de las Refs. [94, 95] a continuación se describe este sistema incorporando las consideraciones adicionales realizadas por Parrondo y Español
para evitar las inconsistencias del análisis original de Feynman. Sea ², la energía necesaria para levantar el trinquete, θ el ángulo entre dos dientes consecutivos y L el par
de fuerzas actuando en la polea central debido a la presencia del peso externo. Por
lo tanto la energía necesaria para realizar un salto hacia adelante es ² + Lθ (la rueda dentada gira en el sentido que el peso es levantado), mientras que ² es la energía
necesaria para realizar un salto hacia atrás. Las aspas están a temperatura TH (foco térmico caliente) y la rueda dentada está a temperatura TC (foco térmico frío). Se supone
que las velocidades de los saltos hacia adelante y hacia atrás son proporcionales a los
correspondientes factores de Arrhenius. En consecuencia se tiene que
1
Ṅ+ = e−(²+Lθ)/kB Th ,
(4.1)
t
y
1
Ṅ− = e−²/kB TC ,
(4.2)
t
son, respectivamente, el número de pasos hacia adelante y hacia atrás por unidad de
tiempo, kB es la constante de Boltzmann y t una constante de proporcionalidad con
dimensión de tiempo.
Si Ṅ+ > Ṅ− el mecanismo de Feynman trabaja como un motor térmico, en el cual las
transferencias de energía tienen lugar de acuerdo con las siguientes consideraciones:
La energía ² + Lθ necesaria para realizar un paso hacia delante se toma únicamente del foco térmico donde se encuentran las aspas, mientras que la energía
disipada, ², es enviada al foco térmico de la rueda dentada.
64
La energía ² necesaria para realizar un paso hacia atrás es tomada únicamente del
foco térmico de la rueda dentada, y el exceso de energía ² + Lθ disipada se dirige
al foco de las aspas.
Existe un flujo de energía del foco caliente al frío debido a la conexión mecánica
entre las dos fuentes. Este flujo de energía se da en forma de calor y su expresión
corresponde a una ley de transferencia de calor de Fourier con conductividad
térmica σ.
Con estas consideraciones se tiene que el flujo neto de calor liberado por el foco
térmico caliente está dado por
Q̇H = (Ṅ+ − Ṅ− )(² + Lθ),
(4.3)
el flujo neto de calor absorbido por el foco térmico frío es
Q̇C = (Ṅ+ − Ṅ− )²,
(4.4)
y el flujo neto de calor disipado vía la barra de unión es
Q̇L = σ(TH − TC ).
(4.5)
Con las ecuaciones anteriores la potencia producida por el dispositivo viene dada
como
Ẇ = Q̇H − Q̇C = (Ṅ+ − Ṅ− )Lθ,
(4.6)
y el rendimiento mediante la expresión
η=
Ẇ
.
Q̇H + Q̇L
(4.7)
Las ecuaciones (4.6) y (4.7) pueden ser escritas de forma adimensional. Usando las
ecuaciones (4.1) y (4.2), se obtiene
Ẇ t
= e−α/τ [ex0 −x − 1]x
kB TH
(4.8)
[ex0 −x − 1]x
,
[ex0 −x − 1](α + x) + λ(1 − τ )eα/τ
(4.9)
w(x; τ, α, λ) =
y
η(x; τ, α, λ) =
65
donde, para obtener estas expresiones adimensionales, se han utilizado las siguientes
definiciones
x=
Lθ
,
kB TH
α=
²
,
kB TH
τ=
TC
,
TH
λ=
tσ
kB
y
x0 =
(1 − τ )α
.
τ
(4.10)
Ya que w ≥ 0, la variable adimensional x en (4.10) toma valores dentro del intervalo
0 ≤ x ≤ x0 , así L0 = kB TH x0 /θ es el par de fuerzas para el cual las velocidades de los
pasos hacia adelante y hacia atrás son iguales. Además, la relación de temperaturas τ
toma valores en el intervalo 0 ≤ τ ≤ 1, α ≥ 0 y, λ ≥ 0. Si x = x0 y λ = 0, la ec. (4.9)
se reduce a η =
x
α+x
≤
x0
α+x0
= 1 − τ y la ec. (4.8) a w = 0, i.e., se tiene la máquina de
Feynman bajo condiciones reversibles: el sistema tiene rendimiento de Carnot y nula
producción de potencia.
Como se puede ver en la ecuación (4.8) la potencia w no depende de la conductividad térmica λ. Para α y τ fijos, w sólo es función de x. La Fig. 4.2 (a) muestra como
w es una curva cóncava con un máximo que depende de los parámetros α y τ . Por
otro lado, el rendimiento sí depende de λ como puede observarse en la Fig. 4.2 (b).
Nótese que, como se dijo anteriormente, cuando λ = 0 se recupera el modelo original
de Feynman [con rendimiento de Carnot y localizado en x = x0 ] mientras que a medida que aumenta λ disminuye el valor del rendimiento y el correspondiente máximo se
desplaza hacia valores más pequeños de x. La Fig. 4.2 (c) muestra el comportamiento
de Ω = (2η − ηmáx )w, en unidades adimensionales. Como se puede observar también
existe un valor único de x que maximiza esta función en todos los casos, que este valor
depende de los parámetros dados y que es diferente de los que maximizan la potencia
y al rendimiento.
En la Fig. 4.3 se representan algunas curvas paramétricas de la potencia frente al
rendimiento para distintos valores de λ. Cuando λ = 0, la curva w(η) es univaluada,
típica de los modelos endorreversibles. No es de extrañar este hecho ya que λ =
0 implica σ = 0 y, por consiguiente, desaparecen las irreversibilidades asociadas al
acoplamiento mecánico. Sin embargo, cuando λ 6= 0, aparece una curva en forma de
bucle, que muestra claramente que máximo rendimiento y máxima potencia no son es-
tados coincidentes aunque sí cercanos. Esta propiedad del rectificador de Feynman ya
fue obtenida en los ciclos de potencia irreversibles analizados en el capítulo anterior.
Los resultados de la Figs. 4.2 muestran que en este sistema x es la variable independiente apropiada en el proceso de optimización, mientras que (τ, α, λ) pueden ser
considerados como el conjunto de parámetros de control. En la fig. 4.4 se muestran
66
0. 1
(a)
ω
0.06
0.02
1
η
λ=0
(b)
0.01
0. 6
0.1
0. 2
0.1
(c)
0.1
Ω
0.01
0.06
λ=0
0.02
0.2
0.4
X
0.6
0.8
X0
Figura 4.2: Comportamiento respecto de x de las siguientes funciones; (a) Potencia, w.
(b) Rendimiento, η, con λ = 0, 0,1 y 0,01 y, (c) Ω, con λ = 0, 0,1 y 0,01. En todos los
casos, α = 0,1 y τ = 0,1.
67
0.1
ω 0.08
0.06
0.1
0.04
0.01
0.02
λ=0
0.2
0.4
η
0. 6
0. 8
ηc
Figura 4.3: Gráficas potencia-rendimiento con α = 0,1 y τ = 0,1, para los valores de λ
indicados.
los resultados numéricos del proceso de optimización. El comportamiento respecto
de τ del par de fuerzas x que produce máximo rendimiento, xmáx η , máxima potencia, xmáx w , y máxima función Omega, xmáx Ω , están dibujados en la Fig. 4.4(a). En la
Fig. 4.4(b), se presenta el comportamiento con τ para la potencia optimizada: potencia en condiciones de máximo rendimiento, wmáx η , en condiciones de máxima función
Ω, wmáx Ω y la potencia máxima wmáx . El rendimiento máximo, ηmáx , el rendimiento a
máxima potencia, ηmáx w , y el rendimiento a máxima Ω, ηmáx Ω , están dibujados vs. τ
en la Fig. 4.4(c). Estas figuras muestran claramente cómo la condición de máximo Ω
es intermedio entre el de máximo rendimiento y máxima potencia, por lo que este
criterio se puede considerar como un criterio óptimo de trabajo también en este tipo
de sistemas. Además, destacamos los siguientes características: la potencia bajo condiciones de máxima función Ω está muy próxima a la máxima potencia, mientras que el
rendimiento a máxima Ω es aproximadamente la semisuma de ηmáx y ηmáx w . Todas estas características ya fueron encontradas en los modelos termodinámicos tradicionales
para ciclos de potencia.
4.1.2. Régimen lineal
Es interesante analizar el comportamiento del dispositivo de Feynman bajo ciertas
condiciones límites. Si, α ¿ τ y λ = 0, es posible aproximar las exponenciales que
aparecen en las expresiones para la potencia y el rendimiento, ecs. (4.8) y (4.9), por
68
sus términos lineales, y así obtener expresiones analíticas para las funciones termodinámicas. Se le denomina a este caso como el régimen lineal del ratchet de Feynman.
En esta situación las ecuaciones para la potencia y el rendimiento quedan expresados,
respectivamente, de la siguiente forma:
³
α´
w = 1−
(x0 − x)x,
τ
y
η=
(τ − α)(x0 − x)x
.
(τ − α)(x0 − x)(α + x)
(4.11)
(4.12)
La potencia máxima se obtiene cuando
xmáx w =
(1 − τ )α
x0
=
,
2
2τ
(4.13)
y sustituyendo este resultado en las expresiones para la potencia y el rendimiento, se
tiene que
wmáx =
(1 − τ )2 (τ − α)α2
4τ 3
(4.14)
y
1−τ
.
(4.15)
1+τ
Esta expresión para el rendimiento en condiciones de máxima potencia, ya obtenida
ηmáx w =
en un contexto diferente en la ec. (3.25), juega un papel similar al del rendimiento de
√
Curzon y Alhborn, ηCA = 1 − τ , en los motores endorreversibles tipo Carnot, aunque
nótese que ahora ηmáx w ≥ ηCA .
Por otra parte, la función Omega es máxima en
¶
µ
1
2τ
1
xmáx Ω = α
,
−
2
τ
1+τ
(4.16)
con lo que se obtiene las siguientes expresiones
wmáx Ω = −
α2 (α − τ )(τ − 1)2 (1 + 2τ )
4τ 3 (1 + τ )2
(4.17)
y
2τ (1 + τ )
(4.18)
1 + 3τ
para la potencia y el rendimiento en circunstancias de máxima función Omega para el
ηmáx Ω = 1 −
ratchet lineal de Feynman.
3
2.5
x
69
(a)
2
x
1.5
2
1.5
1
1
0.5
0.5
x máx Ω
x máx ω
0.012
(b)
0.25
(a)
x máxη
2.5
ωmáx
(b)
ω
ω
0.008
0.15
ωmáx Ω
0.004
0.05
ωmáxη
0.00
0.8
(c)
η
η
0.6
0.6
0.4
(c)
ηmáx
0.8
ηmáx Ω
0.4
ηmáx ω
0.2
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
τ
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
τ
1
Figura 4.4: Comportamiento respecto de τ para: (a) la variable adimensional x, a máximo rendimiento, xmáx η (línea superior continua), máxima función Ω, xmáx Ω (línea discontinua), y máxima potencia, xmáx w (línea continua inferior); (b) máxima potencia,
wmáx η (línea continua superior), potencia a máxima Ω, wmáx Ω (línea discontinua) y potencia a máximo rendimiento, wmáx η (línea continua inferior); (c) máximo rendimiento, ηmáx (línea continua superior), rendimiento a máxima Ω (línea discontinua), y
rendimiento a máxima potencia, ηmáx (línea continua inferior). Todas las gráficas han
sido dibujadas para α = 0,3. Las figuras de la izquierda corresponden al caso general
con λ = 0,01 y las de la derecha al régimen lineal (λ = 0).
70
Finalmente, en condiciones de máximo rendimiento se observó que xmáx η = (1 −
τ )α/τ = x0 , wmáx η = 0, y ηmáx = 1 − τ = ηC . Nótese como el valor del rendimiento en
condiciones de máxima Omega, está situado entre los de máxima potencia y el máximo
posible, i.e., ηmáx ≥ ηmáx Ω ≥ ηmáx w .
Los resultados anteriores y la parte derecha de la Fig. 4.4, donde se han represen-
tado frente a τ los valores optimizados de x, de w y η, muestran que el ratchet de
Feynman lineal puede ser equiparable al modelo endorreversible en los ciclos endorreversibles tipo Carnot o al ciclo Brayton endorreversible, pero con dos salvedades: en
el régimen lineal del ratchet de Feynman el rendimiento a máxima potencia no es el
de Curzon-Ahlborn y el rendimiento en condiciones de máxima Ω no es el ecológico, aunque es fácil comprobar que las diferencias numéricas entre ellos son pequeñas
para todo τ . Una posible explicación de esta diferencia puede ser el hecho de que en
el ratchet de Feynman, incluso en el régimen lineal, los flujos de calor no son estrictamente lineales en las diferencias de temperaturas de los focos.
El ratchet de Feynman analizado en esta sección se ha limitado al caso en el cual
la rueda dentada está colocada en el foco térmico de temperatura baja (cold ratchet).
Esta situación fue la analizada por Feynman [12] y posteriormente por Parrondo [93],
ya que se considera como el modo natural de funcionamiento del ratchet. Sin embargo, existe también la posibilidad de colocar a la rueda dentada en el foco térmico de
mayor temperatura. Cuando se tiene esta situación se habla de un hot ratchet. Se ha
demostrado que el funcionamiento de este dispositivo no es simétrico respecto del cold
ratchet, aunque cuando se realizó su análisis, no mostrado en este trabajo, mediante la
aplicación de los criterios de optimización todas las propiedades cualitativas obtenidas
fueron similares al ratchet normal.
4.2.
Rectificador eléctrico: ratchet de Sokolov
4.2.1. Descripción del sistema
A diferencia del caso anterior, donde las rectificaciones de las fluctuaciones se producían mediante un elemento mecánico, a continuación se analizará un dispositivo
eléctrico capaz de realizar trabajo mediante rectificaciones de las fluctuaciones con un
elemento semiconductor. El sistema considerado es una generalización del dispositivo
estudiado por Sokolov [10] y su esquema se muestra en la Fig. 4.5. Consiste en dos dio-
4.2. Rectificador eléctrico: ratchet de Sokolov
71
i
C
D2
D1
T1
T2
Figura 4.5: Esquema del ratchet de Sokolov.
dos (que por simplicidad se consideran idénticos) conectados en direcciones opuestas
y un condensador de capacidad C. El sistema realiza trabajo contra un generador de
corriente (i). Cada uno de los diodos está en contacto un foco térmico a temperaturas
T1 y T2 , respectivamente.
El análisis que se presenta aquí está basado en los trabajos [95–97]. Siguiendo el
formalismo de Van Kampen [98] para el tratamiento del ruido en diodos, se comienza
por describir al sistema en un espacio discreto de estados, numerados por un índice
n que representa el número de exceso de unidades de carga (“electrones de carga ξ ”)
en la placa superior del condensador. Se supone que los electrones pueden pasar de
la placa inferior a la superior del condensador o en la dirección opuesta a través de
uno de los tres canales independientes, i.e. a través del generador de corriente (con n(0)
independientes velocidades de transición Wn,n±1 , la cual es distinta de cero sólo entre
los estados n y n + 1 para i > 0 y sólo entre los estados n y n − 1 para i < 0), o a través
(1)
(2)
de uno de los dos diodos con velocidades de transición Wn,n±1 y Wn,n±1 . La energía del
sistema está determinada por la carga q del condensador y es igual a En = (nξ)2 /2C.
Este proceso está descrito por una ecuación maestra para la carga del condensador,
q = nξ,
dpn
= −pn (Wn,n+1 + Wn,n−1 ) + pn−1 Wn−1,n + pn+1 Wn+1,n
dt
(0)
(1)
(4.19)
(2)
con velocidades de transición Wn,n±1 = Wn,n±1 +Wn,n±1 +Wn,n±1 . Esta ecuación es típica
de los procesos ganancia-pérdida: procesos markovianos donde la matriz de transición
72
sólo permite saltos entre estados adyacentes. Cada uno de los dos últimos canales satisfacen la condiciones de balance detallado, para su propia temperatura Tj ,
j
j
Wn,n+1
= Wn+1,n
exp[−
En+1 − En
]
kB Tj
(4.20)
j
j
Wn−1,n
= Wn,n−1
exp[−
En − En−1
]
kB Tj
(4.21)
con j = 1 , 2 y donde En denota la energía del estado n.
De las ecuaciones (4.19)-(4.21) se desprende que el proceso es no lineal, donde el
término "no lineal"se refiere a que los coeficientes Wn,n±1 no dependen linealmente de
n. En estos casos no lineales, el procedimiento para encontrar la solución de la Ec. (4.19)
consiste en usar un método aproximado mediante un desarrollo en serie de potencias
del paramétro ξ. Físicamente, esto corresponde a considerar que en los procesos de
este tipo, las fluctuaciones originadas son pequeñas, lo que matemáticamente permite
pasar de la ecuación discreta (4.19) a una ecuación diferencial continua en terminos de
q como se verá más adelante.
Introduciendo las funciones W (q) = W (nξ) = Wn+1,n , E(q) = E(nξ) = En y
p(q) = p(nξ) = pn se procede a hacer un desarrollo de Taylor de los estados n + 1
y n − 1 alrededor de q hasta los terminos de orden ξ 2 . Así, se obtienen las siguientes
expresiones para las probabilidades de los diferentes estados n + 1 y n − 1, respectivamente:
pn+1 ≡ p ((n + 1)ξ) = p(q + ξ) ≈ p(q) + ξ
∂p(q) ξ 2 ∂ 2 p(q)
,
+
∂q
2 ∂q 2
(4.22)
pn−1 ≡ p ((n − 1)ξ) = p(q − ξ) ≈ p(q) − ξ
∂p(q) ξ 2 ∂ 2 p(q)
+
,
∂q
2 ∂q 2
(4.23)
y las dos siguientes para las energías de los mismos estados:
En+1 ≡ E ((n + 1)ξ) = E(q + ξ) ≈ E(q) + ξ
∂E(q) ξ 2 ∂ 2 E(q)
+
∂q
2 ∂q 2
(4.24)
En−1 ≡ E ((n − 1)ξ) = E(q − ξ) ≈ E(q) − ξ
∂E(q) ξ 2 ∂ 2 E(q)
+
.
∂q
2 ∂q 2
(4.25)
A partir de las dos ecuaciones anteriores la diferencia de energías entre estados consecutivos se puede escribir como
73
∂E(q) ξ 2 ∂ 2 E(q)
+
.
En+1 − En ≈ ξ
∂q
2 ∂q 2
(4.26)
y
∂E(q) ξ 2 ∂ 2 E(q)
.
(4.27)
−
∂q
2 ∂q 2
Repitiendo el proceso del desarrollo en serie de potencias se obtiene -al segundo orden
En − En−1 ≈ ξ
del desarrollo- que la velocidad Wn,n−1 es
Wn,n−1 = W ((n − 1)ξ) = W (q − ξ) ≈ W (q) − ξ
∂W (q) ξ 2 ∂ 2 W (q)
.
+
∂q
2 ∂q 2
(4.28)
Introduciendo la ecuación (4.26) en (4.20), y expandiendo de nuevo la función exponencial en serie de potencias se obtiene (a segundo orden):
Wn,n+1
·
¸
ξ ∂E(q)
ξ 2 ∂ 2 E(q) 1 ξ 2 ∂ 2 E(q)
≈ W (q) 1 −
−
+
,
kB T ∂q
2kB T ∂q 2
2 (kB T )2 ∂q 2
(4.29)
siendo kB la constante de Boltzmann. Sustituyendo ahora las ecuaciones (4.27) y (4.28)
en (4.21) y expandiendo nuevamente la exponencial se obtiene
Wn−1,n
¸
·
ξ 2 ∂ 2 E(q) 1 ξ 2 ∂ 2 E(q)
ξ ∂E(q)
≈
+
+
≈ Wn,n−1 1 −
kB T ∂q
2kB T ∂q 2
2 (kB T )2 ∂q 2
·
¸
∂W (q) ξ 2 ∂ 2 W (q)
W (q) − ξ
+
×
∂q
2 ∂q 2
ξ 2 ∂ 2 E(q) 1 ξ 2 ∂ 2 E(q)
ξ ∂E(q)
+
+
× 1−
kB T ∂q
2kB T ∂q 2
2 (kB T )2 ∂q 2
·
¸
(4.30)
Si ahora se sustituyen las ecuaciones (4.22), (4.23), (4.28), (4.29) y (4.30) en la parte
derecha de la ecuación (4.19) y tomando sólo términos hasta de orden ξ 2 , resulta la
siguiente ecuación para la variación temporal de la probabilidad p(q):
∂
∂p(q)
=
∂t
∂q
µ
W (q)ξ 2
∂p(q)
f (q)p(q) + W (q)ξ 2
kB T
∂q
¶
,
(4.31)
una ecuación continua de tipo Fokker-Planck (FP), donde, la fuerza que actúa se toma
como f (q) = dE/dq. En esta ecuación se puede asociar el valor de W (q)ξ 2 = D(q)
con el término fluctuante y el valor de W (q)ξ 2 /kB T = µ(q) con la movilidad clásica
(conductividad). Entonces la ecuación de Fokker-Planck (4.31) toma su forma usual
74
∂
∂p(q)
=
∂t
∂q
µ
∂p(q)
µ(q)f (q)p(q) + D(q)
∂q
¶
(4.32)
.
Un problema importante desde el punto de vista de la Termodinámica es la posibilidad de que el sistema considerado pueda realizar trabajo. Para ello se considera el
hipotético acoplamiento del sistema a un medio o aparato externo. Este aparato estaría
fuera de equilibrio con cualquiera de los focos térmicos y la correspondiente transición de probabilidad no debería satisfacer las condiciones de balance detallado. Un
acoplamiento hipotético de este tipo corresponde a considerar un generador de corriente externo al sistema que mantenga una corriente constante independientemente
del voltaje [9]. Con esta aproximación se simplifican enormemente los cálculos, debido
a que se desprecian las fluctuaciones introducidas por el medio sobre el que trabaja el
sistema. El generador de corriente toma i unidades de carga por unidad de tiempo de
la placa superior del condensador y las lleva a la placa inferior. Este hecho correspondería a considerar un término adicional de arrastre −i, que debe tenerse en cuenta en
la ecuación (4.32). Así pues, se obtiene
∂p(q)
∂p(q)
−i
=
∂t
∂q
∂
=
∂q
·µµ
1
1
+
R1 (u) R2 (u)
¶
q
C
¶
p(q) +
µ
kB T1
kB T2
+
R1 (u) R2 (u)
¶
¸
∂p(q)
,
∂q
(4.33)
donde u = f (q) = q/C es el voltaje del condensador (asociado con f ) y donde se
ha sustituído la movilidad macroscópica por la resistencia R(u). La ecuación (4.33)
es completamente análoga a una ecuación de difusión de partículas en un campo de
velocidad constante (en este caso representada por −i). La dirección de i se ha elegido
de tal manera que la potencia neta del rectificador sea positiva cuando tanto u como i
sean positivos. La correspondiente ecuación puede ser reescrita fácilmente como una
ecuación para el voltaje fluctuante u, obteniéndose que
∂p(u)
=
∂t
½·µ
¶
¸
µ
¾
¶
∂
i
1
1
kB T1
kB T2
∂p(u)
u+
p(u) +
,
+
+
∂u
R1 (u)C R2 (u)C
C
R1 (u)C 2 R2 (u)C 2
∂u
(4.34)
la cual tiene la forma de una ecuación de Fokker-Planck no lineal, dentro de una formulación canónica [99].
75
El objetivo ahora, es obtener la solución estacionaria de la ecuación diferencial
(4.34). Para ello nótese que el término entre paréntesis en la derecha de la igualdad,
que se define como S,
S=
·µ
1
1
+
R1 (u)C R2 (u)C
¶
¶
¸
µ
kB T2
∂p(u)
i
kB T1
+
,
u+
p(u) +
2
2
C
R1 (u)C
R2 (u)C
∂u
no es otra cosa que la expresión para la densidad de probabilidad de corriente en una
ecuación de Fokker-Planck. En un estado estacionario, p(u)est , S debe ser una constante
y por condiciones de frontera debe ser cero cuando u → ±∞. Haciendo entonces S = 0
e integrando, la solución estacionaria p(u)est se encuentra fácilmente y está dada por la
siguiente expresión
· Z
·
p(u) = A exp − du (
¸ µ
¶¸
1
kB T2
1
i
kB T1
/
+
+
)u +
, (4.35)
R1 (u)C R2 (u)C
C
R1 (u)C 2 R2 (u)C 2
donde A es una constante de normalización.
En el caso de equilibrio térmico, T1 = T2 = T e i = 0, la ecuación (4.35) se reduce a
la distribución normal Gaussiana p(u) = A exp[−Cu2 /2kB T ] que corresponde a la distribución de Boltzmann de la energía del condensador en equilibrio. Esta distribución
es simétrica respecto a u y no da lugar al fenómeno de autorectificación. Hay que subrayar que la distribución de Boltzmann y la ausencia de autorectificación en el sistema
es absolutamente independiente del comportamiento particular voltaje-corriente que
tengan los elementos resistivos del sistema. Usando la distribución de probabilidad
R∞
dada por la ecuación (4.35), se puede calcular el voltaje medio V = −∞ up(u)du y con
esto la potencia media del sistema
P = i < u >≡ i
Z
∞
up(u).
(4.36)
−∞
Con el propósito de obtener más información de tipo termodinámico del dispositivo considerado, se requiere contar con la expresión para el calor absorbido por el
elemento resistivo, en función de la distribución de probabilidad p(q). La variación
media de energía por unidad de tiempo para el sistema en el estado n es entonces
4Ė = Wn,n+1 (En+1 − En ) − Wn,n−1 (En − En−1 ). Expandiendo estas funciones para
valores de q = nξ y conservando nuevamente los términos hasta de orden ξ 2 (véase
ecuaciones (4.26)-(4.29)) se obtiene que
76
d
[f (q)]2
+ (f (q)D(q)).
(4.37)
4Ė = −D(q)
kB T
dq
El flujo de calor del foco térmico de mayor temperatura hacia el sistema se obtiene como el promedio, < 4Ė >, sobre la distribución de q. Después de hacer una integración
del segundo término en la ecuación (4.37) se obtiene
·
Q= −
Z
·
¸
∂p(q)
D(q)
f (q) D(q)
+ f (q)
p(q) dq,
∂q
kB T
(4.38)
¸
u
kB Tj ∂p(u)
+
p(u) du,
u
Rj (u)C ∂u
Rj (u)
(4.39)
o en términos del potencial como,
Q̇Tj = −
Z
·
donde Tj es la temperatura del foco térmico caliente. La expresión entre corchetes se
indentifica fácilmente con la probabilidad de corriente a través de la resistencia en el
foco, de acuerdo con la terminología usada habitualmente en procesos estocásticos descritos por la ecuación de Fokker-Planck. En equilibrio, cuando p(q) es la distribución
·
de energías de Bolztmann, Q se hace igual a cero, y no existe ningún flujo de calor.
A partir de las expresiones para la potencia, P = iV y el flujo de calor del foco térmico del dispositivo, ecuación (4.39), se puede calcular el rendimiento del rectificador.
El rendimiento, η, viene dado por el cociente P/Q̇Tj .
Como una versión extendida del planteamiento original propuesto por Sokolov, se
proponen las siguientes dependencias voltaje-corriente para los elementos resistivos
del dispositivo:
Rj (u) = Rj+ θ(u) + Rj− θ(−u)
(4.40)
(j = 1, 2),
donde θ(u) es la función paso. Sustituyendo la ecuación (4.40) en (4.35) se obtiene la
siguiente expresión para p(u):
p(u) = A
(
si
u > 0;
exp[−(α u + β u)], si
u < 0.
exp[−(αu2 + βu)],
0
2
0
(4.41)
donde
1
α=
2
µ
R1+ + R2+
T 1 R2+ + T 2 R1+
β=
¶
:
iR2+ R1+
;
T 1 R2+ + T 2 R1+
1
α =
2
0
0
β =
µ
R2− + R1−
T 1 R2− + T 2 R1−
iR1− R2−
T 1 R2− + T 2 R1−
¶
(4.42)
(4.43)
77
con T j = kB Tj /C.
Sustituyendo la ecuación (4.41) en (4.36) se obtiene la expresión para la potencia, P ,
r
·
µ
¶¸
0
0
P
α
π α β β 2 /4α
β
√
√ e
=
−
1 − erf
α
2 α 2α
2 α
A √i 0
2α
−1 −
donde
r
·
µ 0 ¶¸
0
0
0
β
π β
β 2 /4α
√ 0
√ 0e
1 + erf
,
2 2α
2 α
2
erf (z) = √
π
Z
z
(4.44)
2
ey dy
0
es la función error y,
−1
A
r ½r
·
µ
¶¸
·
µ 0 ¶¸¾
0
0
β
π
α β 2 /4α
β
β 2 /4α
√ 0
√
1 − erf
=
+e
.
1 + erf
0e
2
α
2 α
2 α
(4.45)
Sustituyendo la ec. (4.41) en (4.39) se obtiene después de un cálculo laborioso, que
Q̇Tj está dado por
µ 0 ¶¸
·
0 ¾
0 ¸·
β
β2
β
√
A Q̇Tj =
πe
+√ 0
1 + 0 1 + erf
2α
2 α0
α
½r
¶¸
¾
·
µ
0
0
0
0
π β
β
j
β 2 /4α
√ e
√
−C2
+1
1 + erf
2 2α0
2 α0
·
½
¸·
µ
¶¸
¾ µ 0 ¶3/2
β2
β
β
α
j √
β 2 /4α
√
1+
πe
1 − erf
−√
+C3
2α
α
2 α
α
r
¶¸¾ 0
·
µ
½
π β β 2 /4α
α
β
√ e
√
1 − erf
,
+C4j 1 −
2 2α
α
2 α
−1
donde
C1j
½
√
0
β /4α
0
1 1
1
0
C1j = √ (T j 2α − 1) 0 − ,
2α Rj
2
(4.46)
(4.47)
0
C2j
β
1
= Tj √ 0 −,
2α Rj
(4.48)
1
1 1
C3j = √ (T j 2α − 1) 0 + ,
2α Rj
2
(4.49)
β 1
C4j = T j √ 0 + ,
2α Rj
(4.50)
78
Los resultados originales obtenidos por Sokolov [9] para una resistencia lineal R a
temperatura T1 y un diodo ideal no lineal a temperatura T2 < T1 pueden ser considerados como un caso particular de las expresiones generales dadas en las ecuaciones (4.44)
y (4.46) haciendo R1+ = R1− = R y R2+ = 0, R2− = ∞. El caso de dos diodos conectados
en sentido contrario corresponde a los valores de Rj (u) dados por R1+ = R2− = R+ y
R1− = R2+ = R− . De aquí en adelante se limitará el análisis de esta última situación.
Dos diodos conectados en direcciones opuestas. Se considera que el diodo etiquetado con 1 está inmerso en el foco térmico de mayor temperatura, T1 > T2 . Las
expresiones obtenidas anteriormente para las funciones termodinámicas pueden ser
evualadas ahora considerando que el calor que entra al dispositivo es Q̇T1 .
En la Fig. 4.6 se muestran los comportamientos de la potencia, P , el calor absorbido,
˙ y la función Omega, Ω, respecto de i para R+ = 1, R− =
Q̇T1 , el rendimiento, η = P /Q
T1
100, T 1 = 10 y τ = 0,1 (T 2 = 1). Todas las figuras han sido obtenida numericamente
usando el programa Mathematica. De la figura se destacan las siguientes propiedades:
P , η y Ω presentan valores máximos para distintos valores de ī (imáx P̄ , īmáx η y
īmáx Ω respectivamente) los cuales satisfacen la relación imáx P̄ > imáx Ω > imáx η .
El máximo rendimiento obtenido está por debajo del valor del de Carnot 1 − τ (=
0,9 en este caso particular). Mientras la potencia, el rendimiento -y por definición
la función Omega- tienen valores nulos cuando i → 0, el flujo de calor presenta
un valor distinto de cero en ī = 0. Como ya lo había subrayado Sokolov, esto
significa que el dispositivo absorbe calor del foco térmico caliente aún en condiciones de
corriente nula, lo cual supone un modo de operación claramente irreversible.
Debido a que la potencia y el rendimiento son funciones con dos ceros y un valor
máximo a diferente (pero cercano) ī, el trazo paramétrico de la potencia frente
al rendimiento tiene como resultado la forma de bucle característica de todos
los dispositivos generadores de trabajo que funcionan bajo condiciones reales
de irreversibilidad, tal como se ha podido comprobar anteriormente. La Fig. 4.7
muestra este comportamiento en forma de bucle para τ = 0,1 y τ = 0,2.
Se ha verificado que todos las propiedades anteriores se siguen cumpliendo para
distintos valores de τ y valores finitos de R̄+ y R̄− . Es evidente, pues, que en este sistema la corriente adimensional, i, es una variable independiente apropiada en el pro+
−
ceso de optimización, mientras que R , R , T 1 y τ = T 2 /T 1 pueden ser considerados
1
1
_.
Q T1
0.8
79
0.8
_
P
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8 _
i
η
(b)
0.6
0.4
0.2
_
Ω
(a)
1
0.2
1.2
0.4
0.6
0.8 _ 1
i
1.2
Figura 4.6: Comportamiento vs i de P y Q̇T1 (a); de η y Ω (b), para el ratchet de Sokolov
+
−
con τ = 0,1, R = 1, R = 100.
τ=0.1
0._6
P
0. 4
0.2
0. 2
0. 2
0.4
0.6
η
0. 8
Figura 4.7: P vs. η para el ratchet de Sokolov con τ = 0,1 y τ = 0,2. Los círculos indican
máxima potencia y los cuadrados máximo rendimiento.
como el conjunto de parámetros de control. Para los mismos valores de las resistencias
+
−
R y R se presentan en la Fig. 4.8(a), el comportamiento respecto de τ de la corriente i que proporciona máxima potencia, imáx P , máximo rendimiento, imáx η y máxima
función Omega, imáx Ω . La Fig. 4.8(b) muestra el comportamiento con τ , de la potencia
máxima, P máx = P (imáx P , τ ), la potencia a máxima función Omega, P máx Ω , y la potencia en condiciones de máximo rendimiento, P máx η . Finalmente, en la Fig. 4.8 (c) se
muestran ηmáx , ηmáx Ω y ηmáx P . Los resultados de la figura permiten concluir que todas
las propiedades observadas en el caso del ratchet de Feynman se presentan en este caso para el rectificador eléctrico, i.e., en condiciones de máximo Ω los valores de i, P y η
son intermedios en todos los casos.
80
(a)
0.6
_
i
0. 4
_
_
i maxΩ
_
i maxη
0. 2
0.7
_
P
_
i maxP
(b)
_
Pmax
0. 5
_
_
PmaxΩ
0.3
_
Pmaxη
0.1
0.8
η
0.6
(c)
η max
η maxΩ
0.4
η maxP
0.2
0.2
Figura 4.8: Ratchet de Sokolov con R
0.4
+
0.6
= 1yR
−
τ
0.8
1
= 100. Comportamiento vs τ para
los valores optimizados de: (a) la corriente, (b) la potencia y (c) el rendimiento [la línea
intermedia es la semisuma de ηmaxP (τ ) y ηmax (τ )].
1
_.
Q T1
η
0.8
0.6
(a)
81
τ=0.1
0.6
_
P
(b)
0.4
_
P
0.2
0.4
0.2
0.2
0
0.4
0.8
_
i
0
0.2
1.2
0.4
0.6
η
0.8
1
Figura 4.9: (a) Calor absorbido, Q̇T1 , rendimiento y potencia vs. i, con τ = 0,1. (b) P
+
−
frente a η, para τ = 0,1 y 0,2. En ambos casos R = 1 y R → ∞.
4.2.2. Régimen ideal
Se tiene una situación interesante cuando el valor de una resistencia de los diodos
se incrementa hasta infinito, ya que en este caso el rendimiento tiende al valor máximo
¯ , y de η,
de Carnot. La Fig. 4.9 (a) muestra el comportamiento respecto de ī de P̄ , Q̇
T1
para valores R̄ → ∞. En comparación con el caso general donde se tenían resistencias
−
finitas, se observan las siguientes diferencias:
1. El calor absorbido es cero bajo condiciones de corriente nula, por lo que el rectificador eléctrico teóricamente puede alcanzar el rendimiento de Carnot en ī = 0.
Entonces, dos diodos con resistencias infinitas conectados en direcciones opuestas pueden
alcanzar el rendimiento de Carnot a diferencia de lo que sucedía con el ratchet de Feynman
o cuando se tiene una resistencia lineal y un diodo.
2. En estas condiciones la figura de la potencia frente el rendimiento no muestra la
forma de bucle como se puede observar en la Fig. 4.8(b), sino que muestra un
comportamiento cóncavo típico de los modelos endorreversibles.
3. El rendimiento en condiciones de máxima potencia es precisamente el valor de
√
Curzon-Ahlborn: ηmáx P = 1 − τ . El rendimiento a máxima función Omega es
√
1 + 2 τ − τ − 2τ 3/2
√
ηmáx Ω =
,
(4.51)
1+3 τ
el cual, una vez más, cumple con la condición de estar por debajo del máximo
rendimiento y ser mayor que el rendimiento a máxima potencia, i.e., ηmáx = ηC >
82
ηmáx Ω > ηmáx P .
Los valores analíticos anteriores se obtienen usando una expansión en serie de Tay-
lor de P̄ (i, τ ) de la siguiente forma
r
P̄ (ī, τ ) =
√
2
(1 − τ − ī
πi
y calculando el valor de īmáx P con la condición
¸
·
∂ P̄ (ī, τ )
∂ ī
ī=ī
r
π
) + O(ī3 ),
2
(4.52)
= 0,
máx P
se obtiene
√
1− τ
īmáx P = √
,
2π
y sustituyendo esta expresión en la expansión de Taylor para el rendimiento
p
√
1 − τ − ī π2 (1 + τ )
p
+ O(ī3 )
(4.53)
η(ī, τ ) =
1 − ī π2
√
se obtiene finalmente η(īmáx P , τ ) = 1 − τ . De manera similar se obtiene el resultado
analítico para el rendimiento bajo el criterio Omega. A partir de la condición
·
¸
∂Ω(ī, τ )
= 0,
∂ ī
se tiene que
īmáx Ω
√
1− τ
=√
√ ,
2π(1 + τ )
(4.54)
y sustituyendo esta expresión en la ecuación (4.53) se obtiene la relación (4.51). Es conveniente remarcar aquí que, estos valores analíticos encontrados para el rendimiento a
máxima potencia y máxima función Omega son el resultado de realizar una expansión
en serie de Taylor de expresiones para el rendimiento y la potencia originalmente más
complejas.
4.3.
Adiabatic Rocked Ratchet
La última sección del presente capítulo tiene como objetivo presentar el análisis de
un modelo ratchet completamente diferente, llamado Adiabatic Rocked Ratchet. Mientras
en los dos primeros sistemas analizados en este capítulo el responsable de romper
4.3. Adiabatic Rocked Ratchet
83
V(x)
Q+ l λ 1
lx
lλ
λ1
0
λ2
x
Figura 4.10: Esquema del potencial V (x) = V0 (x) + VL (x).
el equilibrio fue un segundo foco térmico, en este caso el equilibrio del sistema, que
trabaja en condiciones isotermas, se rompe por perturbaciones que tienen su origen en
una fuerza externa conductora, F (t).
Siguiendo el trabajo de Kamegawa et al. [100] se considera una partícula browniana
sobre-amortiguada moviéndose a temperatura T en un potencial ratchet homogéneo
bajo una fuerza externa F (t) periódica, cuya evolución está descrita mediante una
ecuación de Langevin dada por
·
¸
∂V0 (x) ∂VL (x)
ẋ = −
+ F (t) + ξ(t),
+
∂x
∂x
(4.55)
donde ξ(t) es ruido blanco, con media igual a cero, y por tanto cumple que < ξ(t)ξ(t ) >=
0
2kT δ(t−t ) (k es la constante de Boltzmann); V0 (x) es un potencial periódico y asimétri0
co y definido por partes (lineales) mediante la expresión

Q


x
λ1
V0 (x) =
λ + λ2 − x

 1
Q
λ2
0 < x ≤ λ1
(4.56)
λ1 < x ≤ λ1 + λ2 ,
y, por consiguiente, con magnitud Q, periodo espacial λ = λ1 + λ2 , y asimetría ∆ =
λ1 − λ2 ; VL (x) es el potencial debido a una carga l, ∂VL (x)/∂x = l > 0. En la fig. 4.10 se
muestra el potencial total V (x) = V0 (x) + VL (x).
El término adiabatic es consecuencia de considerar que la perturbación externa F (t)
cambia en el tiempo muy lentamente, por lo que en cualquier instante t, la trayectoria
84
de la partícula tiene prácticamente el mismo valor que un estado de corriente estacionario. En presencia del ruido térmico, la densidad de probabilidad inducida por la
ecuación (4.55) obedece a una ecuación de Fokker-Planck [101], en forma de una ley de
conservación de probabilidad, es decir,
∂t P + ∂x J = 0,
(4.57)
donde P (x, t) es la densidad de probabilidad de localizar a la partícula browniana en
x a tiempo t, y J(x, t), es la densidad de probabilidad de corriente
J(x, t) = −kT ∂x P (x, t) + [−∂x V0 (x) + F (t) − l] P (x, t).
(4.58)
La solución en el estado estacionario, cuando F es constante, se obtiene fácilmente.
La ec. (4.58) se puede reescribir como
donde
y
dP (x)
+ r(x)P (x) = s(x)
dx
µ
¶
Q
− + F − l = r1
0 < x ≤ λ1
µ λ1
¶
Q
+ F − l = r2
λ 1 < x ≤ λ1 + λ 2 ,
λ2

1


 −
kT
r(x) =
1


 −
kT
J
= sr J.
kT
La solución general de (4.59) está dada por
¸
·Z x
R
Ru
− x r(u)du
r(y)dy
P (x) = e
du + C
sr Je
s(x) = −
y, en particular, en el intervalo 0 < x ≤ λ1 es
·
¸
−r1 x sr J
r1 x
P1 (x) = e
(e − 1) + P (0) ,
r1
(4.59)
(4.60)
(4.61)
(4.62)
(4.63)
y en el intervalo λ1 < x ≤ λ es
−r2 (x−λ1 )
P2 (x) = e
·
¸
sr J r2 (x−λ1 )
(e
− 1) + P (λ1 ) .
r2
(4.64)
Los coeficientes P (λ1 ) y P (0) que aparecen en las ecuaciones anteriores se pueden
determinar a partir de las condiciones de continuidad y periodicidad, respectivamente,
para las probabilidades. Así, de la condición de continuidad,
lı́m P1 (x) = lı́m+ P2 (x)
λ→λ−
1
λ→λ1
(4.65)
85
y utilizando (4.63) y (4.64) se obtiene
−r1 λ1
P (λ1 ) = e
·
¸
sr J r1 x
(e − 1) + P (0) ,
r1
(4.66)
que sustituida en (4.64) permite obtener la solución
·
¸¾
½
sr J r2 (x−λ1 )
−r1 λ1 sr J
r1 x
−r2 (x−λ1 )
[e
− 1] + e
(e − 1) + P (0)
P2 (x) = e
r2
r1
(4.67)
en el intervalo λ1 < x ≤ λ.
Para encontrar el valor de P (0) es necesario usar la condición de periodicidad, i.e.
P (0) = P (λ). A partir de (4.67) se tiene que
½
¸¾
·
sr J r2 (λ−λ1 )
−r2 (λ−λ1 )
−r1 λ1 sr J
r1 λ
P (λ) = e
[e
− 1] + e
(e − 1) + P (0)
= P (0) (4.68)
r2
r1
de donde
sr
P (0) =
r1
¾
½
(r1 − r2 )(er2 λ − er2 λ1 )
J.
1+
r2 (er2 λ − e(−r1 +r2 )λ1 )
Utilizando la condición de normalización,
Z
Z λ1
P1 (x)dx +
0
(4.69)
λ
(4.70)
P2 (x)dx = 1,
λ1
se encuentra la expresión para J,
J=
A
,
B+D
(4.71)
donde
A = r12 r22 (er2 λ − e(−r1 +r2 )λ1 ),
y
(4.72)
£
¤
B = sr (r2 − r1 )e−r1 λ1 −r2 λ2 (er1 λ1 − 1)(r2 er2 (λ1 +λ2 ) ) − er2 λ (r1 − (r1 − r2 )er2 λ2 )
D = r1 r2 (er2 λ − e(−r1 +r2 )λ1 )(r2 λ1 + r1 λ2 )
(4.73)
(4.74)
Por último, sustituyendo los valores para r1 , r2 , sr , ecs. (4.60) y (4.61), teniendo en
cuenta que λ1 = (λ + ∆)/2 y λ2 = (λ − ∆)/2 y convirtiendo las exponenciales a sus
equivalentes funciones hiperbólicas se obtiene
P22 sinh
J(F ) =
kT
h i2
λ
Q
P3 −
h
λ(F −l)
2kT
λ
PP
Q 1 2
i
sinh
h
λ(F −l)
2kT
i
(4.75)
86
con
y
(λ2 − ∆2 )(F − l)
P1 = ∆ +
,
4Q
(4.76)
·
¸2 ·
¸2
λ(F − l)
∆(F − l)
P2 = 1 −
−
2Q
2Q
(4.77)
·
¸
·
¸
2Q − ∆(F − l)
λ(F − l)
P3 = cosh
− cosh
.
2kT
2kT
(4.78)
Suponiendo que F -que varía muy lentamente- se comporta como una onda cuadrada de amplitud A, es posible obtener para la energía (por unidad de tiempo) transferida a la partícula browniana desde la fuente externa de fluctuaciones, Ein , para
el trabajo realizado W y el rendimiento de la transformación, η, las siguientes expresiones [100]:
A[J(A) − J(−A)]
,
2
l[J(A) − J(−A)]
W =
,
2
W
l[J(A) − J(−A)]
η=
.
=
Ein
A[J(A) − J(−A)]
(4.79)
Ein =
(4.80)
(4.81)
A partir de las ecuaciones anteriores es posible proceder a realizar el proceso de
optimización de este sistema. Debido a la complejidad de las expresiones para las
funciones termodinámicas el análisis que se presenta es esencialmente númerico. En
primer lugar se analiza la situación límite en que la temperatura del sistema tiende a
cero (el llamado límite determinista [102, 103]). Posteriormente se estudia el comportamiento del ratchet para temperaturas finitas [104, 105]. En tercer lugar y debido a lo
relevante [106] que resulta un estudio sobre la corriente neta, la energía de entrada y
el calor disipado de este sistema se hacen algunas reflexiones sobre el comportamiento
de estas funciones.
4.3.1. Límite determinista
Este límite corresponde a una situación en la que se considera ausencia de ruido
térmico, i.e., donde T → 0. En este caso la densidad de corriente está dada por

 0
·
¸
J(A) =
Q2
1

(A − l) −
λ
Q∆ + λ1 λ2 (A − l)
−
Q
λ2
≤A−l ≤
en otro caso.
Q
λ1
(4.82)
87
(b)
(a)
0.6
1
2
W
1.5
0
1
l
2
η
1.5
1
0
2
2
l
0.5
0.5
4
4
A
A
60
60
Figura 4.11: Potencia (a) y rendimiento (b) frente a A y l en el límite determinista, kT =
0, para los siguientes parámetros: Q = 1, λ1 = 0,8, λ2 = 0,2. Los valores representados
para las cargas y las amplitudes corresponden únicamente a los valores para los cuales
el ratchet es capaz de extraer energía.
En la Fig. 4.11 se muestran los comportamientos tridimensionales de la potencia W y
del rendimiento η, para valores del potencial Q = 1, λ1 = 0,8 y λ2 = 0,2, y utilizando la
ec. (4.82) para la densidad de corriente J(A). Asimismo, en la Fig. 4.12 se muestra W y
η frente a la amplitud externa A para diversos valores fijos de la carga l.
Es claro a partir de las dos figuras mencionadas, que el trabajo y el rendimiento son
funciones que se pueden optimizar con respecto a A y a l. Para valores fijos de l(A)
cada uno de las funciones presentan un máximo relativo para algún A(l). Sin embargo,
los valores de los máximos absolutos se obtiene para un par único (A, l). Figuras similares cualitativamente se encuentran para valores finitos de la temperatura (ver más
adelante). En consecuencia, tanto A como l pueden ser consideradas como variables
independientes apropiadas para optimizar este sistema, mientras que la temperatura del foco térmico y los parámetros que definen el potencial forman el conjunto de
parámetros de control.
Debido a la no-linealidad de J(A, l), fuera del intervalo de movilidad
−
Q
Q
≥A−l ≥ ,
λ2
λ1
la obtención de soluciones analíticas del problema para valores arbitrarios de A y l es
no trivial, aún en el límite determinista. Así todos los valores son obtenidos númericamente utilizando el programa Mathematica. Los valores encontrados, en el caso de-
88
0.6
(a)
1
1.87
0.008
W
l = 0.95
η
1.8
1.872
0.95
3.12
0.5
3.13
1.54
3.13
0.2
0.1
1.8
0.2
1.87
A
0.5
A
0.6
1.54
0.4
1.872
0.6
3.12
(b)
l = 0.1
0.0
0
1
2
3
4
A
0
6
1
2
3
4
A
6
Figura 4.12: Resultados en el caso determinista para W (a) y η (b) en términos de A
para distintos valores de l. En particular, l = 0,95 es la carga óptima en condiciones
de máximo trabajo y l = 1,54 en condiciones de máxima Ω. Los recuadros presentan el
comportamiento en el límite en que l → lmaxη = 1,875.
terminista, para la amplitud y la carga que proporcionan máximo rendimiento, Amáx η ,
y lmáx η , respectivamente, y el rendimiento máximo ηmáx ≡ η(Amáx η , lmáx η ) concuerdan
con los obtenidos por Sokolov [102] en términos de los parámetros del potencial del
ratchet:
Amáx η = 3,125 =
Q(λ1 + λ2 )
,
2λ1 λ2
lmáx η = 1,875 =
Q(λ1 − λ2 )
,
2λ1 λ2
y
ηmáx = 0,60 =
(λ1 − λ2 )
2λ1
lmáx η
=
=
− 1.
Amáx η
(λ1 + λ2 )
λ1 + λ2
El máximo trabajo en el límite determinista,
W (Amáx W , lmáx W ) ≡ Wmáx = 1,04,
se alcanza para valores de A ligeramente mayores y l menores [Amáx W = 4,04 y lmáx W =
0,95], en los cuales el rendimiento es
ηmáx W ≡ η(Amáx W , lmáx W ) = 0,235.
La situación de máximo rendimiento en el límite determinista no es operativo, ya que
esta situación implica trabajo nulo. Por su parte, operar en circunstancias de máximo
trabajo determinista provoca una disminución drástica del rendimiento hasta 0,235
89
(a)
(b)
0.15
0.2
1
W
1
η
l
0.6
0
l
0.6
0
2
2
0.2
4
A
60
0.2
4
A
60
Figura 4.13: Como en la fig. 4.10 pero en este caso kT = 0,1.
desde 0,6. Entre estas dos situaciones el criterio Omega proporciona un rendimiento intermedio, ηmáx Ω ≡ η(Amáx Ω , lmáx Ω ), aproximadamente de valor 0,44 -cercano al
máximo, 0.6- mientras que el trabajo, Wmáx Ω ≡ W (Amáx Ω , lmáx Ω ), tiene un valor finito
con valor cercano a 0,63 -aproximadamente la mitad del máximo. Por otra parte, la
amplitud y la carga necesarias para optimizar Ω son, Amáx Ω = 3,46 y lmáx Ω = 1,54, respectivamente. En la Fig. 4.12 se puede observar como η y W se comportan frente a A
para algunos valores concretos de l. Nótese en particular como el máximo rendimiento
se alcanza cuando el trabajo se acerca a cero [A → 3,125 y l → 1,875].
4.3.2. Temperaturas finitas
Para todas las temperaturas finitas los resultados numéricos son obtenidos utilizando la expresión general (4.75) para la densidad de corriente. Como ejemplo ilustrativo
en la Fig. 4.13 se representa el comportamiento en 3D de η y W para kT = 0,1.
Es evidente de las anteriores figuras que tanto A como l resultan variables independientes apropiadas también a temperaturas finitas. Los resultados para los valores
optimizados del rendimiento, la potencia, la amplitud de la fuerza externa aplicada,
y la carga se dibujan en la Fig. 4.14, frente a la temperatura del sistema. A la vista de
estas figuras se pueden enumerar las siguientes conclusiones [107]:
1. A medida que se incrementa kT , el trabajo máximo y el trabajo en condiciones
de máximo Ω decrecen de forma monótona, tal como muestra la Fig. 4.14 (a).
90
6
1
W max
(c)
(a)
A maxW
W maxΩ
A maxΩ
5
A maxη
W maxη
0.8
4
0.6
3
0.4
0.2
2
0
1
0.6
η
max
(b)
1.75
η maxΩ
0.5
lmaxη
lmaxΩ
lmaxW
1.5
η maxW
(d)
1.25
0.4
1
0.3
0.75
0.2
0.5
0.1
0.25
0
0
0
0.1
0.3
kT
0.5
0
0.1
0.3
kT
0.5
Figura 4.14: Valores númericos optimizados para el trabajo (a), el rendimiento (b), las
amplitudes externas (c), y las cargas (d) frente a kT .
91
El mismo comportamiento decreciente se obtiene para el rendimiento en los tres
regímenes de optimización, Fig. 4.14 (b).
2. A diferencia de los anteriores comportamientos decrecientes, el trabajo en condiciones de máximo rendimiento, Wmáx η , presenta primero un comportamiento creciente y luego decreciente, con un valor máximo aproximadamente en kT = 0,1.
3. Al igual que en el límite determinista, a temperaturas finitas Ω proporciona rendimientos y trabajos intermedios entre los predichos por los de condiciones de
máximo rendimiento y máximo trabajo.
4. Los valores de las amplitudes optimizadas en los tres criterios muestran un comportamiento decreciente hasta kT ≈ 0,15 mientras que a temperaturas supe-
riores aumentan rápidamente, Fig. 4.14 (c). Cabe destacar que también en este
caso Amáx Ω es intermedia entre Amáx η y Amáx W para cada temperatura [Amáx η <
Amáx Ω < Amáx W ].
5. Para los valores de las cargas óptimas necesarias se observa un comportamiento con la temperatura bastante distinto al que se observó para las amplitudes,
puesto que las cargas decrecen continuamente cuando la temperatura aumenta
en los tres regímenes, ver Fig. 4.14 (d). Cabe destacar que lmáx Ω es intermedia
entre lmáx η y lmáx W tanto para valores pequeños de la temperatura como para
valores de kT aproximadamente mayores de 0,1. Además, en kT aproximadamente mayor que 0,1, se tiene, lmáx W > lmáx η mientras que a temperaturas bajas
lmáx η > lmáx W , en contra de lo observado para las amplitudes.
6. A temperaturas suficientemente altas el efecto Ratchet tiende a desaparecer y las
tres condiciones de optimización proporcionan valores prácticamente nulos tanto
para el rendimiento como para el trabajo obtenidos. Puede decirse que a estas
temperaturas se requieren amplitudes cada vez mayores para mover cargas cada
ves más pequeñas, lo que provoca que el ratchet sea altamente ineficiente debido
a la importancia progresiva del ruido térmico frente a los efectos de rectificación.
4.3.3. Corriente neta, energía de entrada y calor disipado
Debido a que el sistema estudiado está en contacto solamente con un baño térmico
a temperatura T , su energética puede ser expresada facilmente en términos de la pro-
92
ducción de entropía o del calor disipado, Qdis , en el baño térmico a la temperatura T
y de la energía de entrada Ein . Así, en este sistema en particular el rendimiento y el
trabajo se pueden expresar como η = 1 − [Qdis /Ein ] y W = Ein − Qdis , mientras que
Qdis /Ein es la producción total de entropía por partícula ya que el sistema se considera
estacionario con entropía constante.
Todos los comportamientos optimizados mostrados en la Fig. 4.14 pueden ser interpretados mediante un análisis de la evolución de Ein y Qdis respecto de kT . Sin
embargo, primero, se dará una explicación intuitiva del porqué de los comportamientos de las amplitudes y la cargas en la Figs. 4.14(c) y (d) partiendo del valor medio de
la densidad de corriente,
hJi =
J(A, l) + J(−A, l)
.
2
(4.83)
En la Fig. 4.15, se representa hJi frente a la amplitud A para algunos valores de l
y ciertos valores representativos de la temperatura: kT = 0, 0,1 y 0,4. En condiciones
deterministas, Fig. 4.15(a), cada contribución de l en hJi presenta una pendiente posi-
tiva [que proviene de la corriente directa J(A, l)] para valores de la amplitud dentro
del intervalo de movilidad
A=
Q
+l
λ1
y con un máximo en
Q
− l.
λ2
A la derecha del máximo, la corriente inversa J(−A, l) provoca una pendiente negaA=
tiva en cada línea. Cuando l aumenta el máximo se desplaza hacia la izquierda y por
encima de cierto valor de l, hJi se vuelve negativa para cualquiera A. En consecuen-
cia, el trabajo máximo, proporcional al máximo de hJi, (ecs. (4.80) y (4.83)) se debe
obtener para alguna carga l no muy pequeña (para intentar mantener a J(A, l) tan
alta como sea posible) y tampoco muy grande (para evitar los valores negativos de
J(A, l)) y por supuesto, deberá estar localizado en alguna amplitud A dentro del intervalo de movilidad. En este caso, los cálculos númericos proporcionan, lmáx W = 0,95 y
Amáx W = 4,04. Cuando la temperatura se incrementa, Fig. 4.15(b), dos factores cobran
protagonismo: el intervalo de movilidad se desplaza hacia la izquierda y la corriente
inversa J(−A, l) se hace progresivamente más importante, aún para cargas pequeñas.
Entonces, hJi se mantiene positiva para cargas más bajas, para las cuales los máxi-
mos están claramente desplazados hacia amplitudes menores. Con más incremento de
93
8
(a)
E in
kT=0
6
l=0.5
0.95
1.875
4
2
0.5
0.95
<J>
0
1.875
-2
5
kT=0.1
4
3
2
(b)
E in
0.95
l=0.1
0.5
0.5
0.95
l=0.1
1
0
<J>
-1
0.5
(c)
kT=0.4
E in
0.4
0.3
l=0.05
0.2
0.1
0.2
0.1
0
<J>
-0.1
1
2
3
4
5
A
6
Figura 4.15: Energía de entrada, Ein (líneas continuas) y corriente neta hJi (línea pun-
teada) frente a A para kT = 0 (a), 0,1 (b) y 0,4 (c) para los valores indicados de l. En
(c) los diversos valores de Ein (l) son indistinguibles. Nótese, las distintas escalas utilizadas en el eje vertical de las tres figuras.
94
la temperatura, Fig. 4.15(c), corrientes netas pequeñas se pueden obtener sólo a cargas muy bajas, con máximos en valores altos de A. De todo lo anterior se concluye
que el comportamiento -esperado- monótono decreciente en función de kT de lmáx W
y probablemente el inesperado comportamiento no monótono de Amáx W se debe a la
conjunción de estos dos factores: evitar la corriente inversa cuando la temperatura se
incrementa y el desplazamiento hacia la izquierda (valores más bajos de A dentro del
intervalo de movilidad) de los máximos de hJi.
En el caso determinista, el rendimiento máximo se alcanza en valores de A y l para
los cuales el valor medio de la corriente desaparece y, en consecuencia, el trabajo es
nulo. Esto se verifica cuando
Q
Q
+l =
− l,
λ1
λ2
y A es igual al semiancho del intervalo de movilidad. Entonces se tiene que
lmáx η =
Q 1
1
( − ) = 1,875
2 λ2 λ1
y
Amáx η = 3,125.
A medida que se incrementa la temperatura la localización del máximo rendimiento, impuesto principalmente por la del máximo trabajo, está influenciado también por
la evolución de la energía de entrada. Ya que el valor mínimo (y nulo) de cada Ein (A, l)
se traslada a amplitudes y cargas más bajas cuando la temperatura se incrementa,
Figs. 4.15 (a), (b), cada Amáx η debería ser inferior al correspondiente Amáx W y cada
lmáx η debe disminuir más rápidamente que el correspondiente lmáx W . Este último efecto desaparece a temperaturas suficientemente grandes por la casi nula dependencia de
Ein con la carga, Fig. 4.15 (c), y entonces, se encuentra finalmente que, lmáx η → lmáx W
en estas temperaturas.
Puesto que la función Ω puede ser expresada como Ω = [2η − ηmáx ]/Ein , la lo-
calización de sus máximos depende principalmente de los máximos tanto de η co-
mo de Ein . Debido al crecimiento monótono de Ein respecto de A para cualquier l la
primera consecuencia es que, a una temperatura dada, cada Amáx Ω es mayor que el
correspondiente Amáx η . La dependencia de l en Ω es una cuestión un poco más compleja. A temperaturas bajas, para las cuales Amáx Ω disminuye, las cargas necesarias
para una energía de entrada máxima son más bajas, Figs. 4.15(a), (b), pero cuando se
incrementa kB T el valor de Amáx Ω también crece y el máximo de la energía de entrada
95
se alcanza en cargas mayores. Quizás esta dependencia irregular de Ein (A, l) puede
deberse a la inesperada disminución de lmáx Ω en comparación con la de lmáx η y lmáx W
en la Fig. 4.14(d).
No obstante, hay que subrayar que el hecho de que el valor de lmáx Ω no sea intermedio en un intervalo particular de temperaturas bajas, no invalida a Ω como un criterio
de optimización. En TTF, cualquier régimen que proporcione rendimientos superiores
a los de máxima potencia y potencias por encima de las predichas por la condición de
máximo rendimiento se considera como óptimo. En esta línea, el criterio Ω es un criterio óptimo de operación en el adiabatic rocked ratchet analizado, independientemente
del comportamiento concreto de una de las variables independientes.
En la Fig. 4.16, se muestran Qdis y Ein frente a l para kT = 0 y 0,1 y para los valores
de A que proporcionan máximos en cada régimen. También se representa en cada caso
el correspondiente rendimiento y trabajo. En las Figs. 4.16 (a) y (d), que corresponden
a la situación de operación de máximo trabajo, los valores (A, l) para cada temperatura
son, como se esperaba, los que proporcionan máximo Ein − Qdis y valores mínimos de
Ein y Qdis . Entonces, para cada temperatura los valores optimizados de lmáx W y Amáx W
son precisamente los necesarios para que el ratchet presente mínimos (relativos) de la
energía de entrada y del calor disipado, siendo su diferencia la máxima posible. En
condiciones de máximo rendimiento, Figs. 4.16 (c), (f), lmáx η y Amáx η son los valores
necesarios de forma que se obtenga un mínimo del cociente (Qdis /Ein ) a cualquier
temperatura. Sólo para kT = 0, Fig. 4.16 (c), el mínimo de (Qdis /Ein ) coincide con
el mínimo (absoluto) tanto de Qdis como de Ein : el máximo rendimiento es alcanzado
cuando Qdis → 0 y Ein → 0 con Qdis /Ein → 0,4 (ηmáx = 1 − 0,4 = 0,6). Sin embargo,
en estas condiciones deterministas Ein − Qdis → 0, lo que conduce a un valor nulo del
trabajo en condiciones de máximo rendimiento. El régimen de máxima Ω implica un
mínimo relativo para Ein y Qdis en condiciones deterministas, Fig. 4.16 (b), pero esto
no se cumple para temperaturas finitas, Fig. 4.16 (e).
Los resultados anteriores muestran que, únicamente el régimen de máximo trabajo, implica valores mínimos (relativos) de la energía de entrada y del calor disipado a
cualquier temperatura, mientras que el mínimo absoluto de estas magnitudes se tiene
sólo en el límite determinista del régimen de máximo rendimiento. Algunas observaciones sobre la producción de entropía en el baño, (Qdis /T ), son pertinentes en este
momento. Para cada valor de A, existe un valor de l que minimiza la producción de
entropía a una temperatura dada. A temperaturas bajas las cargas que minimizan a la
96
6
5
4
(a)
E in
5
A=4.04
kT=0
Q dis
Q dis
l=0.47
3
2
W(x10)
η
W
η(x10)
1
(b)
A=3.46
kT=0
E in
4
3
Q dis
l=1.54
Q dis
W
1
E in
η(x2)
0.5
η
4
0.4
(c)
A=3.125
W(x2)
(f)
kT=0
E in
0.3
kT=0.1
Q dis
η
0.1
η
W
0.5
Q dis
0.2
1
A=1.48
l=0.37
l=1.875
0
(e)
l=0.49
1
2
A=2.30
kT=0.1
E in
1.5
2
3
A=3.43
kT=0.1
3
l=0.95
1
(d)
E in
W
1
1.5
l
2
0
0.2
0.4
0.6
l
0.8
Figura 4.16: Energía de entrada y calor disipado frenta a la carga, para los valores
indicados de A con kT = 0 y 0,1. (a) y (d) corresponden al régimen de máximo trabajo,
(b) y (e) al régimen de máxima Ω, y, (c) y (f) al de máximo rendimiento. Los valores A
y l indicados son los que proporcionan el máximo para cada uno de los regímenes en
cada temperatura considerada.
97
(a)
8
maxW
6
E in
4
Q dis
maxΩ
E in
2
Q dis
0
0.8
(b)
0.6
maxη
0.4
0.2
E in
Q dis
0
0
0.05
0.1
0.15
kT
0.2
Figura 4.17: Evolución de la energía de entrada y el calor disipado con respecto de kT
en condiciones de máximo trabajo y máxima Ω (a), y máximo rendimiento (b).
entropía, disminuyen cuando la amplitud se incrementa y por encima de ciertas amplitudes la carga tiende a cero. A temperaturas suficientemente altas, la producción de
entropía es una función de A creciente con un mínimo relativo en l → 0. De los re-
sultados para Qdis en las Figs. 4.16(a)-(c) es claro que, en condiciones deterministas los
estados de máximo W , máximo Ω y máximo η corresponden a los que proporcionan
valores mínimos locales de la superficie de la entropía. Sin embargo, a temperaturas
finitas esto es sólo cierto para estados bajo condiciones de máximo trabajo.
En la Fig. 4.17, finalmente, se muestra con más detalle la evolución de Ein y Qdis
en cada régimen óptimo respecto de kT . Es cierto que ambas magnitudes se incrementan cuando la temperatura aumenta, pero, sin embargo, para una temperatura fija, son
mayores las proporcionadas por la condición de máximo trabajo y por debajo están
las del régimen de máximo rendimiento. Como era de preveer, el criterio Omega proporciona resultados intermedios. Por lo tanto, desde el punto de vista de la energía de
entrada necesaria y el inevitable calor disipado, el máximo trabajo es una situación de
98
operación muy desfavorable en el Rocked Ratchet adiabático a cualquier temperatura,
en oposición a lo que sucede en condiciones de máximo rendimiento. De la Fig. 4.16 es
inmediato explicar el comportamiento monótono decreciente con la temperatura frente
al rendimiento optimizado como del trabajo. En particular, el comportamiento del trabajo en condiciones de máximo rendimiento se sigue directamente de la Fig. 4.17(b):
como se ha señalado previamente Ein − Qdis → 0 en kT = 0, esto conduce a un valor
nulo del trabajo bajo condiciones de máximo rendimiento en el caso determinista, sin
embargo, cuando kT se incrementa la diferencia entre, Ein − Qdis = W , al principio
crece y posteriormente disminuye con un valor máximo alrededor de kT = 0,1, que es
exactamente el comportamiento observado de Wmáx η en la Fig. 4.14(a).
Capítulo 5
Sistemas cuánticos
5.1.
Consideraciones generales
Durante los últimos años el análisis de ciclos cuánticos ha experimentado un notable incremento a fin de extender las características de los ciclos tradicionales a sistemas gobernados por las leyes de la Mecánica Cuántica [14, 21, 22]. Así, una gran
variedad de ciclos, la mayoría de ellos de caracter endorreversible, trabajando con sistemas de espines, osciladores armónicos, gases ideales cuánticos (constituidos tanto
por fermiones como bosones) han sido objeto de numerosos análisis [59–70].
El objetivo fundamental de este último capítulo es presentar el estudio de un ciclo
recorrido por un conjunto de osciladores armónicos cuánticos que incluye irreversibilidades internas asociadas a fenómenos de fricción. Los ciclos analizados son semejantes
a los considerados por Feldmann y Kosloff [108, 109] para un conjunto de espines sin
interaccionar haciendo especial énfasis en la optimización, usando teorías de control,
respecto de los tiempos de duración de cada uno de los procesos que lo componen. A
diferencia de estos autores, aquí se presentará un análisis basado fundamentalmente en
la optimización del rendimiento y de la potencia bajo los tres regímenes usados en esta
memoria, supuesto que el tiempo total de duración del ciclo es constante. Conviene
señalar también que, aunque el origen cuántico de la fricción ha sido investigado con
cierto detalle [110], en este trabajo se considera como una descripción fenomenológica.
Antes de pasar a la descripción y estudio del ciclo se presentan algunas consideraciones básicas referentes al sistema de trabajo. Puesto que éste consiste en un conjunto
de osciladores armónicos sin interaccionar, todo el estudio referente al intercambio de
99
100
energía con los alrededores puede hacerse en términos de las características de un oscilador. Los niveles de energía, {En }, del oscilador armónico están dados por (no se
considera la energía del punto cero)
En = nw,
n = 0, 1, 2, ...,
(5.1)
donde w > 0 es la frecuencia del oscilador (en unidades donde ~ = 1) y n denota la
población. El valor medio de la energía del sistema en cualquier instante t está dado
por
hEi(t) =
∞
X
Pn (t)En = w
∞
X
Pn (t)n = whni,
(5.2)
n=0
n=0
donde Pn (t) es la probabilidad de encontrar al oscilador en el nivel n−ésimo en el
tiempo t y hni es la población de equilibrio de los osciladores a una temperatura T , que
puede ser expresada como
hni =
1
,
exp[βω] − 1
(5.3)
con β = 1/T y donde T representa la temperatura absoluta en unidades de energía (se
ha supuesto kB = 1).
Si los osciladores se usan como sistema de trabajo en un ciclo, su energía interna
puede variar bien por el cambio de frecuencia, w, bien por el cambio de las poblaciones,
hni, de acuerdo con la ecuación
dhEi = hnidw + wdhni,
(5.4)
que se puede considerar como la Primera Ley de la Termodinámica si se asocia el
primer término (los cambios en la frecuencia del oscilador) a la transferencia de energía
en forma de trabajo y el segundo (los cambios de las poblaciones) a la transferencia de
energía en forma de calor:
d̄ W = hnidw
;
d̄ Q = wdhni
(5.5)
Si como consecuencia de las interacciones con el medio exterior sólo se permiten
transiciones tal que ∆hni = ±1, la población en el estado n puede ser descrita por la
ecuación maestra [98, 108]
dPn
= k↑ hniPn−1 + k↓ hn + 1iPn+1 − [k↓ hni + k↑ hn + 1i] Pn ,
dt
(5.6)
5.2. Ciclo de potencia armónico con fricción
101
donde la probabilidad (por unidad de tiempo) de pasar del estado hn − 1i al hni es
k↑ hni y la de pasar del estado hn + 1i al hni es k↓ hn + 1i.
Cuando t → ∞, se debe obtener el equilibrio termodinámico entre las poblaciones
y el foco térmico de temperatura T con el cual está en contacto. Esta situación corresponde a que las probabilidades estén descritas por una distribución de Boltzmann,
Pneq = ce−βwn ,
(5.7)
donde c es una constante de normalización. La sustitución de (5.7) en (5.6) permite
obtener la condición de balance detallado para las velocidades de transición
k↑
= e−βw .
k↓
(5.8)
De la ec.(5.6) se obtiene la variación temporal de la población, hni, como
dhni
= −Γ[hni − hnieq ],
dt
donde Γ = k↓ − k↑ y
hnieq =
1
k↑
.
= βw
k↓ − k↑
e −1
(5.9)
(5.10)
La solución de (5.9) se obtiene fácilmente y está dada por
hni(t) = hneq i + [hn(0)i − hneq i] e−Γt .
(5.11)
La dinámica del sistema a lo largo de las trayectorias del ciclo en las que sólo se
intercambia calor con un foco térmico está descrita por el cambio de poblaciones [véase
ec. (5.5)] por lo que se utilizará la relación (5.11) para modelar los intercambios de calor
entre los focos térmicos externos y el sistema de osciladores armónicos.
5.2.
Ciclo de potencia armónico con fricción
El esquema del ciclo de potencia recorrido por el sistema de osciladores armónicos
se muestra en la Fig. 5.1 en un diagrama hni-ω. Se trata de ciclo irreversible con cuatro
etapas y recorrido de tal forma que se produce trabajo neto positivo.
En el proceso 1 → 2, el sistema de trabajo se acopla a un foco térmico de tempera-
tura Th durante un tiempo th , manteniendo la frecuencia constante con valor wh . En
este proceso la población cambia desde nc hasta nh debido a la absorción de calor. La
102
<n>
Th
ta
3
nh
2'
2
tc
nc
Tc
th
1
4
4'
tb
ωc
ω
ωh
Figura 5.1: Esquema hni-w de un ciclo de potencia, usando como sistema de trabajo un
conjunto de osciladores armónicos sin interaccionar.
temperatura interna del sistema de trabajo debe mantenerse inferior a Th , por lo que se
debe cumplir la siguiente desigualdad (a partir de ahora y por simplificar la notación
se suprime el valor medio en las poblaciones)
nh <
1
eβh wh
−1
≡ neq
h ≡ n2
(5.12)
Debido a que w se mantiene fijo, no se realiza trabajo, ec. (5.5), y la única transferencia
de energía es el calor absorbido desde el foco térmico a temperatura Th y que viene
dado por
|Q1→2 | = wh (nh − nc ).
(5.13)
En el siguiente proceso, 2 → 3, el sistema de trabajo se desacopla del foco térmico
por un período ta y el cambio de energía interna del sistema se debe a dos efectos. En
primer lugar a un cambio de la frecuencia que, por sencillez, se supone lineal en el
tiempo w(t) = ω̇t + w(0). En segundo lugar a un cambio de velocidad constante en
la velocidad de cambio de población ṅ, descrita por un coeficiente fenomenológico de
fricción σ tal que
³ σ ´2
(5.14)
t0
donde t0 es el tiempo asignado a dicho proceso. Los cambios temporales en las poblaṅ =
103
ciones debido a σ tienen entonces la siguiente expresión,
n(t) = n(0) +
³ σ ´2
t0
t.
(5.15)
Las hipótesis anteriores suponen, pues, un modelo fenomenológico de fricción con
objeto de intentar soslayar las limitaciones impuestas por el caracter no interaccionante
de los osciladores. Los efectos de la fricción no aparecen en las etapas donde se intercambia calor con los focos térmicos externos, pues en ellas la frecuencia w permanece
constante en el tiempo. Las irreversibilidades en estas etapas no-adiabáticas son debidas únicamente a las transiciones (Γ) de la ecuación maestra. Un modelo donde se
hace un suposición similar a la que se presenta en ec. (5.14), fricción interna disipativa,
ha sido realizado previamente por Gordon y Huleihil [111].
En este proceso 2 → 3, de tipo adiabático, se hace trabajo para vencer la fricción
interna, que produce calor, y provoca un incremento en la población de nh a n3 . El
cambio de temperatura interna se debe a dos contribuciones opuestas. Primero, una
disminución de la frecuencia conduce a una disminución de la temperatura interna
cuando se mantiene constante la población n. Segundo, un incremento de la población
debido a la fricción interna conduce a un incremento de la temperatura interna para
un valor fijo de w. Por tanto la temperatura T en el punto 3 puede ser más alta o más
baja que en el punto inicial 2.
De acuerdo con las hipótesis anteriores referentes a los cambios lineales de las
poblaciones y de la frecuencia del oscilador, el trabajo realizado por el sistema de trabajo sobre los alrededores en este proceso es
W2→3 =
Z
ta
n(t)ẇdt =
0
Z
0
ta
¸·
¸
·
1 σ2
w c − wh
σ2
dt = (wc − wh )[nh +
].
nh + 2 t
ta
ta
2 ta
(5.16)
El calor generado en el sistema de trabajo a lo largo de este proceso debido a la fricción,
|Q2→3 | =
Z
ta
w(t)ṅdt =
0
Z
0
ta
¸
·
1 σ2
wc − wh σ 2
t 2 dt =
(wh + wc ),
wh +
ta
ta
2 ta
(5.17)
se supone que es trabajo frente a la fricción, por lo que el trabajo total en este proceso
es
Wtot,2→3
¸
·
1 σ2
1 σ2
+
(wh + wc ).
= (wc − wh ) nh +
2 ta
2 ta
(5.18)
104
El tercer proceso, 3 → 4, es similar al primero. El sistema de trabajo ahora se acopla
a un foco térmico frío de temperatura Tc durante el tiempo tc . La población cambia en
este tramo desde n3 hasta n4 , donde n4 debe ser menor que nc y mayor que n04 . Al final
del proceso la temperatura del sistema de trabajo deber ser más alta que la del foco
térmico frío, T4 > Tc , lo que conduce a tener
n4 < n04 =
1
eβc wc − 1
(5.19)
.
El calor cedido por el sistema de trabajo a sus alrededores en esta trayectoria está dado
por
µ
·
¶¸
1
1
2
+
.
|Q3→4 | = wc (n4 − n3 ) = wc (nh − nc ) + σ
ta tb
(5.20)
El cuarto proceso 4 → 1 cierra el ciclo y es similar al segundo. El sistema de trabajo
se desacopla del foco térmico frío y durante el tiempo tb la frecuencia alcanza de nuevo
su valor inicial wh y se produce un aumento de las poblaciones del sistema. El cálculo
del trabajo total realizado sobre el sistema por los alrededores en esta trayectoria es
similar al realizado en la segunda y el resultado es
Wtot,4→1
·
¸
1 σ2
σ2
= (wh − wc ) nc −
+
(wh + wc ).
2 tb
2tb
(5.21)
Teniendo en cuenta las ecuaciones precedentes, el trabajo neto realizado por el sistema de trabajo sobre sus alrededores durante un ciclo es
Wtot = −(Wtot,2→3 − Wtot,4→1 )
2
= (wh − wc )(nh − nc ) − σ wc
·
¸
1
1
+
,
ta tb
(5.22)
mientras que el calor neto absorbido en un ciclo es simplemente el dado por |Q1→2 |:
Qabs = wh (nh − nc ).
(5.23)
Nótese que en ausencia de rozamiento el trabajo neto realizado por el sistema de
trabajo correspondería al área de la parte rectangular del ciclo: la compuesta por los
dos procesos adiabáticos (de población constante) y los dos procesos de frecuencia
constante donde se intercambia calor con los focos térmicos externos. Las ecs. (5.22) y
(5.23) muestran que es suficiente conocer la expresión de (nh − nc ) para encontrar la
forma explícita del trabajo neto y del calor absorbido. Es posible expresar la diferencia
(nh − nc ) en términos de cantidades conocidas como las poblaciones en el equilibrio
105
y los tiempos en cada uno de los procesos. Para ello se hace uso de la ecuación (5.11),
según la cual las poblaciones que resultan de acoplar el sistema de trabajo con los focos
térmicos caliente y frío (ver fig. 5.1) se pueden escribir como
−Γth
nh = neq
) + nc e−Γth
h (1 − e
(5.24)
−Γtc
n4 = neq
) + n3 eΓtc ,
4 (1 − e
(5.25)
o en términos de las variables
x = e−Γc tc
e y = e−Γh th
(5.26)
como
nh = neq
h (1 − y) + nc y
(5.27)
n4 = neq
4 (1 − x) + n3 x.
(5.28)
Por otro lado, de la ecuación (5.15) se obtienen las poblaciones después de que el sistema de trabajo haya efectuado los procesos donde se presenta fricción (ver fig. 5.1):
n3 = nh +
σ2
,
ta
(5.29)
y
σ2
.
(5.30)
tb
Mediante la combinación adecuada de las ecuaciones anteriores es posible derivar
nc = n4 +
las siguientes expresiones para nh y nc en términos de los tiempos empleados en cada
proceso y de las poblaciones en el equilibrio:
nh = neq
4 +
∆neq (1 − y) + σ 2 yG(x)
,
1 − xy
(5.31)
nc = neq
4 +
∆neq x(1 − y) + σ 2 G(x)
.
1 − xy
(5.32)
y
A partir de la ecuación anterior se tiene entonces que
nh − nc = ∆neq F (x, y) −
donde
F (x, y) =
σ 2 G(x)(1 − y)
,
1 − xy
(1 − x)(1 − y)
,
1 − xy
(5.33)
(5.34)
106
(a)
(b)
0.003
_
W
0.6
0.003
0.003
η
0.001
0.2
0.002
0
0.4
σ
0.4
0.001
0.6
0.002
0
σ
0.001
0.6
z
0.8
z
0.8
10
10
Figura 5.2: Ciclo armónico cuántico; (a) Trabajo normalizado, W tot , y (b) Rendimiento,
η, respecto de z y σ. En ambos casos Γc = 1, Γh = 2, th = tc = ta = tb = 0,01, Tc = 2000,
Th = 8000 y wh = 6000.
eq
0
0
∆neq = neq
h − n4 ≡ n2 − n4 ≡
y
G(x) =
1
1
−
,
exp(βh wh ) − 1 exp(βc wc ) − 1
µ
1
x
+
ta tb
¶
.
(5.35)
(5.36)
El trabajo total obtenido durante el ciclo,
Wtot
·
·
¸
¸
σ 2 G(x)(1 − y)
1
1
eq
2
= (wh − wc ) ∆n F (x, y) −
− σ wc
,
+
1 − xy
ta tb
(5.37)
se puede separar como
Wtot = (wh − wc )∆neq F (x, y) − Wσ ,
(5.38)
donde la contribución
σ2
Wσ =
1 − xy
½ ·
¸
·
¸¾
x
1
1
y
wh
+
(1 − y) + wc (1 − x)
+
,
ta tb
ta tb
(5.39)
representa la pérdida de trabajo útil debido a la fricción.
El calor absorbido por el sistema de osciladores es
Qabs
¸
·
σ 2 G(x)(1 − y)
eq
.
= wh ∆n F (x, y) −
1 − xy
(5.40)
107
1.6
(a)
0.0014
_
W
_
W (x1000)
1.2
(b)
0.001
0.8
0.0006
η
_
Ω (x1000)
0.4
0.0002
0
0.2
0.4
0.6
z
0.8
1
0.1
0.2
0.3
0.4
η
0.5
Figura 5.3: Ciclo armónico cuántico; (a) Trabajo normalizado, W(x1000), rendimiento,
η, y Ω(x1000) respecto de z. (b) Comportamiento W-η. En ambos casos σ = 0,002,
Γc = 1, Γh = 2, th = tc = ta = tb = 0,01, Tc = 2000, Th = 8000 y wh = 6000.
y, en consecuencia, el rendimiento queda expresado como
h
i
1
1
2
σ
w
+
c
ta
tb
Wtot
i,
h
η=
= η0 −
2
Qabs
w ∆neq F (x, y) − σ G(x)(1−y)
h
(5.41)
1−xy
donde
wc
,
wh
es el rendimiento en ausencia de fricción (σ = 0).
η0 = 1 −
En términos de la variable z = wc /wh se obtiene las siguientes expresiones adimensionales para el trabajo total
Wtot
wh
(5.42)
¸ ·
¸
¾
½
·
x
y
1
1
σ2
eq
+
+
+
(1 − y) ,
z(1 − x)
= (1 − z)∆n F (x, y) −
1 − xy
ta tb
ta tb
W tot =
y para el calor absorbido
Qabs =
Qabs
σ 2 G(x)(1 − y)
= ∆neq F (x, y) −
.
wh
1 − xy
(5.43)
Los comportamientos tridimensionales del trabajo neto obtenido y del rendimiento
se muestran en la Fig. 5.2 respecto a z y σ. Como era de esperar ambas cantidades
disminuyen cuando el valor de la fricción, medido con el parámetro σ, aumenta. El
comportamiento con z es diferente, como puede apreciarse en la Fig. 5.3(a), donde se
108
0.7
_
(a)
_
z máx w
z máx Ω
0.5
0.3
z máx η
0.1
0.0025
w máx
0.0015
(b)
_
_
wmáx Ω
_
wmáx η
0.0005
0.8
(c)
η máx
_
0.4
0
ηmáx Ω
0.0005
η máx w_
0.001
0.0015
0.002
0.0025
σ
0.003
Figura 5.4: Resultados de la optimización para el ciclo armónico cuántico; (a) zmáx W ,
zmáx Ω y zmáx η . (b) W máx , W máx Ω y W máx η . (c) ηmáx , ηmáx Ω y ηmáx W . En todos los casos
Γc = 1, Γh = 2, th = tc = ta = tb = 0,01, Tc = 2000, Th = 8000 y wh = 6000.
2
(a)
_
0.002
_
W (x1000)
109
(b)
W
1.5
0.0015
_
1
η
0.001
Ω (x1000)
0.5
0.0005
0.2
0.4
0.6
z
0.8
1
0.1
0.3
0.5
η
0.7
Figura 5.5: Ciclo armónico cuántico sin fricción interna (σ = 0); (a) Trabajo normalizado, W(x1000), rendimiento, η, y Ω(x1000) respecto de z. (b) Comportamiento W-η. En
ambos casos, Γc = 1, Γh = 2, th = tc = ta = tb = 0,01, Tc = 2000, Th = 8000 y wh = 6000.
han representado (para un σ dado) el rendimiento, el trabajo y la función Ω, Ω̄HE =
[2η − ηmax ]W/η. Como puede apreciarse en esta figura las tres funciones presentan un
máximo en valores diferentes de z con zmáx η < zmáx Ω < zmáx W .
En la Fig. 5.3 (b) se presenta el comportamiento paramétrico de W vs. η, que como
puede apreciarse ofrece la característica forma de bucle encontrada previamente en todos los sistemas irreversibles abordados en este trabajo. De las figuras anteriores es
obvio que en este sistema la variable independiente apropiada para el proceso de optimización es z y los parámetros Γc , Γh , th , tc , ta , tb , Tc , Th pueden considerarse de control.
Los resultados de la optimización se muestran en la Fig. 5.4 frente al coeficiente de
fricción σ. Como se puede observar, el criterio Omega conserva su caracter intermedio
también este sistema ya que W máx η < W máx Ω < W máx y η máx W < η máx Ω < η máx .
Los resultados como consecuencia de omitir los efectos de fricción en las adiabáti-
cas, es decir, cuando σ = 0, se ilustran en la Fig. 5.5, que ha sido dibujada con los
mismo parámetros de la Fig. 5.3. Este caso es interesante debido, especialmente, a que
el comportamiento del rendimiento es decreciente desde el valor máximo posible (el
de Carnot) hasta cero, mientras que los comportamientos de las otras dos funciones
siguen siendo similares a los encontrados en el caso en que la fricción era considerada.
Consecuencia inmediata es que ahora la gráfica paramétrica de W vs. η ya no presen-
ta la forma de bucle sino que es un comportamiento cóncavo similar al observado en
ciclos de tipo endorreversible.
110
Límite Endorreversible. A pesar de las apariencias, la ausencia de rozamiento por
sí misma no permite obtener que el rendimiento en condiciones de máximo trabajo sea
el valor de Curzon-Ahlborn. Para ello se tiene que imponer al sistema una condición
adicional: que la temperaturas de los focos térmicos sean muy altas. Con σ = 0 las
expresiones para el trabajo, el calor absorbido y el rendimiento se reducen, respectivamente, a
W = (1 − z)∆neq F (x, y)
(5.44)
Qabs = ∆neq F (x, y)
(5.45)
η = 1 − z.
(5.46)
donde
eq
µ
1
1
¶
−
.
(5.47)
eβh wh − 1 eβc wc − 1
Teniendo en cuenta la condición de altas temperaturas [Th >> wh , Tc >> wc ], los
∆n =
términos exponenciales que aparecen en las expresiones de las poblaciones de equilibrio se pueden aproximar por los correspondientes términos lineales y las expresiones
resultantes para el trabajo y el calor quedan como
·
¸
βh 1 1
W ≈ (1 − z)F (x, y) 1 −
,
(5.48)
βc z βh
¸
·
1
βh 1
Qabs ≈ F (x, y)
.
(5.49)
1−
βh
βc z
Las ecuaciones anteriores permiten obtener analíticamente los valores de z que proporcionan condiciones de máximo para el rendimiento y la función Omega. Resolviendo
dW
dz
= 0, se obtiene para z la ecuación
µ ¶1/2 µ ¶1/2
βh
Tc
z=
=
,
βc
Th
(5.50)
que sustituida en (5.46) permite obtener que
ηmáx W = 1 −
r
Tc
,
Th
expresión que coincide con el rendimiento de CA para un motor endorreversible tipo
Carnot con leyes de transferencia de calor lineales.
Resolviendo ahora
dΩ
dz
= 0, se obtiene que el rendimiento a máxima función Omega
resulta
ηmáx Ω = 1 −
r
τ (τ + 1)
,
2
5.3. Ciclo frigorífico armónico con fricción
111
<n>
Τh
nc
2'
tc
nh
ta
3
2
th
1
tb
ωc
4
4'
Τc
ωh
ω
Figura 5.6: Esquema hni-w de un ciclo armónico cuántico operando como frigorífico.
Respecto del ciclo de potencia nótese ahora la diferente localización de las poblaciones
y de las isotermas
que, como era previsible, coincide con el rendimiento para un motor endorreversible
tipo Carnot optimizado con el criterio ecológico.
5.3.
Ciclo frigorífico armónico con fricción
La Fig. 5.6 ilustra el ciclo anterior pero trabajando ahora en el modo frigorífico, con
el objetivo de extraer calor del foco térmico frío (carga de refrigeración) mediante el
empleo de trabajo externo. En el primer proceso 1 → 2, el sistema de trabajo se pone
en contacto con el foco térmico frío a temperatura Tc durante el tiempo tc manteniendo constante la frecuencia con valor wc . Las condiciones son tales que la temperatura
interna del sistema es más baja que Tc . A lo largo de este proceso, la población varía de
n1 a nc y como w es constante no se realiza trabajo y únicamente existe la transferencia
de calor
|Q1→2 | = wc (nc − n1 ),
(5.51)
absorbida por el sistema de trabajo del foco térmico a temperatura Tc . Esta magnitud
es por lo tanto la carga de refrigeración. En este proceso se verifica
nc <
1
eβc wc
−1
.
(5.52)
112
En el proceso 2 → 3, el sistema se separa del foco térmico frío y se modifica su
energía mediante el cambio conjunto en la frecuencia y en las poblaciones, que varían
de acuerdo con una ley lineal desde nc a n3 debido a la fricción. Siguiendo un cálculo
análogo al realizado en el proceso 2 → 3 del ciclo de potencia, se obtiene que el trabajo
realizado por los alrededores sobre el sistema viene dado por
·
¸
1 σ2
W2→3 = (wh − wc ) nc +
,
2 ta
(5.53)
al que se debe agregar el trabajo realizado para vencer la fricción que se disipa en forma
de calor
1
|Q2→3 | = σ 2 (wh + wc ).
2
Por lo tanto el trabajo neto realizado sobre el refrigerante es
·
¸
1 σ2
1
Wtot,2→3 = (wh − wc ) nc +
+ σ 2 (wh + wc ).
2 ta
2
(5.54)
(5.55)
El proceso 3 → 4 es similar al primero. El sistema de trabajo se acopla al foco térmi-
co caliente a temperatura Th durante el tiempo τc . La población cambia desde n3 a n4 y
al final del proceso la temperatura interna del refrigerante, T4 , debe ser mayor que Th ,
por lo que se verifica que
nh >
1
.
−1
El calor cedido por el refrigerante al foco térmico caliente está dado por
¸
·
1
1
2
|Q3→4 | = (nc − n1 )wh + σ wh
+
.
ta tb
eβh wh
(5.56)
(5.57)
Finalmente se tiene el proceso 4 → 1, similar al segundo. El sistema se desacopla,
durante un periodo tb , del foco térmico caliente y su energía varía de modo que se
finaliza en el valor original de la frecuencia wc aumentando las poblaciones. El trabajo
total desarrollado por el sistema de trabajo sobre sus alrededores es
¸
·
σ2
1 σ2
Wtot,4→1 = (wc − wh ) n1 −
+
(wh + wc ).
2 tb
2tb
(5.58)
Ya se observó que el calor total absorbido del foco frío en un ciclo (la carga de
refrigeración) viene dada por
QL = wc (nc − n1 ),
(5.59)
113
mientras que el trabajo neto total realizado por los alrededores sobre el sistema de
trabajo se calcula a partir de las ecuaciones (5.54) y (5.57) y tal. El resultado es
Wtot = (wh − wc )(nc − n1 ) + wh σ
2
por lo que la eficiencia queda expresada como
²=
QL
Wtot

wc 
=
wh  (1 −
wc
)(nc
wh
·
n c − n1
¸
1
1
+
,
ta tb
− n1 ) + σ 2
h
1
ta
+
1
tb
i
(5.60)


.
(5.61)

De forma similar al ciclo de potencia, también ahora es posible expresar el trabajo
sobre el sistema, la carga de refrigeración y la eficiencia en términos de las poblaciones
en el equilibrio y de los tiempos empleados en cada uno de los procesos. Usando las
expresiones (5.11) y (5.15) se tiene (ver Fig. 5.6) que
σ2
n3 = nc + ,
ta
n1 = nh +
σ2
,
tb
nc = neq
c (1 − x) + n1 x,
y
nh = neq
h (1 − y) + n3 y.
La combinación adecuada de las cuatro ecuaciones anteriores permite obtener la
siguiente expresión para nc − n1 :
n c − n1 =
∆neq
re (1
− x)(1 − y)
−
1 − xy
σ2
h
y
ta
+
1
tb
i
(1 − x)
1 − xy
,
(5.62)
que sustituida en las ecuaciones del trabajo, carga de refrigeración y eficiencia nos
permite el cálculo explícito de estas funciones en términos de los parámetros deseados.
Al igual que en el ciclo motor, es conveniente definir magnitudes adimensionales
introduciendo el cociente z = wc /wh . Se obtiene fácilmente la expresión
·
¸
1
Wtot
2 1
= (1 − z)(nc − n1 ) + σ
+
=
W=
wh
ta tb
114
(b)
(a)
0.2
0.01
0.006
QL
σ
0.002
ε
0.006
0.1
σ
0.004
0.004
0
0
0.05
0.05
0.002
0.1
0.002
0.1
0.15
z
z
0.2 0
0.15
0
Figura 5.7: Ciclo frigorífico armónico: Calor extraído del foco térmico frío, QL , (a) y
eficiencia, ², (b) respecto de z y σ. En ambos casos Γc = 1, Γh = 2, th = tc = ta = tb =
0,01, Tc = 100, Th = 500 y wh = 100.
0.12
100
(a)
ε
1_
ε
0.1
0.08
(b)
60
Q L (x10)
0.06
0.04
0.02
20
Ω (x10)
0.05
0.1
0.15
z
0.2
1000
3000
1/ Q L
5000
Figura 5.8: Ciclo frigorífico armónico; (a) Calor extraído, QL (x10), eficiencia, ², y Ω(x10)
respecto de z. (b) Comportamiento 1/² − 1/QL . En ambos casos σ = 0,005, Γc = 1,
Γh = 2, τh = τc = τa = τb = 0,01, Tc = 100, Th = 500 y wh = 100.
(1 −
z)∆neq
re F (x, y)
para el trabajo,
σ2
−
1 − xy
½
115
¸
·
¸¾
1
1
1
y
+
+ (1 − xy)
+
, (5.63)
(1 − z)(1 − x)
ta tb
ta tb
·
½
¸¾
·
σ 2 (1 − x) y
1
QL
eq
= z(nc − n1 ) = z ∆nre F (x, y) −
+
,
QL =
wh
1 − xy
ta tb
(5.64)
para el calor extraído del foco frío, y
²=
W
.
QL
para la eficiencia. F (x, y) es la función definida durante el ciclo de potencia ec.(5.34).
En las Figs. 5.7 (a), (b) se muestran los comportamientos 3D del calor extraído y de
la eficiencia en términos de z y σ. Se observa que la eficiencia crece cuando aumenta z
y disminuye, como era de esperar, cuando el coeficiente de fricción σ aumenta [Fig. 5.7
(b)]. Para el calor extraído el comportamiento es algo distinto, pues disminuye cuando
z aumenta su valor y disminuye ligeramente cuando σ crece.
La Fig. 5.8 (a) muestra el comportamiento frente a z de la carga de refrigeración, de
la eficiencia y de ΩRE = (2² − ²máx )QL /² para un valor dado del coeficiente de fricción.
Nótese el caracter cóncavo de ² y ΩRE en contraposición con el comportamiento decreciente de QL y, en consecuencia, la típica función 1/² vs 1/QL [ver Fig. 5.8 (b)] que
ya fue encontrada en los frigoríficos irreversibles tipo Carnot en el capítulo 3 de la
memoria. Los resultados del proceso de optimización, considerando z como variable
independiente y todos los demás parámetros como los controles, se muestran en la
Fig. 5.9. De nuevo se resalta de estas figuras el carácter intermedio de los resultados
obtenidos para z, ² y QL con el criterio Ω en relación con los obtenidos usando los de
máxima eficiencia y máxima carga de refrigeración.
116
0.2
(a)
z máx ε
0.15
z máx Ω
0.1
0.05
(b)
0.25
εmáx
0.2
0.15
0.1
εmáxΩ
0.05
0.008
(c)
0.006
QL máx
0.004
QLmáxΩ
0.002
QLmáx ε
0.002
0.004
0.006
Figura 5.9: Resultados de la optimización para el frigorífico cuántico. (a) zmáx QL , zmáx Ω
y zmáx ² . (c) ²máx , ²máx Ω y ²máx QL . (b) QL máx , QL máx Ω y QL máx ² . En todos los casos Γc = 1,
Γh = 2, th = tc = ta = tb = 0,01, Tc = 100, Th = 500 y wh = 100.
117
100
0.25
(b)
(a)
0.2
1_
ε
ε
60
0.15
Ω (x100)
0.1
Q L(x10)
20
0.05
0.05
0.1
0.15
0.2
z
1000
3000
1
5000
QL
Figura 5.10: Frigorífico cuántico sin fricción interna (σ = 0); (a) Calor absorbido extraído, QL (x10), eficiencia, ², y Ω(x100) respecto de z. (b) Comportamiento 1/² − 1/QL . En
ambos casos, Γc = 1, Γh = 2, th = tc = ta = tb = 0,01, Tc = 100, Th = 500 y wh = 100.
Límite endorreversible. Si los efectos de fricción se desprecian, el calor extraído, el
trabajo y la eficiencia, se pueden expresar, respectivamente, como
QL = z∆neq
re F (x, y),
(5.65)
W = (1 − z)∆neq
re F (x, y),
(5.66)
η=
donde
∆neq
re
µ
z
,
1−z
(5.67)
¶
1
1
.
(5.68)
−
eβc wc − 1 eβh wh − 1
Los comportamientos de las anteriores funciones se muestran en la Fig. 5.10(a),
=
donde se puede apreciar como en este límite de σ = 0 la eficiencia es una función
creciente con z, a diferencia de lo que sucedía en el caso anterior con σ 6= 0. Como es
de esperar ahora las gráficas 1/² vs 1/QL tiene la forma parabólica típica de los ciclos
frigoríficos endorreversibles, tal como se puede apreciar en la Fig. 5.10 (b).
Si además se considera el límite de altas temperaturas, Th À wh , Tc À wc , el de-
sarrollo en serie de las exponenciales en las ecuaciones anteriores permite expresar el
trabajo y la carga de refrigeración como
(1 − z)
W≈
βc wh
µ
1 βc
−
z βh
¶
118
y
z
QL ≈
βc wh
µ
1 βc
−
z βh
¶
.
De las ecuaciones anteriores es inmediato comprobar que la eficiencia en condiciones de máxima carga de refrigeración es nula. Sin embargo, imponiendo la condición
dΩRE
dz
= 0 se obtiene que
z=
βh
[βc (2βc − βh )]1/2
con
βc
Th
=
,
βh
Tc
de donde se llega finalmente a que la eficiencia en condiciones de máxima ΩRE viene
dada por la expresión
²máx Ω = √
τ
,
2−τ −τ
(5.69)
un resultado que coincide con el obtenido cuando se analizó el límite endorreversible
del frigorífico tipo Carnot con ley de transferencia lineal en el capítulo 3.
A partir de los resultados obtenidos con el ciclo armónico cuántico en este capítulo
se puede concluir que los comportamientos del rendimiento (eficiencia) y del trabajo
(carga de refrigeración) son cualitativamente iguales a los obtenidos con los dispositivos de potencia (frigoríficos) macroscópicos y brownianos cuando se representan
frente a la variable independiente adecuada. Señalar también que: (a) el ciclo de potencia cuántico analizado reproduce los valores de Curzon-Ahlborn y del criterio ecológico para el rendimiento en condiciones de máxima potencia y el rendimiento en condiciones de máxima ΩHE en el límite de altas temperaturas y en ausencia de fricción;
(b) el ciclo frigorífico cuántico en el mismo límite reproduce el valor obtenido con el
criterio ecológico para la eficiencia en condiciones de máxima ΩRE
Los valores endorreversibles anteriores, aquí obtenidos en el límite de fricción nula
y altas temperaturas, se pueden obtener también a partir de un ciclo cuántico tipo
Carnot compuesto por dos isotermas y dos procesos donde las poblaciones sean constantes (adiabáticas) y recorrido tanto por sistemas de osciladores como de espines sin
interaccionar.
Capítulo 6
Conclusiones
Se ha presentado en esta memoria un estudio sistemático de la potencia producida (carga de refrigeración) y del rendimiento (eficiencia) en diversos dispositivos termodinámicos productores de potencia (frigoríficos), haciendo especial hincapié en la
optimización de estas funciones y en su comportamiento bajo un régimen de funcionamiento, criterio Ω, que representa un compromiso entre la energía útil obtenida
y la energía util disipada en cada caso. Así definido, el criterio Ω generaliza diferentes
criterios de tipo ecológico existentes anteriormente sin necesidad de tener en cuenta
parámetros externos al convertidor energético ni de evaluar la generación de entropía
que tiene lugar en un proceso irreversible arbitrario, un problema sutil y difícil en la
mayoría de los sistemas fuera del equilibrio. En este sentido se puede decir que el criterio Ω cumple las condiciones exigidas a un buen criterio de optimización y además,
al poder aplicarse a cualquier convertidor energético, parece tener una validez generalizada.
Los sistemas estudiados han sido de muy diferente naturaleza. Así en el capítulo 3 se analizaron algunos sistemas macroscópicos tradicionalmente estudiados bajo
el contexto de la Termodinámica de Tiempo Finito, como los ciclos irreversibles tipo
Carnot (trabajando en el modo de potencia y en el de frigorífico) y un ciclo Brayton,
considerando los tres tipos de irreversibilidades habituales en este tipo de sistemas:
las provenientes de los acoplamientos entre el sistema de trabajo y los focos térmicos
externos; las irreversibilidades internas en el sistema de trabajo; y las asociadas directamente a las pérdidas de calor entre los focos térmicos.
En el capítulo cuatro se analizaron sistemas brownianos de naturaleza mesoscópica,
descritos por un conjunto reducido de parámetros macroscópicos pero cuya dinámica
119
120
6. Conclusiones
está determinada por el teorema de fluctuación-disipación como consecuencia de que
el ruido térmico es un elemento ineludible en el dominio de las escalas espaciales relevantes en estos sistemas. La rectificación apropiada de las fluctuaciones (efecto ratchet)
hace que estos sistemas puedan realizar trabajo útil. En particular, se han analizado tres
sistemas diferentes. En los dos primeros [el rectificador mecánico (ratchet de Feynman)
y el rectificador eléctrico (ratchet de Sokolov)], las fluctuaciones que permiten romper
el equilibrio son producidas por un segundo foco térmico acoplado al sistema, mientras que en el tercero [adiabatic rocked ratchet], de tipo isotermo, las fluctuaciones son
originadas por un fuerza externa al sistema y rectificadas por un potencial periódico y
asimétrico.
En el capítulo cinco se ha estudiado un ciclo cuántico, tanto en el modo de potencia
como de frigorífico, recorrido por un conjunto de osciladores armónicos desacoplados.
Independientemente de su naturaleza y de la ley de transferencia de calor involucrada, en todos los ciclos de potencia irreversibles analizados se ha obtenido que tanto
la potencia de salida como el rendimiento presentan un comportamiento cualitativo
similar. Ambas magnitudes presentan sendos máximos y dos ceros cuando se representan frente a una variable independiente adecuada: el gradiente térmico en los ciclos
tipo Carnot, la relación de presiones en el ciclo Brayton clásico, el par de fuerzas debida al peso externo en el ratchet de Feynman, la intensidad de corriente en el ratchet
de Sokolov, la amplitud de la fuerza externa y la carga en el adiabatic rocked ratchet, y
la frecuencia de los osciladores en el ciclo cuántico armónico. Consecuencia inmediata
es que las gráficas potencia frente al rendimiento presentan una típica forma de bucle donde máximo rendimiento y máxima potencia son estados próximos aunque no
coincidentes.
En los ciclos frigoríficos irreversibles, y también independientemente de su naturaleza y de la ley de transferencia de calor involucrada, se ha obtenido que la carga de
refrigeración es una función creciente con la variable independiente apropiada mientras que la eficiencia es una función cóncava con un único máximo. Consecuencia de
esta conducta es que las gráficas del inverso de la eficiencia frente al inverso de la
carga de refrigeración presenta un típico comportamiento fuertemente decreciente al
principio y posteriormente creciente casi de forma lineal.
El análisis del rendimiento y de la potencia para todos los sistemas de potencia trabajando en condiciones de máxima ΩHE nos ha permitido obtener las dos siguientes
conclusiones: independientemente de los valores dados a los parámetros de control del
121
sistema, el rendimiento es siempre intermedio entre el máximo posible y el rendimiento en condiciones de máxima potencia, mientras que la potencia es siempre intermedia
entre la máxima posible y la potencia en condiciones de máximo rendimiento. Estas
dos características hacen del criterio Ω un régimen óptimo de funcionamiento para
motores en el contexto de la TTF. Además hay que resaltar dos hechos adicionales: en
condiciones de máxima Ω la potencia es siempre muy próxima a la máxima posible y el
rendimiento es muy próximo a la semisuma del máximo rendimiento y del rendimiento en condiciones de máxima potencia. Estos dos hechos generalizan a cualquier dispositivo de potencia resultados previos válidos para ciclos tradicionales en los que las
irreversibilidades se reducen a los acoplamientos del sistema de trabajo con los focos
térmicos externos (límite endorreversible).
El análisis de la carga de refrigeración y de la eficiencia para todos los ciclos frigoríficos irreversibles trabajando en condiciones de máxima ΩRE nos ha permitido obtener las dos siguientes conclusiones: independientemente de los valores dados a los
parámetros de control del sistema, la carga de refrigeración es siempre intermedia entre la máxima posible y la carga de refrigeración en condiciones de máxima eficiencia,
mientras que la eficiencia es siempre intermedia entre la máxima posible y la eficiencia
en condiciones de máxima carga de refrigeración. Estas dos propiedades pueden considerarse como la generalización a sistemas frigoríficos del carácter óptimo del criterio
Ω.
En los ciclos tradicionales una situación interesante desde el punto de vista pedagógico se presenta cuando las irreversibildades se reducen a los acoplamientos entre el
sistema y los focos térmicos externos. Este límite endorreversible se caracteriza porque
el rendimiento (la eficiencia) es una función decreciente con la variable independiente
apropiada desde el valor de Carnot hasta cero y en consecuencia, la curva potenciarendimiento (inverso de la eficiencia vs inverso de la carga de refrigeración) es de forma cóncava (hipérbola) en lugar de la típica formas encontradas en las situaciones
reales. También en este límite se cumple el caracter intermedio del criterio Ω tanto en
motores como frigoríficos y aunque las expresiones análiticas del rendimiento (eficiencia) difieren de unas situaciones a otras se resaltan dos hechos importantes:
El rendimiento de Curzon-Ahlborn, típico de ciclos de potencia endorreversibles
con leyes de transferencia de calor lineales, ha sido encontrado también en el rectificador eléctrico con diodos ideales y en el ciclo cuántico sin fricción a altas tem-
122
6. Conclusiones
peraturas. Esto parece demostrar que el célebre rendimiento de Curzon-Ahlborn
tiene validez en situaciones donde las leyes de transferencia son aproximadamente
lineales. La misma conclusión se puede aplicar al rendimiento en condiciones de
máxima Ω que ha sido también obtenido en ciclos tradicionales con leyes lineales
y como límite clásico del ciclo armónico cuántico.
Para ciclos frigoríficos con leyes lineales, la eficiencia en condiciones de máxima
carga de refrigeración es un valor que también depende sólo de las temperaturas
de los focos externos y puede ser obtenida como caso particular del ciclo cuántico
de refrigeración en ausencia de fricción y a altas temperaturas.
Resumiendo muy brevemente los resultados de esta memoria, y más allá de valores
numéricos concretos, podemos decir que los motores térmicos (frigoríficos) parecen
presentar similitudes en el comportamiento del rendimiento y de la potencia (eficiencia y carga de refrigeración) cuando son analizados en términos de variables apropiadas, independientemente de su naturaleza y tamaño. Además, el análisis unificado
bajo diferentes criterios de optimización es el camino más adecuado para el estudio
y diseño de convertidores energéticos eficientes y comparar su funcionamiento bajo
diferentes situaciones. En concreto, los criterios de optimización basados en un compromiso (trade-off) deseado parecen ser los más realistas para describir no sólo procesos físicos o biológicos, sino también variadas facetas de la actividad humana [112,113].
Para terminar, se enumeran a continuación las publicaciones a las que ha dado lugar
la memoria presentada:
1. N. Sánchez Salas, S. Velasco, and A. Calvo Hernández; Unified working regime of
irreversible Carnot-like heat engines with nonlinear heat transfer laws; Energy Conversion and Management 43, 2341 (2002). Los apartados 3.1 y 3.2 de la presente
memoria están basados en este trabajo.
2. N. Sánchez Salas and A. Calvo Hernández; Nonlinear systems rectifying thermal
fluctuations: maximum power and maximum efficiency regimes; J. Phys. D: Applied
Physics 35, 1442 (2002). El apartado 4.2 está basado en este trabajo.
3. N. Sánchez Salas and A. Calvo Hernández; Unified working regime of nonlinear systems rectifying thermal fluctuations; Europhysics Letters 61, 287 (2003). Los apartados 4.1 y 4.2 están inspirados en este trabajo.
123
4. N. Sánchez Salas, and A. Calvo Hernández; Adiabatic rocking ratchets: optimumperformance regimes; Phys. Rev. E. En prensa. El apartado 4.3 está basado en este
trabajo.
5. N. Sánchez Salas and A. Calvo Hernández; Optimal working regimes of regenerative Brayton thermal cycles; Proceedings of the congress ECOS 2003, Copenague
(Dinamarca), June 30-july 2, 2003. El apartado 3.3 está basado en este trabajo.
6. N. Sánchez Salas, and A. Calvo Hernández; Optimal working regimes in irreversible
quantum cycles; En preparación. El capítulo 5 está basado en este trabajo.
124
6. Conclusiones
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