D - Canek

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Ecuaciones diferenciales lineales.
E: Ly 0 C Ry D E sen wx; con y.0/ D 0, donde L, R, E & w son constantes positivas.
D: H Normalizamos la ED; para ello, dividimos entre L:
y0 C
R
E
y D sen !x:
L
L
(1)
Calculamos el factor integrante:
Z
p.x/ dx D
Z
R
Rx
Rx
R
dx D
) .x/ D e p.x/ dx D e L :
L
L
Ahora multiplicamos (1) por .x/:
Rx
eL
R
y C y
L
0
E Rx
D e L sen !x )
L
Rx
eLy
0
D
E Rx
e L sen !x:
L
Al integrar ambos miembos de la ecuación anterior, obtenemos:
Rx
eLy
E
D
L
Z
e
Rx
L
sen !x dx:
(2)
Calculamos la integral del miembro derecho de la última ecuación utilizando integración por
partes. Usando:
uDe
Rx
L
) du D
dv D sen !x dx ) v D
R Rx
e L dx;
L
Z
1
cos !x;
!
sen !x dx D
tenemos:
I D
Z
Rx
eL
sen !x dx D
1 Rx
R
e L cos !x C
!
!L
Z
Rx
L
œ
e
cos !xdx :
./
Para la integral (**) integramos nuevamente por partes con:
uDe
Rx
L
) du D
dv D cos !x dx ) v D
10. canek.azc.uam.mx: 22/ 11/ 2010
R Rx
e L dx;
L
Z
cos !x dx D
1
sen !x:
!
2
Obtenemos entonces:
I D
)I
)I
)I
)I

R 
1 Rx
 1 Rx
e L cos !x C
 e L sen !x
!
!L  !
R
!L
Z
Rx
L


sen !xdx  )

œ
e

I
1 Rx
R Rx
R2
D
e L cos !x C 2 e L sen !x
I )
2 L2
!
!
L
!
R2
1 Rx R
1C 2 2 D e L
sen !x cos !x )
! L
!
!L
2 2
! L C R2
1 Rx R
D eL
sen !x cos !x )
! 2 L2
!
!L
Rx
1 Rx R
!L2
R
! 2 L2
D 2 2
eL
sen !x cos !x D 2 2
eL
sen !x
2
2
! L CR !
!L
! L CR
!L
cos !x
(donde omitimos la constante de integración porque será considerada en la solución general
de ED). Al sustituir en (2), obtenemos:
Rx
Rx
!L2
E
R
eLyD
eL
sen !x cos !x C C:
(3)
L ! 2 L2 C R2
!L
Ahora incorporamos la condición inicial y.0/ D 0 para hallar C :
e0 0 D
E!L
E!L
0
e
.
1/
C
C
)
C
D
:
! 2 L2 C R2
! 2 L2 C R2
Al sustituir C en la solución general (3), obtenemos:
Rx
Rx
E!L
R
eLyD 2 2
eL
sen !x
2
! L CR
!L
De aquí resulta la siguiente solución particular:
E!L
R
sen !x
yD 2 2
2
! L CR
!L
cos !x C 1 :
cos !x C e
Rx
L
: