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Capı́tulo 12
Los Números Complejos
§ 12.1 Introducción del sistema de los números complejos
El último sistema numérico que construiremos será el de los números complejos y que como
se ha venido haciendo a lo largo del libro, este sistema, que será campo, resultará ser una
extensión de los números reales, es decir, contendrá a los números reales como subcampo.
En el capı́tulo anterior demostramos que para cualquier número real z ě 0, ecuaciones del
tipo xm “ z tiene siempre solución en R para todo número natural m ě 1. Sin embargo en
el caso de que z ă 0, este tipo de ecuaciones no siempre tiene solución en R como es el
caso cuando m es par. Nos gustarı́a entonces construir un campo, que denotaremos por C que
contenga a R como subcampo y donde ecuaciones del tipo x m “ z tenga solución para toda
z P R. Observando que dado z P R, si z ă 0, entonces z “ p´1qp´zq, donde ´z ą 0, en
realidad bastarı́a construir un campo que contenga a R como subcampo y que contenga un
elemento i tal que i2 “ ´1, ya que x2 “ z tendrı́a como solución a i ¨ s, donde s es solución
de x2 “ ´z, esto es, pi s9q2 “ i2 ¨ s2 “ p´1qp´zq “ z. Resumiendo, queremos construir un
campo C que tenga a R como subcampo y que contenga un elemento i tal que i 2 “ ´1. Con
estas condiciones tratemos de descubrir cómo podemos construir este campo C. Partamos
del hecho de que este campo existe y podemos suponerlo “mı́nimo” con las propiedades
deseadas (que es, contiene a R y contiene un elemento i tal que i 2 “ ´1). Primero, como cada
número real a deberá ser elemento de C, o más formalmente, identificado con un elemento
de C, denotando a este identificado de a con la misma letra, C deberá contener también a los
elementos de la forma b ¨ i, con b P R y por lo tanto deberá contener a los elementos de la
forma a ` bi para cualesquiera a, b P R. La suma y producto, por ser C campo, satisfacen
pa ` biq ` pc ` diq “ pa ` cq ` pb ` dqi y pa ` biq ¨ pc ` diq “ pa ` biq ¨ c ` pa ` biq ¨ di “
ac ` bci ` adi ` bdi2 “ pac ´ bdq ` pbc ` adqi. Además si a ` bi “ c ` di, entonces
a ´ c “ pb ´ dqi y esto último implica b “ d y por lo tanto a “ c, ya que si se tuviera
pa´cq2
a´c
b´d ‰ 0, que es b ‰ d, entonces serı́a i “ b´d
y de aquı́ i2 “ pb´dq
2 =-1, lo que no puede ser
a´c
pues b´d P R y sabemos que el cuadrado de un número real siempre es mayor o igual a cero.
Concluimos entonces que a ` bi “ c ` di si y sólo si a “ c y b “ d. Teniendo en cuenta esto
último, cada elemento a ` bi estará determinado entonces por la pareja ordenada pa, bq. Es
293
294
Los números reales
natural entonces intentar introducir como nuestro modelo a R2 “ RˆR “ tpa, bq | a, b P Ru,
en donde la suma y el producto en este conjunto deberán definirse de acuerdo a nuestros
objetivos, sabiendo que pa, bq hará el papel de a ` bi. Considerando la discusión anterior
definimos entonces
Definición 12 .1.1. El sistema de los números complejos C es el conjunto de las parejas
ordenadas de números reales pa, bq, donde la suma y producto están dadas por
pa, bq ` pc, dq “ pa ` c, b ` dq y pa, bq ¨ pc, dq “ pac ´ bd, bc ` adq.
Nota 12 .1.2. pa, bq ‰ p0, 0q si y sólo si a ‰ 0 o b ‰ 0. Además teniendo en cuenta que
a2 ě 0 para todo a P R, se tiene que a2 ` b2 “ 0 si y sólo si a “ b “ 0 o equivalentemente
a2 ` b2 ‰ 0 si y sólo si a ‰ 0 o b ‰ 0 y por lo tanto pa, bq ‰ p0, 0q si y sólo si a 2 ` b2 ‰ 0.
Teorema 12 .1.3. El conjunto C, con las operaciones definidas en él, es un campo.
Demostración. Las propiedades de la suma y el producto en C son consecuencia directa de
las propiedades de suma y producto en R:
p1q La suma es asociativa:
rpa, bq ` pc, dqs ` pe, f q = pa ` c, b ` dq ` pe, f q
= ppa ` cq ` e, pb ` dq ` f q
= pa ` pc ` eq, b ` pd ` f qq
= pa, bq ` pc ` e, d ` f q
= pa, bq ` rpc, dq ` pe, f qs.
p2q La suma es conmutativa:
pa, bq ` pc, dq “ pa ` c, b ` dq “ pc ` a, d ` bq “ pc, dq ` pa, bq.
p3q p0, 0q es el neutro aditivo:
pa, bq ` p0, 0q “ pa ` 0, b ` 0q “ pa, bq.
p4q p´a, ´bq es el inverso de pa, bq:
pa, bq ` p´a, ´bq “ pa ´ a, b ´ bq “ p0, 0q.
p5q El producto es asociativo:
rpa, bq ¨ pc, dqs ¨ pe, f q =
=
=
=
=
pac ´ bd, bc ` adq ¨ pe, f q
ppac ´ bdqe ´ pbc ` adq f, pbc ` adqe ` pac ´ bdq f q
papce ´ d f q ´ bpde ` c f q, bpce ` d f q ` apde ` c f qq
pa, bq ¨ pce ´ d f, de ` c f q
pa, bq ¨ rpc, dq ¨ pe, f qs
p6q El producto es conmutativo:
pa, bq ¨ pc, dq = pac ´ bd, bc ` adq
= pca ´ db, da ` cbq
= pc, dq ¨ pa, bq.
p7q p1, 0q es el neutro multiplicativo:
pa, bq ¨ p1, 0q “ pa ¨ 1 ´ b ¨ 0, b ¨ 1 ` a ¨ 0q “ pa, bq.
§ 12.1 Introducción del sistema de los números complejos
´
¯
a
´b
p8q Si pa, bq ‰ p0, 0q, el inverso multiplicativo de pa, bq es a2 `b
:
2 , a2 `b2
pa, bq ¨
ˆ
a
´b
, 2
2
2
a ` b a ` b2
˙
“
ˆ
p9q El producto distribuye a la suma:
pa, bq ¨ rpc, dq ` pe, f qs =
=
=
=
=
=
a2
p´bqb
ba
ap´bq
´ 2
, 2
` 2
2
2
2
2
a `b
a `b a `b
a ` b2
295
˙
“ p1, 0q.
pa, bq ¨ pc ` e, d ` f q
pa ¨ pc ` eq ´ b ¨ pd ` f q, b ¨ pc ` eq ` a ¨ pd ` f qq
pac ` ae ´ bd ´ b f, bc ` be ` ad ` a f q
ppac ´ bdq ` pae ´ b f q, pbc ` adq ` pbe ` a f qq
pac ´ bd, bc ` adq ` pae ´ b f, be ` a f q
pa, bq ¨ pc, dq ` pa, bq ¨ pe, f q.
Tomando en cuenta la definición de suma y producto en C, se puede ver sin ninguna dificultad
que cada elemento pa, bq en C se expresa como pa, bq “ pa, 0q ` pb, 0q ¨ p0, 1q, ası́ que si
denotamos i “ p0, 1q, pa, bq “ pa, 0q ` pb, 0q ¨ i. Notamos que los elementos de C de la forma
pa, 0q están determinados de manera única por el número real a. Ası́ que si identificamos al
número real a con el número complejo pa, 0q y si denotamos por a “ pa, 0q, entonces cada
número complejo pa, bq puede ser expresado como pa, bq “ a`bi, donde i 2 “ p0, 1q¨p0, 1q “
p´1, 0q “ ´1. Formalicemos esta idea:
Proposición 12 .1.4. La función ϕ : R ÝÑ C dada por ϕpaq “ pa, 0q satisface:
p1q ϕ es inyectiva.
p2q ϕpa ` bq “ ϕpaq ` ϕpbq.
p3q ϕpa ¨ bq “ ϕpaq ¨ ϕpbq.
p4q ϕp0q “ p0, 0q (el neutro aditivo de R se aplica en el neutro aditivo de C).
p5q ϕp´aq “ ´ϕpaq (el inverso aditivo de a se aplica en el inverso aditivo de ϕpaq).
p6q ϕp1q “ p1, 0q (el neutro multiplicativo de R se aplica en el neutro multiplicativo de C).
p7q Si a ‰ 0 en R, entonces ϕpa´1 q “ ϕpaq´1 (el inverso multiplicativo de a se aplica en el
inverso multiplicativo de ϕpaq).
Demostración. Sean a, b P R.
p1q Si ϕpaq “ ϕpbq, entonces pa, 0q “ pb, 0q y por lo tanto a “ b.
p2q ϕpa ` bq “ pa ` b, 0q “ pa, 0q ` pb, 0q “ ϕpaq ` ϕpbq.
p3q ϕpa ¨ bq “ pa ¨ b, 0q “ pa, 0q ¨ pb, 0q “ ϕpaq ¨ ϕpbq.
p4q ϕp0q “ p0, 0q por la definición de ϕ.
p5q Como a ` p´aq “ 0, entonces p0, 0q “ ϕp0q “ ϕpa ` p´aqq “ ϕpaq ` ϕp´aq De donde
debe ser ϕp´aq “ ´ϕpaq.
p6q ϕp1q “ p1, 0q por la definición de ϕ.
p7q Si a ‰ 0, entonces ϕpaq “ pa, 0q ‰ p0, 0q y p1, 0q “ ϕp1q “ ϕpa ¨ a ´1 q “ ϕpaq ¨ ϕpa´1 q,
por lo que ϕpa´1 q “ ϕpaq´1 . Con la identificación que hemos hecho de los números reales como números complejos, sin
ningún problema, podemos denotar al número complejo pa, bq por a ` bi, donde a, b P R
e i2 “ ´1. Entonces de aquı́ en adelante consideraremos a los números complejos como el
296
conjunto
Los números reales
(
C “ a ` bi | a, b P R, i2 “ ´1 ,
donde, para a ` bi, c ` di P C, a ` bi “ c ` di si y sólo si a “ c y b “ d, pa ` biq ` pc ` diq “
pa ` cq ` pb ` dqi y pa ` biq ¨ pc ` diq “ pac ´ bdq ` pbc ` adqi, y donde además 0 ` 0i
que lo denotaremos sencillamente por 0 y 1 ` 0i que denotamos por 1, son el neutro aditivo
y multiplicativo, respectivamente, de C.
§ §12.1.1 Ejercicios sección 1.
§ 12.2 El conjugado y el valor absoluto de un n úmero complejo
Partiendo de N, hemos construido los distintos sistemas numéricos N Ă Z Ă R Ă C y en
cada uno de ellos las operaciones se fueron extendiendo al siguiente hasta llegar a C, no
solamente eso, si no que hasta R se fue extendiendo el orden también, ası́ que lo primero que
uno podrı́a pensar es en extender el orden de R a un orden en C. Si bien es cierto que esto
puede hacerse, el orden resultante en C, cualquiera que sea éste, no puede llevar nunca a que
C es un campo ordenado y la razón es muy sencilla: En cada campo ordenado K debe ser
1 ą 0 (teorema 10.4.4) y también x2 ě 0 para toda x P K; sin embargo para el elemento
i P C se tiene que i2 “ ´1, ası́ que si C fuera un campo ordenado, por un lado deberı́a ser
i2 ą 0 y por el otro i2 “ ´1 ă 0. Ası́ pues, aunque se pierde la propiedad de ser campo
ordenado, veremos que C tiene propiedades muy importantes que sus antecesores no tienen.
Empezaremos definiendo el conjugado y el valor absoluto o módulo de un número complejo
y demostraremos algunas propiedades. En particular el conjugado de un número complejo
desempeñará una propiedad muy importante en el capı́tulo siguiente.
Definición 12 .2.1. Dado un número complejo z “ a ` bi, su parte real denotada por Repzq
y su parte imaginaria denotada por Impzq son Repzq “ a y Impzq “ b, respectivamente.
Proposición 12 .2.2. Sean z, w P C. Entonces
p1q Repz ` wq “ Repzq ` Repwq, Impz ` wq “ Impzq ` Impwq.
p2q Rep´zq “ ´Repzq, Imp´zq “ ´Impzq.
La demostración de esta proposición queda como ejercicio (Véase ejercicio 12.2.1).
Nota 12 .2.3. Al número complejo z “ a ` p´bqi lo denotaremos simplemente por a ´ bi,
al número complejo z “ a ` 0 ¨ i, lo denotaremos simplemente por a y al número complejo
z “ 0 ` bi, por bi.
Definición 12 .2.4. Dado un número complejo z “ a ` bi, su conjugado denotado por z es
z “ a ´ bi.
?
?
Ejemplo 12 .2.5. 1 ` 3i “ 1 ´ 3i, 5 ´ 2i “ 5 ` 2i, ´7 ´ i “ ´7 ` i, 2 ¨ i “ ´ 2 ¨ i,
13 “ 13.
Las propiedades de la conjugación son
Teorema 12 .2.6. Sean z, w P C. Entonces
(1) z “ z si y sólo si Impzq “ 0 (esto es z P R).
(2) z “ ´z si y sólo si Re “ 0.
§ 12.2 El conjugado y el valor absoluto de un número complejo
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
297
p´zq “ ´z.
pz ` wq “ z ` w.
pz ´ wq “ z ´ w.
pz ¨ wq “ z ¨ w.
Si w ‰ 0entonces w ‰ 0 y wz “ wz , En particular pw´1 q “ w´1 .
z ` z “ 2Repzq y z ´ z “ 2Impzq ¨ i.
Si z “ a ` bi, entonces z ¨ z “ a2 ` b2 , es decir que z ¨ z P R.
Demostración. Como todas las demostraciones son bastante sencillas ya que se realizan
aplicando la definición del conjugado, sólo demostraremos los incisos (4), (6), (7) y (9) como
ilustración y dejamos la demostración de los restantes como ejercicio (véase ejercicio 2.2).
Sean z “ a ` bi y w “ c ` di. Entonces z “ a ´ bi y w “ c ´ di.
(4) z ` w “ pa ` cq ` pb ` dqi implica pz ` wq “ pa ` cq ´ pb ` dqi “ a ´ bi ` c ´ di “ z ` w.
(6) z ¨ w “ pab ´ cdq ` pbc ` adqi implica z ¨ w “ pab ´ cdq ´ pbc ` adqi. Por otro lado
z ¨ w “ pa ´ biq ¨ pc ´ diq “ pac ´ bdq ` p´bc ´ adqi “ pac ´ bdq ´ `pbc˘` adqi “ z ¨ w.
(7) Primero w ‰ 0 implica c ‰ 0 o d ‰ 0, ası́ que w ‰ 0. Ahora, wz ¨ w “ z implica
`z˘
` ˘
` ˘
obtenemos wz ¨ w “ z, de donde wz “ wz . En el caso en que
w ¨ w “ z y aplicando (7)
` ˘
z “ 1 se tiene que w´1 “ w1 “ w1 “ pwq´1 .
(9) z ¨ z “ pa ` biq ¨ pa ´ biq “ pa2 ` b2 q ` pba ´ abqi “ a2 ` b2 P R y como a2 ě 0 y
b2 ě 0, entonces z ¨ z ě 0. Siendo z ¨ z un número real no negativo para cualquier número complejo z, por el teorema
11.4.27, z ¨ z tiene una única raı́z cuadrada no negativa en R. Daremos un nombre especial a
esta raı́z cuadrada, que como se verá más adelante nos será de mucha utilidad.
Definición 12 .2.7. Dado un número complejo
z, su valor absoluto o módulo, denotado por
?
|z|, es el número real no negativo |z| “ z ¨ z.
El valor absoluto o módulo de un número complejo es en realidad una extensión a C del valor
absoluto definido en R. Para ver esto, sea z P C tal que z P R, es decir, z “ a ` 0i “ a P R.
Entonces por definición,
"
a
?
?
a si a ě 0
|z| “ z ¨ z “ a2 ` 02 “ a2 “
“ |a|R ,
´a si a ă 0
en donde hemos denotado por |a|R al valor absoluto de a definido en R y por esta razón no
necesitamos utilizar el ı́ndice R en el caso en que z P R.
Las propiedades del valor absoluto son las siguientes
Teorema 12 .2.8. Sean z, w P C. Entonces
(1) |z| ě 0 y |z| “ 0 si y sólo si z “ 0.
(2) z ¨ z “ |z|2 .
(3) |Repzq| ď |z|, |Impzq| ď |z|.
(4) |z| “ |z|
(5) |´z| “ |z|.
(6) |z ¨ w| “ |z| ¨ |w|
ˇ ˇ
ˇ
ˇ
|z|
(7) Si w ‰ 0, entonces ˇ wz ˇ “ |w|
. En particular ˇw´1 ˇ “ |w|´1 .
298
Los números reales
(8) |z ` w| ď |z| ` |w|.
Demostración. Sólo demostraremos (6), (7) y (8) dejando los restantes como ejercicio (véase
ejercicio 2.3)
(6) Usando el inciso (2), |z ¨ w|2 “ pz ¨ wqpz ¨ wq “ pz ¨ wq pz ¨ wq “ pz ¨ zq ¨ pw ¨ wq “
|z|2 ¨|w|2 “ p|z| ¨ |w|q2 . De donde, tomando raı́z cuadrada y debido a que tanto |z ¨ w|
como |z| ¨ |w| son ambos no negativos, se obtiene |z ¨ w| “ |z| ¨ |w|.
(7) Por el inciso (1), w ‰ 0 implica |w| ‰ 0. Usando el inciso (6) se tiene que |z| “
ˇ ˇ ˇ
ˇ ˇ
ˇ
ˇ
ˇz
ˇ ¨ wˇ “ ˇ z ˇ ¨ |w|. Por lo tanto ˇ z ˇ “ |z| . En particular, si z “ 1, entonces ˇw´1 ˇ “
w
w
w
|w|
ˇ1ˇ
ˇ ˇ “ |1| “ 1 “ |w|´1 .
w
|w|
|w|
(8) Usando los incisos (2), (3) y (4) y las propiedades del conjugado tenemos
|z ` w|2 “ pz ` wq ¨ pz ` wq
“ pz ` wq ¨ pz ` wq
“z¨z`w¨z`z¨w`w¨w
“ |z|2 ` w ¨ z ` pw ¨ zq ` |w|2
“ |z|2 ` 2Re pw ¨ zq ` |w|2
ď |z|2 ` 2 |Re pw ¨ zq| ` |w|2
ď |z|2 ` 2 |w ¨ z| ` |w|2
“ |z|2 ` 2|w| ¨ |z| ` |w|2
“ |z|2 ` 2|w| ¨ |z| ` |w|2
“ p|z| ` |w|q2
Como |z`w| ě 0 y |z|`|w| ě 0, tomando la raı́z cuadrada positiva en ambos miembros de la desigualdad (la desigualdad se conserva por el ejercicio 2.4) obtenemos
|z ` w| ď |z| ` |w|. En la siguiente sección demostraremos que ecuaciones del tipo x m “ w tiene solución en C
para todo w P C (como hemos visto, en R este resultado no es cierto en general), pero no
sólo veremos la existencia de soluciones, si no que además la ecuación tiene exactamente m
soluciones distintas (tantas como su grado). Por el momento veremos el caso particular en
que m “ 2. Consideramos entonces la ecuación x2 “ w, con w P C. En el supuesto de que
exista solución z P C, veamos cómo debe ser esta solución z. z 2 “ w implica |w| “ |z|2 “ z¨z.
Entonces
(13)
|w| ` w “ z ¨ z ` z2 “ pz ` zq ¨ z “ 2Repzq ¨ z.
Si pudiéramos expresar Repzq en función de w, tendrı́amos cómo debe ser z.
p2Repzqq2 “ pz ` zq2 “ z2 ` 2z ¨ z ` z2 “ w ` 2|z|2 ` w “ w ` w ` 2|w|
“ 2Repwq ` 2|w|
“ 2 pRepwq ` |w|q
Considerando la raı́z cuadrada de ambos miembros de la igualdad obtenemos
a
2Repzq “ ˘ 2 pRepwq ` |w|q
Hay dos casos a considerar, Repwq ` |w| “ 0 o Repwq ` |w| ‰ 0.
§ § 12.2 Ejercicios sección 2
299
Si Repzq ` |w| “ 0, entonces Repwq “ ´|w|, lo que implica que w es un número real no
positivo ya que pRepwqq2 “ |w|2 “ pRepwqq2 ` pImpwqq2 y por lo tanto Impwq “ 0, es decir
w P R y de la igualdad Repwq “ ´|w|, por ser |w| ě 0, se tiene que w “ Repwq “ ´|w| ď 0.
Ası́ pues, en el caso Repwqa` |w| “ 0, debe ser w “ ´|w| y por lo tanto los únicos posibles
valores para z son z “ ˘i |w|.
Si Repwq ` |w| ‰ 0, entonces, por 13, los posibles valores para z son z “ ˘ ? |w|`w
.
2pRepwq`|w|q
Veamos ahora que, para los posibles valores de z encontrados, z efectivamente es solución
de la ecuación y como queda claro que el caso w “ 0, tiene como única solución a z “ 0,
excluimos este caso en el siguiente
Teorema 12 .2.9. Dado w P C, w ‰ 0, existen exactamente dos números complejos z 1 y z2
que son solución de la ecuación x2 “ w, a saber,
z1 “ ?
|w|`w
2pRepwq`|w|q
y
a
z1 “ i |w|
y z2 “ ´ ?
y z2 “ ´i
|w|`w
2pRepwq`|w|q
a
|w|
si Repwq ` |w| ‰ 0
si Repwq ` |w| “ 0
Demostración. En vista de la discusión anterior al teorema, sólo nos queda demostrar que
efectivamente z1 y z2 son soluciones de la ecuación en cada uno de los dos casos.
2
p|w|`wq2
`2w¨|w|`w2
w¨w`2w¨|w|`w2
Si Repwq ` |w| ‰ 0, entonces z21 “ z22 “ 2pRepwq`|w|q
“ |w|
2pRepwq`|w|q “ 2pRepwq`|w|q “
“ w¨p2Repwq`2|w|q
2pRepwq`|w|q “ w
Si Repwq ` |w| “ 0, entonces z21 “ z22 “ i2 |w| “ ´|w| “ w. w¨pw`w`2|w|q
2pRepwq`|w|q
Ejemplo 12 .2.10.
?
?
(1) Sea w “ 3 ` 2i. Entonces Repwq ` |w| “ 3 ` 9 ?` 4 “ 3 ` 13 ‰ 0 y por lo tanto las
p 13`3q`2i
raı́ces cuadradas de 3 ` 2i son ˘ ? |w|`w
.
“˘b
?
2pRepwq`|w|q
2p3` 13q
b
(2) Si w “ ´i, entonces Repwq ` |w| “ 0 ` p´1q2 “ 1. Las dos raı́ces de ´i son
? .
˘ ? |w|`w
“ ˘ 1´i
2pRepwq`|w|q
2
§ §12.2.1 Ejercicios sección 2.
12 . 2.1. 1 Sean z, w P C. Demuestre que
p1q Repz ` wq “ Repzq ` Repwq, Impz ` wq “ Impzq ` Impwq.
p2q Rep´zq “ ´Repzq, Imp´zq “ ´Impzq.
sum-pro-conjuga
12 . 2.2. 2 Sean z, w P C. Demuestre que
(1) z “ z si y sólo si Impzq “ 0 (esto es z P R).
(2) z “ ´z si y sólo si Re “ 0.
(3) p´zq “ ´z.
1Proposición 12.2.2 pág. 296.
2Parte de la proposición 12.2.6 pág. 296.
300
Los números reales
(5) pz ´ wq “ z ´ w.
(8) z ` z “ 2Repzq y z ´ z “ 2Impzq ¨ i.
12 . 2.3. 3 Sean z, w P C. Demuestre que
(1) |z| ě 0 y |z| “ 0 si y sólo si z “ 0.
(2) z ¨ z “ |z|2 .
(3) |Re| ď |z|, |Impzq| ď |z|.
(4) |z| “ |z|
(5) |´z| “ |z|.
12 . 2.4. Sean r, s P R con r, s ě 0. Si r ď s, demuestre que
?
ră
?
s.
12 . 2.5. Demuestre que ˘i son los únicos números complejos cuyo cuadrado es ´1.
§ 12.3 Interpretación geométrica de los números complejos
El estudio de la Geometrı́a Analı́tica se basa en la implementación de un sistema de coordenadas para los puntos del plano. Esto se realiza a través de dos lı́neas rectas ` 1 y `2 perpendiculares entre sı́, en donde el punto de intersección P0 le corresponde la pareja ordenada
de números reales p0, 0q. Recordamos que escogiendo un punto P 0 en la recta `1 (`2 ), cada
punto en la linea determina un número real, en donde P0 le corresponde el número real 0,
a los puntos a la derecha (arriba) de P0 les corresponde los números reales positivos y a la
izquierda (abajo) de P0 les corresponde los números reales negativos. De aquı́ se establece
una correspondencia biyectiva entre los puntos del plano y las parejas ordenadas de números reales, llamadas las coordenadas cartesianas de los puntos. Esto es, dado un punto P
del plano, sus coordenadas cartesianas pa, bq están determinadas como sigue: trazamos una
paralela a la lı́nea `2 que pasa por P y esta paralela determinará un número real a que corresponde al punto de intersección de la paralela con la lı́nea `1 . Igualmente, la recta paralela a
`1 que pasa por P, determina un número real b que corresponde al punto de intersección de
la paralela con `2 (Figura 1)
»
¹
`2
b
$
’
&
’
%
¼
p0, 0q “ P0 looooooomooooooon
a
º
P “ pa, bq
`1
Figura 1
Bajo esta correspondencia se pueden describir figuras en el plano mediante ecuaciones cuyos
coeficientes son números reales. Por ejemplo, una lı́nea recta queda descrita como el conjunto de puntos del plano cuyas coordenadas px, yq satisfacen la relación ax ` by “ c, donde a, b
3Parte del teorema 12.2.8 pág. 297.
§ 12.3 Interpretación geométrica de los números complejos
301
y c son números reales fijos determinados por la lı́nea recta. Ası́ pues, considerando que los
números complejos son parejas ordenadas de números reales, podemos aprovechar la correspondencia mencionada arriba para interpretar geométricamente en el plano las operaciones
definidas en C.
(I) Módulo de un número complejo.
?
Dado un número complejo z “ a ` bi, su módulo es |z| “ a2 ` b2 . El punto del
plano correspondiente al complejo z es pa, bq y |z| no es otra cosa que la distancia
del origen p0, 0q al punto pa, bq.
½
`2
p0, 0q “ P0
¾
P “ pa, bq
|z| “
?
a2 ` b 2
`1
Figura 2
(II) Suma de números complejos.
La suma de los números complejos z “ a ` bi y w “ c ` di es z ` w “ pa ` cq `
pb ` dqi. Denotamos por Pz , Pw y Pz`w a los puntos del plano correspondientes a
z, w y z ` w respectivamente. Se pueden considerar dos casos: piq P w pertenece a
lı́nea ` determinada por el origen 0 “ p0, 0q y P x y piiq Pw no pertenece a la lı́nea
`. En el caso piq, si Pz y Pw están del mismo lado del cero, Pz`w se encontrará a
una distancia |z| ` |w| del 0 sobre la linea ` (figura 3) y si 0 se encuentra entre P z y
Pw , entonces Pz`w se encontrará sobre la lı́nea ` a una distancia ||z| ´ |w|| del 0 y
según sea el caso, se encontrará entre Pz y 0 si |w| ă |z|, se encontrará entre 0 y Pw
si |z| ă |w| y si z ` w “ 0, Pz`w “ 0 (figuras 4)
En el caso piiq, es decir, si 0, Pz y Pw no son colineales, Pz`w estará determinado
por lo que se conoce como la ley del paralelogramo, que es, los puntos 0, P z , Pz`w
y Pw son los vértices de un paralelogramo (Figura 5).
(III) Producto de dos números complejos.
Para interpretar geométricamente el producto utilizaremos las coordenadas polares.
Recordemos cómo están definidas a partir de las coordenadas cartesianas. Dado
un punto P, distinto del origen, de coordenadas pa, bq, éste determina un número
real positivo que es la distancia al origen de P y un ángulo formado por el eje de
las abscisas y el segmento OP (el determinado por p0, 0q y P) medido en sentido
opuesto a las agujas del reloj (figura 6). Esto es, cada punto distinto de p0, 0q tiene
asociado, de manera única, una pareja pr, θq, donde r es un número real positivo y θ
un ángulo tal que 0 ď θ ă 360˝ .
Ahora, si las coordenadas cartesianas del punto P son pa, bq y las coordenadas
polares son pr, θq, entonces con un poco de trigonometrı́a obtenemos (figura7)
302
Los números reales
Â
`2
Pw
¿
Á À
`
`2
Pz`w
Pz
0
Æ
`1
Pw
ÃÅÄ
Ç
`
0
`1
Pz
Pz`w
Figura 3
`2
Ê
È
`
É
Ë
Pz`w
Ï
`2
Í
Pz
0
Ì
`1
Pw
Î
0
`
Pz
`1
Pz`w
Pw
Figura 4
`2
Ñ
Pz
0
Ð
Ó
Ò
Pz`w
Pw
`1
Figura 5
(14)
a “ r ¨ cos pθq , b “ r ¨ sen pθq .
(15)
a “ r ¨ cos pθq , b “ r ¨ sin pθq .
Resumiendo, dado un número complejo z “ a ` bi, podemos expresar a z por:
(16)
z “ |z| pcos pθq ` i sen pθqq .
§ 12.3 Interpretación geométrica de los números complejos
Ö
Ô
P2
r2
θ
Õ
ρ
×
P1 ù pr1 , θq
P2 ù pr2 , σq
P3 ù pr3 , ρq
P4 ù pr4 , φq
P1
r1
σ
r3
Ø
r4
φ
303
P3
P4
Figura 6
`2
b
$
&
%
Û
Ù
Ü
P “ pa, bq
r
θ
looooooomooooooon
a
Ú
`1
Figura 7
Donde a p|z|, θq las llamaremos las coordenadas polares de z y a la ecuación 16
la representación polar del número complejo z. Al ángulo θ lo llamamos el argumento de z y lo denotamos por argpzq y según lo dicho aquı́, 0 ď argpzq ă 360 ˝ .
Entonces la relación entre las coordenadas polares pr, θq y las?coordenadas cartesianas pa, bq de z es a “ r ¨ cos pθq y b “ r ¨ sen pθq, donde r “ a2 ` b2 “ |z|. Ahora,
ya que ab “ r¨senpθq
“ tan pθq, la representación polar del complejo z “ a ` bi
? r¨cospθq
2
2
es z “ a ` b pcos pθq ` i sen pθqq, donde θ es` el˘ ángulo entre 0˝ y 360˝ cuya
tangente es ba . Denotamos a este ángulo por tan´1 ab .
?
` ˘
Ejemplo 12?.3.1. Si z “ 1 ` i, entonces |z| “ 2 y θ “ tan´1 11 “ tan´1 p1q “ 45˝ , por
lo que z “ 2 pcosp45˝ q ` i senp45˝ qq es su representación polar.
Usando la representación polar podemos ubicar en el plano el producto de dos números
complejos.
Sean z “ |z| pcos pθq ` i sen pθqq y w “ |w| pcos pφq ` i sen pφqq. Entonces su producto es
z ¨ w “ |z||w| rpcos pθq cos pφq ´ sen pθq sen pφqq ` i pcos pθq sen pφq ` sen pθq cos pφqqs
304
Los números reales
Aplicando las identidades trigonométricas
cos pθ ` φq “ cos pθq cos pφq ´ sen pθq sen pφq
sen pθ ` φq “ cos pθq sen pφq ` sen pθq cos pφq
y
obtenemos (ver Figura 8)
z ¨ w “ |z ¨ w| pcos pθ ` φq ` i sen pθ ` φqq
ß
z¨w
Þ
|z||w|
θ`φ
Ý
w
φ
z
θ
Figura 8
Ahora bien, como 0 ď θ, φ ă 360˝ , se tiene que 0 ď θ ` φ ă 720˝ . Sin embargo debido a
que cos pθ ` k ¨ 360˝ q “ cos pθq y sen pθ ` k ¨ 360˝q “"sen pθq para cualquier entero k, obθ`φ
si θ ` φ ă 360˝
tenemos z ¨ w “ |z ¨ w| pcos pδq ` i sen pδqq, donde δ “
,
˝
θ ` φ ´ 360 si θ ` φ ě 360˝
que expresado en términos de los argumentos es
"
argpzq ` argpwq
si argpzq ` argpwq ă 360˝ ,
arg pz ¨ wq “
˝
argpzq ` argpwq ´ 360 si argpzq ` argpwq ě 360˝ .
z
â
θ
|z||w|
θ ` φ ´ 360˝
φ
á
w
θ`φ
Figura 9
à
z¨w
§ 12.3 Interpretación geométrica de los números complejos
305
En particular, se puede demostrar por inducción sobre n, (véase ejercicio 12.3.1), que la
potencia n-ésima de un número complejo z está dada por la fórmula siguiente
zn “ |z|n pcos pnθq ` i sen pnθqq ,
donde z “ |z| pcos pθq ` i sen pθqq y n P N.
La igualdad pcos pθq ` i sen pθqqn “ cos pnθq ` i sen pnθq se conoce como la fórmula de De
Moivre.
Sean z, w P C. Diremos que z es una raı́z n-ésima de w si zn “ w. Apliquemos todo lo anterior
para encontrar todas las raı́ces de un número complejo.
Teorema 12 .3.2. Sea w ‰ 0 un número complejo y n ‰ 0 un número natural. Entonces existen exactamente n números complejos z0 , . . . , zn´1 tales que znk “ w para toda k “ 0, . . . , n´1
y están dados por
˙
ˆ
˙˙
ˆ
ˆ
a
θ ` k ¨ 360˝
θ ` k ¨ 360˝
n
` i sen
,
zk “ |w| cos
n
n
donde w “ |w| pcos pθq ` i sen pθqq.
Demostración. Aplicando la fórmula de De Moivre, se tiene que para toda k “ 0, . . . , n ´ 1
`a ` `
` θ`k¨360˝ ˘˘˘n
˝˘
znk = n `|w| `cos θ`k¨360
` i sen
n˝ ˘
n ˝ ˘˘
`
= |w| cos n θ`k¨360
` i sen n θ`k¨360
n
n
= |w| pcos pθ ` k ¨ 360˝ q ` i sen pθ ` k ¨ 360˝ qq
= |w| pcos pθq ` i sen pθqq “ w
lo que significa que cada zk (k “ 0, . . . , n ´ 1) es una raı́z n-ésima de w.
Veamos que éstas son todas. Supongamos que z “ r pcos pφq ` i sen pφqq es una raı́z nésima de w, es decir, zn “ w. Entonces |zn | “ |z|n “ rn “ |w|, cos pnφq “ cos pθq y
˝
para algún entero k. Para terminar lo únisen pnφq “ sen pθq y por lo tanto φ “ θ`k¨360
n
co
que
nos
queda
demostrar
es
que
0
ď
k
ă
n con lo que tendrı́amos que z “ z k “
a
` ` θ`k¨360˝ ˘
` θ`k¨360˝ ˘˘
n
|w| cos
` i sen
, donde 0 ď k ă n. Pero esto se debe a que como
n
n
0 ď φ, θ ă 360˝ , entonces k “ nφ´θ
satisface
las desigualdades
˝
360
kě
0´θ
´360˝
ą
´360˝
360˝
“ ´1 y k ď
y ya que k es un entero, entonces 0 ď k ă n. nφ
360˝
ă
n¨360˝
360˝
“n
Ejemplo 12 .3.3. Para cada n ą 0, las raı́ces n-ésimas de 1, están dadas por
ˆ
˙
ˆ
˙
360˝ ¨ k
360˝ ¨ k
zk “ cos
` i sen
, k “ 0, . . . , n ´ 1.
n
n
Para n “ 2 las dos raı́ces de 1 son
z0 “ cosp0q ` i senp0q “ cosp0q “ 1 y z1 “ cos p180˝ q ` i sen p180˝ q “ cos p180˝ q “ ´1.
Para n “ 3 las raı́ces de 1 son
?
z0 “ cosp0q ` i senp0q “ cosp0q “ 1, z1 “ cosp120˝ q ` i senp120˝ q “ ´ 12 ` 12 3i,
?
z2 “ cosp240˝ q ` i senp240˝ q “ ´ 21 ´ 21 3i.
Para n “ 4 las raı́ces de 1 son
306
Los números reales
z0 “ cosp0q ` i senp0q “ cosp0q “ 1, z1 “ cosp90˝ q ` i senp90˝ q “ i, z2 “ cosp180˝ q `
i senp180˝ q “ ´1, z3 “ cosp270˝ q ` i senp270˝ q “ ´i.
Ejemplo 12 .3.4. Sea ξ una raı́z n-ésima de la unidad, es decir, ξ n “ 1. Diremos que ξ es
una raı́z n-ésima primitiva de 1 si ξ i ‰ ξ j para i ‰ j, con 0 ď i, j ď n. Esto es, una raı́z de
n-ésima de 1, ξ es primitiva si y sólo si ξ 0 , ξ1 , ξ2 , . . . , ξn´1 son todas las n raı́ces distintas de
zn “ 1.
` ˝˘
`
Para cada n ą 0, siempre existe una raı́z n-ésima primitiva de 1, siendo ésta, ξ “ cos 360
n
` 360˝ ˘
isen n . Es claro, por el teorema 12.3.2 y con la notación dada aquı́ las soluciones de
`
`
˝˘
˝˘
zn “ 1 son zk “ cos 0`360
` isen 0`360
n
n
¿Existirá alguna otra raı́z n-ésima de la unidad distinta de ξ que también sea primitiva? Como
las raı́ces n-ésimas de 1 son de la forma ξ k , la pregunta equivalente serı́a entonces ¿para
qué valores de k, ξ k es una raı́z n-ésima primitiva de 1?
` ˘i
` ˘j
Supongamos que ξ k es una raı́z n-ésima primitiva de la unidad. Luego ξk ‰ ξk para
i ‰ j con 0 ď i, j ď n ´ 1. Sea d “ pk, nq y supongamos que d ą 1. Entonces dn ă n y
` k ˘ nd
k
ξ
“ pξn q d “ 1, lo cual contradice que ξ k sea primitiva y por lo tanto debe ser d “ 1.
Inversamente, si pk, nq “ 1, entonces ξ k es una raı́z n-ésima primitiva de 1. (véase ejercicio
12.3.2)
§ §12.3.1 Ejercicios sección 3.
12 . 3.1. Sea z “ |z| pcos pθq ` i sen pθqq un número complejo. Demuestre que:
zn “ |z|n pcos pnθq ` i sen pnθqq ,
12 . 3.2. Sea ξ una raı́z n-ésima primitiva de la 1. Demuestre que
(1) n es el mı́nimo entero positivo tal que ξ n “ 1.
(2) Si m ą 0 y ξ m “ 1, entonces n | m.
(3) Si pk, nq “ 1, entonces ξ k es una raı́z n-ésima primitiva de 1.
12 . 3.3. Sean z0 , w P C tales que zn0 “ w. Demuestre que las n raı́ces distintas n-ésimas de
w están dadas por z0 ¨ ξk para k “ 0, . . . , n ´ 1 y donde ξ es una raı́z n-ésima primitiva de 1.