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FI30A: METODOS MATEMATICOS DE LA FISICA - Primavera 2006
Departamento de Fı́sica, FCFM, Universidad de Chile
Prof. H. F. Arellano
Auxiliar: Carolina Milad
GUIA 11
Entregar martes 24 31 de octubre (hora de cátedra)
11.01 En este problema se buscan solucionesindependientes
diferencial de Airy: u tu 0.
2 de2 la ecuación
2
Considere la ecuación de Bessel z w
zw z
ν w
0. Haga las sustituciones z βtγ y
α
w t u, y obtenga una ecuación diferencial para u del tipo
t2
d2 u
dt2
2α
du 1t
dt
F t; α, β, γ, ν u
0,
con F una función de los parámetros indicados. Utilice este resultado para obtener las solucions
linealmente independientes buscadas. Pista: las soluciones son del tipo J 1 3 .
11.02 Demuestre la fórmula exp 12 z t 1 t n Jn z tn . Una de las tantas formas de lograrlo
es separando el lado izquierdo de la forma exp zt 2 exp z 2t , expandir ambas exponenciales y
reordenar en potencias de t.
11.03 Considere la ecuación de conducción del calor para un disco circular de radio b:
2
∇ T
1 T
σ t
El borde del disco se mantiene a temperatura nula. Encuentre T ρ, φ; t si inicialmente (t
mitad del disco estaba a temperatura nula y la otra mitad a temperatura T .
11.04 Evalue la integral
11.05
1 1 P`2 u 0) la
du.
ik r ikr cos θ ikru
Considere la onda plana
Φ
r
e
e
e
. Es claro entonces que podemos expandir
k
eikru ` 0 F` P` u , con los coeficientes F` funciones de kr t. Obtenga estos coeficientes y
demuestre que satisfacen la ecuación de Bessel (esférica):
d2
dt2
2 d
t dt
1
`` 1
F` t " 0 .
!
2
t
Por lo tanto F` t y j` t son proporcionales. Obtenga el coeficiente de proporcionalidad, examinando
el comportamiento de ambas cerca del origen (t # 0) y demuestre
eikr cos θ
%$ 2` 1 i` j` kr ` 0
P` cos θ