Creación de Material Pedagógico para la modelación, resolución

Creación de Material Pedagógico para la modelación, resolución

CREACIÓN DE MATERIAL PEDAGÓGICO PARA LA MODELACIÓN,
RESOLUCIÓN NUMÉRICA E INTERPRETACIÓN DE ECUACIONES
DIFERENCIALES a
1
Undurraga, J. & 2Venegas, R.
Infosys, Avenida Chile España 651 of. 104
2
Departamento de Acústica y Departamento de Matemáticas y Computación, Universidad
Tecnológica de Chile sede Pérez Rosales, Brown Norte 290.
[email protected], [email protected]
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RESUMEN
Este trabajo presenta el proceso de creación de material pedagógico para la modelación,
resolución numérica e interpretación de Ecuaciones Diferenciales que representan fenómenos de
interés en las áreas de las carreras de Ingeniería que se imparten en la sede Pérez Rosales de la
Universidad Tecnológica de Chile (Ing. Civil en Sonido y Acústica, Ing. en Sonido e Ing. en
Biotecnología). El material pedagógico consiste en un libro titulado Introducción a la Resolución
Numérica de Ecuaciones Diferenciales el cual contiene tanto el desarrollo de la teoría de
resolución analítica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y en Derivadas Parciales como el
desarrollo de la resolución numérica de estas. Todos los ejemplos del libro y los ejercicios
propuestos corresponden a ecuaciones que representan fenómenos de interés para las carreras
antes mencionadas. Los métodos de resolución numérica desarrollados fueron implementados en
su totalidad en Matlab y son parte fundamental del libro. Adicionalmente, en orden de que el
material sea autoconsistente, se realizó un detallado tutorial para la iniciación en Matlab.
a
Proyecto Financiado por el Fondo de Desarrollo de Investigación, Innovación y
Desarrollo de la Docencia FIDED de la Universidad Tecnológica de Chile.
INTRODUCCIÓN
La psicología genética, fundada por Jean Piaget durante la primera mitad del siglo XX, ha tenido
un enorme impacto en la educación, tanto en lo que respecta a las elaboraciones teóricas como en
la propia práctica pedagógica. La influencia de esta teoría en la educación sigue siendo muy
importante en nuestros días, no obstante las lecturas y el tipo de apropiación que desde la
educación se han hecho de ella han ido variando a lo largo de las décadas. Actualmente, los usos
y aportes de la teoría de Piaget en la educación se enmarcan dentro de lo que ya es común
denominar como perspectiva o concepción constructivista. (Carretero 1997; Coll 1998; Gómez
Granell y Coll, 1994). En la década de los noventa se ha producido un profundo y extenso debate
sobre el constructivismo y sus usos en la educación que ha tenido presencia internacional, como
afirma Vergnaud (1990): la mayoría de los interesados hoy por la educación Matemática son en
algún sentido constructivistas ya que generalmente postulan que las competencias y concepciones
son construidas por los propios estudiantes. Según Kilpatrick (1987), el punto de vista
constructivista implica dos principios: 1) El conocimiento es construido activamente por el sujeto
que conoce, no es recibido pasivamente del entorno; 2) Llegar a conocer es un proceso adaptativo
que organiza el propio mundo experiencial; no se descubre un mundo independiente,
preexistente, exterior a la mente del sujeto. De acuerdo a estos dos últimos principios fue
desarrollado este trabajo. El conocimiento se construye activamente por el alumno, para que esto
suceda se debe lograr la motivación del alumno a través de la aplicación de problemas ligados al
área de su competencia mediante la experimentación, que en el caso de este trabajo se traduce en
llevar a la práctica la utilización de las matemáticas para resolver problemas físicos mediante
herramientas computacionales. Por otra parte, es relativamente común que el alumno no asocie
los contenidos estudiados con problemas de su disciplina y se produce lo contrario a lo postulado
en el principio dos ya que el alumno cree enfrentarse a un mundo nuevo, complejo y lejano a su
realidad e interés, situación que es evitada presentando al alumno aplicaciones concretas y de
utilidad práctica en su campo de estudio.
En este trabajo se presenta el proceso de creación de material pedagógico -inspirado en los
principios citados anteriormente- para la modelación, resolución numérica e interpretación de
Ecuaciones Diferenciales que representan fenómenos de interés en las áreas de las carreras de
Ingeniería que se imparten en la sede Pérez Rosales de la Universidad Tecnológica de Chile
(UTC). La metodología de desarrollo, el impacto esperado, la estructura y los tópicos cubiertos
del libro también son presentados.
DESARROLLO
La mayoría de los problemas que surgen en Ingeniería y que otorgan mejores aproximaciones de
los fenómenos, poseen resoluciones analíticas que muchas veces son imposibles de implementar
o requieren de técnicas matemáticas avanzadas fuera del alcance de alumnos con formación en
ciencias básicas de Ingeniería. Bajo esa perspectiva, el conocimiento de técnicas de resolución
numérica es imprescindible para un ingeniero de cualquier área ya que con estas potentes
herramientas puede abordar de manera eficiente los complejos fenómenos físicos que debe
modelar y resolver. La tendencia en Chile, respecto a la duración de las carreras de Ingeniería, ha
llevado a que las ciencias básicas se reduzcan y, por lo general, los cursos de métodos numéricos
han sido damnificados con esta medida. Dicho caso se da en las mallas de las carreras de
Ingeniería de la UTC donde actualmente se dedican dos clases en el semestre a la resolución
numérica de ecuaciones diferenciales en el ramo Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, lo cual no
permite profundizar dichos métodos de resolución. Si bien, la resolución de ecuaciones
diferenciales es evaluada en su respectivo ramo, su aplicación a otros cursos de las carreras de
ingeniería, tales como, Análisis de Fourier y Ecuaciones en Derivadas Parciales, Vibraciones,
Física y Mecánica de Fluidos entre otros, es de gran utilidad práctica ya que al modelar y resolver
distintos fenómenos, el alumno alcanza una mejor comprensión de los problemas en cuestión.
Impacto esperado
Mediante la creación de este trabajo se pretende principalmente guiar al alumno y lograr que éste
sea un agente activo de su enseñanza aprendiendo a través de su propio trabajo. Así mismo, se
desea mostrar al alumno aplicaciones de métodos numéricos a modelos que son propios de su
área de estudio. Consecuentemente, se espera un incremento en el interés y/o motivación del
alumno hacia los ramos objetivos logrando de esta manera una mejora en el rendimiento
académico y que el alumno alcance una mejor comprensión de los fundamentos físicos
inherentes. Los cursos beneficiados directamente con este trabajo son los siguientes: Ecuaciones
Diferenciales (Plan común de Ingenieríab (PCI): 60 alumnos); Análisis de Fourier y Ecuaciones
en Derivadas Parciales (Ing. en Sonido (IS) e Ing. Civil en Sonido y Acústica (ICSA): 40
alumnos); Física I (PCI: 50 alumnos); Fundamentos de Acústica (IS e ICSA: 50 alumnos);
Vibraciones (ICSA: 10 alumnos); Redes eléctricas I y II (IS e ICSA: 15 alumnos cada uno);
Mecánica de fluidos (IB: 10 alumnos) y Transferencia de masa (IB: 10 alumnos). En total se
estima que serán beneficiados 260 alumnos por año.
Metodología de Desarrollo
Se realizó la recopilación y revisión bibliográfica de diferentes textos donde se aborda la teoría de
resolución analítica y numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) y Ecuaciones en
Derivadas Parciales (EDP), revistas científicas de interés en el área de Acústica, Sonido y
Biotecnología y páginas web donde se encontrasen modelos matemáticos de fenómenos
asociados. Se desarrolló la resolución analítica de EDO y EDP y la teoría de resolución numérica.
Se ejecutó la implementación en Matlab de los métodos numéricos investigados y finalmente se
eligieron ciertos ejemplos para su interpretación y análisis, tanto numérico como físico. Ya
realizados los pasos citados se estructuró el producto final como indica la siguiente sección.
Estructura y Tópicos del Libro
El producto final del proyecto es un libro (Undurraga y Venegas 2006) que posee 12 capítulos y
está dividido conceptualmente en tres partes: la primera corresponde al desarrollo y resolución
numérica de EDOs, la segunda de EDPs y la tercera a un tutorial de Matlab. A continuación se
presenta la estructura del libro en detalle.
b
Plan común de Ingeniería (PCI) comprende las carreras de Ing. en Sonido (IS), Ing. Civil en Sonido y Acústica
(ICSA) e Ing. en Biotecnología (IB).
El primer capítulo corresponde a una introducción a las ecuaciones diferenciales, en él se
desarrollan algunos conceptos y definiciones tales como clasificación de ecuaciones (según tipo,
orden y linealidad) y soluciones (explícitas, implícitas, generales y particulares). Cada uno de
estos conceptos y definiciones son ejemplificados con ecuaciones que representan fenómenos
físicos de interés. El capítulo finaliza con la presentación de los problemas de valor inicial y el
enunciado del importante teorema de existencia y unicidad.
En el segundo capítulo se presenta la teoría de resolución analítica de diferentes tipos de EDO
tales como ecuaciones en variables separables; homogéneas; exactas; factor integrante; lineales y
lineales de segundo orden dando especial énfasis a las ecuaciones de segundo orden con
coeficientes constantes, las cuales son ejemplificadas construyendo gradualmente la deducción y
resolución analítica del modelo masa-resorte y masa-resorte-amortiguador tanto forzado como no
forzado. El capítulo finaliza con la metodología comúnmente utilizada para transformar una EDO
de orden n a un sistema de EDOs de primer orden, la cual es fundamental para entender la
formulación, deducción y aplicación de los métodos numéricos de resolución de EDOs.
El tercer capítulo se divide en tres partes, la primera corresponde al desarrollo de métodos de
resolución numérica de un paso, la segunda al desarrollo de métodos multipaso y la tercera
presenta medidas de error para cuantificar el desempeño de los métodos presentados. Los
métodos de un paso desarrollados corresponden los métodos de: Euler, Euler mejorado, de
Taylor, Runge Kutta de cuarto orden y Runge-Kutta de cuarto orden para sistemas de EDOs. Los
métodos multipaso desarrollados corresponden a los métodos de: Adams-Bashforth de 5º orden,
Adams-Bashforth de 4º orden, de Adams-Moulton de 5º orden, de Adams-Moulton de 4º orden y
de Milne. Son incluidas todas las rutinas que implementan los métodos nombrados. El capítulo
finaliza presentando las medidas de error RMS y absoluto.
El cuarto capítulo corresponde a la resolución numérica de las EDO que representan los
siguientes modelos: crecimiento de población de Malthus, crecimiento de población logístico,
sistema masa-resorte-amortiguador (véase Pacheco, Figueroa y Venegas 2004), ecuación de Van
der Pol y velocidad de reacciones químicas (ley de acción de masas). Se realizan comparaciones
de los métodos en términos de error y costo computacional y un estudio paramétrico del sistema
masa-resorte-amortiguador. Adicionalmente se indica, ejemplificando con la ecuación de Van der
Pol, cómo hacer uso de las rutinas propias de Matlab para la resolución de EDOs.
En el capítulo cinco se abordan los problemas de valor en la frontera y el método de diferencias
finitas para su resolución. Ambos son ejemplificados con un modelo de distribución de
temperatura en una placa circular.
El capítulo seis corresponde a ejercicios propuestos referentes a los cinco primeros capítulos del
libro. Los ejercicios se dividen en dos grupos: problemas de valor inicial y problemas de valor en
la frontera. La principal característica de los problemas propuestos es que la gran mayoría
representan diferentes fenómenos y se indica al lector referencias para estudiar con mayor
profundidad el problema, su origen y su rango de aplicación. Un total de 58 ejercicios son
presentados.
En el capítulo siete se desarrolla la transformada de Laplace y sus propiedades, teorema de
convolución, función delta Dirac, función escalón unitario, transformada de Fourier y sus
propiedades y aplicaciones de las transformadas para la resolución analítica de ecuaciones
diferenciales. Cabe señalar que el principal objetivo de este capítulo es dar el soporte teórico
necesario para entender métodos de resolución en el dominio de la frecuencia, los cuales son
presentados en el capítulo ocho. No obstante lo anterior, se brindan algunos tópicos elementales
de análisis de sistemas y procesamiento de señales. El capítulo finaliza con un ejemplo de cálculo
de la función de respuesta al impulso y respuesta en frecuencia de un circuito LRC y problemas
propuestos relacionados a lo desarrollado en el capítulo.
En el capítulo ocho se estudia la resolución de sistemas mecánicos de múltiples grados de
libertad. El capítulo se divide en cinco partes: en la primera se presentan una introducción a la
mecánica racional en la cual se describen las coordenadas generalizadas, ecuaciones de
movimiento, desplazamiento virtual, trabajo virtual, fuerza generalizada, el principio de los
trabajos virtuales, el principio de la mínima acción (principio de Hamilton) y finalmente las
ecuaciones de Lagrange; en la segunda parte se desarrolla paso a paso un método de resolución
en el dominio de la frecuencia, dentro de esta parte se introducen los conceptos de normalización
a la matriz de masa, ortogonalidad de los vectores propios del sistema, matriz modal, el teorema
de expansión y la ejemplificación del método para el problema de vibraciones libres y
vibraciones amortiguadas (sólo el caso de amortiguamiento viscoso proporcional) dando especial
énfasis en el concepto y cálculo de la matriz de receptancia y de la matriz de respuesta impulsiva;
en la tercera parte se desarrollan los métodos de resolución en el dominio del tiempo de
diferencia central y de Houbolt; en la cuarta parte se ejemplifican todos los conceptos
desarrollados en el capítulo mediante la resolución e implementación de los métodos de
resolución en el dominio de la frecuencia y en el dominio del tiempo en Matlab para un sistema
masa-resorte-amortiguador forzado acoplado de 10 grados de libertad; finalmente en la quinta
parte se presentan problemas propuestos relativos al capítulo.
En el capítulo nueve se estudian las Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP). Este capítulo se
divide en cuatro partes: en la primera parte se describe la EDP lineal de segundo orden; en la
segunda se clasifican las EDPs según su tipo (Hiperbólicas, Parabólicas y Elipticas); en la tercera
se desarrolla la reducción de las EDPS a su forma canónica y la cuarta parte trata la reducción de
las EDPs de segundo orden con coeficientes constantes a EDPs de primer orden.
En el capítulo diez se desarrollan métodos para la resolución de EDPs de diferentes fenómenos
físicos abordándolos desde el caso unidimensional al tridimensional. El capítulo consta de siete
secciones: en la primera sección se deduce la ecuación de onda unidimensional (cuerda vibrante);
en la segunda se desarrolla la resolución del problema de la cuerda vibrante mediante el método
de separación de variables considerando diferentes casos tales como perfil inicial, impulso inicial,
bordes fijos y libres, fuerza concentrada y vibración amortiguada, presentando para cada caso un
detallado análisis, el código de fuente y las simulaciones de las vibraciones mediante videos en
formato avi generados con la utilización del código de fuente presentado; en la tercera sección se
estudia la resolución de la vibración unidimensional mediante la aplicación del método de
diferencias finitas presentando un respectivo análisis y el código de fuente asociado; en la cuarta
sección se presenta la resolución de la ecuación de onda bidimensional ejemplificada con la
resolución del problema de vibración de membranas rectangulares y circulares considerando
además la existencia de fuerzas viscosas, simulaciones y videos de los diferentes casos de
vibraciones también son presentadas; en la quinta sección se aborda la solución de la ecuación de
onda tridimensional mediante la resolución de la ecuación de onda acústica. Al igual que en las
secciones anteriores, se presenta un análisis, el código fuente de la solución y el video de la
propagación de la onda acústica en un recinto rectangular; en la sexta sección se desarrolla la
deducción de la ecuación del calor y se presenta su solución mediante el método de separación de
variables, el código fuente y la respectiva simulación; finalmente en la séptima parte se realiza
una introducción a PDE Tool de Matlab (Partial Differential Equation Tool),la cual consiste en
indicar el procedimiento necesario para calcular los modos normales de vibración de membranas
rectangulares y circulares.
En el capítulo once se presentan problemas de EDPs asociados a los capítulos nueve y diez
contando con un total de 30 problemas separados en cinco categorías: clasificación de EDPs,
problemas de vibraciones de cuerdas y barras, vibración de membranas, propagación de ondas
acústicas y problemas de flujo de calor.
El capítulo doce presenta un detallado tutorial de Matlab que se divide en 6 secciones: en la
primera y segunda sección se realiza una introducción y descripción de Matlab; en la tercera
sección la sintaxis y manipulación de matrices; en la cuarta se introduce la manipulación de
arreglos; en la quinta un detallado análisis de las herramientas gráficas de Matlab en una, dos y
tres dimensiones, así como la creación de animaciones y en la sexta sección se introduce la
manipulación de objetos simbólicos (Symbolic Toolbox de Matlab) realizando operaciones de
variable real y compleja, así como también la utilización de funciones de cálculo de integrales,
derivadas, matriz de Jacobi, series de Taylor y otras..
CONCLUSIONES
Se desarrolló un libro de modelación, resolución numérica e interpretación de Ecuaciones
Diferenciales de carácter pedagógico inspirado en ideas constructivistas: el estudiante es quién
construye el conocimiento. Para esto, los distintos capítulos consideran tanto los aspectos teóricos
como prácticos inherentes a los problemas tratados, los cuales están íntegramente relacionados
con las competencias de las diferentes carreras objetivos del proyecto. Una de las principales
características es que toda la construcción y el análisis fueron desarrollados utilizando Matlab y
presentando el respectivo código de fuente en orden de que el alumno explore y profundice en los
problemas. Pruebas informales y diálogos con alumnos de los cursos de Análisis de Fourier
indican una excelente recepción por parte de los ellos, no obstante esto requiere ser comprobado
con el respectivo seguimiento y análisis estadístico, los cuales permitirían cuantificar el impacto.
BIBLIOGRAFÍA
Carretero, M (1997). ¿Qué es el constructivismo?. Desarrollo cognitivo y aprendizaje
Constructivismo y educación en: Carretero, M.. Progreso. México. pp. 39-71
Coll, C. (1998): "La teoría genética y los procesos de construcción del conocimiento en el aula",
en Castorina, J.A., Coll, C. y otros: Piaget en la educación. Debate en torno a sus aporteciones.
Buenos Aires: Paidós.
Gómez Granell, C. y Coll, C. (1994): "De qué hablamos cuando hablamos de constructivismo",
Cuadernos de Pedagogía, 221, pp.8 - 10.
Vergnaud, G. (1990). Epistemology and psychology of mathematics education. En: P. Nesher &
J. Kilpatrick (Eds), Mathematics and cognition. Cambridge: Cambridge University Press
Kilpatrick, J. (1987). What constructivism might be in mathematics education. Proceedings of the
11th International Conference for the Psychology of Mathematics Education Vol. 1. (pp. 3-27).
Undurraga, J., Venegas, R., (2006). "Creación de material pedagógico para la resolución,
modelación e interpretación numérica de ecuaciones diferenciales", Proyecto Fondo de
Investigación, innovación y desarrollo de la docencia FIDED, Universidad Tecnológica de Chile.
Disponible en http://rodolfo.venegas.googlepages.com/publications o por correo a los autores
([email protected] o [email protected]).
Pacheco, P., Figueroa, C., Venegas, R. (2004), "Desarrollo y estudio de conceptos de ciencias
básicas a través de las operaciones elementales de la aritmética", XVIII Congreso de Educación
en Ingeniería. La formación basada en competencias, Universidad del Bio Bio.