4.2.8 Método de bisección

CAPÍTULO 4
4.2.8
Secuencias Didácticas con Excel
Método de bisección
El problema matemático que se quiere resolver en esta sección es el siguiente:
Dada una función continua f : R ! R, encontrar el valor x0 de x, para el
cual f (x0 ) = 0. Aunque en este caso tanto x como f (x) son reales, algunos de
los algoritmos que se utilizan para resolver este problema, son válidos también
para funciones complejas analíticas de variable compleja. Los valores x0 para
los que se cumple f (x0 ) = 0 se denominan raíces de la función.
El método que analizamos es el llamado método de bisección que se basa en
la aplicación directa del Teorema de Bolzano que enunciamos a continuación:
Teorema 49 Si tenemos una función continua f : R ! R y dos puntos a y b
tales que [f (a)] [f (b)] < 0, entonces existe un punto c 2 [a; b] tal que f (c) = 0.
Para aplicar el método de la bisección hace falta encontrar dos puntos en los
que la función tome valores opuestos, lo cual se consigue en general mediante
exploración de la función mediante, por ejemplo, un programa de representación
grá…ca. El acotamiento de la raíz entre dos puntos donde la función toma valores
opuestos se denomina horquillado de la raíz. Una vez que estos dos valores se
conocen, se elabora el siguiente método iterativo:
1. Sean a y b los puntos que satisfacen [f (a)] [f (b)] < 0 y c =
c es el punto medio del intervalo [a; b].
a+b
2 ,
es decir,
2. Si f (c) = 0; c es la raíz de la función y el problema está resuelto. En caso
contrario pasamos al siguiente paso.
3. Si [f (a)] [f (c)] < 0 entonces la raíz está en el intervalo [a; c] ; en caso
contrario, la raíz está en [c; b] : Es decir, hemos encontrado un intervalo la
mitad de ancho que el original que contiene la raíz de la función.
4. Renombramos el nuevo intervalo más pequeño también como [a; b] y repetimos el proceso hasta que el intervalo sea tan pequeño como deseemos.
Cuando este procedimiento lo realizamos mediante un programa de ordenador debemos de de…nir un criterio que nos diga cuando debemos parar el
cálculo de términos de la sucesión de puntos medios. Un criterio puede ser,
que el valor de la función sea menor que una determinada tolerancia , es decir,
jf (c)j < :
El método de bisección es muy robusto porque se puede aplicar a cualquier
función continua y no presenta posibilidades de error, aunque es un método lento
para realizarlo a papel y lápiz con calculadora no programanle: en cada paso
dividimos el intervalo por la mitad. Además no aprovecha otras características
de la función, por ejemplo no valora el tamaño en los extremos de los intervalos
aunque parezca más plausible que la raíz está más cercana al extremo donde se
encuentre el menor valor absoluto.
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