Raices de Ecuaciones No Lineales - Escuela de Ingeniería Informática

Raices de Ecuaciones No Lineales - Escuela de Ingeniería Informática

ICI3140 Métodos Numéricos
Profesor : Dr. Héctor Allende-Cid
e-mail : [email protected]
Repaso
− b ± b 2 − 4ac
x=
2a
f ( x) = ax 2 + bx + c = 0
Los valores de x, se les denomina las
raíces de la función. Son los valores que
hacen que la función sea igual a 0.
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Motivación
v: velocidad vertical [m/s]
t: tiempo [s]
g: aceleración de gravedad
c_d: coeficiente de arrastre
agrupado
m: masa del saltador
c
dv
= g − d v2
dt
m
v(t ) =
 gcd 
gm
tanh
t 
cd
 m 
Solución analítica
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m=68.1 [kg]
g=9.81[m/s^2]
c_d=0.25[kg/m]
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Motivación
Diversos estudios médicos indican que el riesgo de que
un saltador tenga problemas en sus vertebras aumenta
demasiado si después de 4 [s] de caída excede los 36
[m/s].
De estudios previos Ud. sabe que la solución analítica
puede ser usada para predecir la velocidad:
v(t ) =
 gcd 
gm
tanh
t 
cd
 m 
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Motivación
No se puede manipular la ecuación para resolver de
manera explícita.
Por lo tanto si sustraemos v(t) de ambos lados de la
ecuación, da como resultado:
f ( m) =
 gcd 
gm
tanh
t  − v(t )
cd
 m 
La solución al problema es encontrar los valores de m
que hacen que la función sea igual a 0.
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Motivación
Representación de un problema real mediante un modelo
matemático.
Transversal en todas las ingenierías y disciplinas de la ciencia
¿Qué tiene que ver esto con Informática?
Criptografía
Base de Datos / Hashing
Compresión
Inteligencia Artificial / Redes Neuronales Artificiales
Objetivos
Entender que son problemas de raíces y cuando ocurren
en ingeniería y ciencia.
Saber como determinar raíces de manera gráfica.
Resolver problemas de raíces con el método de la
bisección (y sus variantes)
Resolver problemas de raices con el método de Newton
(y variantes)
Entender la diferencia entre las 2 familias de métodos y
cuando aplicarlos en los distintos problemas.
Resolución gráfica
using PyPlot
x = linspace(0,6,1000); y = (tan(x).*tanh(x) + 1)
fig = figure()
plot(x, y, color="red", linewidth=2.0, linestyle="-")
axis("tight") # Fit the axis tightly to the plot
ax = gca()
ax[:set_ylim]([-10,10])
xlabel("X")
ylabel("Y")
title("Grafico 1")
grid("on")
Resolución gráfica
Resolución gráfica
Método de la Búsqueda Incremental
Es un método para estimar en que intervalo se
encuentran las raíces.
Se aprovecha de la situacion que si f(a)f(b)<0, siendo a y
b puntos sucesivos, entre a y b existe una raíz.
¿Qué pasa si la diferencia entre a y b es muy grande?
Método de la Bisección
El método consiste en lo siguiente:
Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el
intervalo [a,b]
A continuación se verifica que:
Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es
igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada
En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o
con f(b)
Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado
en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo
Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución
en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada
Resolución gráfica
Método de la Bisección
Encontrar la solución (3 iteraciones) para:
f ( x) = e − x + 4 x 3 − 5
a =1
b=2
Método de la Bisección
Método de la Bisección
Si se elige un intervalo correctamente, el algoritmo da
seguridad de que se encontrará la raíz.
El problema es que el algoritmo es muy lento.
Método Regula Falsi
¿Cómo se podría mejorar la estimación de la raíz y hacer
que la convergencia sea más rápida?
Método Regula Falsi
¿Cómo se podría mejorar la estimación de la raíz y hacer
que la convergencia sea más rápida?
f ( xu )( xl − xu )
xr = xu −
f ( xl ) − f ( xu )
Método Regula Falsi
Piense en que casos podría no ser tan conveniente.
f ( xu )( xl − xu )
xr = xu −
f ( xl ) − f ( xu )
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