FACTORIZACI´ON B´ASICA Y RA´ICES - matematicasfce
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FACTORIZACI´ON B´ASICA Y RA´ICES - matematicasfce
FACTORIZACIÓN BÁSICA Y RAÍCES Genaro Luna Carreto 1 Profesor 1 de la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, México. FCE BUAP 0.1. MATEMÁTICASFCE Algoritmo de la división El sı́mbolo K[X] representa al conjunto de polinomios en la indeterminada x y coeficientes en un conjunto K. En general, K representa a enteros (Z), racionales (Q), reales (R) ó complejos (C). Ejemplo 0.1.1. (a) f (x) = − 23 x3 − x2 − x + 2 es un polinomio de Q[X], pues sus coeficientes, − 32 , −1, −1, 2 se encuentran en los racionales. (b) x4 + 3x4 − 3 ∈ Z[X] (c) 2ix − 8 ∈ C[X] Es claro que Z[X] ⊆ Q[X] ⊆ R[X] ⊆ C[X]. Teorema 0.1.1 (Algoritmo de la división). Si S, T ∈ K[X], donde T 6= 0, entonces existen polinomios únicos Q, R tales que S = T Q + R, donde R = 0 ó grad(R) < grad(T ) (1) Es frecuente llamar a Q y R, cociente y residuo, respectivamente. Al momento de dividir, la ecuación (1) entre T , se puede deducir inmediatamente, S otra forma de expresar la división , muchas veces útil: T R S =Q+ . T T Ejemplo 0.1.2. Considere los polinomios S = 2x4 − 3x2 + 1 y T = x2 + 2x. Son de grado 4 y 2, respectivamente. En la educación media básica, se nos enseña a dividir los polinomios: x2 + 2x Genaro Luna Carreto 2x2 − 4x + 5 − 3x2 +1 2x4 − 2x4 − 4x3 − 4x3 − 3x2 4x3 + 8x2 5x2 − 5x2 − 10x − 10x 1 Otoño 2016 FCE BUAP MATEMÁTICASFCE donde se puede verificar lo mencionado en el algoritmo de la división. 2x4 − 3x2 + 1 = (2x2 − 4x + 5)(x2 + 2x) − 10x También, es posible visualizar la siguiente igualdad, que representa una forma de simplifación de la división original (2x4 − 3x2 + 1) ÷ (x2 + 2x), pues se escribe como la suma de un polinomio (el cociente) con una fracción más simple, cuyo denominador es el residuo y el denominador es el divisior. 10x 2x4 − 3x2 + 1 = 2x2 − 4x + 5 − 2 2 x + 2x x + 2x Un caso muy especial de la división se da cuando, el residuo es cero. Ejemplo 0.1.3. Realiza la división (x3 − 1) ÷ (x − 1) x−1 x2 + x + 1 x3 −1 3 2 −x +x x2 − x2 + x x−1 −x+1 0 También x3 − 1 = (x2 + x + 1)(x − 1) lo cual muestra que el polinomio original x3 − 1, es el producto de dos polinomios. Lo anterior, justifica la siguiente definición: Definición 0.1.1. Sean P, Q ∈ K[X]. Se dice que P divide a Q, y se escribe P |Q, si existe polinomio S tal que Q = P · S Genaro Luna Carreto 2 Otoño 2016 FCE BUAP 0.2. MATEMÁTICASFCE Teorema del resto Teorema 0.2.1 (Teorema del resto). Sea P ∈ K[X] y a ∈ K. El residuo de la división entre P y el polinomio lineal x − a, es exactamente P (a). Demostración. Es una consecuencia inmediata del algoritmo de la división. Existen Q y R tales que P = Q(x − a) + R. (2) Se sabe que R = 0 ó grad(R) < grad(x − a) = 1. En cualquier caso es una constante. Si se realiza la evaluación de P en a: P (a) = Q(a)(a − a) + R(a) = R (3) por lo tanto P (a) = R. Hay una consecuencia del teorema del resto, sobre las raı́ces de un polinomio, muy sencilla e importante. Recuerde que a es raı́z de P (x), si P (a) = 0. Corolario 0.2.1. Son equivalentes: (a) P es divisible por x − a (c) P (a) = 0 El teorema fundamental del álgebra, nos dice que un polinomio de grado n, se puede descomponer en factores lineales, reales o complejos. Por su parte, el teorema del resto, nos proveé de una mecanismo operativo de identificar los factores lineales. Posteriormente, el criterio de Gauss, proveerá al teorema del resto, de valores especı́ficos. Si tiene un polinomio P ∈ Q[X], entonces dP ∈ Z[X], para algún número d adecuado, por ejemplo algún múltiplo común de todos los denominadores de los coeficientes de P . Esto es obvio, considere P (x) = 45 x8 − 1 Q[X]. Si multiplica por 5, entonces 5P = 4x − 5 ∈ Z[X]. Ası́, el siguiente teorema es válido para polinomios con coeficientes racionales, pues para el caso de raı́ces, si d 6= 0 entonces a es raı́z de P si y sólo si a es raı́z de dP . Genaro Luna Carreto 3 Otoño 2016 FCE BUAP 0.3. MATEMÁTICASFCE Criterio de Gauss Teorema 0.3.1 (Criterio de Gauss). Sean P (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 ∈ Z[X] ya= c d una raı́z racional de P , donde mcd(c, d) = 1. Entonces c|a0 y d|an Demostración. Como c d es raı́z de P , entonces P ( dc ) = 0, esto es c c c an ( )n + an−1 ( )n−1 + ... + a1 ( ) + a0 = 0. d d d n Si multiplica por d an cn + an−1 cn−1 d + ... + a1 cdn−1 + a0 dn = 0. (4) El único término que no tiene como factor a d es el primero. Lo pasamos al segundo miembro y luego, en el primer miembro factorizamos d: d(an−1 cn−1 + ... + a1 cdn−2 + a0 dn−1 ) = −an cn por lo tanto, es claro que d|an cn . Ahora bien, d divide a un producto de números an y cn . Observe que d|(an cn−1 )(c) 1 , entonces d|an cn−1 . Si seguimos este proceso, indefectiblemente, llegaremos a que d|an c, por lo tanto d|an . Por otro lado, en la ecuación (5), el único término que no tiene al número c es el último. Lo pasamos al segundo miembro, y en el primer miembro factorizamos c: c(an cn−1 + an−1 cn−2 d + ... + a1 dn−1 ) = −a0 dn . (5) Análogamente, al caso anterior, c|a0 dn , por ende c|a0 . Observación 0.3.1. Suponga en especial se tiene un polinomio mónico, es decir, el coeficiente principal an = 1. Si dc es una raı́z racional, entonces c|a0 y d|1, lo cual indica que d = ±1. De esta manera, la raı́z racional dc = ±c, es en realidad un entero. 1 Recuerde el teorema clásico sobre divisibilidad, si mcd(c, d) = 1 y d|cb entonces d|b Genaro Luna Carreto 4 Otoño 2016 FCE BUAP MATEMÁTICASFCE Se han presentado tres resultados importantes en la factorización: algoritmo de la división, teorema del resto y criterio de gauss. Este último para raı́ces racionales. Si se conjugan dichos teoremas, con aquella teorı́a básica sobre polinomios cuadráticos, que incluı́a la fórmula general, es posible abarcar una cantidad razonable de casos de descomposición factorial y por ende de raı́ces Suponga que tiene el polinomio cuadrático p(x) = ax2 + bx + c. En reali√ 2 dad, la fórmula general −b± 2ab −4ac asociada a la ecuación ax2 + bx + c = 0, genera una factorización inmediata de p(x), incluso que incluya complejos: √ √ 2 − 4ac −b + b b2 − 4ac −b + 2 x− ax + bx + c = a x − 2a 2a (6) Es notable el caso, porque los coeficiente a, b, c pueden estar en el campo C. Sin embargo, algunas veces es poco práctica. Existen algunas técnicas explotadas durante la educación media básica, muy eficientes. Ejemplo 0.3.1. Abordemos algunos casos especiales en la factorización de p(x) = x2 + bx + c. Si queremos una factorización de la forma (x + m)(x + n) entonces x2 + bx + c = (x + m)(x + n) = x2 + (m + n)x + mn (7) por lo tanto, si se desea descomponer x2 +bx+c, se deben buscar dos números m, n cuya suma sea b y multiplicación c. Se puede notar dicho tanteo, puede ser muy fácil o muy difı́cil. Intente descomponer x2 + 4x − 21. Es una búsqueda rápida, pues hay enteros muy accesibles cuyo producto es −21 y suma es 4: 7, −3. Entonces x2 + 4x − 21 = (x + 7)(x − 3) Ejercicios 1. Descomponga en factores x2 − 4x − 12. x + 11 . Ya no El problema empieza cuando se tiene que factorizar x2 − 35 6 6 11 1 es tan rápido hallar lo valores − 2 , − 3 . Ejemplo 0.3.2. Ahora digamos que tiene el polinomio ax2 + bx + c. Este problema se pude reducir al ejemplo anterior. Genaro Luna Carreto 5 Otoño 2016 FCE BUAP MATEMÁTICASFCE 1 ax2 + bx + c = (a2 x2 + bax + ca) a 1 = ((ax)2 + b(ax) + ca) a (8) (9) Si w = ax entonces 1 = (w2 + bw + ca) a (10) Ejemplo 0.3.3. Factorice 3x2 − 7x + 2. 1 3x2 − 7x + 2 = (32 x2 − 7(3x) + 6) 3 1 = ((3x)2 − 7(3x) + 6) 3 (11) (12) Si w = 3x entonces 1 = (w2 − 7w + 6) 3 (13) Dos números que multiplicados den 6 y sumados −7, son: −6, −1 1 = (w − 6)(w − 1) 3 1 = (3x − 6)(3x − 1) 3 = (x − 2)(3x − 1) (14) (15) (16) Ejercicios 2. Factoriza 5x2 + 7x − 6. Ahora consideremos algunos casos de polinomios de grado 3. Ejemplo 0.3.4. Factoriza el polinomio p(x) = x3 − 3x + 2. Es un polinomio cuyo coeficiente principales uno, es decir, es mónico. Si este polinomio tiene raı́ces racionales, deben ser enteras (vea observación (0.3.1) ) y deben ser los divisores del término independiente, en este caso 2: ±1, ±2. Genaro Luna Carreto 6 Otoño 2016 FCE BUAP MATEMÁTICASFCE Es de suma importancia, ser observador. Si considera primero evaluar el polinomio en las posibles raı́ces más sencillas por ejemplo el valor 1: p(1) = 13 − 3(1) + 2 = 0 nos llevamos la grata sorpresa que el resultado es cero, es decir, 1 es raı́z del polinomio. Según el teorema del resto, el residuo de dividir x3 − 3x + 2 por x − 1, debe ser cero: x−1 x2 + x − 2 x3 − 3x + 2 3 2 −x +x x2 − 3x − x2 + x − 2x + 2 2x − 2 0 en consecuencia x3 − 3x + 2 = (x2 + x − 2)(x − 1). Según los ejemplos anteriores, para factorizar el cuadrático, es necesario encontrar dos números que multiplicados den −2 y sumados 1: son 2, −1. Ası́ x3 − 3x + 2 = (x + 2)(x − 1)(x − 1) Finalmente, x3 − 3x + 2 = (x + 2)(x − 1)2 Ejercicios 3. Encuentra las raı́ces de x3 + x2 + 4x + 4 = 0 Sugerencia: como el coeficiente principal es 1, las raı́ces enteras se encuentran entre los divisores del término independiente, es decir, 4. Siempre debes intentar hacer evaluaciones con los divisores más sencillos. Ejemplo 0.3.5. Encuentre las raı́ces de 2x3 + x2 − 5x + 2 = 0. Antes de las raı́ces viene la factorización. El polinomio no es mónico, pues su coeficiente principal es 2. De manera que las raı́ces racionales ab , si las hay, deben cumplir cuestiones de divisibilidad, según el Criterio de Gauss. a debe dividir al coeficiente independiente, que es dos. Además b debe dividir al coeficiente principal, que también es 2. Ası́, a|2 y b|2. Es claro que a = ±1, ±2 y b = ±1, ±2. Las raı́ces racionales ab posibles, son: 1, −1, 2, −2, 12 , − 12 . Son muchos casos. Ası́ que se debe ser prudente en las operaciones. Siempre se Genaro Luna Carreto 7 Otoño 2016 FCE BUAP MATEMÁTICASFCE deben, tomar en primer lugar los valores fáciles. En este caso, tomaremos 2, −1, 1. La evaluación en 2: 2x3 + x2 − 5x + 2 = 2(2)3 + (2)2 − 5(2) + 2 = 16 + 4 − 10 + 2 = 12 (17) 2 no es raı́z. Ahora evaluación en −1: 2x3 + x2 − 5x + 2 = 2(−1)3 + (−1)2 − 5(−1) + 2 = −2 + 1 + 5 + 2 = 6 (18) −1 no es raı́z. Probemos 1: 2x3 + x2 − 5x + 2 = 2(1)3 + (1)2 − 5(1) + 2 = 2 + 1 − 5 + 2 = 0 (19) ¡1 sı́ es raı́z! De hecho, tendrı́a que ser la primera elección, por sencillo, pero intencionalmente realice pruebas con otros números. Ahora viene la división, entre x − 1: x−1 2x2 + 3x − 2 2x3 + x2 − 5x + 2 − 2x3 + 2x2 3x2 − 5x − 3x2 + 3x − 2x + 2 2x − 2 0 Entonces 2x3 +x2 −5x+2 = (x−1)(2x2 +3x−2). Dejo la descomposición del cuadrático en la forma indicada en este texto. La descomposición final: 2x3 + x2 − 5x + 2 = (x − 1)(x + 2)(2x − 1) Las raı́ces del polinomio son: x = 1, x = −2, x = 1 2 Ejemplo 0.3.6. Encontrar las raı́ces de x4 − 1 = 0. Genaro Luna Carreto 8 Otoño 2016 FCE BUAP MATEMÁTICASFCE Este es uno de los casos, donde no es necesario usar técnicas especiales. x4 − 1 = 0 (x2 + 1)(x2 − 1) = 0 (x − i)(x + i)(x − 1)(x + 1) = 0 (20) (21) (22) Las raı́ces son x = ±i, x = ±1. Ejemplo 0.3.7. Calcule las raı́ces de x4 + 1 = 0. Es un polinomio mónico. De manera que, si tiene raı́ces racionales, residen en los divisores de 1, que son ±1. Sin embargo, ambas evaluaciones en el polinomio dan como resultado 2. En consecuencia, no tiene raı́ces racionales. Es un caso muy especial y su solución se logra de la siguiente manera: x4 + 1 = 0 x4 + 2x2 + 1 − 2x2 = 0 (x2 + 1)2 − 2x2 = 0 √ (x2 + 1)2 − ( 2x)2 = 0 √ √ (x2 + 1 + 2x)(x2 + 1 − 2x) = 0 (23) (sea agregó 2x − 2x = 0) (24) 2 2 (25) (26) Se ha alcanzado una descomposición en términos cuadráticos que incluyen coeficientes irracionales. Se tiene que recurrir a la fórmula general para su solución. En el caso del primer factor cuadrático se tienen dos soluciones: √ √ √ √ − 2± 2−4 − 2 ± 2i = 2 2 Para el otro factor: √ √ √ √ −(− 2) ± 2 − 4 2 ± 2i = 2 2 En total 4 raı́ces de x4 + 1. Es notable el trabajo en cuanto a operaciones. Primero se hace la prueba: si no es raı́z, pues otra prueba; si es raı́z, se hace la división. Existe una regla, llamada regla de Ruffini, donde se organizan las operaciones y al momento Genaro Luna Carreto 9 Otoño 2016 FCE BUAP MATEMÁTICASFCE de hacer la prueba, se genera la división al mismo tiempo. Veamos nuevamente el caso del polinomio 2x3 + x2 − 5x + 2, cuya descomposición ya se estudió en el ejemplo 0.3.5. Estudiemos, como ejmplo, como se efectua la regla de Ruffini para la división 2x3 +x2 −5x+2 entre el polinomio lineal x − 2, que equivale a la evaluación en 2. Para aplicar la regla de Ruffini, se empieza con un diagrama como el que sigue donde en el primer renglón se aprecian los coeficientes del polinomio 2x + x2 − 5x + 2, que corresponde al dividendo, y la lado izquierdo se coloca la posible raı́z, en este caso 2. 3 En la siguiente figura, se observan varias flechas . El primer movimiento corresponde a la flecha recta sólida de una punta (azul), que indica que se baja el número de esa columna. El paso dos, lo señala la flecha de dos puntas (roja): se realiza la multiplicación de dichos números. El paso 3 (flecha punteada), indica la posición donde se pone la multiplicación anterior. En el siguiente paso se realiza la suma señalada por la flecha curva (verde). A continuación, se repite el proceso, se hace la multiplicación de la posible raı́z, por 5 y asi sucesivamente. El orden de números final se debe observar ası́: Genaro Luna Carreto 10 Otoño 2016 FCE BUAP MATEMÁTICASFCE 2 2 2 1 −5 2 4 10 10 5 5 12 donde, el número final de último renglón corresponde al residuo de la división 2x3 + x2 − 5x + 2 ÷ x − 2, o sea 12, como ya se sabı́a. Ahora veamos que ocurre con el número x = 1, que ya sabemos que es raı́z: 2 1 2 1 −5 2 2 3 −2 3 −2 0 Naturalmente que se puede leer que el residuo es cero, pero la parte muy interesante es que el renglón final contiene los coeficientes que corresponden al cociente de la división o sea: 2x2 + 3x − 2. Esto es, no sólo se probó que 1 es raı́z, sino que también, con este arreglo de números conocidos como regla de Ruffini, es posible obtener al cociente de la división. Ejemplo 0.3.8. factoriza la función f (x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4. Para factorizarlo es necesario encontrar sus raı́ces. Es un polinomio mónico. Las soluciones racionales, si las hay, son enteras y se encuentran entre los divisores de 4:±1, ±2, ±4. Si observa con cuidado, la función esta formada por sumas, ası́ que se pueden descartar los positivos 1, 2, 4, pues las sumas nunca darán cero. Probemos la regla de Ruffini con −1, −2, −4: 1 −1 1 4 5 4 4 −1 −3 −2 −2 3 2 2 2 −1, no es raı́z, el residuo es 2. Ahora probemos con −2: 1 −2 1 Genaro Luna Carreto 4 5 4 4 −2 −4 −2 −4 2 1 2 0 11 Otoño 2016 FCE BUAP MATEMÁTICASFCE −2 sı́ es raı́z. El primer renglón corresponde a los coeficientes del polinomio original, empezando del grado cuatro. El último renglón corresponde a los coeficientes del cociente de la división, pero en un grado menor a cuatro, en este caso 3. Claro, recuerde que, el último número no es parte del cociente, es el residuo de la división. En pocas palabras, el cociente es: x3 + 2x2 + x + 2. Entonces f (x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + x + 2) En el polinomio de grado tres, podemos probar las raı́ces ±1, ±2. Como es una suma entonces, probemos sólo con −1, −2: 1 2 1 2 −1 −1 0 1 1 0 2 1 2 1 2 −2 0 −2 0 1 0 −1 −2 1 Es claro que −2 es raı́z. Entonces x3 + 2x2 + x + 2 = (x + 2)(x2 + 1). Finalmente, f (x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + x + 2) = (x + 2)(x + 2)(x2 + 1) = (x + 2)2 (x2 + 1) = (x + 2)2 (x + i)(x − i) (27) (28) (29) Ejercicios 4. Encuentre las raı́ces de x4 − 3x3 + x2 + 4 = 0. Sugerencia: no olvide agregar el coeficiente de x, que en este caso es cero. Ejemplo 0.3.9. Sea x3 + x + 1 = 0. Es claro que las únicas ráices racionales posibles son: ±1. Sin embargo, una evaluación directa, muestra que ninguna de ellas es raı́z. Ası́ que no tiene raı́ces racionales. Genaro Luna Carreto 12 Otoño 2016 FCE BUAP MATEMÁTICASFCE Resulta que la forma general del polinomio en este ejemplo, x3 +px+q = 0 fue tratada y resuelta por el matemático italiano Scipio de Ferro en el siglo XVI. Se generó una fórmula en términos de radicales, conocida como fórmula de Cardano2 , para calcular la única raı́z real de estas ecuaciones (¿porqué?) s s r r 3 4p 4p3 1 1 3 3 2 2 −q+ q + + −q− q + (30) α= 2 27 2 27 En este caso, p, q = 1. No es complicado mostrar que α = −0.68. Ya con esta raı́z y realizando la división, resulta que x3 + x + 1 = (x + 0.68)(x2 − 0.68x + 0.46) Cuyas soluciones se hallan con la fórmula general y son complejas: 0.34 + 1.16i, 0.34 − 1.16i La fórmula (30) en términos de radicales, es la razón por la cual a los ceros de las funciones, también se les llama raı́ces, pues se pensaba que las 2 Gerolamo Cardano, fue también matemático italiano del siglo XVI. En realidad hubo una controversia, por estos hechos, entre varios matemáticos italianos, incluyendo a Tartaglia. Genaro Luna Carreto 13 Otoño 2016 FCE BUAP MATEMÁTICASFCE soluciones de las ecuaciones se podı́an obtener en términos de radicales. Sin embargo, el noruego Niels Henrik Abel en el siglo XVII, mostró la imposibilidad de resolver la ecuación de grado cinco, por radicales. Para finalizar este pequeño trabajo y a próposito de las ecuaciones, recomiendo las excelentes notas de un excompañero de la FCFM de la BUAP, ahora catedrático de la UNAM, , el doctor Roberto Pichardo, que puedes descargar aquı́: http://matematicasfce.ece.buap.mx/documentos/ecuacion.pdf http://matematicasfce.netii.net/documentos/ecuacion.pdf http://genaroluna.freeiz.com/documentos/ecuacion.pdf Genaro Luna Carreto 14 Otoño 2016