teoría

Departamento de Matemáticas
HOJA DE TEORÍA. GEOMETRÍA. 2ºBachillerato
3
ESPACIO VECTORIAL, V (Vectores)
* v1 , v 2 ,......., v n misma dirección si Rango(v1 , v 2 ,......., v n ) = 1 (son proporcionales)
* v1 , v 2 ,......., v n son coplanarios si Rango(v1 , v 2 ,......., v n ) = 2 . En el caso de tres
vectores det(v1 , v 2 , v3 ) = 0 ⇔ (v1 , v 2 , v3 ) no inversible ⇔ (v1 , v 2 , v3 ) son L.D.
* v1 , v 2 ,......., v n son no coplanarios si Rango(v1 , v 2 ,......., v n ) = 3 ⇒ Generan todo el
Espacio vectorial. En el caso de tres vectores:
det(v1 , v 2 , v3 ) ≠ 0 ⇔ (v1 , v 2 , v3 ) inversible ⇔ (v1 , v 2 , v3 ) son L.I. ⇔ Base de V 3 .
Además, éste es el rango máximo, ya que, en un espacio vectorial tridimensional no
puede haber cuatro vectores L.I. (Ejemplo: Los colores)
Producto escalar
( x1 , x 2 , x3 ) · ( y1 , y 2 , y3 ) = x1· y1 + x 2 · y 2 + x3 · y 3 (El resultado es un escalar [número])
u = u · u = x 2 + y 2 + z 2 , donde u = ( x, y, z ) (Suma de números positivos)
Fórmula: u · v = u · v · cos(u, v)
Importante: u ⊥ v ( perpendiculares ) ⇔ u · v = 0
Producto vectorial
i
j
Si u = ( x1 , y1 , z1 ) y v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ⇒ u × v = x1
y1
y2
x2
k
z1 (El resultado es un vector)
z2
Propiedades del producto vectorial:
Módulo: u × v = u · v · sen(u , v)
Dirección: Perpendicular a u y a v.
Sentido: el de avance de un sacacorchos que gira en sentido positivo de u y v.
Aplicación para áreas: u × v =Área del paralelogramo de lados u y v.
Si cambiamos el orden de la multiplicación el vector resultado cambia de signo(sentido)
→
→
Si u = 0 , v = 0 o u y v son proporcionales el vector resultado es el (0,0,0).
Producto mixto
Producto mixto de u , v y w = [u, v, w] = u·( v × w) = det(u, v, w)
Volumen del paralelepípedo de lados u , v y w = det(u, v, w)
Volumen del tetraedro de lados u , v y w =
det(u , v, w)
6
.
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ESPACIO AFÍN TRIDIMENSIONAL (PUNTOS)
•
Los puntos A( x1 , y1 , z1 ), B ( x 2 , y 2 , z 2 ) y C ( x3 , y 3 , z 3 ) están alineados si
→
→
AB y BC tienen la misma dirección, o sea,
x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1
=
=
.
x3 − x 2 y3 − y 2 z 3 − z 2
→
•
AB A + B
=
El punto medio del segmento AB será M = A +
2
2
Ecuaciones de la recta.
Recta que pasa por el punto p = (a, b, c) y vector director v = (v1 , v 2 , v3 )
→
→
→
Ecuación vectorial: x = p + t · v
y
 x = a + tv1

Ecuación paramétrica :  y = b + tv 2
 z = c + tv
3

x−a y −b z −c
=
=
v1
v2
v3
Ecuación en forma continua :
Ecuación general o implícita: La obtenemos de la ecuación continua
 A1 x + B1 y + C1 z = D1
,donde cada ecuación corresponde a un plano al que pertenece r.

 A2 x + B2 y + C 2 z = D2
Además, ( A1 , B1 , C1 ) × ( A2 , B2 , C 2 ) es el vector director de la recta.
Ecuaciones del plano.
Plano que pasa por los puntos P (a, b, c) y con la dirección de los vectores v y w.
→
→
→
→
Ecuación vectorial: x = p + t · v + s ·w
⇒
x−a
 x = a + tv1 + sw1

Ecuación paramétrica:  y = b + tv 2 + sw2 ⇒
v1
 z = c + tv + sw
w1
3
3

resulta:
y −b z −c
v2
w2
v3 = 0 , de la que
w3
→
Ecuación general o implícita: A( x − a ) + B ( y − b) + C ( z − c) = 0 , donde v n ( A, B, C ) es
un vector normal al plano y P (a, b, c) un punto perteneciente a dicho plano.
Ecuación segmentaria: Plano que pasa por (a,0,0) , (0, b,0) , (0,0, c) ⇒
x y z
+ + =1
a b c
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POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS
Sean los planos
π 1 : Ax + By + Cz + D = 0 y π 2 : A' x + B ' y + C ' z + D' = 0
* Si ( A, B, C ) no es proporcional a ( A' , B ' , C ' ) ⇒ π 1 y π 2 se cortan en una recta.
* Si ( A, B, C ) es proporcional a ( A' , B ' , C ' ) :
* Si ( A, B, C , D) proporcional a ( A' , B ' , C ' , D' ) ⇒ π 1 y π 2 mismo plano.
* Si ( A, B, C , D) no proporcional a ( A' , B ' , C ' , D' ) ⇒ π 1 y π 2 paralelos.
POSICIÓN RELATIVA DE TRES O MÁS PLANOS (Válido también para rectas)
Resolver el sistema de ecuaciones mediante el método de Gauss y aplicar la tabla:
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 4
Rg(A)
3
2
1
2
Caso 5
1
Rg(A´) Sistema
3
SCD
2
SCI
1
SCI
3
SI
2
SI
Posición de tres planos
Planos secantes en un punto
Planos secantes a lo largo de una recta
Tres planos coincidentes
Planos secantes dos a dos
Dos planos paralelos cortados por el otro
Planos paralelos distintos dos a dos
Dos planos coincidentes y el otro paralelo
SI.- Los tres planos no tienen ningún punto en común, los tres a la vez (Caso 4 y 5).
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 4
Caso 5
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POSICIÓN RELATIVA DE UN PLANO Y UNA RECTA
π : Ax + By + Cz + D = 0
1) Dado el plano
sustituimos ( x, y, z ) del plano por
 x = p1 + v1λ

y la recta r :  y = p 2 + v 2 λ
z = p + v λ
3
3

,
( p1 + v1λ , p 2 + v 2 λ , p 3 + v3 λ ) y calculamos λ .
* A) Si llegamos a una solución para λ ⇒ Se cortan en un punto.
* B) Si llegamos a una contradicción (ejemplo: 8=3) ⇒ Son paralelos.
* C) Si llegamos a una identidad (ejemplo 8=8) ⇒ La recta está contenida en el plano.
 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
y la recta r : 
 A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
Pasamos la recta a ecuación paramétrica y procedemos como en 1) ó
Colocamos la ecuación del plano y las dos ecuaciones de la recta y resolvemos (si tiene
solución se cortan en un punto y si no tiene solución la recta y el plano son paralelos).
π : Ax + By + Cz + D = 0
2) Dado el plano
Caso A
Caso B
Caso C
POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS
 x = p1 + v1λ
 x = q1 + w1t


Sean dos rectas de la forma r :  y = p 2 + v 2 λ y s :  y = q 2 + w2 t , tomamos los
z = p + v λ
z = q + w t
3
3
3
3


→
→
siguientes vectores v = (v1 , v 2 , v3 ) , w = ( w1 , w2 , w3 ) y PQ = (q1 − p1 , q 2 − p 2 , q 3 − p3 )
→
→
* Si v y w proporcionales:
→
→
→
→
* v , w, PQ proporcionales ⇒ r y s misma recta.
* v , w, PQ no proporcionales ⇒ r y s paralelas.
→
→
* Si v y w no proporcionales:
→
→
→
→
* det(v , w, PQ) = 0 ⇒ r y s se cortan en un punto.
* det(v , w, PQ) ≠ 0 ⇒ r y s se cruzan.
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ÁNGULOS
De dos vectores
cos(u, v) =
De dos rectas
(con sus vectores
directores)
cos(r , s ) =
De dos planos
(con sus vectores
normales)
cos(α , β ) =
De un plano y una recta
(con el vector director de
r y el vector normal de α )
sen(α , r ) =
u ·v
u ·v
ur ·us
ur · us
nα · n β
nα · n β
nα · u r
nα · u r
PARALELISMO
De dos rectas
(con vectores directores)
De dos planos
(con vectores normales)
De un plano y una recta
(con el vector director de r y
el vector normal de α )
rs⇔
u r y u s proporcionales
αβ⇔
nα y nβ proporcionales
r α ⇔ u r · nα = 0
ORTOGONALIDAD
De dos rectas (con
vectores directores)
r ⊥ s ⇔ ur · us = 0
De dos planos (con
vectores normales)
α ⊥ β ⇔ nα · n β = 0
De un plano y una recta
( u r vector director de r
y n β normal de β )
Perpendicular común a
dos rectas que se
cruzan.
β ⊥r⇔
n β y u r proporcionales
det( Ar X , u r , u r × u s ) = 0

det( As X , u s , u r × u s ) = 0
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DISTANCIAS
De un punto P ( x1 , y1, z1 ) a
un plano de ecuación
Ax + By + Cz + D = 0
Ax1 + By1 + Cz1 + D
d ( P, α ) =
A2 + B 2 + C 2
Entre recta y plano paralelos
= Distancia de un punto de
la recta al plano
d (r , α ) = d ( Pr , α )
Entre dos planos paralelos =
Distancia de un punto de un
plano al otro plano
d (α , β ) = d ( Pα , β ) = d (α , Pβ )
De un punto P a una recta r
(con ur vector director
y Ar punto de r)
→
d ( P, r ) =
Ar P× u r
ur
Entre dos rectas paralelas =
Distancia entre un punto de
una recta y la otra recta
d (r , s ) = d ( Pr , s ) = d (r.Ps )
Entre rectas que se cruzan
( u r , u s vectores directores y
det( Ar As , u r , u s )
→
d (r , s) =
ur × us
Ar , As puntos de r y s)
ÁREA y VOLUMEN
Área del paralelogramo de
vértices A,B,C,D.
→
→
→
AB× AC
Área del triángulo de
vértices A,B,C.
Volumen del
paralelepípedo
→
S = AB× AC
S=
2
→
→
→
→
→
→
V = det( AB, AC , AD)
det( AB, AC , AD)
Volumen del tetraedro
V =
6