03_Producto escalar

GEOMETRÍA
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3.7.- PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
Definimos el producto escalar de dos vectores uP y vP como el producto de sus módulos por el
coseno del ángulo que forman:
uP · vP ' * uP* * vP* cos (u,
P vP)
PROPIEDADES:
1.- uP · uP ' * uP* * uP* cos (u,
P uP) ' * uP* * uP* cos (0 ) ' * uP*2
uP · vP
,
* uP* * vP*
2.- cos (u,
P vP) '
Y
* uP* ' uP · uP
si uP y vP son vectores no nulos.
3.- Si uP ' P
0 o vP ' P0 entonces
uP · vP ' 0
4.- Si uP · vP ' 0 y además, uP … 0P y vP … P0 , entonces uP y vP son perpendiculares
uP · vP ' 0 Y * uP* * vP* cos (u,
P vP) ' 0 Y cos (u,
P vP) ' 0 Y uP z vP
5.- Conmutativa:
uP · vP ' vP · uP
6.- Distributiva:
uP · ( vP % wP ) ' uP · vP % uP · wP
7.- Homogeneidad o Peudoasociativa:
uP · uP > 0 ,
8.- Positividad:
9.- Consecuencia de la positividad:
k ( uP · vP) ' (k uP) · vP ' uP · (k vP)
si uP … P0
uP · uP ' 0
]
uP ' P0
10.- Expresión analítica del producto escalar de dos vectores.
Sea B ' iP, jP, kP una base ortonormal, se verificará:
iP · iP ' 1 ; jP · jP ' 1
* iP* ' * jP* ' * kP* ' 1
;
kP · kP ' 1
;
iP · jP ' 0
;
iP · kP ' 0
;
jP · kP ' 0
Dos vectores, uP y vP, respecto de la base B tienen de coordenadas:
uP ' (u1, u2, u3) y vP ' (v1, v2, v3)
Efectuemos el producto escalar de los dos vectores
uP · vP ' (u1 iP % u2 jP % u3 kP ) · (v1 iP % v2 jP % v3 kP ) '
aplicando las propiedades distributiva y pseudoasociativa del producto escalar, así como las
asociativa y conmutativa de la suma de números, tendremos:
' (u1 v1 ) (iP · iP ) % (u1 v2 ) (iP · jP ) % (u1 v3 ) (iP · kP ) % (u2 v1 ) ( jP · iP ) % (u2 v2 ) ( jP · jP ) %
% (u v ) ( jP · kP ) % (u v ) (kP · iP ) % (u v ) (kP · iP ) % (u v ) (kP · kP ) '
2 3
3 1
3 1
3 1
teniendo en cuenta los resultados iniciales referentes al producto escalar de los vectores de la
base, obtendremos finalmente:
' u1 v1 % u2 v2 % u3 v3
es decir,
uP · vP ' u1 v1 % u2 v2 % u3 v3
11.- Desigualdad de Cauchy - Schwarz:
Fco. Fdez. Morales
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(uP · vP) 2 # (uP · uP) (P
v · vP)
el signo de la igualdad es el válido si y sólo si uno de los vectores es el producto del otro
por un escalar
APLICACIONES DE LA DESIGUALDAD DE CAUCHY - SCHWARZ.
1.- Módulo de un vector * uP* ' u12 % u22 % u32
(Ver dibujo adjunto). Se demostraría aplicando el teorema de
Pitágoras consecutivamente dos veces.
2.- Norma, módulo o longitud de un vector: * uP* '
o bien * uP* 2 ' uP · uP
uP · uP
PROPIEDADES DE LA NORMA.
si uP … P0
si uP ' P0
1.- Positividad:
2.-
* uP* > 0 ,
* uP* ' 0 ,
3.- Homogeneidad:
* k · uP* ' * k * · * uP*
CONSECUENCIAS DE LAS PROPIEDADES DE LA NORMA.
• Propiedad de la DESIGUALDAD TRIANGULAR (o desigualdad de Minkowski)
* uP % vP* # * uP* % * vP*
[1]
el signo igual es el válido, si y sólo si, uno de los vectores es el producto del otro por un escalar.
La desigualdad anterior la escribimos de la siguiente manera, para evitar las raíces
cuadradas:
* uP % vP* 2 # * uP* % * vP* 2
forma equivalente a la [1]
Teniendo en cuenta una de las aplicaciones de la desigualdad de Cauchy - Schwarz:
* uP* '
uP · uP
o bien
* uP* 2 ' uP · uP
escribiremos que:
* uP % vP* 2 ' ( uP % vP) · ( uP % vP) ' uP · uP % uP · vP % vP · uP % vP · vP ' * uP*2 % * vP*2 % 2 uP · vP
* uP* % * vP*
2
' * uP*2 % * vP*2 % 2 * uP* * vP*
[2]
comparando estas dos últimas expresiones, podemos deducir que [1], o su forma equivalente,
será válida si y sólo si:
uP · vP # * uP* * vP*
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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DESIGUALDAD TRIANGULAR
La propiedad de la desigualdad triangular dice:
* uP % vP* # * uP* % * vP*
Si observamos el dibujo adjunto, deducimos que el
lado de un triángulo es menor que la suma de los otros
dos lados. La igualdad se producirá en el caso de que no
formen triángulo.
Hemos visto que durante el proceso para demostrar [1], es decir, la propiedad de la
desigualdad triangular, hemos obtenido:
* uP % vP* 2 ' * uP*2 % * vP*2 % 2 uP · vP
[3]
En el caso de que los vectores fueran
perpendiculares entre sí, uP z vP , se verificaría:
* uP % vP* 2 ' * uP*2 % * vP*2
que es la llamada IDENTIDAD PITAGÓRICA, lo que
implicaría lógicamente, teniendo en cuenta [3], que el
producto escalar de ambos vectores sea cero, es decir:
uP z vP ] uP · vP ' 0
La situación gráfica se ha representado al lado.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR DE 2 VECTORES.
Sean uP y vP dos vectores, llamamos proyección
¯ es
de vP sobre uP a la longitud del segmento OA,
decir, el segmento que se obtiene sobre uP al trazar
desde el vector vP la perpendicular a dicho vector u.
P
La proyección es precisamente el módulo del vector
t u,
P siendo t un número real, o sea,
¯ ' * t uP*
OA
cos (u,
P vP) 'cos (α)
;
Teniendo en cuenta que:
Evidentemente, se verifica que:
* t uP*
cos (α) '
Y * t uP* ' * vP* cos (α)
* vP*
uP · vP ' * uP* * vP* cos (u,
P vP)
* t uP* ' * vP*
uP · vP
* uP* * vP*
Y
cos (α) '
Y
* t uP* '
uP · vP
* uP* * vP*
uP · vP
* uP*
Fco. Fdez. Morales
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esta última expresión nos permite calcular la proyección de proyección de vP sobre uP .
Si queremos calcular el vector proyección, es decir, el vector t u,
P debemos obtener el valor
de t:
π
uP · vP
t'
Si 0 < α <
2
2
* uP*
uP · vP
uP · vP
* t uP* '
Y
* t * * uP* '
Y
* uP*
* uP*
π
uP · vP
<α<π
Si
t '&
2
2
* uP*
VECTORES UNITARIOS:
Dado un vector uP , no nulo, si queremos obtener un vector unitario con la misma dirección
y sentido que el anterior, basta dividir dicho vector por su módulo:
uP
[1]
* uP*
Demostración:
Sea uP un vector de coordenadas (u1, u2, u3 ) , dividámoslo por su módulo:
u1
,
u2
,
u3
[1]
* uP* * uP* * uP*
calculemos el módulo de este nuevo vector
u1
u
u
/0
, 2 , 3
00 * uP* * uP* * uP*
/0 '
00
u1
* uP*
2
%
u2
* uP*
2
%
u3
* uP*
2
2
'
2
2
u1 % u2 % u3
* uP*2
'
* uP*2
'1
* uP*2
luego el vector [1] es un vector unitario.
Llamamos cosenos directores de un vector uP a los cosenos
de los ángulos, α, β, y γ, que forma dicho vector con la parte
positiva de los ejes de coordenados
Observando la figura, se deduce que:
u
u
u
cos (α) ' 1 ; cos (β) ' 2 ; cos (γ) ' 3
* uP*
* uP*
* uP*
Teniendo en cuenta [1]:
u1
u
u
uP
cos (α), cos (β), cos (γ) '
, 2 , 3 '
* uP* * uP* * uP*
* uP*
deducimos que:
Los cosenos directores de un vector uP son iguales a las coordenadas del vector unitario que
tiene la misma dirección y sentido que uP .
Como el módulo del anterior vector es uno, tendremos que
cos 2 (α) % cos 2 (β) % cos 2 (γ) ' 1