m x Ud uc - GAMA FIME

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
Facultad de Ingenierı́a Mecánica y Eléctrica
Proyecto Final de Control Óptimo
Nombre:
Matrı́cula:
Catedrático: Dr. Rodolfo Salinas Villarreal
Grupo:
Fecha:
Salón:
Análisis de Sistemas de Control Óptimo
Este proyecto consiste en realizar el análisis del sistema dinámico descrito por una suspensión
resorte-amortiguador, el cual tiene un gran número de aplicaciones prácticas. Algunos ejemplos
tı́picos son el control de una estructura bajo condiciones de movimientos telúricos o ráfagas
de viento, el control de vibración de instrumentos sensibles a golpes o al arranque, el control de
estructuras flexibles de gran longitud, entre otros. Para el estudio de este problema consideramos
un modelo simple consistente en un sistema resorte masa amortiguador como se muestra en la
figura. Este modelo representa el problema analizado de manera ideal al compararlo con un caso
real. Suponga que x representa el desplazamiento de la masa soportada por la suspensión y la
entrada es u = uc + Ud , donde Ud representa el nivel del suelo y uc es el control que se diseña
para los incisos 5-7.
uc
m
x
Ud
Como se sabe, el sistema dinámico de la figura se describe por una ecuación diferencial de segundo
orden. Al considerar las fuerzas uc (t) y Ud (t), la ecuación diferencial que lo representa es:
mẍ(t) + cẋ(t) + kx(t) = uc (t) + Ud (t)
(1)
donde c = 2ξωn m y k = ωn2 m, en las que ξ es el factor de amortiguamiento y ωn es la frecuencia
natural.
1. Asumiendo que la masa m = 1, obtenga las ecuaciones de estado a partir de (1).
2. Obtenga la respuesta natural del sistema mediante simulaciones. Comente sobre la estabilidad del sistema. Compare el resultado obtenido para distintos valores de los coeficientes
de elasticidad y amortiguamiento. Explique.
3. Analice el comportamiento o respuesta del sistema bajo una entrada escalón, considerando
que Ud es el escalón. Obtenga la respuesta del sistema bajo esta entrada por medio de
simulaciones. Compare el resultado obtenido para distintos valores de los coeficientes de
elasticidad y amortiguamiento. Explique.
4. Utilice la teorı́a de amplificadores operacionales aprendida en Electrónica 3 para diseñar
un circuito electrónico por medio de amplificadores operacionales (op-amps) que represente
el sistema dinámico analizado. Explique.
5. Encuentre el control óptimo u∗ (t) que minimice el ı́ndice de desempeño (2). Utilize el
enfoque del Hamiltoniano y desarrolle analı́ticamente para obtener la ecuación de Riccati.
J=
Ztf ½
(a1 + c2 a3 )x21 + (a2 + k 2 a3 )x22 + 2a3 ckx1 x2 + a3 u2 + a3 Ud2
t0
¾
− 2a3 cux1 − 2a3 kux2 − 2a3 cUd x1 − 2a3 kUd x2 + 2a3 uUd dt
(2)
donde a1 , a2 , y a3 son coeficientes de valores arbitrarios que corresponden a la posición,
velocidad, y aceleración, respectivamente. Además, el tiempo final tf es fijo y el valor final
de los estados es x(tf ) = [0; 0].
6. Una vez resuelto analiticamente el problema como lo pide el inciso anterior, elabore un
programa en Matlab para resolver la ecuación de Riccati correspondiente a este caso
particular, e implemente el sistema en Simulink comparando el controlador óptimo con
otras leyes de control admisible. Explique sus resultados con simulaciones.
Obtenga el resultado numérico para los siguientes datos:
t0
tf
x0
ξ
ωn
ω
m
c
k
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0
10
[1.5; 0]
0.1
1
2
1
2ξωn m = 0.2
ωn2 m = 1
donde ωn es la frecuencia natural del sistema, ω es la frecuencia de la señal de ruido, c es el
coeficiente de amortiguamiento del sistema natural, y k es el coeficiente lineal del sistema.
7. Analice el comportamiento del sistema para diferentes valores de los parámetros a1 , a2 , y
a3 en el ı́ndice de desempeño (2). Además, también haga un análisis de la estabilidad del
sistema de lazo cerrado (1)-(2) con u∗ (t) para diferentes valores de los parámetros a1 , a2 ,
y a3 .
8. Repita 4 para el problema completo, considerando el controlador diseñado en 5-7.