Guía Relaciones Proporcionales Nivel : 8º año 2011 Prof. Juan

Transcripción

Guía Relaciones Proporcionales
Nivel : 8º año 2011
Prof. Juan Schuchhardt E
I.-
1
Resumen de contenidos Relaciones proporcionales
Razón
Una razón entre dos cantidades es una comparación entre las cantidades que se
a
realiza mediante un cociente, se anota a : b o bien
, y se lee a es a b.
b
Por ejemplo, si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, entonces la
12
razón entre sus edades es: 12 : 15 o . Si simplificamos la fracción por 3
15
4
obtenemos:
. Esto significa que por cada 4 años que tiene Carlos, Francisco
5
tiene 5
Proporción
Se denomina proporción a la igualdad de dos razones. Por ejemplo, la igualdad
entre las razones anteriores:
Es una proporción, lo que se puede constatar porque los productos cruzados son
iguales:
12• 5 = 4• 15
a c
Por lo tanto, la propiedad fundamental de las proporciones es:   a  d  b  c
b d
Variación proporcional directa
Dos variables están en proporcionalidad directa si al aumentar o disminuir una de
ellas la otra aumenta o disminuye en la misma proporción y al determinar la
razón entre los valores correspondientes de las variables se obtiene un valor
constante:
donde K es la constante de
proporcionalidad
El gráfico de dos variables en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos
que están sobre una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas.
Analizando el gráfico se visualiza que si una magnitud aumenta, la otra también
aumenta.
2
Ejemplo:
 La cantidad de pan es directamente proporcional a su peso
 Un vehículo en carretera tiene un rendimiento de 16 km por cada litro de
bencina. ¿Cuántos litros de bencina consumirá en un viaje de 192 km?
Se forma la proporción entre las variables distancia – consumo de bencina
(si aumenta la distancia, entonces se deduce que el consumo aumenta, por
lo tanto son directamente proporcionales).
Ocupando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos que:
Entonces, 16/1 = 16 (constante)

y
192/12 = 16 (constante)
En la siguiente tabla la magnitud A es directamente proporcional con B
A
3
4
7
9
11
B
6
8
14
18
22
Como A es directamente Proporcional con B , entonces :
A 3 4 7
9 11
1
(K constante de proporcionalidad)
K   


 ........ 
B 6 8 14 18 22
2
El grafico de estos valores es una recta que parte del origen
Variación proporcional Inversa
Dos variables están en proporcionalidad inversa si al aumentar o disminuir una de
ellas la otra disminuye o aumenta y al efectuar el producto entre los valores
Correspondientes de la variable se obtiene un valor constante:
k es la constante de proporcionalidad.
El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto
de puntos que están sobre una hipérbola.
Analizando el gráfico se visualiza que a medida que una magnitud aumenta, la
otra magnitud disminuye.
Ejemplo:
 La velocidad de un automóvil y el tiempo en recorrer una distancia

Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4
obreros?
La relación entre el número de obreros – tiempo es de proporcionalidad
inversa, ya que si trabajan más obreros, entonces se demorarán menos
tiempo en terminar el trabajo. Aplicando la propiedad de las proporciones
inversas, el producto entre las variables es constante:
entonces, 3 x 5 = 15 (constante)
y
4 x 3,75 = 15(constante)

3
En la siguiente tabla la magnitud A es inversamente proporcional con B
A
B
2
12
3
8
6
4
8
3
Como A es inversamente proporcional con B ,
Entonces K  2  12  3  8  6  4  8  3  ....24 (K constante de proporcionalidad)
La grafica de estos valores es una parte de una hipérbola
Porcentaje
El porcentaje es una 100 proporcionalidad directa en que se considera la totalidad
como un 100%.
Por ejemplo, decir que el precio de un artículo ha subido 5% significa que se ha
incrementado 5 partes de un total de 100. En términos fraccionarios, se dice que
ha subido la 5/100 parte.
Cuando calculamos el porcentaje de un número, podemos hacerlo directamente
ocupando el concepto de fracción. Por ejemplo, el 12% de 600 es:
El cálculo de porcentaje también se puede realizar a través de una
proporcionalidad directa:
Es bastante útil utilizar este método para resolver problemas de porcentaje
relacionados con ganancia y pérdida.
Por ejemplo:
El precio de un chaleco durante una oferta ha bajado de $15.000 a $13.500. ¿Qué
% de descuento se le aplicó?
En este caso, se considera el precio inicial ($15.000) como el 100%. De lo que
disminuyó: $15.000 – $ 13.500 = $ 1.500, se requiere saber qué porcentaje es del
precio original, por lo tanto:
Veamos ahora otro ejemplo:
¿Qué % es 0,2 de 4?
En este caso, la totalidad es 4 (el 100%), de modo que planteamos la proporción:
II.- Ejercicios de aplicación relaciones proporcionales
1) En una encuesta realizada a un grupo de personas, 30 sabían nadar y 6 no.
 Calcula la razón entre los nadadores y los no nadadores.
 Calcula la razón entre los nadadores y el total de encuestados.
 Calcula la razón entre los no nadadores y el total de los
encuestados.
2) La razón entre los tiros encestados y los tiros realizados por un jugador en
un partido de básquetbol es 2 : 5. Si lanzó 15 tiros en total al aro, ¿cuántos
encestó probablemente?
3) Determina cuáles de los siguientes pares de razones forman una proporción.
a)
12 15
y
16 20
b)
2 8
y
3 12
c)
14 21
y
29 24
d)
0,1 5
y
0,2 10
4
4) Determina el valor de “x” en :
a)
d)
x 9

2 8
8 5

6 x
b)
2 1
e) 3  2
x 3
4
5 7

x 14
c)
f)
4 5

x 9
0,75
x

0, 3 0,83
5) Completa la siguiente tabla
Variables
Variación
Proporcional
Variación No
Proporcional
La relación existente entre la cantidad de litros
de bencina y el precio respectivo.
La relación existente entre la edad y el peso de
las personas.
La relación que hay entre la cantidad de horas
trabajadas y el salario ganado.
La relación que hay entre la estatura y el peso
de las personas.
La relación que existe entre la cantidad de
manzanas y su peso.
Litros de bencina de un vehículo y la distancia
recorrida.
La cantidad de monedas extranjeras y su
equivalente en moneda nacional.
6) Indica si hay proporcionalidad directa, inversa o si no hay ninguna
proporcionalidad:
a) Cantidad de personas que viajan en un autobús y dinero recaudado.
b) Cantidad de refrescos que caben en una caja y diámetro de las botellas.
c) Número de litros que escapan por segundo en el desagüe de una piscina y
diámetro del desagüe.
d) Velocidad media de un ciclista y distancia recorrida.
e) Número de vueltas que da una rueda para recorrer una distancia y diámetro de
la rueda.
f) Número de comensales para zamparse una tarta y cantidad que corresponde a
cada uno.
g) Tiempo que tarda un balón en caer al suelo y altura desde la que se lanza.
h) Número de horas que está encendida una bombilla y gasto que ocasiona.
i) Número de peldaños de una escalera móvil de altura fija y separación entre
ellos.
j) Número de peldaños de una escalera de altura fija y anchura de ellos.
k) Numero de goles marcados por un equipo y partidos ganados.
5
7) ¿En qué casos de los siguientes las magnitudes son directa o inversamente
Proporcionales?. Justificar respuesta.
a) Velocidad de un coche y tiempo empleado en hacer un recorrido.
b) Peso de carne y precio a pagar por ella.
c) Espacio recorrido por un coche y tiempo empleado en recorrerlo.
d) Número de pintores y tiempo empleado en pintar una valla.
e) Número de desagües de un depósito y tiempo empleado en vaciarlo.
8) Miguel tuvo un hijo a los 20 años. Determina, si estas magnitudes son
directamente proporcionales , inversamente proporcionales o no proporcionales,
completando la tabla y calculando las razones entre su edad y la de su hijo
Edad de
Miguel
Edad de
hijo
22 años
25 años
30 años
50 años
60 años
9) La siguiente tabla muestra el valor que se debe pagar según la cantidad de pan
que se compre. Determina ,si estas magnitudes son directamente proporcionales ,
inversamente proporcionales o no proporcionales, calculando las razones y
determina la constante de proporcionalidad si corresponde.
Kg. De pan
Costo ($)
2
1.000
3
1.500
5
2.500
7
3.500
9
4.500
10) La siguiente tabla muestra el valor de la base y la altura de rectángulos de igual
area completa la tabla y determina ,si estas magnitudes son directamente
proporcionales , inversamente proporcionales o no proporcionales, calculando
las razones y determina la constante de proporcionalidad si corresponde.
Base
Altura
2
12
3
4
5
6
6.
6
11) Don Alejandro tiene una tienda de abarrotes con la que abastece tanto a
grandes consumidores como a familias del sector. Por lo tanto tiene que envasar
sus productos en cajas o bolsas de diferentes capacidades.
Para envasar 100 Kg. de harina utiliza dos sacos de 50 Kg. Completa la
tabla y responde: ¿Cuántos envases de 10 Kg. usará? ¿Qué tipo de
proporcionalidad se presenta en esta situación?
.
Capacidad
envase
del Nº de envases
necesarios
2
50 Kg.
10 Kg.
5 Kg.
1 Kg.
12) El siguiente grafico representa el numero de latas de bebida que puedo
comprar con determinada cantidad de dinero
a) Basándote en este grafico completa la tabla siguiente
N°
latas
Valor
de 6
3
2800
9
1750
8
350
b) ¿Qué tipo de proporcionalidad se presenta en esta situación?
c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
7
13) El siguiente grafico describe la distribución de torta por cantidad de invitados,
donde la poción de la torta se expresa en porcentajes y el numero de trozos de
torta depende de los invitados
a) Basándote en este grafico completa la tabla siguiente
Invitados
% de torta
2
10
100%
25%
b) ¿Qué tipo de proporcionalidad se presenta en esta situación?
c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
14) Un peatón, un ciclista y un automovilista salen desde Santiago hacia el sur. En
el siguiente gráfico se han representado sus movimientos:
a) ¿Cuál de las rectas representa al ciclista? ¿Cuál al peatón? ¿Cuál es la del
automovilista?
b) ¿A qué hora está cada uno en Buin?
15) Resuelve los siguientes problemas aplicando proporcionalidad directa o
inversa
a) Por tres horas de trabajo, Pedro ha cobrado $ 6.000 . ¿Cuánto cobrará por 8
horas?
8
b)) Tres obreros descargan un camión en dos horas. ¿Cuánto tardarán con la
ayuda de dos obreros más?.
d) Tres kilogramos de carne cuestan $22.500. ¿Cuánto podré comprar con
$18750?.
e) Una moto va a 50 km/h y tarda 40 minutos en cubrir cierto recorrido. ¿Cuánto
tardará un coche a 120 Km/h?.
f) Por 5 días trabajados Juan ha ganado $66.000. ¿Cuánto ganará por 18 días?
g) Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas
botellas llenará en hora y media?
h) Una moto que va a 100 km/h necesita 20 minutos en recorrer la distancia entre
dos pueblos. ¿Qué velocidad ha de llevar para hacer el recorrido en 16 minutos?.
i) Un camión que carga 3 toneladas necesita 15 viajes para transportar cierta
cantidad de arena. ¿Cuántos viajes necesitará para hacer transportar la misma
arena un camión que carga 5 toneladas?.
j) Un ganadero tiene 20 vacas y puede alimentarlas durante 30 días. ¿Cuánto
le durará el alimento si se mueren 5 vacas?
k) Para hacer dos frascos de mermelada se utilizan 1,20 kilos de fruta.
¿Cuántos kilos de fruta se necesitan para 7 frascos de la n misma mermelada?
l) Si 46 papeleras cuestan $21.068, ¿cal es el valor de 7 papeleras?
m) Un edificio es construido por una cuadrilla de 15 albañiles en 200 días.
¿Cuántos albañiles tendré que añadir a la cuadrilla para poder terminar el trabajo
en 150 días?
16) Resuelve los siguientes problemas aplicando porcentaje
a) Calcula en cada caso;
i) el 25% de 1200 =
ii) el 75% de ______ = 27
ii) el ___% de 500 = 80
b) En un pueblo de 9800 habitantes el 56% son mujeres. ¿Qué porcentaje de
varones hay? ¿Cuántos varones son?
c) Una camisa vale $14.000 . Me hacen una rebaja del 10%. ¿Cuánto debo
pagar?.
d) Un artículo se rebaja de $2.700 a % 2.400 . ¿Cuál es el porcentaje de rebaja?
e) Una camisa valía $ 7200 antes de las rebajas. ¿Cuánto costará si le aplican un
descuento del 30%? ¿Cuánto la han rebajado?
f) Al comprar un producto nos rebajan un 8 %. Pagué $48.000 ¿Cuál era el
precio original?.
g) En una tienda comercial el valor de un net book es de $200.000 + 19% de IVA.
¿Cuánto cancelo por este computador ?. Si sobre el precio total me hacen un
descuento del 5%
h) El precio de una lavadora es $300.000 (IVA incluido). Si el comerciante decide
no cobrarme el 19 % de IVA. ¿Cual es el precio de la lavadora sin IVA?.
9
i) Al cancelar la cuenta en un restaurante entrego un 10% más del precio, por la
propina cancelando un total de $ 24.200 ¿Cuánto habría cancelado sin la
propina?.
j) Calcula es lo que le rebajan a una persona que debe 3425 UF, si se le hace una
rebaja del 3%.
k) Ana trabaja de vendedora en una empresa de manera que cobra el 5% del total
de las ventas que realiza. ¿Cuánto necesita vender para ganar $ 240.000?
“La constancia es la virtud por la que todas las
cosas dan su fruto.”
Arturo Graf (1848-1913) Escritor y poeta italiano.

Guía Relaciones Proporcionales Nivel : 8º año 2011 Prof. Juan

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