conceptos generales

Aeroelasticidad
en
ala de avión
“El fenómeno de flutter”
T2º C. FAUNDEZ R.
T2º J. ESPINOZA LL.
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TEMARIO
I. Introducción.
II. Antecedente histórico del fenómeno de flutter.
III. Conceptos generales:
•
•
Nomenclatura aeronáutica introducida.
Aeroelasticidad.
IV. Fuerzas que actúan en el vuelo.
V. Variables.
VI. Formulación del modelo matemático:
•
VII.
VIII.
IX.
X.
Obtención del Modelo final.
Solución del problema.
Modelamiento en Matlab
Interpretación.
Conclusiones.
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INTRODUCCION
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INTRODUCCION
Diseño
mecánica estructural
aerodinámica
Se presenta cuando:
Deformaciones estructurales (rigidez alas)
inducen
cambios en
dinámica de fluidos
fuerzas aerodinámicas.
Incremento de deformaciones
Fuerzas aerodinámicas adicionales
Condición de equilibrio
Aumentando las fuerzas aerodinámicas
Diverger catastróficamente
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INTRODUCCION
Flutter
fenómeno de aeroelasticidad mas conocido
oscilaciones
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INTRODUCCION
Antiguamente se asociaba la aeroelasticidad
a
problemas y efectos aerodinámicos que debían ser evitados
Los análisis
- como comprobación final de construcción
- aparecían problemas durante los ensayos en vuelo
Actualmente se realiza en las etapas
iniciales de construcción
La idea
tomar ventaja de la deformación estructural
para obtener mayores rendimientos.
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ANTECEDENTES HISTORICOS
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ANTECEDENTES HISTORICOS
Puente de Tacoma Narrows
• A menudo utilizada como elemento de reflexión y
aprendizaje: Para considerar los efectos de la
aeroelasticidad y de la aerodinámica.
• famoso por dramático colapso estructural inducido por
el viento.
• Se demuestra que fue inducida por flameo
aeroelástico.
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ANTECEDENTES HISTORICOS
Puente en torsión y deflexión.
Destrucción del puente.
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CONCEPTOS GENERALES
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CONCEPTOS GENERALES
• Nomenclatura aeronáutica introducida:
Perfil alar:
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CONCEPTOS GENERALES
• Borde de ataque: la parte del ala que ve primero al aire.
• Fuerza de sustentación: La fuerza ascendente que empuja el avión
hacia arriba.
• Cuerda: Es la línea recta imaginaria trazada entre los bordes de
ataque y de salida de cada perfil.
• Eje elástico: eje transversal del ala por la que se concentra toda la
capacidad elástica del material.
• Ángulo de ataque: El ángulo de ataque es el ángulo agudo formado
por la cuerda del ala y la dirección del viento relativo.
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CONCEPTOS GENERALES
Como fluye el aire en un ala:
El aire fluye por el ala a causa de su forma curva.
El aire en la superficie superior está a una presión menor que el aire
que está por debajo
y el avión es empujado hacia arriba.
Fuerza de sustentación
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CONCEPTOS GENERALES
• Aeroelasticidad: interacción entre las deformaciones estructurales y
las cargas aerodinámicas.
Se
divide
en:
Flutter o Flameo
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CONCEPTOS GENERALES
• Flameo: vibración autoinducida que ocurre cuando el
ala se dobla bajo una fuerza aerodinámica. Una vez
que la carga se reduce, la desviación también se
reduce, restaurando la forma original, esto a su vez
restaura la carga original y empieza así el ciclo
nuevamente.
• En su forma mas inofensiva puede aparecer como un
"zumbido" en la estructura del avión, pero en la más
violenta se puede desatar incontrolablemente a gran
velocidad y causar grandes daños a la estructura.
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FUERZAS QUE ACTUAN EN EL VUELO
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FUERZAS QUE ACTUAN EN EL VUELO
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VARIABLES
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VARIABLES
• Ala en cantilever, sin alerones, motores, es
decir, limpio.
• Eje elástico es perpendicular al fuselaje.
• En principio, la deformación a lo largo de la
cuerda se desprecia.
• Consideraremos el ala como una cuerda con
todas las propiedades elásticas y de deflexión
del ala concentradas en dicha cuerda, es decir,
en el eje elástico que coincide con el eje x.
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VARIABLES
• Consideraremos un extremo firme del ala al fuselaje
del avión y el otro extremo firme con un anillo
imaginario sin masa que desliza por un riel
imaginario también, por lo que simula como si el
extremo estuviera libre casi completamente.
f
u
s
Extremo fijo e
l
a
j
e
Extremo “libre”
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VARIABLES
• Pero además, por acción y reacción, la fuerza transversal en el
extremo libre también será nula, debido a que el anillo no
posee masa. (acción que realiza la cuerda sobre el anillo (y
viceversa).
• Consideraremos solo movimientos transversales,
descartaremos movimientos de torsión, por lo que, las fuerzas
en la dirección x deben anularse.
• la densidad de masa es tipo
, y que está sujeta a una
tensión T la cual es también función de la posición.
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VARIABLES
• Supondremos una fuerza que depende de x y t distribuida
uniformemente a lo largo del eje elástico, llamada de
sustentación.
• Atmósfera con aire en forma estacionaria, sin perturbaciones
climatológicas ni de vientos, que solo permita obtener un
viento relativo tal que genera una fuerza de sustentación en el
ala.
• Velocidad del avión constante , a la cual se desarrolla Flutter.
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VARIABLES
Fuerza de sustentación
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FORMULACIÓN DEL MODELO
MATEMATICO
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T2
:
T
2 1
2-T
OBTENCION DEL MODELO.
Sea L el largo del ala en su eje elástico.
(a pequeños ángulos )
=
pero también, a pequeños ángulos tenemos que
De la sumatoria de fuerzas en “x” se tiene que :
Además se sabe que,
T=T2=T1
Consideramos como derivadas parciales porque “y”
depende de las variables t y x
(
Dividiendo por
Aplicando
a ambos lados
se obtiene
Pero se sabe que T es la misma en todos los puntos de la cuerda y
la rapidez de onda dependerá de una propiedad elástica del medio
(Tensión T) y una propiedad inercial del medio
, de la siguiente
forma:
, donde v es la velocidad de propagación de la onda en el medio.
Luego sustituyendo en la EDP se tiene
METODO SOLUCION
MÉTODO SOLUCIÓN.
Sabemos que el largo del ala es “L”, donde el largo no será considerado como un número
entero, sinó que podría ser decimal, esto nos afectará mas adelante en la solución del
problema.
Además se sabe que la posición en los extremos en todo instante de tiempo es cero y la
posición inicial en cada punto de “X” esta dado por la función “x” y la velocidad inicial del
ala en cada punto “X” es cero. De lo anterior proponemos las siguientes condiciones:
Con esto aseguramos que comience desde el origen
Como la ecuación diferencial es NO homogénea,
descomponemos la solución de (1) como suma de soluciones
DESARROLLO PARA ENCONTRAR
Se sabe que la solución homogénea es solución arbitraria de:
Buscamos soluciones en variables separables
Aplicando (*) a (1) se tiene
≠0
(para que no sea la
solución trivial)
De (2) se tiene
De (3) se tiene
Luego tenemos :
Sturm Liouville
Sustituyendo los valores
propios en (8):
Por desarrollo de EDO de 2º Orden se tiene
Pero como buscamos soluciones del tipo (*)
Como la ecuación diferencial parcial y las condiciones de borde son lineales, entonces la suma de
soluciones también es solución
Donde (9) es solución de la EDP con las condiciones de borde (2) y (3).
DESARROLLO PARA ENCONTRAR LOS COEFICIENTES
OBTENCION DE
De (4) se tiene
Reemplazando t=0 en (9) tenemos
Luego haciendo a la ecuación anterior producto punto con
, tenemos que para n=k
OBTENCION DE
De (5) se tiene
Derivando (9) con respecto a “t” y luego sustituyendo t=o tenemos
Reemplazando obtenemos:
Luego se tiene :
Se sabe que soluciones
Consideremos
Busquemos
las condiciones
particulares
(2) y (3)
de la
para
siguiente
el desarrollo
forma de la solución particular.
DESARROLLO PARA ENCONTRAR
Se sabe que
es solución arbitraria de
Consideremos las condiciones (2) y (3) para el desarrollo de la solución particular.
Se sabe que
constituye una base para el problema homogéneo de
Sturm Liouville:
Sturm Liouville
Busquemos soluciones particulares de la siguiente forma
Como
es conocido, entonces podemos desarrollar para cada “t”, como serie de
Fourier con respecto a la base
, es decir, sustituyendo (* )en (1):
Donde
Sustituyendo (*) en la ecuación (1)
Ordenando se tiene
Considerando:
para que la solución particular no sea nula.
EDO Homogénea de 2º Orden, de
coeficientes constantes
Sea,
de donde sabemos que
Luego sustituyendo los términos anteriores en (9), la
EDO nos queda así:
Luego dependiendo del caso del cual se obtenga
Sea,
de donde sabemos que
Luego sustituyendo en (9), la EDO nos queda
SOLUCION GENERAL
Como sabemos la ecuación diferencial es NO homogénea, por lo cual se descompuso la
solución de la ecuación (1) como suma de soluciones.
Del desarrollo se obtuvieron los siguientes datos:
de donde
depende de la solución
del desarrollo de la EDO de 2º Orden
luego sustituyendo
en la solución general se tiene:
MODELAMIENTO EN MATLAB
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MODELAMIENTO EN MATLAB
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INTERPRETACIÓN
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INTERPRETACION
• Podemos decir que el comportamiento del ala del avión será en forma
ondulatoria por la presencia de los senos y cosenos. Además la solución
particular posee exponenciales de algo positivo, lo cual indica que no
existe amortiguación, sino que la onda de alguna manera crecerá en el
tiempo y posición x.
• El resultado obtenido indica que las condiciones iniciales y las condiciones
en la frontera determinan la función de manera única.
• La simulación de esta ecuación nos da como resultado el movimiento
ondulatorio de un flameo (como una bandera), lo cual se acerca bastante
a la realidad de un ala, aún cuando consideramos los dos extremos fijos
del ala.
• Si bien la grafica en sus extremos se mueve, debemos notar que el eje z se
mueve constantemente por defecto.
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CONCLUSIONES
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CONCLUSIONES
• A través de este trabajo de investigación Físico-Matemático,
pudimos palpar con cierta realidad la aplicación de las Ecuaciones
Diferenciales.
• En este caso la vibración de un ala de avión o flameo, problema del
cual nuestra institución no esta ajena, puesto que la aviación naval
debe lidiar con este problema para evitar el desgaste innecesario
del material producto de la vibraciones excesivas en las alas de los
aviones y además evitar pérdidas tanto materiales como humanas.
• Finalmente, el desarrollo de este trabajo nos lleva a darnos cuenta
que se debe hacer uso del ingenio para enfrentar los problemas,
haciendo analogías o similitudes con modelos conocidos o teoría de
distintas ramas de la matemática y física, de tal forma de buscar
una adaptación lo mas cercana posible al problema en cuestión.
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PREGUNTAS
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DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
Aplicando
se obtiene
Por la definición de derivadas parciales se sabe que:
, para una función F que depende de X y T,
variando solo en x.
Para nuestro caso
Donde luego de desarrollar el limite nos queda
DESARROLLO DE
Por definición de producto punto entre funciones, y conociendo la función peso
Tenemos que
Por identidad trigonométrica se sabe que
Luego sustituyendo y desarrollando integral se tiene
Luego por integración por parte se tiene
DESARROLLO DE LA EDO
Ecuación característica de la EDO
Sabemos que es positivo y
es negativo (signo de depende del signo de
F(x,t) el cual es positivo y del signo de
la integral del seno, el cual será
finalmente negativo).
Luego se tiene :
Raíces complejas
Para este caso la solución de la EDO seria