04. Identificación en lazo cerrado mediante algoritmos genéticos

04. Identificación en lazo cerrado mediante algoritmos genéticos

IDENTIFICACIÓN EN LAZO
CERRADO MEDIANTE
ALGORITMOS GENÉTICOS
A. Aguado Behar1, A. del Pozo Quintero1, A. Gómez Infante1
1
Departamento de Control Automático. Instituto de Cibernética, Matemática y Física [email protected]
RESUMEN
La identificación en lazo cerrado de sistemas continuos es un problema de optimización no lineal que resulta de
difícil solución mediante métodos convencionales. En este trabajo se propone el uso de algoritmos genéticos (AG)
para esta tarea y se muestra mediante simulaciones que los modelos obtenidos pueden reproducir fielmente el
comportamiento de la planta, aun en el caso de sistemas inestables o que presentan algún tipo de no-linealidad. Estos
modelos pueden utilizarse para el ajuste de los parámetros de reguladores PID utilizando un método también basado
en AG, como se muestra en dos ejemplos: un sistema inestable en lazo cerrado y otro de alto orden con retardo. La
metodología propuesta se aplica también a la identificación del modelo AC5A de la IEEE, que incluye una nolinealidad del tipo saturación, para unidades de generación eléctrica.
Palabras claves: Algoritmos genéticos, ajuste de parámetros de reguladores PID, identificación en lazo cerrado de
sistemas continuos, modelo AC5A de unidades de generación eléctrica.
CLOSED LOOP IDENTIFICATION
USING GENETIC ALGORITHMS
ABSTRACT
Closed loop identification of continuous systems is a difficult to solve optimization problem when conventional
methods are used. The introduction of a genetic algorithm (GA) to face this problem is proposed. Simulations
implemented shows that the models obtained are capable to reproduce the behavior of the system, even in the case
of non linear or unstable system. The model also can be used to tune the parameters of the PID regulator using a
GA based method, as shown in two examples. The methodology proposed in this work is also applied in the
identification of the model AC5A of IEEE. This model, used in power generation plants, presents a non linearity of
saturation type.
Key words: AC5A model, Closed – loop system identification, Genetic Algorithms, PID tuning.
INTRODUCCIÓN
La identificación en lazo cerrado de sistemas cobra
importancia particular cuando la realización de experimentos
en lazo abierto resulta peligrosa o imposible, eso explica el
amplio tratamiento en la literatura de este tema 1, 2, 3. La gran
mayoría de los métodos propuestos se enfocan en la
identificación de modelos discretos tales como el ARX,
ARMAX u otros similares y utilizan el método de mínimos
cuadrados o alguna de sus modificaciones. No obstante, en
muchas aplicaciones tales como la sintonización de
reguladores o la realización de estudios de simulación fuera de
línea, los modelos continuos son preferibles o incluso
necesarios.
Otros trabajos más recientes, que pueden considerarse como
antecedentes más cercanos de esta contribución, utilizan
algoritmos genéticos (AG) asociados al problema de la
identificación en lazo cerrado. Por ejemplo, en 4 se utiliza un
AG para determinar los parámetros de una función
conmutadora que perturba a la referencia y a partir de los
datos obtenidos se realiza la identificación en lazo cerrado
27
utilizando el método de la variable instrumental. En 5 se utiliza
un AG como una primera etapa de optimización global, en la
identificación de modelos en el espacio de estados con
estructura
mínima, antes de utilizar otro método de
optimización local para la estimación final de los parámetros.
El enfoque que proponemos en este trabajo, difiere de los
mencionados en que se trata básicamente de la identificación
en lazo cerrado de modelos continuos entrada-salida a partir
de experimentos sencillos y poco perturbantes como son el
escalón, suavizado eventualmente mediante un filtro de primer
orden o secuencias binarias seudo aleatorias de pequeña
amplitud.
Figura 1. Sistema de control por realimentación.
En la figura 1 se representa un sistema de control por
realimentación en el que la planta y el regulador se
caracterizan mediante las funciones transferenciales continuas
G(s) y R(s). La función transferencial en lazo cerrado
correspondiente es:
H( s ) =
R( s )G( s )
1 + R( s )G( s )
1)
Si R(s) y G(s) son cocientes de polinomios en s, incluyendo la
posibilidad de un retardo puro en G(s) aproximado mediante
una función de Padé 6, tenemos entonces:
H( s ) =
P( s ) pm s m + Λ p1s + p0
=
Q( s )
qn s n + Λ q1s + q0
2)
Los coeficientes pi y qi son funciones de los parámetros de la
planta y del regulador ( PG ) y ( PR ) :
pi = fi ( PR , PG )
i = 0,1,. . ., m.
3)
q i = g i ( PR , PG ) i = 0,1,. . ., n.
4)
donde fi(.) y gi(.) son funciones no lineales conocidas.
Si aplicamos una función escalón o una secuencia binaria
seudo aleatoria (PRBS) a la referencia r(t), la respuesta y(t)
del sistema H(s) puede calcularse mediante:
−1
y( t ) = L ( H ( s )L( r( t )))
5)
−1
donde L denota a la transformada de Laplace y L su inversa.
Sea y m (kT ) una muestra experimental de la salida, medida
con un período de muestreo T suficientemente pequeño. Es
posible entonces plantear el siguiente problema de
optimización para determinar los parámetros del sistema en
lazo cerrado:
k=N
min J = ∑ ( y( kT ) − ym ( kT ) )2
pi ,qi
k =1
6)
donde N es suficientemente grande.
Para resolver este problema no lineal, se propone una
metodología basada en un algoritmo genético (AG) que imita
los mecanismos evolutivos de las especies biológicas, a fin de
aprovechar sus conocidas propiedades de generalidad,
flexibilidad y atracción intuitiva 7, 8.
La metodología propuesta será usada, en primer lugar, para
identificar algunos parámetros del modelo AC5A, utilizado
por la IEEE para simular la dinámica de unidades de
excitación–generación eléctrica. El modelo AC5A es un
modelo continuo, de alto orden y que presenta una nolinealidad de tipo saturación. Por razones de seguridad, los
experimentos de identificación deben realizarse en condiciones
de lazo cerrado.
Como una extensión de la metodología propuesta, se mostrará
además en el trabajo, que algunos problemas asociados de
optimización no lineal, en particular el ajuste en lazo cerrado
de parámetros de reguladores PID en casos difíciles, tales
como sistemas inestables en lazo cerrado o de alto orden,
pueden ser ventajosamente resueltos utilizan-do un enfoque
similar basado en AG.
CARACTERÍSTICAS
DEL
GENÉTICO UTILIZADO
ALGORITMO
El AG seleccionado para la presente aplicación, tiene las
siguientes características:
a) Los individuos o cromosomas se codifican con números
reales 9, de tal forma a cada gen corresponde un valor real.
b) Una operación de “ranking” 10 asigna a cada individuo x un
número natural de acuerdo con el valor asociado del
criterio J(x), de tal forma que a valores menores de J(x)
corresponden números mayores. Entonces para cada
individuo x se define un nuevo valor J’(x) correspondiente
a su número de orden y que representa el grado de ajuste
de dicha solución. Por ejemplo, si tenemos una población
de tres individuos y los valores de J correspondientes a
cada uno de ellos son J1 = 10, J2 = 5 y J3 = 1, los valores
del criterio transformado serían: J’1 = 1, J’2 = 2 y J’3 =
3, o sea el tercer individuo es el que tiene el grado de
ajuste máximo.
c) Se utiliza una operación de selección conocida como
muestreo universal estocástico 10, según la cual, la
probabilidad de supervivencia de un individuo se calcula
mediante la ecuación (7), en la que Nind representa al
número de individuos.
J' ( x )
P( xi ) = Nind i
'
∑ J ( xj )
7)
j =1
28
d) El cruzamiento de los cromosomas se efectúa mediante un
operador de recombinación intermedio 11 definido mediante
la siguiente transformación:
x'1 = α 1 x1 + ( 1 − α 1 )x 2
x'2 = α 2 x 2 + ( 1 − α 2 )x1
α 1 ,α 2 ∈ [0 , 1]
8)
Jj =
k=N
∑(y
k =1
Los coeficientes
conocidas fi y gi:
m
( kT ) − y ( kT ) j ) 2
pij , q ij se calculan mediante las funciones
pij = f i ( PR , PGj )
14)
qi = g i ( PR , P )
15)
j
donde:
− α1, α2 son números aleatorios distribuidos
uniformemente que se generan para cada cromosoma.
− La probabilidad de cruzamiento se escoge como pc =
0.9.
e) La mutación de un cromosoma seleccionado
aleatoriamente con probabilidad pm se calcula mediante:
x 'i = x i ( 1 + 0.2 randn )
9)
donde randn es un número aleatorio distribuido normalmente
con media cero y varianza 1. Para la presente aplicación se
selecciona pm = 0.4.
13)
j
G
Si se cumple que:
j
J min
= Ji
16)
entonces la solución del problema de identificación será:
PG opt = PGi
17)
Puesto que el tamaño del espacio de búsqueda inicial es
desconocido, el algoritmo genético puede repetirse un número
arbitrario de veces Nrepet. Generalmente resulta ventajoso
reducir el espacio de búsqueda en las iteraciones sucesivas de
tal forma que en cada nueva iteración, el espacio se restringe a
la vecindad de la solución óptima encontrada en la anterior.
Por ejemplo, podemos hacer lo siguiente:
f) Se utiliza el concepto de “elitismo” durante la ejecución
del AG, es decir, la mejor solución obtenida en cualquier
generación, se mantiene inalterable en la generación
siguiente, hasta que aparezca una mejor. De esta forma se
evita que una solución muy buena que haya aparecido
aleatoriamente en las primeras generaciones, se pierda al
aplicarse los operadores genéticos.
donde α es un número pequeño, por ejemplo en el intervalo
[0.2,0.5].
IDENTIFICACIÓN EN LAZO CERRADO
En lo que sigue se presenta un ejemplo de la aplicación de esta
metodología. Consideremos un sistema de segundo orden
inestable que se describe mediante la función transferencial:
PG max = (1 + α ) PG opt
PG min = (1 − α ) PG opt
MEDIANTE ALGORITMOS GENÉTICOS
G ( s) =
En lo que sigue, se aplicará una metodología basada en un AG
para resolver el problema de optimización planteado en la
ecuación (6). En primer lugar se define una población de
parámetros IG de tamaño Nind que se genera inicialmente en
forma aleatoria, sometida a las siguientes restricciones:
I G max ≥ I G ≥ I G min
I Gj
=
I Gj
min + ( I Gj max − I Gj min) rand
10)
j = 1,Λ , Nind
− una función transferencial:
p mj s m + Λ p1j s + p 0j
P(s) j
=
Q( s ) j
q nj s n + Λ q1j s + q 0j
11)
siendo sus parámetros:
c0 = 5, d 2 = 50, d1 = −15
20)
Supongamos que este sistema se encuentra controlado
mediante el regulador PID continuo:
R( s ) = K p (1 +
1
Td s
+
)
Ti s 1 + β Td s
21)
Kp = 10, Ti = 100, Td = 0.8, β = 0.01
22)
En la figura 2 se muestra la respuesta transitoria del sistema en
lazo cerrado ante un escalón de amplitud 1, atenuado mediante
un filtro de primer orden con constante de tiempo 1, aplicado a
la referencia.
Muestreando la respuesta con un período T=0.05 segundos se
genera una muestra de datos de longitud N = 201.
− una respuesta temporal:
y (t ) j = L−1 ( H ( s) j L(r (t ))
19)
con parámetros:
Aquí, rand es un número aleatorio distribuido en el intervalo
[0,1]. Para cada individuo, de la población existe:
H ( s) j =
c0
d 2 s 2 + d1 s + 1
18)
12)
− y una función de error:
29
Real
Identificado
5
50
-15
5.11
50.68
-14.59
El método de identificación propuesto en este ejemplo es
prácticamente insensible a la presencia de ruido en las
mediciones. En efecto, para un nivel de ruido gaussiano con
varianza 0.04, se obtuvieron las siguientes estimaciones de los
parámetros:
c0 = 5.09, d2 = 50.87, d1= -15.6112
27)
Estos resultados son sólo ligeramente peores que los obtenidos
sin ruido. En la figura 3, se superponen la respuesta real con
ruido y la obtenida con el modelo identificado.
Figura 2. (a) Respuesta del sistema en lazo cerrado ante escalón
filtrado de amplitud 1 aplicado a la referencia, (b) comportamiento
del control.
La función transferencial del sistema en lazo cerrado tiene la
siguiente estructura:
H ( s) =
p 2 s 2 + p1 s + p 0
q 4 s 4 + q3 s 3 + q 2 s 2 + q1 s + q 0
23)
Los parámetros de H(s) pueden ser fácilmente calculados a
partir de G(s) y R(s) si estas son conocidas. Para aplicar el
método de identificación basado en un AG, se define en primer
lugar una población con la composición:
PGj = (c0 j d 2 j d1 j )
24)
j = 1,Λ , Nind
También debe determinarse el espacio de búsqueda inicial, que
puede ser arbitrariamente grande. Por ejemplo:
PG max = [100
PG min = [ 0
100
100 ]
25)
− 100 − 100]
Los parámetros del AG, cuya selección no es crítica, fueron
fijados para el presente ejemplo, con los valores:
Nind=400, Nogen=5, Nrepet=5
pc=0.9, pm=0.4, α = 0.5
26)
donde Nind es el número de individuos, Nogen el número de
generaciones y Nrepet el número de repeticiones del AG.
En la Tabla 1 se presentan los resultados obtenidos. Como
puede apreciarse, las estimaciones son muy próximas a los
valores reales de los parámetros. La respuesta transitoria del
sistema identificado en lazo cerrado con el regulador PID, que
se omite en aras de la brevedad, es prácticamente idéntica a la
mostrada en la figura 2.
Tabla 1: Comparación de los valores reales de los parámetros con los
identificados
Figura 3. Respuestas en lazo cerrado del sistema real con ruido y del
sistema identificado.
IDENTIFICACIÓN DE PARÁMETROS EN
SISTEMAS DE GENERACIÓN ELÉCTRICA
Las metodologías de identificación de unidades de generación
eléctrica reportadas en la literatura se basan generalmente en
experimentos realizados en lazo abierto 12 y utilizan alguna
modificación del método de mínimos cuadrados 13. Estos
enfoques dan como resultados versiones discretas de los
modelos 12, 14.
En esta sección se ilustrarán las posibilidades que ofrece la
metodología basada en un AG, para obtener soluciones
aceptables para este problema. Se usará el modelo tipo AC5A,
adoptado como estándar por la IEEE 15 como base para el
presente estudio y que se ofrece aquí, en una representación
tipo Simulink, en la figura 4.
Puesto que este modelo presenta una no linealidad del tipo
saturación, se usará una señal PRBS de pequeña amplitud
como señal de perturbación, a fin de garantizar que el sistema
permanezca en la zona lineal. El objetivo es identificar los
parámetros:
Ka, Ta – Parámetros del amplificador.
c0
d2
d1
Ke, Te – Parámetros del excitador.
30
Nind=400, Nogen=5, Nrepet=5,
Kg, Tg – Parámetros del generador.
pc=0.9, pm=0.4, α = 0.5
Los parámetros del PID (Kp, Ki, Kd y Td) se suponen
conocidos así como los parámetros de la red de adelanto (Kf,
Tf1, Tf2 y Tf3) que regula la salida del amplificador.
En primer lugar definimos una población para el AG, cuya
composición es la siguiente:
Ps j = ( Ka j Ta j Ke j Te j Kg j Tg j )
30)
j = 1Λ Nind
La respuesta del sistema a una PRBS de amplitud [-1, 1] que
se muestra en la figura 5, confirma que las excursiones de la
salida son muy pequeñas, lo que significa que el sistema se
encuentra operando en la zona lineal.
La Tabla 2 resume los resultados de la identificación usando
un AG con los siguientes parámetros:
31)
Claramente, existen considerables diferencias entre algunos
parámetros reales y los identificados, en particular para las
ganancias Ka y Ke. No obstante, resulta evidente de las
figuras 6 y 7, que las respuestas a escalones de diferente
amplitud son muy próximas, independientemente del hecho de
que la segunda respuesta fue obtenida en condiciones de
saturación activa.
Tabla 2: Parámetros reales e identificados
Ka
Ta
Ke
Te
Kg
Tg
Real
1
0.2
1
0.58
1
5
Ident.
1.25
0.28
0.72
0.61
1.07
5.3
T o File
salpid
Kp
Scope1
Gain
Repeating
Sequence
Stair
Ki
Ka
s
integral
Ta.s+1
amp
Saturation
Kd.s
filt
T d.s+1
derivativo
Kf*T f3.s2+Kf.s
Tf1*Tf2.s2 +(Tf1+Tf2)s+1
Gain1
Kg
1
s
T g.s+1
Integrator
derivativo1
1/Te
Zero-Order
Hold
Scope
Gain2
Ke
Gain3
Ksat
Scope2
Figura 4. Representación mediante Simulink del modelo AC5A de unidades de excitación-generación eléctrica controlado mediante un PID.
Figura 5. Respuesta del sistema a una PRBS.
Figura 6. Respuestas a un escalón de amplitud 5 del sistema real
(línea continua) y el identificado sin saturación (línea de puntos).
31
A continuación se propone una solución sistemática al
problema de sintonización de regulado-res PID, usando el
método basado en un AG y comenzando con el caso continuo.
Es necesario inicialmente obtener los siguientes datos:
a) La respuesta al escalón de la salida del lazo, obtenida
mediante la aplicación de un cambio en escalón de la
referencia, eventualmente suavizado mediante algún filtro
simple, por ejemplo de primer orden, cuya amplitud sea
tan pequeña como sea posible, teniendo en cuenta el nivel
de ruido en las mediciones.
b) El signo de la ganancia del proceso.
Consideremos de nuevo la función transferencial continua de
un regulador PID, que repetimos a continuación:
R ( s ) = K p (1 +
Figura 7. Respuestas a un escalón de amplitud 20 del sistema real
(línea continua) y el identificado con saturación (línea de puntos).
Td s
1
+
)
Ti s 1 + β Td s
32)
donde β <<1.
AJUSTE
DE PARÁMETROS DE UN
REGULADOR PID MEDIANTE UN MODELO
DE ORDEN REDUCIDO
En esta sección se mostrará como los problemas de ajuste de
parámetros en lazo cerrado de reguladores PID continuo y
discreto, pueden formularse como problemas de optimización
no lineal que se resuelven utilizando una metodología basada
en un AG, muy próxima a la explicada en la sección anterior.
Desde hace mucho tiempo se conoce un con-junto de métodos
de ajuste de reguladores PID, que han sido aplicados más o
menos exitosamente tanto en el caso continuo como en el
discreto. Entre ellos podemos mencionar el venerable método
de Ziegler y Nichols, el de Cohen y Cohn y el de Smith y
Murriel 16. Más recientemente ha cobrado popularidad el
debido a 17.
Todos los métodos mencionados, no obstante, requieren la
desconexión del lazo de control y la realización de
experimentos más o menos traumáticos. En algunos casos, en
particular si el sistema es inestable en lazo abierto o si se
encuentra en la frontera de estabilidad, tales experimentos no
son posibles o resultan peligrosos.
Utilizando la metodología propuesta de identificación basada
en un AG, es posible identificar un modelo de segundo orden
más retardo, incluso en condiciones de lazo cerrado. Este
modelo
generalmente
ofrece
una
aproximación
suficientemente buena de sistemas de alto orden con o sin
retardo y sirve de base para el ajuste de los parámetros de
reguladores PID. Este enfoque tiene al menos dos ventajas con
respecto a los métodos tradicionales:
− La mayoría de los métodos conocidos utilizan un
modelo aun más simple, de primer orden más retardo.,
como aproximación del sistema controlado.
− El experimento de identificación requerido puede
realizarse sin desconectar el lazo de control.
La función transferencial (32) puede también ser expresada en
la siguiente forma más compacta:
R( s ) =
B( s)
A( s)
33)
donde
B( s ) = b2 s 2 + b1s + 1
34)
A( s ) = a2 s + a1s
35)
2
y
b2 = Ti Td (1 + β ), b1 = (Ti + β Td )
a 2 = β Ti Td , a1 = Ti
36)
Consideremos ahora el siguiente modelo de segundo orden
más retardo:
G( s ) =
Km e− r s
c2 s 2 + c1s + 1
=
Km e −r s
C( s )
37)
Como es bien conocido, la función exponencial que representa
el retardo, puede ser adecuadamente aproximada mediante una
de las llamadas funciones de Padé 6 que son cocientes de
polinomios en s, cuyo grado determina la calidad de la
aproximación. Las pruebas experimentales que hemos
realizado hasta el momento nos permiten determinar que, para
el propósito que se persigue, la función de Padé de tercer
grado ofrece una aproximación suficiente.
Denotemos
entonces como Pade(s,r) a una función de Padé de tercer
grado, cuya función transferencial es (38):
Pade( s, r ) =
d 3 ( r ) s 3 + d 2 ( r ) s 2 + d1 ( r ) s + d 0 ( r ) D ( s )
=
f 3 ( r ) s 3 + f 2 ( r ) s 2 + f1 ( r ) s + f 0 (r ) F ( s )
La función transferencial (37) puede entonces expresarse
aproximadamente como:
32
G( s ) ≈
Km D( s )
C( s ) F ( s )
39)
La función transferencial de lazo cerrado de G(s) con el
regulador PID será entonces:
H( s ) =
Km B( s ) D( s )
A( s )C( s ) F ( s ) + Km B( s ) D( s )
41)
y puede generalmente medirse mediante un experimento
simple que genera la muestra de datos y m (kT ) para k =
1,…,N, que sirve como la información de entrada para la
identificación el modelo de segundo orden más retardo G(s).
Debemos ahora definir una población de parámetros de
tamaño Nind para el modelo G(s), que es en este caso:
x j = [ K mj , c 2j , c1j , r j ]
j = 1Λ Nind
sometida a las restricciones:
x max ≥ x j ≥ x min
42)
43)
j
Para cada individuo x de la población, corresponde una
función transferencial del modelo:
G( s ) =
j
Km j D( s ) j
C( s ) j F ( s ) j
así como una función transferencial en lazo cerrado:
H( s ) j =
44)
Km j B( s ) D( s ) j
45)
A( s ) C( s ) j F ( s ) j + Km j B( s ) D( s ) j
y una respuesta al escalón:
H ( s) j
46)
y j = L−1 (
U)
s
Formulamos de nuevo el problema de minimización no lineal:
1 k =N
J min = min J j =
∑ ( y m ( kT ) − y j ( kT ) ) 2
j
47)
N k =1
j = 1Λ Nind
sujeto a las restricciones definidas en la ecuación (43), que
puede ser ventajosamente resuelto mediante un AG. Si
tenemos que:
J min = J i
48)
entonces:
H j opt = H i
x j opt = x i = [ K m opt c 2 opt c1 opt r opt ]
que es el resultado del problema de identificación.
Consideremos una población de parámetros cuya composición
es definida como:
x j = [ K pj ,Ti j ,Td j , β j ]
40)
La respuesta transitoria a una función escalón u(t) de amplitud
U aplicada en la referencia del lazo de control, puede
expresarse mediante:
H (s)
y m (t ) = L−1 (
U)
s
A partir del modelo de segundo orden identificado es posible
ahora formular el problema del ajuste óptimo de los
parámetros del PID.
49)
j = 1Λ Nind
50)
Para cada individuo en (50) existe una función transferencial
en lazo cerrado:
H (s) j =
Kmopt B ( s) j D ( s) opt
A( s) j C ( s) opt F ( s) opt + Kmopt B ( s) j D ( s) opt
51)
Podemos entonces plantear el siguiente problema de
optimización (52):
J min = min J j =
j
1 k=N
( ∑ ( r ( kT ) − y ( kT ) j ) 2 + w max ( y ( kT ))
N k =1
con restricciones como las definidas en (43). El término r(kT)
es la referencia muestreada, que en este trabajo se selecciona
como la salida de un modelo de referencia de primer orden,
suficientemente suave para evitar excursiones intolerables en
la variable de control. La constante de tiempo del modelo de
referencia debe seleccionarse adecuadamente en dependencia
de la dinámica del sistema a controlar. El coeficiente w sirve
para penalizar cualquier sobre cresta que puede aparecer en la
respuesta en lazo cerrado. Este problema de optimización
puede resolverse, de nuevo, utilizando un AG en forma similar
a la solución del problema de identificación. Es decir:
H j opt = H i
x j opt = x i = [ Kpopt Tiopt Tdopt β opt ]
53)
A continuación se ilustrará el método propuesto mediante dos
ejemplos: El primero consiste en ajustar los parámetros del
PID que controla al sistema de segundo orden inestable
presentado en la Sección 3 mientras que en el segundo se
ajustarán los parámetros correspondientes a un sistema de 4to
orden más retardo deficientemente controlado.
Ejemplo 1. Consideremos de nuevo el sistema de segundo
orden inestable definido por:
G( s) =
c0
d 2 s + d1 s + 1
2
54)
con parámetros:
c0 = 5, d 2 = 50, d1 = −15
55)
La respuesta de este sistema a un escalón unitario filtrado,
controlado por el PID continuo con los parámetros definidos
en la ecuación (22), es excesivamente oscilatoria como se
muestra en la figura 2.
La identificación en lazo cerrado de este sistema resultó en los
parámetros dados originalmente en la Tabla 1 y que se repiten
a continuación:
33
c0 opt = 5.11, d 2 opt = 50.68,
d1 opt = −14.59, ropt = 0
56)
1.5
Las fronteras del espacio de búsqueda para los parámetros del
PID se seleccionan, en forma bastante arbitraria, en la forma:
x min = [ 50 5 0
x min = [ 0
0
1
50 1]
57)
0 0]
58)
Los parámetros encontrados para el PID óptimos con respecto
al criterio (52), para w = 1000, fueron:
Kp 0 opt = 3.88, Ti opt = 81.6,
Td opt = 42.4, β opt = 0.009
0.5
59)
0
La respuesta obtenida con los nuevos parámetros, se muestra
en la figura 8.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Figura 9. Respuesta en lazo cerrado de sistema de 4to orden más
retardo
Definimos ahora una población de posibles soluciones con la
composición dada en la ecuación (42). El espacio de búsqueda
se restringe inicialmente mediante:
xmax= [30 30 30 30]
63)
xmin= [0 -30 -30
64)
0]
En la definición del espacio de búsqueda, solamente se utiliza
el conocimiento del signo de la ganancia del proceso. (Km en
el intervalo 0-30). Los rangos para los parámetros restantes, se
define arbitrariamente. El espacio de búsqueda puede
restringirse en cada nueva repetición del AG, tal como se
muestra en la ecuación (18), con α en este caso igual a 0.5.
Los resultados obtenidos en la etapa de identificación del
modelo de 2do orden, son los siguientes:
Km = 0.93, c2 = 19.86, c1= 20.1, r = 12.71
Figura 8. (a) Respuesta óptima en lazo cerrado con penalización de
sobre-cresta y w = 1000, (b) variable de control.
Ejemplo 2. Consideremos a continuación el siguiente sistema
de 4to orden más retardo:
P( s ) =
e −5 s
(3s + 1)(5s + 1)(8s + 1)(12s + 1)
60)
controlado en forma ineficiente mediante un regulador PID
continuo con parámetros:
Kp = 0.5, Ti =10, Td = 0.1, β = 0.1
61)
cuya respuesta a un escalón filtrado mediante un filtro de
primer orden con constante de tiempo 1, se muestra en la
figura 9.
65)
En la figura 10 se superponen las respuestas en lazo abierto del
sistema original y del modelo de 2do orden aproximado. A
partir del modelo aproximado, la sintonización del regulador
PID se resuelve usando un AG con los parámetros definidos en
(62) y haciendo 5 repeticiones. El espacio de búsqueda para
este problema, que refleja la incertidumbre inicial sobre la
solución óptima, se define de la manera siguiente:
xmax=[100 100 100 1]
xmin= [ 0
0
0 0]
66)
67)
Se utiliza como señal de prueba en la referencia, un escalón
unitario suavizado mediante un filtro de primer orden con
constante de tiempo 1, a fin de atenuar en lo posible, las
oscilaciones iniciales de la variable de control. Los parámetros
del PID, obtenidos mediante la minimización del criterio (52),
con el coeficiente de peso w = 5, son los siguientes:
Para obtener un modelo de 2do orden más retardo aproximado
de este sistema, utilizamos un AG, con los parámetros:
Nind=500, pc=0.9, pm=0.4, Nogen=5
62)
34
u (t ) = Kp (e(t ) +
Tc t
Td
e(i ) +
(e(t ) − e(t − 1))) 68)
∑
Ti i =1
Tc
donde Tc es el período de muestreo.
Es posible entonces escribir la siguiente función transferencial
en transformada Z equivalente:
R( z ) =
u ( z ) r2 z 2 + r1 z + r0
=
e( z )
z −1
69)
donde
r2=Kp (1+Tc/Ti+Td/Tc)
r1=Kp (1+2*Td/Tc)
r0=Kp Td / Tc
Figura 10. Respuestas en lazo abierto del modelo de 2do orden
(línea continua) y del sistema original de 4to orden.
(70)
Consideremos también el siguiente modelo de segundo orden
más retardo expresado en forma de una función transferencial
discreta, que será utilizada para representar al proceso
controlado:
G ( z ) = KmG1 ( z )
donde G1
manera que:
71)
es una función transferencial normalizada, de
G1 ( z ) =
g1 z + g 0
, G1 (1) = 1
z ( z 2 + q1 z + q0 )
r
72)
Los coeficientes de G1 están entonces ligados por la relación:
q1 = g 0 + g1 − q0 − 1
73)
La función transferencial en lazo cerrado del modelo
aproximado de segundo orden con el regulador PID discreto,
está dada por:
Figura 11. Respuestas del sistema antes (línea de puntos) y después
(línea continua) del ajuste de los parámetros. (a) Salidas, (b)
variables de control
Kp = 1.33, Ti = 10.24, Td = 6.36, β = 0.053
DE
PARÁMETROS
REGULADORES PID DISCRETOS
74)
donde y representa a la salida y r a la referencia.
68)
Estos parámetros difieren considerablemente de los originales
definidos en (61). En la figura 11 se muestran superpuestas las
respuestas en lazo cerrado, antes y después de que los
parámetros han sido sintonizados.
AJUSTE
y( z)
R( z )G ( z )
= H ( z) =
r ( z)
1 + R( z )G ( z )
DE
Vamos a considerar ahora el ajuste de parámetros de
reguladores PID discretos que controlan a sistemas continuos.
Este es un problema de mucho interés práctico, teniendo en
cuenta que la mayoría de los reguladores actuales se basan en
la tecnología digital. El regulador PID discreto, en su forma de
posición, puede definirse en la forma siguiente:
La función transferencial en lazo cerrado H(z) es un cociente
de polinomios en z donde el numerador es de grado 3 y el
denominador de grado r+3, donde r es el número de períodos
de retardo.
Formulamos ahora el problema de estimar los parámetros Km,
r, g0, g1 y q0 del modelo discreto definido en (71), usando el
procedimiento basado en un AG y el criterio definido en (13).
En este último, y m (kT ), y ( kT ) j de nuevo representan las
respuestas en lazo cerrado a un escalón aplicado en la
referencia, del sistema y del individuo j de la población de
parámetros.
Un individuo de la población de tamaño Nind tiene ahora la
composición:
x j = [ g 0j g1j q0j K mj r j ]
75)
35
j
donde r debe ser un número entero. Como en el caso
continuo, una vez que la solución óptima del problema de
identificación es obtenida, es posible acometer la búsqueda de
los parámetros óptimos de un regulador discreto PID, usando
un AG. La composición de los individuos para este Segundo
problema se define ahora como:
x j = [ K pj Ti j Tdj ]
76)
y el criterio a ser minimizado es el mismo que en (52). Para
ilustrar los resultados que pueden obtenerse en el caso de un
regulador discreto, usamos ahora como ejemplo, el mismo
sistema de cuarto orden más retardo definido mediante la
ecuación (60). Supongamos que ese sistema es controlado
mediante un regulador PID discreto con parámetros:
Kp = 0.008, Ti = 1000, Td = 1, Tc = 1
77)
La respuesta al escalón de este sistema en lazo cerrado es
claramente oscilatoria, como se observa en la figura 12. La
aplicación del método de ajuste de reguladores PID discretos
usando un AG, con los parámetros dados en (62) y w = 0.75
genera el resultado también mostrado en la figura 12. Los
parámetros sintonizados del PID son:
Kp = 0.0076, Ti = 1601.3, Td = 0.052, Tc = 1
78)
cerrado basada en el uso de un algoritmo genético. La
metodología fue probada, en condiciones de simulación, en la
identificación de un sistema continuo inestable en lazo abierto,
en la obtención de un modelo reducido de segundo orden a
partir de otro de orden superior, así como en la identificación
de algunos parámetros del modelo AC5A de la IEEE, para
unidades de generación eléctrica, el cual presenta una no
linealidad del tipo saturación.
En todos los ejemplos
mencionados, se obtuvieron resultados satisfactorios.
Se ha comprobado, además, que con una ligera extensión de la
metodología propuesta, es posible resolver ventajosamente los
problemas de sintonización de reguladores PID continuos y
discretos, un tema de indudable interés práctico.
La metodología propuesta, no obstante, es susceptible de ser
mejorada y ampliada, lo que requerirá, sin dudas, un amplio
estudio experimental, incluyendo su utilización en condiciones
reales.
REFERENCIAS
1. FORSSELL U. Y LJUNG L. (1999): Closed-loop
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2. LJUNG L. Y FORSSELL U. (1999): An alternative
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4. MOHAMED VALL O.M. Y RADHI M. (2005): Using
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Systems with Variable Structure Controller, Proceedings of
Word Academy of Sciences, Engineering and Technology, vol
7, pp 1307-1311.
5. WHORTON, M.S. (2004):
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Guidance, Navigation and Control Conference and Exhibit, pp
16-19, Providence Rhode Island.
6. BUTCHER J.C. (2002): The A-stability of methods with Padé
and generalized Padé stability functions, Numerical
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7. BACK T. (1996): Evolutionary Algorithms in Theory and
Practice, Oxford University Press, New York.
8. GOLDBERG E. (1989): Genetic Algorithms in Search
Optimization and Machine Learning, Addison Wesley.
Figura 12. Respuestas en lazo cerrado de un sistema continúo de
4to. orden antes y después de sintonizado el PID discreto. (a)
Salidas, (b) variables de control.
CONCLUSIONES
En el presente trabajo se ha formulado una metodología para la
identificación de sistemas continuos en condiciones de lazo
9. MICHALEWICZ Z. (1996): Genetic Algorithms + Data
Structures = Evolution Program, Springer series Artificial
Intelligence, 3rd edition, Springer.
10. BAKER E. (1987): Reducing bias and inefficiency in the
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Conference on Genetic Algorithms, Grefenstette, Vol. 1, pp.
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11. MUHLENBEIN H. Y SCHLIERKAMP V. D. (1993):
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continuous parameter optimization, Evolutionary Computation,
The MIT Press 1(1), pp. 25.
12. KUNDUR P. (1994): Power System Stability and Control,
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36
13. BOTERO H.A., RAMÍREZ J.M. (2005): A methodology for
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14. YUAN Y.H. Y CHUAN-SHENG, S.L (1996): Experience
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at the second nuclear plant of Taiwan Power Company, IEEE
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16. SMITH C.L. (1972): Digital Computer Process Control, Intext
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of simple regulators, Preprints 9th IFAC World Congress, pp.
267-272, Budapest, Hungary.
AUTORES
Alberto Aguado Behar: Ingeniero en Control Automático,
Doctor en Ciencias Técnicas, Investigador Titular del Instituto
de Cibernática, Matemática y Física (ICIMAF), Profesor
Titular del ISPJAE, email: [email protected], tlf..: 8320319. Investiga en temas de identificación y control avanzado
de sistemas en el Dpto. de Control Automático del ICIMAF.
Imparte docencia en la maestría de automática del ISPJAE
Abelardo del Pozo Quintero: Ingeniero en Control
Automático, Doctor en Ciencias Técnicas, Investigador Titular
del Instituto de Cibernática, Matemática y Física (ICIMAF),
Profesor Titular del ISPJAE, email: [email protected], tlf..:
832-0319. Investiga en temas de robótica y control avanzado
de sistemas en el Dpto. de Control Automático del ICIMAF.
Imparte docencia en la maestría de automática del ISPJAE.
Alfredo Gómez Infante: Ingeniero en Control Automático,
Investigador Auxiliar del Instituto de Cibernática, Matemática
y Física (ICIMAF), Profesor Auxiliar del ISPJAE, email:
[email protected], tlf..: 832-0319. Investiga en temas de
identificación y control avanzado de sistemas en el Dpto. de
Control Automático del ICIMAF.
En esta última sección se incluirá una breve reseña del autor o
autores que debe incluir:
Nombre y Apellidos, título Universitario, Grado científico,
categoría docente y/o de investigador, centro de trabajo,
dirección postal, número de teléfono y FAX, correo
electrónico y una nota breve sobre su labor actual.
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