Tema 6 Productos Interiores

Sección 6.6
6.6
Productos interiores
1
Productos interiores
Los productos interiores se definen solo en espacios vectoriales sobre los complejos
o sobre los reales. En esta sección K denota uno de estos dos campos. El lector debe
conocer los conceptos de módulo, el conjugado y la parte real de un número complejo.
def √
|a + bi| = a2 + b2
def
a + bi = a − bi
def
Re (a + bi) = a
y sus propiedades más elementales:
x + y = x + y xy = xy
xx = |x|2
x + x = 2 Re x Re x ≤ |x| (x ∈ R ⇔ x = x)
Si E es un espacio vectorial sobre C entonces a una función f : E → K se le llama
funcional semilineal si ∀x, y ∈ E ∀α ∈ C se cumple que
f (x + y) = f (x) + f (y) y f (αx) = αf (x)
Los funcionales semilineales sobre R son los funcionales lineales.
Definición
Sea E un espacio vectorial sobre K ∈ {R, C}. A una función
• : E ⊕ E 3 (x, y) 7→ x • y ∈ K
se le llama producto interior si se cumplen las siguientes propiedades:
1. ∀y ∈ E la función •y : E 3 x 7→ x • y ∈ K es un funcional lineal.
2. ∀x ∈ E la función x• : E 3 x 7→ x • y ∈ K es un funcional semilineal.
3. (Simetrı́a conjugada) x • y = y • x y en particular x • x es siempre
un real.
4. (Definida positiva) x • x ≥ 0 y ( x • x = 0) ⇒ x = 0.
Ejemplos de productos interiores
1. El producto escalar canónico en Rn .
2. En Cn el producto definido por
(α1 , . . . , αn ) • (β1 , . . . , βn )
=
n
X
αi βi
i=1
3. En el espacio de todas las funciones reales continuas en el intervalo [0, 1] el proZ1
ducto definido por
f • g = f (x) g (x) dx
0
2
La norma
√
Sea un vector x en un espacio con producto interior. Definiremos kxk =
x•x
y la llamaremos la norma de x. Veamos las primeras propiedades de la norma.
6.1
Teorema de Pitágoras
Si
x•y
= 0 entonces, kx + yk2 = kxk2 + kyk2 .
6.2
Prueba. kx + yk2 = kxk2 + 2 Re x • y
+ kyk2 = kxk2 + kyk2 .
kαxk = |α| kxk.
Prueba. kαxk =
√
αα kxk = |α| kxk.
6.3
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
| x • y | ≤ kxk kyk.
Prueba. Sea
y•x
x
x•x
(compárese con Gram-Schmidt). Tenemos z • x = 0 y por lo tanto
y•x
x•y
| x • y |2
2
=
kyk
−
0 ≤ kzk2 = z • y = kyk2 −
kxk2
kxk2
y despejando obtenemos lo que se querı́a demostrar.
z=y−
6.4
Desigualdad del Triángulo
kx + yk ≤ kxk + kyk.
Prueba. Tenemos
kx + yk2 = kxk2 + kyk2 + 2 Re x • y ≤ kxk2 + kyk2 + 2 | x • y |
y usando Cauchy-Schwarz obtenemos
kx + yk2 ≤ kxk2 + kyk2 + 2 kxk kyk = (kxk + kyk)2
y sacando raiz cuadrada obtenemos lo que se querı́a demostrar.
1.
2.
3.
4.
Definición de funcional semilineal.
Definición de producto interior.
Definición de norma
Teorema de Pitágoras
5. kαxk = |α| kxk.
6. Desigualdad de Cauchy-Schwarz
7. Desigualdad del Triángulo