Ejercicios

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Instituto Tecnologico Autonomo de Mexico.
Ejercicios
Deduzca la siguiente formulacion de la progresion aritmetica y compruebe
via induccion matematica:
X
n
k
2
=
n
k=1
(n + 1) (2n + 1)
6
Encontrar las condiciones que deben cumplir a,b,c, y d para que el siguiente
sistema tenga (a) solucion unica (b) solucion multiple, (c) ninguna solucion:
+
ax
ax
by
by
=
=
c
d
En cada uno de los dos siguientes diagramas se representa un sistema de
calles. Las echas indican el sentido, el numero, y las variables que representan
la cantidad de vehculos que transitan por hora en la calle respectiva. Suponga
que el numero vehculos que entran a un cruce es igual al numero que sale del
mismo cruce. En cada caso diga cuales son los valores posibles para x1 ; x2 ; x3 ; x4 ;
cual es el valor mnimo de x1 y cual el de x3 ?
I
L
u=0
u=1
R
V
E
C
Para que valores de los vectores = (3
ortogonales, es decir, = 0 ?
r
a
a
;
6; r; 0) y b = (4; 8; r; 3) son
b
Dr.Mauricio Garc
a Esteban
Algebra Lineal/2001.
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Instituto Tecnologico Autonomo de Mexico.
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.
Representacion matricial de un sistema de ecuaciones lineales
0
B
B
donde: = B
@
0
B
B
de variables B
@
A
A x
=b
1
11
12
1
C
21
22
2
C
..
..
.. C es la matriz de coecientes, x el vector
.
.
. A
11
2
0 1
1
1
B
2 C
2 C
C
C
B
.. C, y b, el vector de salida constante B .. C
A
@
. A
.
a
a
:::
a n
a
a
:::
a n
am
am
:::
amn
x
b
x
b
xn
bn
Inversa de una matriz cuadrada.
DEFINICION 1: Matriz identidad
La matriz identidad In de nxn es una matriz
cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demas son
0. Esto es,
1 si i = j
In = (bij ); donde bij =
0 si i 6= j
Teorema 1: Conmuta de la multiplicacion cuadrada por la matriz identidad
Sea A una matriz cuadrada de nxn. Entonces
A In
DEFINICION 2: Inversa de una matriz
que
A B
=
=A
In A
Sean A y B dos matrices de nxn. Suponga
=
B A
=I
Entonces B se llama la inversa de A y se denota por A . Entonces se tiene
A A
Si
A
=
tiene inversa, entonces se dice que
A
A
A
=I
es invertible.
Una matriz cuadrada que no es invertible se llama singular y una matriz
invertible se llama tambien no singular.
Teorema 2: Si una matriz
A
es invertible, entonces su inversa es u
nica.
Dr.Mauricio Garc
a Esteban
Algebra Lineal/2001.
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Instituto Tecnologico Autonomo de Mexico.
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada
.
A
Paso 1 Se escribe la matriz aumentada (AjI )
Paso 2 Se utiliza la reduccion por renglones para poner la matriz
escalonada reducida por renglones.
A
a su forma
Paso 3 Se decide si A es invertible
a. Si la forma escalonada reducida por renglones de A es la matriz identidad I , entonces A es la matriz que se tiene a la derecha de la barra
vertical.
b. Si la reduccion de A conduce a un renglon de ceros a la izquierda de
la barra vertical, entonces A no es invertible.
Teorema 3: Inversa de una matriz de 2x2.
i A es invertible si y solo si det
ii Si det
A
Sea
A
6= 0, entonces
A
Dr.Mauricio Garc
a Esteban
=
1
detA
A
una matriz de 2x2. Entonces
6= 0.
a22
a21
a12
a11
Algebra Lineal/2001.