Matriz adjunta e inversa. Definición: Si A es una matriz de n x n y B

Matriz adjunta e inversa.
Definición: Si A es una matriz de n x n y B es la matriz de sus cofactores, entonces la
Adjunta de A , denotada por
es la transpuesta de la matriz B de n x n , esto es:
Ejemplo:
Encuentra la adjunta de la matriz
Solución:
Encontrando primeramente la matriz B de cofacores:
y entonces
Teorema: Si A es una matriz invertible, entonces
Demostración:
Dada la matriz A de n x n, entonces:
donde el elemento en el i-ésimo renglón y la j-ésima columna de
es:
En el caso de que
renglón de A y si
, la suma anterior es la expansión del determinante de A sobre el
la suma es 0.
Por lo tanto
Luego, dado que A es invertible, entonces
entonces
,
y multiplicando en ambos miembros de la igualdad por
Ejemplo:
Encuentra la inversa de la matriz
Solución:
Encontrando primeramente la adjunta de A:
Enseguida, calculando el determinante de A:
Finalmente:
: