Problemas de cónicas

CÓNICAS
1. En el plano proyectivo se consideran las cónicas que tienen por ecuación
0
12
3
k
0
1
x
Ck : [x; y; t] @ 0 k(k 1) 0 A 4 y 5 = 0
1
0
k
t
Encuentra los valores de k 2 R para los cuales Ck es una cónica degenerada y determina los puntos
singulares y las ecuaciones de las rectas que componen dicha cónica.
2. Justi ca los siguientes enunciados:
a. Sea C una cónica degenerada. La recta polar de todo punto que no pertenece a C contiene a todos los
puntos singulares de C.
b. Si un punto es de una cónica degenerada C y no es un punto singular de ella, entonces la recta
determinada por este punto y cualquier punto singular de la cónica está contenida en C.
c. Si C es una cónica formada por dos rectas entonces toda recta que no contiene al punto singular no
tiene polo.
d. Si C es una cónica con dos puntos singulares entonces C contiene una recta de puntos singulares.
3. En el plano proyectivo se considera la cónica C: 4x2
a. Comprueba que es degenerada.
2y 2
2xy + 12xt + 6yt = 0
b. Determina los puntos singulares de C.
c. Descompón la cónica en producto de rectas.
d. Halla la recta polar de P = [0; 3; 1], la recta polar de Q = [0; 1; 1] y comenta los resultados.
e. ¿Tiene Polo la recta m : x + y + t = 0?. ¿Qué rectas tienen polo respecto de C?.
4. En el plano proyectivo se considera la cónica C: x2 + 4y 2 + t2
a. Comprueba que es degenerada.
4xy + 2xt
4yt = 0
b. Determina los puntos singulares de C.
c. Descompón la cónica en producto de rectas.
d. Halla la recta polar de P = [ 1; 0; 1], la recta polar de Q = [0; 0; 1] y comenta los resultados.
e. ¿Qué rectas tienen polo respecto de C?.
5. Demuestra que si P y Q son puntos conjugados con el punto A , respecto de la cónica C entonces la recta
que contiene a los puntos P y Q es la recta polar de A respecto de C:
6. Sea C la cónica del espacio proyectivo cuya ecuación es 2x2 + y 2 + t2 + 2xy
a. Halla la recta polar del punto P = [2; 0; 1].
b. Encuentra el polo de la recta r : 2x + 3y + t = 0:
c. Determina las rectas tangentes trazadas desde el punto Q = [0; 0; 1].
d. Obtén la recta tangente a C en el punto S = [0; 1; 1].
1
2xt + 2yt = 0
e. Clasi ca C. ¿C tiene puntos impropios?.
7. En el plano proyectivo se considera la siguiente familia de cónicas: H = 2xy + 2yt + k(x2 + y 2 + t2 ) = 0
k2R
a. Determina los valores de k para los cuales las cónicas de H son regulares.
b. Halla los puntos singulares en los casos en que existan.
c. Encuentra una cónica regular, C, dentro del haz que veri que que los puntos [0; 0; 1] y [0; 1; 1] son
conjugados respecto de dicha cónica.
d. Halla el lugar geométrico de los puntos Z tales que la recta determinada por P = [ 1; 1; 1] y Z sea
tangente a la cónica C. Comprueba que dicho lugar geométrico es una cónica degenerada.
8. Sea la cónica del plano proyectivo de ecuación C : 4x2 + y 2 + t2 + 2xy + 4xt
a. Clasi ca la cónica y halla centro y ejes. Ecuación reducida.
9. Sea C la cónica del plano proyectivo de ecuación 4x2 + y 2
a. Clasi ca la cónica y halla centro, asíntotas y ejes.
2yt = 0:
15t2 + 4xy + 2xt + 6yt = 0:
b. Obtén su ecuación reducida.
10. Sea C la cónica del plano proyectivo de ecuación x2 + y 2 + 4xy + 6xt
a. Clasi ca la cónica y halla centro, asíntotas y ejes.
b. Ecuación reducida y expresión matricial del cambio de referencia.
c. Halla las rectas tangentes a C que contengan al punto P = [0; 1; 1]
2
2yt + t2 = 0
CÓNICAS
1. En el plano proyectivo determina la hipérbola tal que:
x + 2y 2t = 0 es una asíntota
La otra asíntota es paralela a x = 0.
La polar de P = [1; 0; 0] es la recta x + y 2t = 0.
2. Determina el conjunto de cónicas del plano proyectivo que pasan por el punto M = [0; 0; 1] , tienen por
centro el punto = [1; 1; 2] y la recta r:2x t = 0 es un eje.
3. Determina la cónica C del plano proyectivo que cumple las siguientes condiciones:
Su centro es [1; 1; 1].
Un vértice es [3; 1; 1].
El punto [0; 0; 1] pertenece a C.
4. Determina el haz de cónicas del plano proyectivo que tiene por asíntotas las rectas r:2x + y + 6t = 0 y
s : x 2y 3t = 0:Indica las cónicas degeneradas del haz.
5. Determina el haz de cónicas del plano proyectivo que pasan por los puntos M = [0; 0; 1] y N = [4; 0; 1]
pertenecientes a la circunferencia C y son tangentes a dicha circunferencia en el punto Q = [2; 2; 1]:
6. Sea C la cónica del plano proyectivo de ecuación x2 y 2 4xt 6yt = 0:
a. Determina la cónica con asíntotas paralelas a las de C, con centro en el punto
respecto de la cual los puntos M = [3; 1; 1] y N = [0; 1; 1] son conjugados.
= [2; 1; 1] y
7. En el plano proyectivo se considera la cónica de ecuación 4x2 + y 2 15t2 + 4xy + 2xt + 6yt = 0:
Determina el haz de cónicas, H, tangentes a C en los puntos V = (x = 2; y = 3; t = 1) y
P = (x = 1; y = 2; t = 0):
8. En el plano proyectivo, se da el siguiente haz de cónicas H = x2 + y 2 + 2 xy + 2xt + 2yt = 0,
a. Clasi ca todas las cónicas del haz.
2 R:
b. Halla los puntos singulares de la cónica del haz que pasa por el punto [1; 1; 1].
c. Halla el lugar geométrico formado por los centros de las hipérbolas y elipses de H.
d. Si C es la cónica de H correspondiente al valor
ortogonales a dichas asíntotas.
= 2, halla sus asíntotas y los diámetros que sean
e. Encuentra la expresión de todas las cónicas que sean tangentes a la cónica en sus vértices.
9. En el plano proyectivo se tiene el siguiente haz de cónicas H : x2 + y 2 2t2 + (x 2t)x = 0,
a. Da las ecuaciones de las circunferencias, las parábolas y las cónicas degeneradas del haz.
b. Halla la cónica C del haz tal que respecto de ella el polo de la recta 2x
A = [0; 1; 1]:
2R
y + 2t = 0 es el punto
c. Ecuación de la recta tangente a C que sea paralela a la recta x = y
10. En el plano proyectivo, se considera el siguiente haz de cónicas H = 2x2 + 2y 2 + 2 xy + 2 t = 0,
3
2 R:
a. Clasi ca todas las cónicas del haz.
b. Determina la cónica C del haz que pasa por el punto [1; 1; 1], halla su ecuación reducida así como la
referencia afín correspondiente.
c. ¿Cuál es el polo de la recta x
2y + 2t = 0 respecto de la cónica C?.
11. Sea la cónica del plano proyectivo de ecuación C : 5x2 + y 2 + 25t2 + 2xy
a. Clasi ca la cónica en función de ( 2 R.).
22xt
14yt = 0,
b. Para = 5, determina la ecuación reducida de C indicando el sistema de referencia en el cual la
cónica tiene esa expresión.
c. Determina la cónica C 0 sabiendo que las rectas 2x + y + t = 0 y 3x y = 0, son las rectas polares de
los puntos P = (x = 1; y = 2; t = 0) y Q = (x = 1; y = 3; t = 0) respecto de C 0 y que los puntos
P; Q y R = (x = 0; y = 1; t = 1) pertenecen a dicha cónica.
12. En el plano euclídeo referido a la referencia ortonormal R = fO; fe1 ; e2 g}
a. Determina la cónica C dada por las siguientes condiciones:
i. Pasa por el origen de la referencia y la tangente en él es la recta 6x1 + x2 = 0:
Es tangente a la circunferencia de centro Z = (4; 6), radio 2 en el punto Q = (q1 = 4; q2 =
4)
Los ejes son paralelos a los ejes de coordenadas.
b. Halla los ejes, las tangentes paralelas a las bisectrices de los ejes cartesianos, la forma reducida y el
sistema de referencia respecto del cual C toma su expresión canónica.
13. Se considera el plano afín euclídeo con referencia ortonormal.
p
a. Determina la cónica C que pasa por los puntos V = (0; 2); V 0 = (8; 2) y P = (6; 2
3) sabiendo
que los puntos V y V ' son intersección de la cónica con uno de sus ejes. Halla el otro eje.
b. Obtén la cónica C 0 tangente a C en los puntos de intersección con la recta x1
pasa por el punto (0; 4).
2x2 + 4 = 0, y que
c. Encuentra las cónicas degeneradas del haz determinado por las cónicas C y C 0 . Indica cuáles son sus
puntos singulares.
14. Sea H haz de cónicas del plano proyectivo determinado por las cónicas C y C 0 de ecuaciones
C : 4x2 2y 2 8xt + 6yt = 0, C 0 : 2xy 2yt = 0
a. Encuentra las cónicas degeneradas del haz, los puntos singulares de cada una de ellas y su
descomposición en producto de rectas.
b. Obtén la cónica del haz, C; para la cual la polar del punto P = [2; 2; 1] es la recta r : 3x + 3y = 8t:
c. Determina, respecto de C, el triángulo autopolar, que tiene uno de sus vértices en P y otro en la recta
3x = 8t.
4