Guia aplic func. rac..

FUNCIONES RACIONALES
I.- Gráfica de funciones
En las funciones definidas a continuación, determine:
Interceptos con los ejes
Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
Ceros o raíces
Dominio
Esboce la gráfica
1) f ( x ) =
2x 2
x −1
2) h( x ) =
x 2 − 6x + 5
x 2 + 3 x − 10
3) g( x ) =
2x − 6
x2 − 9
4) k( x ) =
3
x + 6x − 7
2
II.- Problemas de Aplicación
1) Capacitación laboral. Una compañía produce componentes electrónicos
para televisores. Según sus registros un nuevo empleado puede ensamblar en
promedio N(t) componentes por día, después de t días de capacitación, como
esta dada por
50 t
t ≥0
N(t) =
t+4
Trace la gráfica de N, incluyendo cualquier asíntota vertical u horizontal.
¿A que valor tiende N conforme t →∞?
2) Psicología. En un estudio sobre la rapidez de la contracción muscular en
ranas sometidas a diferentes descargas eléctricas, los investigadores
encontraron que la velocidad de contracción disminuye con el aumento en las
cargas. De forma más precisa, encontraron que la relación entre la velocidad
de contracción S (en centímetros por segundo) y la descarga w (en gramos)
está dada de manera aproximada por:
S(w) =
26 + 0,06 w
w
w≥5
Trace la gráfica de S, incluyendo cualquier asíntota vertical u horizontal.
¿A que valor tiende S conforme w →∞?
3) Retención. En una clase de psicología se realizó un experimento sobre
capacidad de retención. Durante 20 días se Ie pidió a cada estudiante
memorizar una lista diferente cada día de 40 caracteres especiales.
AI terminar el día debían regresar la lista, y anotar en cada día sucesivo del
periodo que duró la prueba una lista con tantos símbolos como pudieran
recordar.
AI final se sacaron promedios y se encontró que una buena aproximación del
promedio del número de símbolos, N(t), retenidos después de t días esta dado
por:
5t + 30
N( t ) =
t≥1
t
Trace la grafica de N, incluyendo cualquier asíntota vertical u horizontal. ¿A
que valor tiende N conforme t →∞?
4) Teoria del aprendizaje. En 1917 Thurstone, propuso la función
f (x) =
a( x + c )
(x + c) + b
para describir el número de tareas exitosas por unidad de tiempo que una
persona puede terminar después de x sesiones de practica. Suponga que para
una persona en particular, inscrita en una clase de mecanografía, es
50( x + 1)
x+5
donde f(x) es el numero de palabras por minuto que la persona puede teclear
después de x semanas de lecciones.
f (x) =
Trace la grafica de f(x), incluyendo cualquier asíntota horizontal o vertical.
¿A que valor tiende f(x) conforme x →∞?
Nota: Usando las técnicas de calculo, se puede demostrar que el valor mínimo
de una función de la forma
g( x ) = ax + b +
es mínima en x =
c
x
a > 0, c > 0, x > 0
c
Use este hecho en los siguientes problemas.
a
5) Tiempo de reemplazo. Una fotocopiadora tiene un precio inicial de $2.500.
Un contrato por servicio y mantenimiento cuesta $200 el primer año y aumenta
$5O por cada año subsiguiente.
Se puede demostrar que el costo total de la fotocopiadora después de n años
esta dado por C(n) = 2500 + 175 n + 25 n 2
El costo promedio por año para n años es
(a) Encuentre la función racional C(n)
(b) ¿Cuando es mínimo el costo promedio por año? (Esto con frecuencia se
denomina tiempo de reemplazo para este equipo.)
(c) Trace la grafica C(n) , incluyendo cualquier asíntota.
6) Costo promedio. EI costo total de producción de x unidades de cierto
producto esta dado por
1
C( x ) = x 2 + 2x + 2000
5
C( x )
El costo promedio por unidad para producir x unidades es C( x ) =
.
x
(a) Encuentre la función racional C( x ) .
(b) ¿A qué nivel de producción el costo promedio por unidad será mínimo?
(c) Dibuje la gráfica de C( x ) , incluyendo cualquier asíntota.
7) Construcción. Se va a construir una perrera rectangular que delimitará un
área de 225 pies cuadrados.
(a) Si x representa el ancho de la perrera, exprese la longitud total L(x) del
material de cerca necesario para la perrera en términos de x.
(b) Considerando las limitaciones físicas, ¿Cuál es el dominio de la función
L(x)?
(c) Encuentre las dimensiones de la perrera para la que necesitará la mínima
cantidad de material de cerca.
(d) Grafique la función L(x), incluyendo cualquier asíntota.
8) Construcción. Vuelva a trabajar en el problema 7, pero ahora suponiendo
que la perrera se va a dividir en dos secciones, como se muestra en la figura