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Juan Carlos Colonia PROBABILIDAD CONDICIONAL PROBABILIDAD CONDICIONAL La ocurrencia de un evento puede depender o estar condicionada a la ocurrencia de otro evento, en cuyo caso la probabilidad de que un evento A ocurra dado que ya ocurrió algún evento B se llama probabilidad condicional. PROBABILIDAD CONDICIONAL La probabilidad del evento A condicionado a la ocurrencia del evento B denotado por P A B se define. P A B P B 0 P A B P B Observación: P A B P B A PROBABILIDAD CONDICIONAL La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es 0.83, la probabilidad de que llegue a tiempo es 0.82 y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es 0.78. a. Calcular la probabilidad de que un avión llegue a tiempo dado que salió a tiempo b. Calcular la probabilidad de que un avión salió a tiempo dado que llego a tiempo PROBABILIDAD CONDICIONAL Sean los eventos: D: El avión salió a tiempo A: El avión llegue a tiempo De acuerdo a los datos se tiene: P D 0.83 P A 0.82 P D B 0.78 PROBABILIDAD CONDICIONAL a. Probabilidad de que un avión llegue a tiempo dado que salió a tiempo P A D 0.78 P A D 0.94 P D 0.83 b. Probabilidad de que un avión salió a tiempo dado que llego a tiempo P A D 0.78 PD A 0.95 PA 0.82 EVENTOS INDEPENDIENTES Dos eventos serán independientes si el conocimiento de la ocurrencia de uno de ellos no influye ni tiene relación alguna sobre la ocurrencia o no del otro evento, es decir un evento no tiene influencia sobre el valor de probabilidad de otro evento. EVENTOS INDEPENDIENTES Dos eventos cumple: A y B son independientes si se P A B P A P B REGLA DE MULTIPLICACIÓN Para toda colección de n 1 eventos A0 , A1 , A 2 ,..., A n 1, A n para los cuales P A 0 A1A 2 ...A n 1A n 0 , entonces: P A 0 A1A 2 ...A n 1A n P A 0 P A1 A 0 P A 2 A 0 A1 ...P A n A 0 A1...A n 1 PARTICIÓN DEL ESPACIO MUESTRAL Se dice que los eventos E1 , E 2 ,..., E n 1, E n representa una partición del espacio muestral S si: Ei n Ej i j Ei s i 1 P Ei 0 i PROBABILIDAD TOTAL Sea Ei una colección de eventos disjuntos que forman A una partición del espacio muestral y sea un evento de entonces: n Donde: P A P Ei P A Ei i 1 P A : Probabilidad del evento A P Ei : Probabilidad del evento E i P A Ei : Probabilidad del evento A dado E i REGLA DE BAYES Sea Ei una colección de eventos disjuntos que forman una partición del espacio muestral y sea A con P A 0 , entonces: PE j A PE j P A E j n PE PA E i 1 i i j 1, 2,..., n REGLA DE BAYES Una empresa tiene dos candidatos a la presidencia del directorio cuyas probabilidades de ganar son 0.42 y 0.58 respectivamente. Se tiene proyectado lanzar al mercado un nuevo producto. La probabilidad de que el producto sea lanzado al mercado si gana el primer candidato es 0.28 y si gana el segundo candidato es 0.37. a. Hallar la probabilidad de que este nuevo producto sea lanzado al mercado. b. Halle la probabilidad de que si el producto fue lanzado al mercado haya sido debido al hecho de que ganó el candidato 2. REGLA DE BAYES Sean los eventos: C1 : Gana el candidato 1 C2 : Gana el candidato 2 N : Nuevo producto sea lanzado al mercado De acuerdo a los datos se tiene: P C1 0.42 P C 2 0.58 P N C1 0.28 P N C 2 0.37 REGLA DE BAYES a. Probabilidad de que este nuevo producto sea lanzado al mercado. 2 PROBABILIDAD TOTAL: P N P Ci P N Ci i 1 P N P C1 P N C1 P C 2 P N C 2 P N 0.42 0.28 0.58 0.37 0.3322 REGLA DE BAYES b. Probabilidad de que si el producto fue lanzado al mercado haya sido debido al hecho de que ganó el candidato 2. TEOREMA DE BAYES: P N C2 P C2 P N C2 2 P C P N C i 1 i i REGLA DE BAYES b. Probabilidad de que si el producto fue lanzado al mercado haya sido debido al hecho de que ganó el candidato 2. P N C2 P C2 P N C2 P C1 P N C1 P C 2 P N C 2 0.58 0.37 0.2146 P N C2 0.6459 0.42 0.28 0.58 0.37 0.3322