Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Superior de Ingenieros
Camino de los Descubrimientos s/n
41092 Sevilla
GRADO EN INGENIERÍA QUÍMICA
FÍSICA I
CURSO 2011/2012
PROBLEMAS DE VECTORES
1. Utilizando la definición de producto escalar, demostrar:
· A.
se verifica |A|
2=A
(a) Que dado un vector A,
(b) La ley del coseno para triángulos.
2. Encontrar los cosenos directores de la recta que une los puntos (3, 2, −4) y (1, −1, 2).
Respuesta: 2/7, 3/7 y −6/7, ó −2/7, −3/7 y 6/7.
3. Usando la noción de producto escalar, encontrar el ángulo agudo formado por las dos diagonales de
un cubo. Respuesta: 70◦ 32 .
√
4. Sean a y b dos vectores en el plano OXY tal que a tiene módulo 2 y forma un ángulo de 45◦ con el
eje OX, y b es unitario y forma un ángulo con OX de 150◦ . Se pide:
(a) Expresar a y b en la base {ı, j}.
(b) Sea c un vector de módulo 2, cuya dirección es perpendicular a OX, y tal que c · j < 0. ¿Qué
expresión tiene este vector en la base formada por los vectores a y b?
√ √
√
Respuesta: (a)a = ı + j, b = −0.5 3ı + 0.5j; (b) c = −2/(1 + 3)[ 3a + 2b].
5. Expresar los vectores unitarios ı y j y k correspondientes al sistema de referencia OX Y Z , a partir
de los vectores ı, j, k del sistema OXY Z, sabiendo que OX Y Z se obtiene rotando OXY Z alrededor
de OZ un ángulo de 30◦ , en el sentido que va de OX a OY . Si un punto P tiene coordenadas (1, 1, 0)
en el sistema OXY Z, ¿cuáles son sus coordenadas en OX Y Z ?
√
√
Respuesta: x = ( 3 + 1)/2; y = ( 3 − 1)/2; z = 0.
= 2ı + 3j + 6k y que pasa por el punto
6. Encontrar la ecuación del plano perpendicular al vector A
Q(1, 5, 3). ¿Cuál es la distancia del origen al plano? Respuesta: 2x + 3y + 6z = 35; 5.
yB
es |A
∧ B|.
7. (a) Demostrar que el área del paralelogramo de lados A
(b) Encontrar√el área del triángulo cuyos vértices son los puntos P (1, 3, 2), Q(2, −1, 1) y R(−1, 2, 3).
Respuesta: 107/2.
· (B
∧ C)
es igual, en valor absoluto, al volumen del parale8. (a) Demostrar que el producto mixto A
B
y C.
lepı́pedo de lados A,
=
(b) Encontrar el volumen del paralelepı́pedo cuyos lados están representados por los vectores A
2ı − 3j + 4k, B = ı + 2j − k, y C = 3ı − j + 2k.
Respuesta: 7.
∧ B)
∧ C|,
(b) |A
∧ (B
∧ C)|
= ı − 2j − 3k, B
= 2ı + j − k, y C
= ı + 3j − 2k, encontrar: (a) |(A
9. Si A
(c) A · (B ∧ C), (d) (A ∧ B) · C, (e) (A ∧ B) ∧ (B ∧ C), (f) (A ∧ B)(B · C).
√
√
Respuesta: (a) 5 26, (b) 3 10, (c) −20, (d) −20, (e) −40ı − 20j + 20k, (f) 35ı − 35j + 35k.
10. Problema 63 (Capı́tulo 1, Pag. 36) del Serway y Jewett.
yB
tienen módulos exactamente iguales. Para que el módulo de A
+B
sea más grande
Dos vectores A
que el módulo de A − B en un factor n, ¿cuál debe ser el ángulo entre ellos?
Respuesta: 2tan−1 (1/n).
11. Sean a y b dos vectores linealmente independientes, de módulos a y b respectivamente, y formando
entre ellos un ángulo α. Sea c un vector de módulo c, el cual forma con a un ángulo β (ver figura).
Considere el desarrollo de c en la base formada por a y b:
c = λ1a + λ2b.
Se pide:
(a) Utilizando la figura del enunciado dibuje los vectores λ1a y λ2b, indicando los pasos a seguir.
(b) Usando la noción de producto escalar, obtener λ1 (a, c, α, β) y λ2 (b, c, α, β).
(c) Obtener λ1 (a, c, α, β) y λ2 (b, c, α, β) a partir de la figura realizada en el primer apartado, utilizando argumentos geométricos.
c
b
a