MATEM´ATICAS ESPECIALES I - Curso 2015 PR´ACTICA 4

MATEM´ATICAS ESPECIALES I - Curso 2015 PR´ACTICA 4

MATEMÁTICAS ESPECIALES I - Curso 2015
PRÁCTICA 4
Funciones elementales - Funciones multivaluadas
1. Probar que
(a) ez 6= 0
∀z ∈ C
I
(b) ez̄ = ez ,
(c) e
z1 +z2
(d) Si
ez
∀z ∈ C
I
z1 z2
=e e ,
=
ew
∀z ∈ C
I
entonces existe k, número natural, tal que z = w + 2kπi.
(e) cos(z) = cos(−z),
sen(z) = −sen(−z),
(f) cos(iz̄) = cos(iz),
∀z ∈ C
I
(g) seniz̄ = sen(iz),
∀z ∈ C
I
si y solo si z = nπi, n número entero
(h) |sh(y)| ≤ |sen(z)| ≤ ch(y),
|sh(y)| ≤ | cos(z)| ≤ ch(y),
(i) sen(z) y cos(z) se anulan solo en puntos del Eje real.
(j) sen(iz) = ish(z),
cos(iz) = ch(z),
(k) sh(−z) = −sh(z),
ch(−z) = ch(z),
(l) sh(z + iπ) = −sh(z),
(m)
|sh(z)|2
2
= sh (x) +
∀z ∈ C
I
∀z ∈ C
I
∀z ∈ C
I
ch(z + iπ) = −ch(z)
sen2 (y),
|ch(z)|2 = sh2 (x) + cos2 (y)
(n) sh(z) y ch(z) se anulan solo en puntos del Eje imaginario.
2. Encontrar todas las raı́ces de las ecuaciones siguientes.
(a) ez = 1 − i
(b) e2iπz = 1
(c) cos(z) =
√
2
(d) sen(z) = 2
(e) sh(z) = i
(f) ch(z) = 1/2
3. Probar que | tanh
1 + i
4
π| = 1.
4. Probar que
(a) ez
es holomorfa en C
I y ez̄ no es holomorfa en C.
I
(b) sen(z̄) y ch(z̄) no son holomorfas en C
I
5. Hallar el dominio de definición y derivabilidad de
z+2
+i−1
sen(z)
(b) f (z) =
1 − cos(πz)
(a) f (z) =
(c) f (z) =
ez
z2 + 4
ch(z)
1
(d) f (z) =
ez + 2
sh(z)
6. Sea w3 = z. Supóngase que para el valor particular z = z1 se obtiene w = w1 .
(a) Si se parte de z1 en el plano z y se recorre un cı́rculo completo alrededor del origen en
sentido antihorario manteniendo continuo su argumento, muestre que cuando se retorna a
z1 , w toma el valor w1 e2πi/3 .
(b) ¿Cuáles son los valores de w cuando se retorna a z1 después de 2, 3, · · · circuitos completos
alrededor del origen?
√
(c) Explique por qué podemos considerar a w = 3 z como un conjunto de tres funciones
monovaluadas de la variable z.
7. (a) Muestre que z = 0 es un punto ramal de w = ln(z).
(b) Probar que ln(z − a) tiene un punto ramal en z = a.
8. Evaluar las siguientes operaciones. En caso de ser multivaluadas, expresar todos los resultados
posibles.
(a) ln(1 + i)
(b) Ln (−ei)
(c) Ln (1 − i)
(d) ln(−1)
√
(e) ln( i)
9. Comprobar las siguientes afirmaciones para la rama elegida de ln z.
(a) ln(i2 ) = 2 ln(i),
si
(b) ln(i2 ) 6= 2 ln(i),
si
9π
π
<θ≤
4
4
11π
3π
<θ≤
4
4
10. Demostrar que:
(a) la función f (z) = ln r + iθ es analı́tica en el dominio r > 0, −π < θ < π. Hallar su derivada.
(b) la función Ln (z − i) es holomorfa en todas partes, salvo en la semi-recta x ≤ 0, y = 1.
Ln (z + 4)
(c) la función
es holomorfa en todas partes, salvo en la semi-recta x ≤ −4, y = 0
z2 + i
1−i
y en los puntos ± √ .
2
11. (a) Si z = reiθ , analizar la multivaluación de z i .
(b) Si z es un punto sobre el cı́rculo centrado en el origen de radio 1, pruebe que z i representa
infinitos valores reales. ¿Cuál es su valor principal?
(c) Encontrar el valor principal de ii .
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