tema n 7.estabilidad de los sitesma de control por realimentación

Transcripción

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
COMPLEJO ACADÉMICO EL SABINO
PROGRAMA DE INGENIERÍA QUÍMICA
DPTO DE MECÁNICA Y TECNOLOGÍA DE LA PRODUCCIÓN
DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
TEMA N° 7
ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS DE CONTROL POR
REALIMENTACIÓN
FACILITADOR(ES):
PROF. Ing. Esp. Carlos A. Pérez
PROF. Ing. Esp. José Cuauro
PROF. Ing. Eumar Leal
PUNTO FIJO; julio de 2012
TEMA N 7.ESTABILIDAD DE LOS SITESMA DE CONTROL POR REALIMENTACIÓN
ESTABILIDAD DEL CIRCUITO DE CONTROL
Un sistema es estable si su salida permanece limitada para una entrada limitada. La
mayoría de los procesos industriales son estables a lazo abierto, es decir, son estables
cuando no forman parte de un circuito de control por realimentación; esto equivale a
decir que la mayoría de los procesos son autorregulables, o sea, la salida se mueve de un
estado estable a otro, debido a los cambios en las señales de entrada, Un ejemplo típico
de proceso inestable a lazo abierto es un tanque exotérmico de reacción con agitación, en
el cual, algunas veces existe un punto de operación inestable en el que, al incrementar la
temperatura, se produce un incremento en la tasa de reacción, con el consecuente
incremento en la tasa de liberación de calor, lo cual a su vez ocasiona un mayor
incremento en la temperatura.
Aun para los procesos estables a circuito abierto, la estabilidad vuelve a ser
considerable cuando el proceso forma parte de un circuito de control por realimentación,
debido a que las variaciones, en las señales se refuerzan unas a otras conforme varían sobre
el circuito, y ocasiona que la salida y otras señales en el circuito se vuelvan ilimitadas de
acción adecuada, el sistema se puede volver inestable, debido a los retardos en el circuito,
lo cual ocurre generalmente cuando se incrementa la ganancia del circuito.
En consecuencia, la ganancia del controlador a la que el circuito alcanza el umbral
de inestabilidad es de gran importancia en el diseño de un circuito de control con
realimentación. Esta ganancia máxima se conoce como ganancia del controlador. En este
tema se determina el criterio de estabilidad para sistemas dinámicos y se exponen dos
métodos para calcular la ganancia última: la- prueba de Routh y la substitución directa; por
lo tanto, aquí se estudia el efecto de los diferentes parámetros del circuito sobre su
estabilidad.
CRITERIO DE ESTABILIDAD
La respuesta de un circuito de control a una cierta entrada se puede mediante:
Donde:
c(t) es la salida del circuito o variable controlada
r1, r2 . . . r, son los eigenvalores o raíces’ de la ecuación característica del circuito
Si se supone que los términos de entrada permanecen limitados conforme se
incrementa el tiempo, la estabilidad del circuito requiere que también los términos de la
respuesta sin forzamiento permanezcan limitados conforme, se incrementa el tiempo; esto
depende únicamente de las raíces de la ecuación característica, y se puede expresar como
sigue:
GU Í A DE ESTUDIO REALIZADA POR ING. CARLOS A PEREZ M.
Página 2
Para raíces reales: Si r < 0, entonces ert ► 0 conforme t ► ∞
Para raíces complejas: r = σ + iw ert = e σt(cos wt + i Sen wt),
Si σ < 0, entonces e σt(cos wt + i Sen wt) ► 0 conforme t ► ∞
En otras palabras, la parte real de las raíces complejas, así como las raíces reales,
deben ser negativas para que los términos correspondientes de la respuesta tiendan a cero. A
este resultado no lo afectan las raíces repetidas, ya qué técnicamente se introduce un
polinomio de tiempo en la solución que no suprime el efecto del termino exponencial de
decaimiento. Es de notar que si cualquier raíz de la ecuación característica es un número
real y positivo de un número complejo con parte real positiva, en la respuesta, ese término
no estará limitado y la respuesta completa será ilimitada, aun cuando los demás términos
tiendan a cero; esto lleva al siguiente enunciado del criterio de estabilidad para un circuito
de control:
“Para que el circuito de control con realimentación sea estable, todas las raíces de su
ecuación característica deben ser números reales negativos o números complejos con
partes reales negativas. “
Si ahora se define el plano complejo s como una gráfica de dos dimensiones, con el
eje horizontal para la parte real de las raíces y el vertical para la parte imaginaria, se puede
hacer el siguiente enunciado gráfico del criterio de estabilidad.
Plano s en el que se ilustra las regiones de estabilidad e inestabilidad, según la ubicación de las raíces de la ecuación
característica.
Generalmente la ganancia del controlador dentro de los cuales el circuito es estable,
y la prueba de Routh es de la más útil para resolver dicho problema.
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH-HURWITZ
Página 3
El problema más importante de los sistemas de control lineal tiene que ver con la
estabilidad. Un sistema de control es estable si y sólo si todos los polos en lazo cerrado se
encuentran en el semiplano izquierdo del plano s. Consideremos la siguiente función de
transferencia de lazo cerrado.
En donde las a y las b son constantes y m ≤ n.
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH.
El criterio de estabilidad de Routh permite determinar la cantidad de polos en lazo
cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano s (raíces positivas) sin tener
que factorizar el polinomio. Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con
una cantidad finita de términos.
Procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh:
1.- Escriba el polinomio en s del denominador en la forma siguiente:
En donde los coeficientes son cantidades reales. Suponemos que ¹ 0 n a ; es decir, se
elimina cualquier raíz cero.
2.- Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un
coeficiente positivo, hay una raíz, o raíces imaginarias o que tiene partes reales positivas.
En tal caso, el sistema no es estable.
La condición necesaria, pero no suficiente, para la estabilidad es que todos los coeficientes
de la ecuación estén presentes y tengan signo positivo.
3.- Si todos los coeficientes son positivos, ordene los coeficientes del polinomio en
renglones y columnas de acuerdo con el patrón o arreglo siguiente:
Página 4
La evaluación continúa hasta que todas las restantes son cero.
El criterio de estabilidad de Routh- Hurwitz plantea que el número de raíces de la
ecuación con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los
coeficientes de la primera columna del arreglo.
La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación se
encuentren en el semiplano izquierdo del plano s es que todos los coeficientes de la
ecuación sean positivos y que todos los términos de la primera columna del arreglo
tengan signo positivo.
El paso final para la implementación de un lazo de control consiste en ajustar los
parámetros del controlador. Si el controlador puede ser ajustado para dar una respuesta
satisfactoria, se presume que el lazo de control ha sido bien diseñado. Cuando el
controlador no puede ajustarse satisfactoriamente, debe revisarse la selección de los demás
componentes del lazo de control.
Generalmente existen varias consideraciones que se toma en cuenta para evaluar la
respuesta de un lazo de control frente a una perturbación:
Página 5
• La variable controlada deberá alcanzar su valor deseado tan rápidamente como sea
posible.
• La respuesta de la variable controlada no debería ser muy oscilatoria.
• La variable manipulada no debería estar sometida a grandes cambios, ya que
frecuentemente afecta a otras partes del proceso.
Los métodos de ajuste de controladores se clasifican en dos grandes grupos:
métodos de lazo cerrado, y métodos de lazo abierto. Los primeros se aplican con el
controlador en automático; los segundos con el controlador en manual. Los parámetros
obtenidos por estos métodos, son parámetros iniciales, para obtener los parámetros
adecuados se pueden utilizar los criterios de error de integración, que se estudian al final
del tema.
A continuación se definen algunos de éstos métodos.
MÉTODO DE LAZO CERRADO O ÚLTIMA GANANCIA (MÉTODO DE
ZIEGLER-NICHOLS)
Este método es el pionero en la sintonización de controladores, es conocido por
método de lazo cerrado o sintonización en línea, fue propuesto por Ziegler y Nichols en
1942 y se sigue usando hoy en día.
Este método tiene como objetivo ajustar el controlador para una curva de respuesta
con una razón de amortiguamiento igual a ¼, tal como se muestra en la figura
Este método se basa en encontrar la ganancia de un controlador de tipo proporcional
con la finalidad de que el lazo oscile indefinidamente a una amplitud constante. Esta es la
máxima ganancia para la cual el lazo es estable; por eso se le denomina ganancia última. El
método se aplica de la forma siguiente:
1. Coloque el controlador en acción proporcional, eliminando la acción integral y la
derivativa (τi = ∞; τd = 0). Luego coloque el controlador en automático.
2. Aplique una perturbación en el lazo (generalmente un cambio escalón en el valor
deseado de aproximadamente 20%) y ajuste la ganancia kc, hasta que la respuesta oscile
continuamente a una amplitud constante.
Página 6
3. Registre este valor de kc como la ganancia última kcu, y registre el período de la curva
de respuesta como el período último (Pu).
4. Determine los ajustes a partir de las ecuaciones dadas en la tabla
La dificultad de este método radica en la aplicación de la prueba, ya que en muy
pocos procesos en producción es factible ponerlos a oscilar de la manera que se muestra en
la figura:
MÉTODO A LAZO ABIERTO O CURVA DE REACCIÓN
Como su nombre lo indica, estos métodos se utilizan en lazo abierto, colocando el
controlador en manual. Los datos requeridos para el ajuste se obtienen mediante la prueba
de escalón que proporciona una curva de reacción como respuesta. Estos datos son los
parámetros de K, τ, to, obtenidos bien sea de un sistema de primer orden más tiempo muerto
(POMTM), o de un Sistema de Segundo Orden más Tiempo Muerto (SOMTM).
Este método se aplica de la siguiente manera:
1. Colocar el controlador en manual, y esperar que el proceso se estabilice.
2. Realizar un cambio escalón en la señal de salida del controlador (posición de la válvula).
3. Registrar la curva de respuesta del proceso.
Como ya se ha visto, un proceso se puede expresar con una ecuación de transferencia de la
forma:
Página 7
O de un orden mayor, con una ecuación de transferencia general de la forma:
Sin embargo, como ya se ha mencionado antes, los procesos de orden mayor (mayor
de segundo orden) son inicialmente aproximados a procesos de primer orden más tiempo
muerto (POMTM) o procesos de segundo orden más tiempo muerto (SOMTM), como se
ilustra en las ecuaciones 3.1 y 3.2. En la práctica, no obstante, no hay un método fácil,
confiable y consistente para aproximar un proceso de cualquier orden superior a un proceso
de primer orden (POMTM). El método presentado acá es el que da la mejor aproximación,
y el más fácil de usar. En la figura 3.2 se muestra la manera de obtener los dos puntos.
Curva de Reacción del Proceso usando el método de los dos Puntos.
Teniendo estos dos puntos como datos, la constante de tiempo (τ) y el tiempo muerto (to)
son determinados por las ecuaciones
El parámetro K (ganancia del proceso) debe estar en %%, τ (constante de tiempo) y to (tiempo
muerto) deben estar en minutos.
MÉTODO DE ZIEGLER-NICHOLS A LAZO ABIERTO
Página 8
Además de las fórmulas de sintonización en lazo cerrado, Ziegler y Nichols en 1942
proponen un conjunto de ecuaciones basadas en los parámetros de un modelo de Primer
Orden más Tiempo Muerto (POMTM) encontrados a partir de la curva de reacción.
Al igual que en el método de lazo cerrado, con los ajustes encontrados al aplicar este
método, se intenta obtener una curva de respuesta de lazo cerrado que tenga una razón de
amortiguamiento igual a ¼. A partir de la tabla, se pueden determinan los coeficientes de ajuste
a partir de los valores de K, to y τ.
Parámetros de sintonización usando el Método de Ziegler-Nichols a Lazo abierto
AJUSTE MEDIANTE CRITERIOS DE MINIMIZACIÓN DE ÍNDICES DE
FUNCIONAMIENTO
Debido a que los parámetros de ajuste de amortiguamiento de ¼, el de la curva de
reacción, no son únicos, en la Universidad del Estado de Lousiana se realizó un proyecto
substancial de investigación bajo la dirección de los profesores Paul W. Murril y Cecil L.
Smith, para desarrollar relaciones de ajuste únicas. Con la finalidad de caracterizar al
proceso, utilizaron parámetros de modelos de primer orden más tiempo muerto (POMTM),
la especificación de la respuesta, en lazo cerrado es un error o desviación mínima de la
variable controlada respecto al Set Point o punto de control. Debido a que el error está en
función del tiempo que dura la respuesta, la suma del error en cada instante de tiempo se
debe minimizar; esa suma es, por definición, la integral del error en función del tiempo y se
representa mediante el área sombreada de la figura 3.5. Como la integral del error trata de
minimizar mediante la utilización de las relaciones de ajuste, éstas se conocen como ajuste
del error de integración mínimo; sin embargo, la integral de error no se puede minimizar de
manera directa, ya que un error negativo muy grande se volvería mínimo. Para evitar los
valores negativos en la función de desempeño, se propone el planteamiento de la siguiente
integral:
Página 9
Integrales del Error para cambios en la perturbación y en el Set Point.
Integral Del Valor Absoluto Del Error (IAE)
Integral Del Cuadrado Del Error (ICE)
Las integrales comienzan desde el momento en que ocurre la perturbación o cambio
en el Set Point (t = 0), hasta un tiempo muy largo (t = ∞), debido a que no se puede de
antemano predecir la duración de las respuestas. El único problema con esta definición de
la integral, es que se vuelve indeterminada cuando no se fuerza el error a cero, lo cual
ocurre únicamente cuando no hay acción de integración en el controlador, debido a la
desviación, o el error de estado estacionario; en este caso, en la definición se reemplaza el
error por la diferencia entre la variable controlada y su valor final de estado estacionario.
La diferencia entre el criterio IAE y el ICE, consiste básicamente en que con el ICE
se tiene más ponderación para errores grandes, los cuales se presentan generalmente al
inicio de la respuesta, y menor ponderación para errores pequeños, los cuales se presentan
al final de la respuesta. Para tratar de reducir el error inicial, el criterio de ICE mínima da
por resultado una ganancial alta del controlador y respuestas muy oscilatorias, es decir, con
un amortiguamiento alto, en las cuales el error oscila alrededor del cero por un tiempo
relativamente largo. De este fenómeno se deduce que en tal criterio de desempeño debe
Página 10
existir una compensación para el tiempo que transcurre desde el inicio de la respuesta. En
las siguientes integrales de error se incluye dicha compensación mediante la ponderación
del tiempo transcurrido.
Integral Del Valor Absoluto Del Error Ponderado En Tiempo (IAET)
Integral Del Cuadrado Del Error Ponderado En Tiempo (ICET)
López et al. [5], desarrollaron fórmulas de sintonización para criterios de error de
integración mínima en las que se asume que la función de transferencia del proceso para
perturbaciones de entrada es idéntica a la función de transferencia que se presenta a la
salida del controlador. Las fórmulas de sintonización son presentadas en la tabla:
Fórmulas de Sintonización para Integración Mínima en presencia de perturbaciones de entrada.
En algunos sistemas de control avanzados, tales como los autoajustables se utilizan
estos métodos de manera automática para mejorar la respuesta del sistema de control.
Página 11

tema n 7.estabilidad de los sitesma de control por realimentación

Transcripción

Documentos relacionados

31.64. Un lazo rectangular de dimensiones L y w se mueve con una